電気回路学Ⅱ ラプラス変換による過渡現象の解析

(1)

電気回路学Ⅱ

通信工学コース

5 セメ

山田博仁

(2)

ラプラス変換による過渡現象の解

3. RLC 直列回路の過渡現象析

図に示す RLC 直列回路において、任意の電圧

e(t) で励振した時の電流を i(t) とすると、閉路

方程式は、

C

R L

E(s) e(t) i(t)

I(s) i(0) q(0)

で与えられる。

この式をラプラス変換すると、

ただし、　　　　　　とした。となる。

従って、 I(s) について解くと、となる。

全ての初期条件を 0 とすると、となり、

Z(s) は回路のインピーダンスを表わす。

�(�)=ℒ�(�) ,

(3)

例 6.3.1 析

i(t) I(s) i(0) q(0)

C R

E₀

S t = 0 L 左図の回路で、 t = 0 でスイッチを閉じ

て直流電圧 E₀ を印加する。

かつとしてよいから、

より、となる。

この式をラプラス逆変換するには、

と変形し、

ラプラス変換表 ( 教科書の表 5.2) の (32) の関係

を用いて、とみなすと、

となる。

ℒ�(�)=�₀

�

(�+�)²+�²=ℒ

[

^�^� ^�^{−� �}^sin ^��

]

(4)

ラプラス変換による過渡現象の解析

(a) 臨界減衰 ( R² = 4L/C ) の場合には、

であるから、

となる。

(b) 過減衰 ( R² > 4L/C ) の場合には、

であるから、の関係を用いると、

となる。

(c) 振動減衰 ( R² < 4L/C ) の場合には、

であるから、となる。

ロピタルの定理より、

(5)

例 6.3.2 析

RLC 直列回路で、時刻 t = 0 にスイッチを閉じて、正弦波電圧 E_msinω₁t を印加する。

であり、かつ簡単のために q(0) = 0, i(0) = 0 とすれば、

そのとき

電流は、で与えられる。

この式のラプラス逆変換は、表 5.2(36) の表関数 f(t) を微分した df(t)/dt に、

を代入し、係数　　　　　を乗じたものに等しい。

ラプラス変換表 5.2 の (36) の関係式は、

ℒ�(�)= �_��₁

�²+�₁²

(6)

従って、

この表関数を微分すると

ただし、

また　　　　　　　　と置いて、

(7)

(8)

i(t) の時間変化を以下の図に示す。 ( ただし、 ω₁² = 1/LC 、かつ ω₁ ≈ β の場合 ) i(t) の式

励振周波数 ω₁ で振動を続ける定常項

過渡項自由振動周波数は β

(9)

教科書第 2 章の章末問題 2.2 の解答に誤りがあります。ラプラス変換を用いて

、正しい答えを導いてみよう。

RC 直列回路の場合

C R

E(s) e(t) i(t)

I(s)

q(0) 両辺をラプラス変換すると、

閉路方程式は、

I(s) について解くと、

となり、

ここで、時定数 CR = τ と置くと、

(10)

従って、表 5.2 のラプラス変換表の式 (18) と式 (4) の関係を用いてラプラス逆変換すると、

と求まる。

(11)

同様に RL 直列回路の場合、閉路方程式は、

両辺をラプラス変換すると、

となり、

ここで、時定数　　 = τ と置くと、

R

E(s) e(t) i(t)

I(s) L

i(0)

(12)

従って、表 5.2 のラプラス変換表の式 (17) と式 (4) の関係を用いてラプラス逆変換すると、

と求まる。

(13)

教科書第 6 章の章末問題 6.6

スイッチを閉じた後の閉路方程式は、

ラプラス変換は、

ラプラス逆変換すると、

であり、

となる。

(14)

スイッチを閉じた瞬間、キャパシタ C₁ からキャパシタ C₂ に無限大の電流が流れて、キャパシタ C₂ が瞬間的に充電され、キャパシタ C₁ とキャパシタ C₂ の電圧が等しくなる。その時、スイッチを閉じる前後で電荷量は不変である。その後は、両キャパシタから R に電流が流れ、蓄えられた電荷は放電される。スイッチを閉じた直後の両キャパシタの電圧 V₀ は、

である。

その後は単に、並列接続されたキャパシタ C₁, C₂ と、 R からなる CR 直列回路であるから、

となる。

(15)

R_l E₀

S

i₂(t) t = 0

C R₁

i₁(t)

(a) の場合の回路は下図のようになる。

表記の簡単化のために、 R₁ = R_l = R と置く、

(i) 定常電流

定常状態では、キャパシタ C は完全に充電或いは放電された状態にあり、電流は流れないので、無いものと考えてよい。

従って R_l に流れる定常電流 i₂ は、

(ii) 過渡電流

電流 i₁, i₂ に対して、以下の関係式が成り立つ。

このラプラス変換は、 C の初期電荷が 0 であるから、

となる。

(16)

これを I₂ に対して解くと、このラプラス逆変換は、

となり、電流 i₂ が求まる。右辺の第２項が過渡電流である。

(b) の場合の回路は下図のようになる。

R_l S

i₂(t) t = 0

C R₁

i₁(t) C₀ q₀

表記の簡単化のために、 R₁ = R_l = R, C₀ = C と置く、

(i) 定常電流

定常状態では、キャパシタ C₀ に蓄えられていた電荷は完全に放電された状態にあるので、電流は流れない。従って定常電流 i₂ は 0 である。

(ii) 過渡電流

電流 i₁, i₂ に対して、以下の関係式が成り立つ。

(17)

このラプラス変換は、 C₀ の初期電荷が q₀ 、 C の初期電荷が 0 であるから、

となり、これを I₂ に対して解くと、

となる。

表 5.2 の (13) の関係式を変位定理を用いて加工すると、

という関係が得られる。

従って上式で、と置くと、

I₂ のラプラス逆変換より電流 i₂ は、

�₂= 2�₀

√

⁵^�� ^�

− 3 2��

sinh

√

⁵

2�� と求まる。これが電流 i₂ の過渡電流である。

ℒ⁻¹

[

⁽^�⁻^�)¹²⁻^�²

]

⁼^ℒ⁻¹

^[

^�²⁻^�²^�+¹ ^�²⁻^�²

^]

⁼^�^�� ^�¹ ^sinh ^��

(18)

(c) の場合の回路は下図のようになる。

(i) 定常電流

(ii) 過渡電流

表記の簡単化のために、 R₁ = R_l = R と置く、

R_l S

i₂(t) t = 0

C R₁

i₁(t) e(t)

となる。ただし、

e(t) のラプラス変換は、

従って、電流 i₂ のラプラス変換は、となる。

ℒ[^�^(�⁾]⁼ℒ

[

^�^�^sin^{� �}

]

⁼ ^{� �}^�

�²+�²

(19)

従って、電流 i₂ のラプラス逆変換は、

となる。

表 5.2 の (27) の関係式を用いて、と置くことにより、

左辺の第 1 項が過渡電流である。

ℒ⁻¹

[

⁽^�²⁺^�²⁾¹

⁽

^�⁺^��²

⁾ ]

⁼ ^�

− 2

��

�²+ 4 (��)²

+ 1

�

√

^�²⁺^(��⁴ ⁾² ^sin^{(� �}⁻^�⁾^,

(20)

スイッチを開く前の定常状態での電流 ( 初期電流 ) i(0) は、

スイッチを開いた後では、

コイル L₁ の初期電流が　　　　　　、コイル L₂ の初期電流が 0 であることに注意してこれをラプラス変換するすると、

の閉路方程式が成り立つ。

となり、 I(s) について解くと、

(21)

従って i(t) は、

と求まる。

これを図示すると、

t i(t)

0

スイッチを入れる前後での鎖交磁束 ϕ_before, ϕ_after を比較してみると、

となり、鎖交磁束不変の理が成り立っていることが分かる。

電気回路学Ⅱ ラプラス変換による過渡現象の解析

[

]

√

√

[

]

[

]

[

]

[

(

) ]

√

^[

^]

⁽

⁾ ]