2項
分布 とポ ア ソン分布
4-1 2項
分 布2項
分布1回
の試行で あ る事 象の起 こる確 率 を 夕 とす る。π回の独立試 行 で この事象の起 こる回数 χ の確率分布 はP(χ
=∬)=ηC″夕″ση″(∬
=0,1,2,… 0,η ;σ=1 沙
) で与 え られ る。この分布 を2項
分布 といい,記
号 B(η,夕)で 表 す。ここで,η C″ は 2事郵系勢t=C,ηC″=石 戸てチ生石両T
である.χ
が2項
分布 B(π,夕) に従 うことを χ ∼ B(π,夕) と書 く.2項
分布 は表 の形で示す と次の ようにな る. 0。4 0。3 0。2 0。1 π=10 p=0.5 /′ ′′｀｀｀｀ ■、r01
P(X
-
x) q'
nbqn-'2
・… ηC2夕2αη-2 。… ηC″夕″αη″ ・・・ 夕η 計 １ 表 のなかの各確率 は2項
展 開 (α+夕)″=ση+ηCl夕α″1+ηC2夕αη 2+.… +夕 η の各項 である.2項
分布 の平均 と分散p-
npo":
npq 51.2項
分布 のモー ド(i)(η
+1)夕 が整数 な らば,モ
ー ドは (2+1)夕 と(π+1)タ ー1の 2つ。(ii)(π
+1)夕 が整数 でないな らば,モー ドは (π+1)夕 を超 えない最大 の整数値 。4-2
ポ ア ソ ン分 布 ポ ア ソ ン分 布 χ の確率分布 が ズ χ=か
争 し=QLa…
→ で与 えられるとき,こ の分布 を母数 スのポアソン分布 という。πが十分大 きく, 夕は非常に小 さ く,2夕=ス の ときの2項
分布 は母数 スのポアソン分布で近似 さ れる。ポアソン分布 はまた,時
間 または空間内でランダムに起 こる現象の単位 時間 または単位体積 内での生起数 に対す る理論分布 として使 われ る。 た とえば,ある物質が単位時間内 に放 出す る放射性粒子の数や,電
話交換機が単位時間 に受 ける電話 の呼出 し数 な どはポア ソン分布 に 従 う。 ポ ア ソン分布 の平均 と分散 μ=ス σ2=ス2項
分布 のポ ア ソン分布 によ 近似 で きるための一般的条件 は4-3
その他 の重要 な離散 型確 率分布 離散 型― 様分 布λ 〓 ６
ヽ ヽ ヽ ヽ ヽ
、 、
︶
ポア ソン分布 る近 似2項
分布 B(π,夕)が ポ ア ソ ン分 布 で π>50,
多夕≦5 η ● ン フ“
枷
¨
＜ ＜ 様 で与 え られ るとき,例 題 離散 型一様 分 布 の平 均 と分 散
P(X=χ
)￨ π+1
μ= 2
♂=午
幾何 分 布χ の確 率 分布 が
P(χ
=″ )=夕 (1-夕)κ 1 で与 え られ る とき, この分布 を幾何 分 布 とい う。 幾何 分 布 の平 均 と分 散1 2 3 4
・¨π-1 -様分布 (″=1,2,…
・;0≦夕<1)
53 1 μ=丁
g牲
デ
0.4 0.3 0。2 0。12 3 4 5 6
ρ=0.4の 幾何分布 解8個
の部 品 の なか の不 良 品 の数 を χ とす る と,Xは
π=8,夕 =0.2の
2項
分布P(X=χ
)=8C″(0.2)″(0.8)8-″(″
=0,1,2,… 0,8) に従 う.よ って(a)P(χ
=2)≡P(2)=8C2(0。2)2(0.8)6=0。294(b)P(χ
≦1)=P(0)+P(1)
=(0◆8)8+8(0.2)(0。 8)7=0。382(C)P(χ
≧3)=1-沙
(0)一P(1)―P(2)=0。 324 題 例 (2項分布の応用) あ る機械 が作 る部品の20%は
不 良品で あ る。この機械 で作 られ た部 品 を無作為 に8個
とる とき,その中 に(a)2個
の不良品が含 まれ る,(b)高
々1個
の不良品が含 まれ る,(C)少
な くとも3個
の不良品が含 まれ る 確率 を求 めよ。(2項分布の平均 と分散) χ は
2項
分布 B(π ,0.8)に 従 い,P(X=4)=5P(χ
=3)
である。この2項
分布 の平均 と分散 を求 め よ. 分布 とポアソン分布 解 χ ∼ B(π,0。8)よ りP(X=χ
)=η Cr(0.8)″(0.2)η ″ (″=0,1,2,… 0,π) それ ゆ え,P(χ
=4)=ηC4(0・ 8)4(0.2)η 4P(X=3)=η
C3(0・ 8)3(0◆2)η 3 与 え られ た関係 よ り η!5=景
華参
=‐
7上 ×
器
=π-3
∴π
=8
3!(η-3)! よ っ て,2項
分 布 の 平 均 と分 散 の 公 式 か らE(χ
)=2夕=8×0。8=6。47(χ
)=の
α=8×0。8× 0.2=1。28 解2項
分布 B(2,夕 )の 各確 率 は (α十夕)2=α2+2夕σ+夕2 の各項 で あ るか ら,3(2,夕)は ∬0 1 2
P(χ=″)
α2 2夕α 夕2 と書 け る.ゆえ に,この分布 の平 均 と分散 はE(χ
)=0×α2+1×2夕α+2×
夕2=2夕(α+夕 )=2タ 7(スつ=E(χ 2)_{E(χ
)}2 =02×α2+12× 2夕α+22×夕2_(2夕)2=2夕σ (2項分布 の平均 と分散)2項
分布 B(2,夕)と B(3,夕 )の 平均 と分散 を,公
式 か らで な く,直
接計算 によって導 け。 (°.・ 夕+α=1)
題 例 同様 に
,2項
分布 B(3,夕 )の 各確 率 は (α十夕)3=σ3+3夕α2+3沙2α+夕3 の各項 で あ るか ら,3(3,夕)は ″0 1 2 3
P(χ=″)
α3 3夕α2 3夕2α 沙3 と書 け る。よって, E(Jχ)=0×α3+1×3クα+2×3夕2α+3×
夕3 =3夕(α2+2夕α+夕2)=3夕(α十夕)2=3p
7(スっ
=02×α
3+12×3夕α
+22×3夕2α+32×夕
3_(3夕)2 =3夕α(σ+4夕 )-9夕2(1_沙) =3夕α(α+沙+3夕 )-9夕2α=3pα [注]同
様 な計 算 に よって,2項
分布 B(4,夕 )の 平均 と分散 は,4夕 と4夕α とな る こ と も簡 単 に示 され る。これ ら よ り,一般 の2項分 布 B(η,夕)の 平 均 と分 散 は π夕 と π夕α とな る こ とが類 推 され る。 解 セ ール ス マ ンの毎 月 の販 売 量 を χ とす る と,Xは
π=100,夕=0.2の
2 項 分布 に従 う確 率 変 数 で あ る。よ って,E(χ
)=2夕=100×0.2=20
7(χ
)=π夕σ=100×0.2×0。8=16
セ ール スマ ンの毎 月 の収 入 をyと
す る とy=10+0.5χ
E(y)=10+0.5E(X)=10+0。
5×20=20(万
円)7(y)=(0.5)27(χ
)=0。25×16=4(万
円) (2項分 布 の応 用) あ る商品のセール スマ ンの基本給 は月10万
円で,商
品1個
売 る ご とに 歩合5000円が もらえる。セール スマ ンは毎 月100軒の家 を訪 門 し,彼
の 訪 れた家が この商 品 を買 う確 率 は0.2であ る とす る。1人
のセール スマ ン の月間販売量 の平均 と分散 を求 め よ。また,セール スマ ンの月間収入 の平 均 と分散 を求 めよ。 ゆ えに,(2項分布の応用) あ る集 団には左 ききの人 が
10%い
る といわれ てい る.この集 団か ら π 人 を選 んで左 ききか否 か を調べ,その中の少 な くとも1人
が左 ききで あ る 確率 を0.95以上 にす るには,少
な くとも何人 を選 ばね ばな らないか. 与 え られ た条件 か ら よ って, 解 η人 中の左 ききの数 を χ とす る と χ ∼B(π,0。10)P(χ
≧1)=1-(0.9)η≧0。95 (0.9)″≦0。05 %三:」場晃島浅昇
=28。 4 ゆ え に,29人
以 上. 解 χ を第1回の標本 での不 良品の数 とし,yを
第2回
の標本 での不 良品 の数 とす る。仕切 りは十分大 きい と仮定 しているか ら, χ は近似 的 に2項
分布3(8,0.1)に従 い,yは
近似的 に2項
分布B(5,0.1)に従 う . すなわ ち,P(χ
=″ )=8C″(0.1)″(0.9)8-″(″
=0,1,2,… 0,8)P(y=y)=5Cy(0。
1)y(0◆9)5-y (y=0,1,2,…
0,5)(抜取検査) あ る検査法 は
,非
常 に大 きい仕切 りか ら無作為 に8個
の標本 を とり,そ の中の不良品の数が2個
以上 の ときは仕切 りを不合格 とし,不
良品の数が 0の ときは合格 とす る。もし不良品の数が1個
の ときは,仕
切 りか らさ ら に5個
の標本 を とり,その 中に不良品が な けれ ば合格,少
な くとも1個
あ る ときは不合格 とす る。 仕切 り不良率が10%の
とき,次
の確率 を求 め よ。(a)第
1回
の標本 で仕切 りが合格 となる。(b)第
2回
の標本 で仕切 りが合格 となる。(C)こ
の検査法で仕切 りが合格 となる。例 題 よ って
(a)P(第
1回
の標 本 で仕切 りが合格)=P(χ
=0)=(0.9)8=0.430
(b)P(第
2回
の標 本 で仕切 りが合格)=P(χ
=1)P(y=0) (χ
とyは
独 立 で あ るか ら) =8(0.1)(0。 9)7× (0.9)5=0.226(C)P(仕
切 りが合 格)=P(第
1回で仕切 りが合 格)+P(第
2回
で仕切 りが合 格) =0.430+0.226=0。656 57 分布 の応 用) 17り疋己′ ヽ不/ソンガ f17の ルさ用 ノ リん ごを250個
ずつ箱 に詰 める。箱詰 め された りん ごは平均 して0。8%
が腐 る とい う。箱詰 め りん ご1箱
をあけた とき,腐
った りん ごが3個
以上 見 出 され る確率 を求 めよ。 解1箱
中の腐 った りん ごの数 を χ とす る と,Xは
η=250,沙=0.008の
2 項分布 に従 う。この2項
分布 は πが 50よ り大 き く,夕 は非常 に小 さ く,ス=″
=250×0。008=2≦ 5で
あるか ら,ス=2の
ポア ソン分布庫
=→
=午
,レ
載
L和
で近 似 で きる。よって,求
め る確 率 はP(χ
≧3)=1-P(0)一
P(1)一 P(2)=1_θ
-2_2θ 2_2θ 2=1-5θ
2=0。32 分 布 の応 用) …1フリ蔵0
ヽ不 /ソ ン分f13のルさ用リA駅
の売 店 で の あ る月刊 雑 誌 の販 売 数 は平 均2冊
の ポ ア ソ ン分 布 に従 う.売
店 で は毎 月 この雑 誌 を3冊
仕 入 れ て い る。(a)こ
の店 が あ る月,客
の需 要 を満 たせ な くな る確 率 を求 め よ.(b)こ
の店で この雑誌が1月当た りに売れる平均販売数 を求めよ。(C)こ
の店が毎月の雑誌の需要を満たす確率を少な くとも0.95に す るには毎月最低何冊 を仕入れねばならないか。58 解 この店の毎月の雑誌販売数 を
Xと
す る と庫
=→
=γ
ttL"
(a)客
の需 要 が満 たせ な い の は,X≧
4の
ときだ か らP(χ
≧4)=1-P(χ
≦3)=1-P(0)一
P(1)一 P(2)一 P(3)=1_θ
-2_2θ 2_2θ 2_Ttt。 2=1-≒
;θ -2二 =0.14(b)こ
の ポ ア ソ ン分布 の平 均 は2だ
か ら,2冊
.(C)求
め る冊 数 を π とす る とP(X≦
π)≧0。95θ
-2△
チ≧
095
ムチ≧
・
01 こ こで, とお くと, /3=6。3, /4=7, /5=7.2
ょって,π≧5。 最低5冊
仕入れねばならない。 例 題9 (ポ
アソン分布 の応用) あ る溶 液 はl mJ当た り平均3個
のバ クテ リア を含 む◆この溶 液 l mJ 中のバ クテ リアの数 はポア ソ ン分布 に従 う と仮 定 して,次
の確 率 を求 め よ。(a)l mJの
標 本 を とる とき,その なか に5個
以上 のバ クテ リアが含 まれ る。(b)l mJず
つ2個
の標本 を とる とき,ど
ち ら もその なか にバ クテ リ ア を含いまない。(C)l mJず
つ3個
の標本 を とる とき,3個
の うち2個
が少 な くとも1 個 のバ クテ リア を含 む. 解 この溶液l mJ中のバ クテ リアの数 をXと
す る と,Xは
ス=3の
ポア ソ ン分布 に従 うか ら ν 一 メ η Σ ﹁ 〓 ん題 例
庫
=→
=子
回
L和
よって,(a)P(χ
≧5)=1-P(0)一
P(1)一 P(2)一 P(3)― P(4)=1_θ
-3_3θ3_÷
θ
-3_÷
θ
-3_子
θ
-3=1_里
θ-3≒Oe185(b) [P(0)]2=θ
-6≒ 0。002(C)lmノ
の標 本 が 少 な く と も1個
の バ ク テ リア を含 む確 率 はP(χ
≧1) でP(χ
≧1)=1-P(0)=1-θ
3≒0.95 よ って,3個
の標 本 の うち2個
が少 な くと も1個
のバ クテ リア を含 む確 率 は 3C2(0.95)2(0。05)≒0。135 解200人
中血液が α型 の人 の数 を χ とす る と χ ∼B(200,奇
) この2項
分布 は,η=200が
大 き く,夕=奇
は十 分小 さ く, 2。5は 5よ り小 さいか ら,ス=2.5の
ポアソン分布ズ χ
=か
し
=QLa…
→
で近似できる。よって
,(a)P(χ
≧4)=1-P(0)一
P(1)一 P(2)一 P(3)=1_2-2.5_2が 5_ _
≒0。24 〓 １ 一 ８０ × 〓 タ π 〓 ス (2項分布 のポ ア ソ 〕 17販已IU
ヽZ・LH例 晰13σ)不/ソ ンだ =1以ノ 大都市では平均80人
に1人
が α型の血液 を もつ とい う.(a)無
作為 に200人
の血液提供者 を選ぶ とき,その中に α型の血液 の 人が少 な くとも4人
含 まれ る確率 を求 めよ。(b)α
型 の血液提供者 をその中に少 な くとも1人
含 む確率 を0.9以上 にす るには何人 を選 ばね ばな らないか。60
(b)χ
∼
3(π,奇
)・ 題 意 よ りP(χ
≧ 1)≧0。91-P(X=0)≧
0.9 ({:)″≦001 %:≧ ≒183。1 よ っ て,184人
以 上. 分 布 の 当 て はめ) ―ソ憫邑 ■1
ヽ不/ソ ノ例晰ll υノヨtほリ ノ 次 の表 は,高
速 道路 の あ る地 点 で観測 した車 の交通 量 の度数 分布 で あ る. 車 の数 (10秒 間 ごとの) 0 1 2 3 4
計 観測度数68 81 38 9 4 200
デー タか ら平均 と分散 を求 め よ.この分布 にポア ソン分布 を当てはめた と きの理論度数 を求 め よ. 解 度数分布 ∬=
s2=
か ら,車
の数 の平 均 と分散 を求 め る と=1
_12=0。 89 平均 と分散 はほぼ等 しいので,車
の交通量の分布 は近似 的 にポア ソン分布 に従 うことが示唆 され る。 平均 ″ は スの推 定値 を与 え るか ら,この デー タ に当て はめ るポア ソン分布 は ,庫
=ル
チ け
=QLZ…
→
理論度数 は これ ら確率 に200をか けて求 める。 200× 」 る 「 土‐:≒74, 200× 二 ::L圭平74, 200× 二ちlL圭平37, 200×」
::L≒12, 200×」
::L圭平
3 よ って,題 例 車の数
0
観測度数68
理論度数74
1 2 81 38 74 37 3 4 9 4 12 3 計 200 200 [注]ポ
ア ソン分布のデータヘの当ては まりが良いか否かは,通常 カイ2乗検定 によってなされ る (9章 カイ2乗検定を参照). 例 題12 (離
散型一様分布) 乱 数表 か ら無作 為 に選 んだ2個
の乱 数 を(a)χ +y (b)4X-3y
の平 均 と分散 を求 め よ。 解Xの
確率分布 はP(X=χ )=士
で あ るか ら,その平 均 と分散 はE(χ
)=0×士
年
+1×
鼻
10+2×
鼻
10+…
・
+9×
共
10 10=共
×
9(9+1)=
９ 一２7(χ
)=02×寺
+12×士
+22×士
+..。 +92×士
_(=)2
=士
×≦
型 量
子
堕 二
L_キ =器
yは
χ と同じ確率分布をもつから
E(χ
)=E(y)=
7(χ )=
7(y)=
９ 一 ２ ３３ 一 ４ よ って,(a) E(χ +y)=E(χ )+E(y)=9
7(χ
+y)=7(χ )+7(y) (χ
とyは
独 立 で あ るか ら)=器 +器 =器
(b)E(4χ
-3y)=4E(ス
つ
-3E(y)=÷
/“
χ
-3y)=“
7α
卜
94y)=25×
器
=等
(幾何 分 布 の応 用) あ る射撃手 の標的への命 中率 は0。
6で
ある.この射撃手が標 的 に命 中す る まで弾 丸 を射 つ とき,射
つた弾 丸 の数 の平 均 と標 準偏 差 を求 め よ。ま た,(a)射
撃手が標的 に命 中す るまで に少 な くとも4発
を射 たねばな らな い確率 を求 めよ。(b)射
撃手が標的 を命 中 させ るの に π発 を必要 とす る確率 が0。99以
上 にな る最小 の πを求 め よ。 解 標 的 を最初 に命 中 させ るまでの弾丸 の数 を χ とす る と,Xは
夕=0。6の
幾何分布 に従 うか らP(χ
=χ )=0.6×(0.4)χ1 (″
=1,2,3,… 0) 幾何分布 の平均 と分散 の公式 よ りμ
=÷
=轟
・
≒
67σ
=厚
=√
評 ≒
上
眺
(a)P(χ
≧4)=1-P(χ
≦3)=1-P(1)一
P(2)― P(3)=1-0.6-0.24-0。
096 =0。064(b)P(χ
≦π)≧0.99 を満 た す最 小 の π を求 めね ばな らない。P(χ
≦ π)=1-P(χ
≧π+1)
=1-Σ
O.6(0.4)″ 1 =1-0.4η だ か ら 1--0。4η二≧0.99π≧」
:亀烏￡許
≒
5.03 よって,最
低6発
が必要.4章の問題
