1
対称式
K を体とし，f(X1, X2, . . . , Xn) を K 係数の n 変数の多項式とする．n 次対称群 Snの元 σ に 対して fσ= f (X σ(1), Xσ(2), . . . , Xσ(n)) とおく．つまり，f において Xiを Xσ(i)におきかえたものを fσとおく．また，Snの二つの元 σ, τ に対して， fστ = f (X στ(1), Xστ(2), . . . , Xστ(n)) とする．すなわち，fστ = (fτ)σとする． 任意の σ∈ Snに対して fσ= f となるとき，f を X1, X2, . . . , Xnに関する対称式という． 二つの対称式の和，差，積もまた対称式である．よって対称式の全体は多項式環 K[X1, X2, . . . , Xn] の部分整域になる． 1≤ k ≤ n なる整数 k に対して， sk = sk(X1, X2, . . . , Xn) = n i1<i2<···<ik Xi1Xi2· · · Xik はすべて対称式である．これらの対称式 s1, s2, . . . , snを X1, X2, . . . , Xnに関する基本対称式と いう． 例 1.1. X1, X2, X3に関する基本対称式は X1+ X2+ X3, X1X2+ X1X3+ X2X3, X1X2X3 である． 定理1.2. X1, X2, . . . , Xnに関する K 係数の対称式 f1, f2, . . ., fnを K 係数の n 変数の多項式 g(X1, X2, . . . , Xn) に代入したもの h(X1, X2, . . . , Xn) = g(f1(X1, X2, . . . , Xn), f2(X1, X2, . . . , Xn), . . . , fn(X1, X2, . . . , Xn)) は X1, X2, . . . , Xnに関する対称式である． 証明. f1, f2, . . ., fnは対称式なので，Snの元 σ に対して， hσ= g(fσ 1, f2σ, . . . , fnσ) = g(f1, f2, . . . , fn) = h となる．よって g(X1, X2, . . . , Xn) は X1, X2, . . . , Xnに関する対称式である． K の元を係数とする単項式 aX1e1X2e2· · · Xen n (a∈ K) に対して， aXσ(1)e1 Xσ(2)e2 · · · Xen σ(n) (σ∈ Sn) を aX1e1X2e2· · · Xen n と同型な単項式という． 単項式 aX1e1X2e2· · · Xen n と同型な単項式の中には e1≥ e2≥ · · · ≥ enを満たすものが必ずある．このとき，組 (e1, e2, . . . , en) を aX1e1X2e2· · · Xen n の型という． 単項式が与えらえれたとき，それと同型なすべての単項式の和は対称式である．とくに，係数が 1 の単項式 X1e1X2e2· · · Xen n と同型なすべての単項式の和を単型対称式という．また，単型対称式 が項としてもつ単項式の型をその単型対称式の型という． 例 1.3. X12X23X3と同型な単項式は X2 1X23X3, X12X2X33, X13X22X3, X1X22X33, X13X2X32, X1X32X23 である．これらの和 X2 1X23X3+ X12X2X33+ X13X22X3+ X1X22X33+ X13X2X32+ X1X32X23 は単型対称式である．この単型対称式の型は (3, 2, 1) である． 例 1.4. X12X22X3と同型な単項式は X2 1X22X3, X12X2X32 X1X22X32 である．これらの和 X2 1X22X3+ X12X2X32+ X1X22X32 は単型対称式である．この単型対称式の型は (2, 2, 1) である． 例 1.5. 基本対称式は単型対称式である． 例 1.6. 同じ次数の冪の和 X1k+ X2k+· · · + Xnkは単型対称式である． 二つの単型対称式 f , g の大小を，次のようにして定義する: f , g の型をそれぞれ (e1, e2, . . . , en), (e1, e2, . . . , en) とするとき， f < g ⇐⇒ ある番号 i が存在して e1= e1, . . ., ei= ei, ei+1< ei+1となる すなわち，型 (e1, e2, . . . , en) に関して辞書式順序を入れる．f < g であるとき，f は g より低位 であるといい，g は f より高位であるということにする． 注意 1.7. 単型対称式全体は，この順序によって自然数全体 N と順序同型になる． 定理 1.8. 体 K 上の X1, X2, . . . , Xnに関する対称式 f はすべて，基本対称式 s1, s2, . . . , snの K 係数の多項式として表される．すなわち，ある K 係数の多項式 g(X1, X2, . . . , Xn) が存在して， f = g(s1, s2, . . . , sn) となる．しかもその表し方は一意的である． 証明. すべての対称式は単型対称式に定数をかけたものの和として表すことができる．よって，定 理の前半については，f が単型対称式である場合に証明すれば十分である．
単型対称式の順序に関する数学的帰納法で証明する．単型単項式が定数，すなわち K の元であ る場合や，基本対称式である場合は明らかである． 一般の単型対称式 f について，その型を (e1, e2, . . . , en) として，f よりも低位なすべての単型 対称式に関しては定理の主張が正しいと仮定する． sl1 1sl22 · · · slnn = (X1+ X2+· · · + Xn)l1(X1X2+· · · + Xn−1Xn)l2· · · (X1X2· · · Xn)ln を展開して，それを単型対称式の整数倍の和として表せば，最高位の単型対称式の型は (l1+ l2+· · · + ln, l2+ l3+· · · + ln, . . . , ln) である．これが f と同型であるためには， (e1, e2, . . . , en) = (l1+ l2+· · · + ln, l2+ l3+· · · + ln, . . . , ln), すなわち， l1= e1− e2, l2= e2− e3, . . . , en = ln であればよい．よって l1≥ 0, l2≥ 0, . . ., ln≥ 0． このように l1, l2, . . ., lnを定めれば，sl11sl22 · · · sln n に含まれる最高位の単型単項式がちょうど f になる．よって， f1= f− sl11sl22 · · · sln n とおけば，f1は f よりも低位の型の単型多項式の整数倍の和で表される対称式である．ゆえに帰 納法の仮定によって，ある g1(X1, X2, . . . , Xn)∈ K[X1, X2, . . . , Xn] が存在して， f1= g1(s1, s2, . . . , sn) となる．したがって， g(X1, X2, . . . , Xn) = X1l1X2l2· · · Xln n + g1(X1, X2, . . . , Xn) とおけば， f = g(s1, s2, . . . , sn), g(X1, X2, . . . , Xn)∈ K[X1, X2, . . . , Xn] となる． 次に一意性を証明する．仮に，ある対称式 f が基本対称式 s1, s2, . . ., snの多項式として二通り に表されているとする．すなわち， f = g(s1, s2, . . . , sn) = g(s1, s2, . . . , sn) において，g(X1, X2, . . . , Xn)= g(X1, X2, . . . , Xn) であるとする． h(X1, X2, . . . , Xn) = g(X1, X2, . . . , Xn)− g(X1, X2, . . . , Xn) とおけば， h(X1, X2, . . . , Xn)= 0 かつ h(s1, s2, . . . , sn) = 0 となる．このようなことは不可能である．
実際，h(X1, X2, . . . , Xn)= 0 ならば，ある a1, a2, . . . , an∈ K が存在して， h(a1, a2, . . . , an)= 0 となる．このとき，方程式 Xn− a 1Xn−1+ a2Xn−2− · · · + (−1)nan= 0 の根 α1, α2, . . . , αnについて， ai= si(α1, α2, . . . , αn) (1≤ i ≤ n) であるから， h(s1(α1, α2, . . . , αn), s2(α1, α2, . . . , αn), . . . , sn(α1, α2, . . . , αn))= 0 となる．これは h(s1, s2, . . . , sn) = 0 に反する．したがって h(X1, X2, . . . , Xn) = 0，すなわち g(X1, X2, . . . , Xn) = g(X1, X2, . . . , Xn) でなければならない． 注意 1.9. 一意性の証明について一言．たとえば， f(X1, X2, X3) = X1+ X2+ X3, g1(X1, X2, X3) = X1− X2, g2(X1, X2, X3) = X2− X3, g3(X1, X2, X3) = X3− X1 とおくと，明らかに f (X1, X2, X3)= 0 であるが， f(g1(X1, X2, X3), g2(X1, X2, X3), g3(X1, X2, X3)) = (X1− X2) + (X2− X3) + (X3− X1) = 0 である．一意性の証明では，基本対称式に関しては，このようなことが起こらないということを 言っている． F (X1, X2, . . . , Xn) を K 係数の n 変数の有理式とする．n 次対称群 Snの元 σ に対して Fσ = Fσ(X 1, X2, . . . , Xn) = F (Xσ(1), Xσ(2), . . . , Xσ(n)) とおく．任意の σ∈ Snに対して Fσ = F となるとき，F を X1, X2, . . . , Xnに関する有理対称式 という．有理対称式の全体は有理関数体 K(X1, X2, . . . , Xn) の部分体になる． 定理 1.10. 任意の有理対称式 F は，ある対称式 f, g によって F = f/g と表される． 証明. F は有理式であるから，多項式 f, g によって F = f/g, g = 0, (f, g) = 1 と表される．
いま仮に，f が対称式でないとすれば，n 次対称群 Snは互換全体で生成されるから，ある互換 σ が存在して fσ= f となる．σ = (1 2) としても一般性を失わない．仮定によって f g = fσ gσ となる．(f, g) = 1 であるから，ある h∈ K[X1, X2, . . . , Xn] が存在して， fσ= hf, gσ= hg である．deg fσ= deg f なので，h∈ K である．fσ2 = f であるから， f = fσ2 = hfσ= h2f. ゆえに h2= 1．f= fσより h =−1 を得る．X1= X2とすれば， f(X2, X2, X3, . . . , Xn) = fσ(X2, X2, X3, . . . , Xn) =−f(X2, X2, X3, . . . , Xn), g(X2, X2, X3, . . . , Xn) = gσ(X2, X2, X3, . . . , Xn) =−g(X2, X2, X3, . . . , Xn). したがって， f(X2, X2, X3, . . . , Xn) = g(X2, X2, X3, . . . , Xn) = 0. よって因数定理により f , g はともに X1− X2で割りきれる．これは (f, g) = 1 に反する．
2
交代式
n 個の変数 X1, X2, . . . , Xnの K 係数の多項式 ∆ = ∆(X1, X2, . . . , Xn) = 1≤i<j≤n (Xi− Xj) = (X1− X2)(X1− X3)· · · (X1− Xn) × (X2− X3)· · · (X2− Xn) · · · · × (Xn−1− Xn) を X1, X2, . . . , Xnの差積という． 定理 2.1. X1, X2, . . . , Xnの差積 δ は n(n− 1)/2 次の同次多項式である．すなわち，K の任意 の元 c に対して ∆(cX1, cX2, . . . , cXn) = cn(n−1)2 ∆(X1, X2, . . . , Xn) が成り立つ． 証明. ∆ の因子 Xi− Xj(1≤ i < j ≤ n) の個数は n + (n − 1) + · · · + 1 = n(n − 1)/2である．よって，任意の c∈ K に対して ∆(cX1, cX2, . . . , cXn) = 1≤i<j≤n (cXi− cXj) = 1≤i<j≤n c (Xi− Xj) = cn(n−1)2 ∆(X1, X2, . . . , Xn) となる． f を K 係数の n 変数の多項式とする．任意の σ ∈ Snに対して fσ= (sgn σ)f となるとき，f を X1, X2, . . . , Xnに関する交代式という． 定理 2.2. 差積 ∆ は X1, X2, . . . , Xnに関する交代式である．すなわち，n 次対称群 Snの任意 の元 σ に対して， ∆σ = (sgn σ)∆ が成り立つ． 証明. 互換 τ = (k k + 1) が与えられたとき， ∆ = (Xk− Xk+1) i<k (Xi− Xk)(Xi− Xk+1) × k+1<j (Xk− Xj)(Xk+1− Xj)× (その他の Xi− Xjの積) より，∆τ = ∆ であることがわかる．τ は互換であるから，sgn τ =−1．したがって ∆τ = (sgn τ )∆ である． Snの任意の元 σ は，(k k + 1) なる形の互換 σ1, σ2, . . . , σrの積で書ける：σ = σ1σ2· · · σr．こ のとき， ∆σ= ∆σ1σ2···σr = (sgn σr)∆σ1σ2···σr−1 =· · · · = (sgn σr)(sgn σr−1)· · · (sgn σ1)∆ = (sgn σ1)(sgn σ2)· · · (sgn σr)∆ = (sgn σ1σ2· · · σr)∆ = (sgn σ)∆ となる． 系 2.3. σ ∈ Snについて， σ が偶置換 ⇐⇒ ∆σ= ∆ である． 証明. σ が偶置換ならば，sgn σ = 1 だから，∆σ= ∆ となる．逆に， ∆σ= ∆ =⇒ (sgn σ)∆ = ∆ =⇒ (sgn σ − 1)∆ = 0. ∆ = 0 より，sgn σ − 1 = 0．したがって sgn σ = 1．ゆえに σ は偶置換である．
定理2.4. K 係数の n 変数多項式 f が X1, X2, . . . , Xnに関する交代式であれば，f は X1, X2, . . . , Xn の差積 ∆ と X1, X2, . . . , Xnに関する適当な対称式 g との積として表される． 証明. 互換 (1 2) に対して f(1 2) =−f であるから，この式の両辺において，X1= X2とおけば f(X1, X1, X3, . . . , Xn) =−f(X1, X1, X3, . . . , Xn) となる．したがって f(X1, X1, X3, . . . , Xn) = 0 となり，因数定理から f (X1, X2, . . . , Xn) が X1− X2で割りきれることがわかる． その他の互換 (i j) に対しても同様の理由で f (X1, X2, . . . , Xn) が Xi− Xjで割りきれること がいえる．Xi− Xj(1≤ i < j ≤ n) は二つずつ互いに素であり，K[X1, X2, . . . , Xn] は一意分解 整域だから，f (X1, X2, . . . , Xn) は差積 ∆ で割りきれる．すなわち，ある K 係数の多項式 g が存 在して f = ∆g となる．f , ∆ は交代式なので，Snの任意の元 σ に対して， (sgn σ)f = fσ = ∆σgσ= (sgn σ)∆gσ. したがって gσ= g が得られる．よって g は X1, X2, . . . , Xnに関する対称式である． 系 2.5. 交代式の 2 乗は対称式である． 証明. 任意の交代式 f は差積 ∆ と対称式 g ∈ K[X1, X2, . . . , Xn] によって f = ∆g と表される ので，∆2が対称式であることを示せば十分である．ところが (∆2)σ= (∆σ)2= (sgn σ)2∆2= ∆2 であるから，∆2は対称式である．
