与えられた単位分数の和で表せる数について ： 数学理科甲子園の問題から

与 え られた単位分数の和 で表せ る数 につ いて

一 数学理科 甲子園の問題 か ら一

兵 庫 教 育 大 学 大 学 院 教 育 内 容 ・方 法 開 発 専 攻 Ⅳ

l 1 3 1 3 5 C

学 校 教 育 研 究 科 認 識 形 成 系 教 育 コ ー ス 安

納

秀

佳

目 次

第

1章

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 第

2章

2.1 2.2 2.3 2.4 第

3章

3.1 3.2 3.3 3.4 第

4章

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 ■

obeniusの

問題 和が

1未

満 となる最大 の組み合わせ Frobenius数の存在 形 式的幕 級数 形式的幕級数 の逆元 形 式的幕 級 数 と Frobeniusの 問題

4

4 7 10 14 16

18

18 27 29 34

44

44 47 49 53

58

58 64 68 72 76 77 77 80 85 複素関数 解析関数 多 項 式 有理 関数 有 理 関数 の部 分 分数 分解 幕級数 と形式的幕級数 幕 級 数 Tay10rの 定理 . L'H6pltalの 定理 幕級数 と形式的幕級数 の対応

Popoviciuの

定理

彙α

,b}(2)に

ついて

晨α

,b,c}(η)に

ついて

Popoviciuの

定理

問題1.1.1の考察 Popoviciuの 定理の応用 4.5.l α

=2の

場 合 4.5.2 α

=3の

場 合 4.5.3 α

=4の

場 合

4.6

計算例

兵庫県で,平成

18年

か ら行われている数学理科 甲子園 とい う取 り組み がある。その中で,平 成

23年

に出題 された問題 に次 のようなものがある. 問題 :分数_:,き,:,:,:,:,き ,3,発 を表す板(同一半径の円板 を 2∼10等分 したおうぎ形の板_)がそれぞれ 2,3,4,5,6,7,8,9,10枚 ある。これ らを組み 合わせて

,和

が1よ り小 さ く

_,で

きるだけ

1に

近 い分数 の組み合わせ_(つ まり円板の一部が欠けたお うぎ形で,なるべ く大 きなものを作 る組み合わ せ)を 見つけなさい。 ,,5,…・,loの い くつかで足 し合わせたとき,その和の分母は必ず2,… .,10 の最小公倍数,つ ま り,23.32.5・

7=2520に

とれ るか ら_{,も しも ら},き,…・, 希 の うちのい くつかの和で 景易 を作 ることが出来 るな らば,そ れが求め る最大 となる。そ して,実際に 1 2 2519

+百

+5=2520

とな る こ とか ら_,こ の組 み合 わせ が最 大 を与 えてい る。 ところで_{,こ の よ うに最大値 僕器 の値 をとる和 の組み合わせ を見つ ける} こ とが 出来 たの は,偶然 だ ろ うか。上 記 の問題 を,次の よ うな問題 に発展 させ て考 える。つ ま り_,与え られ た 自然数 αl,.… ,αdに 対 して,そ の最小 公 倍 数 を ν とす る とき, 十 整 αd とな るような非負整数 χl,.… ,χ

dが

存在す るか どうか,ま た

,存

在す るな らばその ようなzl,.… ,χdを 具体的 に求めるアル ゴ リズムを考 える とい う ことを_,本論文の主題 とす る。 このように,本論文の主題は難解なものではなく,特 に具体的にαl,… ,αd が与 えられれば,問 題 自体 は初学者 にも理解で きるような素朴 な整数論の 問題である. 上の問題 に類似 したもの として,Frobeniusの 硬貨交換問題 とい うもの がある。これ は_,額面 αl,α2,一 。,αd円の硬貨 のみが存在す る とき,こ れ ら ２ 一 ７ ＋ １ 一 ６ ＋ １ 一 ５ ＋ 均 一 の ＋ 鉤 一 鈍

１

一

ν

一 〓

3 の硬貨 を組 み合わせ て支払 うことが出来ない最高額 を考察す る問題であ る。その最高額 を αl).… ,αdの

Robenius数

とい う.例 えば

,仮

に

5円

と7 円の硬貨 しか存在 しない とすれば

,11円

や23円 となる組 み合わせ は存在 しない。しか し

_,24円

以上 の額面 となる組み合わせ は常 に存在 し

,5,7の

Frobenius数 は23となる. このFrobёniusの 問題 を考察す る方法 として,形式的幕級数がある。実 際_,指定 された 自然数 の組 αl,.… ,αdに 対 して,そ の和で 自然数 ηを表す 方法の場合 の数 は,あ る形式的幕級数 の係数 を求め る問題 に帰着 で きる。 さらに,形 式的幕級数 を複素関数 と結び付 けることによ り,Frobeniusの 硬 貨交換問題 の考察 に現れる形式的幕級数の計算 は,あ る有理関数 の部分分 数分解の計算に帰着で きる。それによ り,指 定 された 自然数の組 αl,.… ,αd に対 して,そ の和 で 自然数 ηを表す方法の場合の数 を,明 示的な閉 じた式 で表す ことがで きる。例 えば,互 いに素な 自然数 α,bに 対 して,自 然数 ηを αとbの 有 限和で表す場合の数 は, １ 一_％ ＋ １ 一 ２ ＋ ２ 一 励

+:Σ

1=

♂ぞ

―

_Cた

。

₎

:Σ

計

_ ′=1 b-1 十 万 一C′α) ん=1

となることが分かる。ただし

,c=cos等

+づSin等ヽ

O=COS等

十t Sin等 である

.こ

_{こで,実 数}

zに

対 して,″ を超 えない最大の整数 を[π」と表す ことにすれば_,この記号 を用いて上記の式を簡単にすることが出来 る.そ れがPopoviciuの 定理 と呼ばれるもので,それによれば,互 いに素な自然 数 α,わ に対 して,α♂≡ 1(mOd b),ろ が≡

1(mOd

α)と なる自然数 ″,び を とるとき,自然数 ηをい くつかの αとらの和で表現する場合の数は と表 され る. こうした結果 を踏 まえて,冒 頭で述べた主題 となる問題 に話 を戻す。本 論文で は,α l,.… ,α

aが

どの

2つ

も互 い に素で ある と仮定す る。 す る と, α_l,α2,一・,αdの 最小公倍 数 は αl× α2× …・×αdと なる。この とき, 1 生

_{+聖 +…}

₊

α_l α2 α_l× α_2× … ・ × α_a の非負整数解 "1,χ2,…・,″dの存在 の有無 を α

=2,3,4の

場合 について考 察す る. ヽ ｔ ｒ リ

商

一

ｂ

ｒ り ヽ ｔ 一 ｌ ＞ リ

聞

一

α

ｒ り ヽ ｔ 一 ＋ η 一 励 〓 均 一 Ｑ

本章で は,ま ず本論文 のテーマ となる問題 を提起 す る。それ は

,与

え ら れたい くつかの単位分数 の和で

,1未

満のなるべ く大 きな数 をつ くるとい う問題で ある。この問題 に関連す るもの として_{,Frobeniusの}硬貨交換間 題がある。これ らの問題 を扱 うための道具 として形式的幕級数 を定義 し, Frobeniusの 問題 を形式的幕級数 の問題 に書 き換 えてい く.

1.1

和 が

1未

満 とな る最大の組み合わせ

兵庫県で は平成18年か ら兵庫県教育委員会 によ り,数学 。理科 甲子園 とい う取 り組みが行われている.こ の取 り組みは,高校生が数学,理 科,科 学技術等の知識,技 能 を用いて 日常生活 と関連づけなが ら科学的に問題 を 解決するとともに,論 理的に説明することによるプ レゼ ンテーシ ョンを行 い,互 いに切磋琢磨することで科学技術等 に対する興味 ・関心,意欲 ・能 力 を高めることを目的 としている。その数学・理科 甲子園の問題 において, 平成

23年

に次の ような問題が取 り上 げ られた。 分数 _:,き,:,:,:,:,き ,:,発 を表す板 (同一半径の円板 を 2∼10等分 した お うぎ形 の板

_)が

それぞれ 2,3,4,5,6,7,8,9,10枚 ある。 これ らを組み合 わせて

,和

が

1よ

り小 さ く

,で

きるだけ

1に

近 い分数 の組 み合わせ_(つ まり円板の一部が欠けたおうぎ形で_,なるべ く大 きなものを作 る組み合わ せ)を 見つけなさい。 △ ” ︶ ７

Δ

“

︶ “

△

″

第

1章 Frobeniusの

問題 例 えば,き の板 を

1枚

_,:の

板 を1枚

_,:の

板 を

2枚

組み合わせ ると

2=器

=0%器

…

とな る。つ ま りこの問題 は を満た し_,かつ左辺が最大 となる非負整数 α,b,… .,Jを求める問題 と言え

る

.こ

こで

_{,,き,1,:は :,),き,3,島}

のいずれかの正整数倍だから

,

:+;+:+:+希

<1

となるc,∫ ,g,ん,り を考えれば十分である。 一方,6,7,8,9,10の 最小公倍数は

2520だ

か ら,

:+;+:+:+岳

=器

器 × １ 一 ５ ＋ １ 一 ４ ＋ １ 一 ３ ＜ ｊ 一 １０ ＋ ん 一 ９ ＋ θ 一 ８ ＋ ｆ 上 ７ ＋ Ｃ 一 Ａ ︶ 十 α 一 ５ ＋ Ｃ 一 ′ 牡 ＋ ｂ 一 ３ ＋ α 一 ０ る (1・ 1) となる非負整数の組_(α,ら,C,α,C)が存在すればそれが最大 となることがわ かる。実際には

c=1,∫

=2,ク =1,ん =2,を

=2と

すれば 1 2 1 2 2 2519

5+7+百

+5+面

=2520

とな るので,上 述の問題の解が得 られ る。しか しここで新たな疑間が生 じ る。この (1.1)式 の解が存在 したのは偶然なのか必然なのか,ま た解があ るとす るな らその解 を求めるアル ゴ リズムはないのだろ うか。つ ま り次 の ような問題 を考 えたい. 問題 1。 1。

1自

然数 α_l,α2,一 。_,αdの 最小公倍数 を ν とす る。この とき ν -1 となる非負整数 πl,″2,…・,χ

dが

存在するか。また,存在 の判定法及び解 を 見つ けるアル ゴ リズムは存在す るのか. 本論文の 目的はこの問題1.1.1に対 して部分的な解決 を与 えることであ る

.具

体的 には,αl,α2,…・,α

dが

どの2つについても互 いに素である とし て,α

=2,3,4の

場合 を考察す る. ν 〓 均 一 Ｑ ＋ ＋ 均 一 の ＋ 鉤 一 Ｑ

ところで (1.1)式 の両辺 に2520をか ける と,

504e+420∫

+360g+315ん

+280」

=2519

(1・

動

とな る。つ ま り (1.1)式 は,(1.2)式 を満たす非負整数 の組 (θ,∫,g,ん,づ

)が

存在す るかを考 える問題 になる。(1.2)式の ような正整数係数 の一次方程 式の非負整数解 に関す る問題 として ■

obeniusの

硬貨交換 問題 が ある. Frobeniusの 硬貨交換問題 とは,正 整数 αl,α2,…・,αdに 対 して額面が αl円, α2円,… .,α_{d円 の硬貨のみが存在す るとき},こ れ らを用いて支払 えない最 高額 はい くらか を考察す る問題である.1 Frobeniusの 硬貨交換問題 を数学的 に述べ るために,基本的 な事柄 も含 めて用語 を確認す る

.以

下,自 然数 とは正の整数の こととし,自 然数 の集 合 を

Nと

表す。また,非 負整数 の集合 を

NOと

表す. 定義 1.■.2α,ろ を整数 とす る.bが αの倍数であるとは

,b=α

ιとなる整数 ιが存在す ることである。 整数

bが

整数 αl,α2,… 。,αdの倍数 であるとき,bを αl,α2,―・,αdの公倍 数 とい う。αl,α2,…・,αdの 正の公倍数の うち,最 小の公倍数 を αl,α2,… ,αd の最小公倍数 といい,lcm(αl,α2,…・,αa)と表す. 定義 1。1.3α ,bを 整数 とす る。

bが

αを割 り切 るとは,α =bた となる整数 た が存在す ることである。この とき、bを αの約数 とい う。特 に全ての整数 は0を割 り切 る

.以

下,た が αlを 割 り切 ることを たlαlと 表す. 整数 たが整数 αl,α2,…・,αdすべて を割 り切 るとき,た を αl,α2,… 。,αdの 公約数 とい う.α_l,α2,…・_,αdの 公約数の うち,最 大の公約数 を αl,α2,…・,αd の最大公約数 といい,gcd(αl,α2,…・,αa)と表す。 定義 1。

1.4自

然数 の集合

A={α

l,α2,一・,α

d}お

よび η∈

Nに

対 し,η が ■で表現可能である とは, η

=mlαl+m2α2+…

・

+mdα

a となる非負整数 ml,m2,・ …,鶴

dが

存在す ることである. 定義 1。1.5 gcd(αl,・ …,α

d)=1で

ある自然数 αl,.… ,αdに 対 して,αl,.… ,αd で表現可能でない最大の 自然数 を αl,.… ,αdの

Frobenius数

という。 lα

_=2に

_{対 す る} Fl・obeniusの硬 貨交換 問題 の結果 は定理 4.4.5に 示 してい るが,α≧ 3 にお けるFrobeniusの硬 貨 交換 問題 は α

=2の

場 合 と比 べ て各段 に難 し く,広く未解決 で あ る

第

1章 Frobeniusの

問題

7

つ まりFrobeniusの 硬貨交換問題 とは与えられた自然数の集合{αl,… ,αa} に対す るFrobenius数を求める問題である。しか しFrobenius数の存在 は 明 らかで はないので,次節で Frobenius数 が存在す ることを示す.

1.2

■

obenius数

の存在

gCd(αl,α2,・

…

,α

a)=1の

とき

{α l,α2,・

…

,αd)の Frobenius数

が存在す

ることは_,次の命題 を示せ ば十分である. 命題 1.2.l gcd(αl,α2,一・,α

d)=1で

ある自然数 の集合 ス

=(α

l,… .,αd) に対 し,あ る_A/」 ∈

Nが

存在 して ν 以上の 自然数 はすべて

Aで

表現可能 である. 命題1.2.1を証明す るために,以 下の準備 をす る. 補題

1.2.2 gcd(P,9)=1で

ある自然数P,9に対 し,0,9,29,… 。

,(p-1)gを

ρで割 った余 りは全て異なる. 証明

0≦

ι

<鶴

<ν かつ ι_9≡ 鶴

_{9(mOd P)と}

な る自然数 ι

,mが

存在す ると仮定す る と

,(m―

:)9は

_Pで

割 りきれ る.P,9は 互 い に素で あるので

(m―

:)は

_Pで

割 りきれ るが これは仮定(π 一ι

)<pに

矛盾.ゆえに補題 1.2.2は成立

.

□ 補題

1.2.3 gcd(p,9)=1で

ある自然数P,9に対 し,あ る ν

cNが

存在 し て ν 以上の任意 の自然数 は

P,9で

表現可能である. 証明 0,9,29,…

.,(p-1)9は

P,9で表現可能であ り,か つそれぞれが

p9未

満である

.ま

た補題 1.2.2よ _{りρで割 った余 りがそれぞれ異な る}

.よ

って

P9以

上の任意 の 自然数 ηに対 し,η ≡ Ⅳ (mod p)かつ Ⅳ

<p9を

満た し P,9で表現可能な 自然数 Ⅳ が存在す る。(実際

0,9,29,_:,(p-1)9の

うちp で割 った余 りが ηを

pで

割 った余 りと等 しいものを Arに 選べ ばよい.)ゆ

えにη

=Ⅳ

+pS(SCヽ

と表せるのでηは

P,9で

表現可能である

.つ

ま

り

,p9以

上 の任 意 の 自然数 は

P,9で

表現 可能 で あ る

.

□ 系 1.2.4 gcd(P,9)=αで あ る 自然数P,9に対 し,あ る ν

cNが

存 在 して, Aイ以上 の αの倍 数 は2,9で表現 可能 で あ る。

証明 gcα

(P,9)=dよ

り

p=グ

,9=α

グ とお くとP′,グ は 自然数 で, gCd(p′_,ゲ

)=1と

な る

.よ

って補題 1.2.3か らあ る 自然数 ν′が存在 し て

_,ν

′以上の任意の自然数 はp′_,グ で表現可能である.こ こで αν′

=ν

とお き

,M以

上かつ

dの

倍数である自然数 ηを η=αsと 表す_(s∈ N)・ こ の ときη≧ ν よ りごs≧ αν′である。αは自然数だか らs≧ ハイ′である。ゆ えに

sは

_ノ,￨′ で表現可能 となるので

,s=ノ

α+g′b(α,b∈ No)と表せ る。 したがって ご

s=ф

′α+α9′

b=pα

+9bで

ある。よって αの倍数で ν 以上 の自然数 は

P,9で

表現可能である。

□ 補題

1.2.5自

然数 鶴,ηに対 して m,η の公倍数 は 鶴,ηの最小公倍数 の倍 数である. 証明 Ⅳ を m,η の最小公倍数 とし

,Mを

m,η の公倍数 とす る。ここで ν が正 としても一般性 を失わない

.ν

が Ⅳ の倍数でない と仮定す ると,自然 数

Tと

0<υ

<Ⅳ

なる自然数 υを用いて ν

=_7vT+υ

とおける

.ν

)Ⅳ は π,η の倍数 なので,υ

=ν

一Ⅳ

Tよ

りυ は m,η の公倍数である。こ こで

0<び

<Ⅳ

よ りⅣ の最小性 に矛盾.ゆ えに補題 1.2.5は成立

.

□ 補題

1.2.6自

然数 αl,α2,…・,αdよ に対 して たl gCd(αl,α2,…・,αd)で あるこ とは,た が αl,α2,…・,αdの 全て を割 り切 るための必要十分条件 である. 証明 gcd(αl,α2,…・,α

d)=mと

お く・ (十分性 の証 明)た1鶴 と仮定 して 鶴=たc(c∈

Nと

お く・gcd(αl,・…,α

a)=

mよ

り

_,任

意 の を

_(1≦

づ≦ α_)に対 して α

,=π

bj(b二 ∈ ヽ とな るか ら α

j=た

cbJであ る。よって たlαjが成 り立つ. (必要 性 の証 明

)任

意 の を_(1≦ を≦ α)に 対 して たlαぅと仮 定 す る。 こ の とき_,gcd(αl,α2,・ …,α

a)=η

よ りmlαこで あ る

.よ

って αをは たと

mの

公倍 数 で あ るか ら,補題 1.2.5よ り

Qは

lcm(た

_,m)の

倍 数 で あ る。つ ま り lCm(た

,m)は

α_l,α2,・ …,αdの公 約数 で あ る。 こ こで,lcm(た

,m)は

mの

倍 数 だ か らlcm(た ,鶴)≧ η で あ るが,lcm(た

,m)>mと

す る と 鶴 の最 大性 に矛盾.したが つてlcm(た

,m)=mよ

りた

_lmで

あ る

.

□ 補題

1.2.7自

然 数 αl,α2,・ …,αa,αa+1に 対 し, gCd(gCd(α_l,α2,一・,αd),αd+1)=gCd(αl,α2,一・,αぁαd+1) が成 り立つ.

第1章

Frobeniusの

問題

9

証明 たを自然数 とする。この とき,補題1.2.6よ りた_lgcd(αl,α2・ …,αイ),たlαa+1 であることは たlαl,一,たlαd,たlαd+1で あることの必要十分条件 である。し たが って補題1.2.7は成 り立つ

.

□ 命題 1。2.8 gcd(αl,α2,一・,αた

)=α

である自然数 αl,α2,…・,αた(た ≧ 2)に 対 し,あ る ハイ

cNが

存在 して,αの倍数で ν 以上の自然数 は αl,α2,・ …,αた で表現可能である. 証明

2以

上の 自然数 たに対す る数学的帰納法で証明す る。 (1)た

=2の

とき 系1.2.4よ り成立. (2)た

=s(Sは 2以

上の 自然数)の とき命題 1.2.8が成 り立つ と仮定す る . た

=s+1の

とき gCd(αl,α2,・ …,α

s)=α

,gCd(αl,α2,・・,αs,αδ

+1)=α

′ とお くと補題1.2.7よ り♂=gcd(α,αs+1)で ある.よ って系1.2.4よ り, M′

cNが

存在 して,M′ 以上のd′ の倍数 は αとαs+1で 表現可能 (1.3) である。また,帰納法の仮定か ら A/f∈

Nが

存在 して ハイ以上の αの倍数 は αl,α2,… _"αSで 表現可能 (1.4) である.こ こで ν″

=ν

′十dν とおき,ν″以上の♂の倍数はαl,α2,…・,αs+1 で表現可能であ ることを示す。実際

,ν

″以上の α′の倍数 を η″とすると, η″― αν ≧ ν″―αν

=ν

′である。 また

dも

η″も ♂ の倍数 だか ら η″一 α』イは ♂ の倍数 である。 よって(1・3)よ り

,非

負整数 ∬,ν を用 いて げ′―αν

=″

α+ν αs+1と 表せ る.つま り η″

=(M+″

)α+ν α

s+1 (1・

5) である.さ らに α∈N,″ ≧0よ りα_(1イ +π)≧ Лイだか ら(1.4)よ り非負整 数 ■1,"2,・ …,χsを 用 いて (ハイ+Z)α

=χ

lαl+"2α

2+…

・+″sαs とな る.した が つて (1.5)式 ,(1.6)式 よ り (1.0 η′′

=∬

lα

l+χ

2α

2+…

・+χsα

s+ν

αs+1

となるので

,A/f″

以上の♂の倍数η″は

{α l,α2,・

…

,α

ぉ

,α,+1}で

表現可能で

ある

.す

なわちた

=s+1の

場合も成り立つ

. (1),(2)よ り,た が

2以

上の 自然数 の とき命題 は成 り立つ. □ 命題 1.2.8に おいて,α

=1と

すれ ば命題 1.2.1が 成 り立つ

.よ

って, ■obenius数 の存在が証明 された。 ■obeniusの 硬貨交換問題 において硬貨の種類が多い とき,与え られた 硬貨の種類 αl,α2,一 ,αdに 対 して,Frobenius数を求めることや,与え ら れた 自然数 Ⅳ を表現す る方法が何通 りか,つ ま りⅣ

=鶴

lα

l+…

・

+π

dαd となる (ml,… ・

,nd)の

組 の数 を求めることは非常 に難解であ ることが知 られてい る。しか し,硬貨が

2種

類 または

3種

類 の場合,与え られた数 Ⅳ を表現す る方法の数 は明示的な閉 じた式で求めることがで きる

.特

に

2種

類 の場合 に関 して は

,Popoviciuの

定理 によって非常 に簡単 に求め るこ とがで きる.こ ういった硬貨の種類が

2種

類

,3種

類 の場合 については

4章

以降で考察す る.

本論文ではこれら

Frobeniusの

硬貨交換問題の結果を応用し

,先

に挙げた

問題

1.1.1に

ついて考えたい。

そのためにまず

,こ

の章の後半では

Frobenius

の硬貨交換問題を形式的幕級数の問題として書き換える。

1。

3

形式的幕級数

Cを

複素数 の集合 とす る. 定義 1.3。

1以

下zを不定元 とす る.数列 (%)胆0(αづ∈

C)に

対 して

Fレ

)=Σ

Qノ =α

o+α lz+α

2Z2+…

づ=0 とい う形式的な式 を考 える。(1.7)式を不定元

zの

形式的幕級数 とい う。こ の時点で形式的幕級数 とは数列の単なる表記法の一つにす ぎず,級 数や極 限で はない ことをことわ ってお く

.そ

のため

,zに

具体 的な数 を代入す る ことは当面考 えない こととす る. 以下_,形式的幕級数 と関数 を区別す るために,不 定元

zの

形式的幕級数 を F(z),G(Z),〃 (Z),一・,ま た _,zを 変 数 と す る 関 数 を ∫(z),g(Z),ん(Z),… とい うよ うにそれ ぞれ 大 文 字,小 文字 で表記 す る こ とにす る. (1.つ

第1章

Frobeniusの

問題 全ての形式的幕級数 の集合 を と表 す

.2つ

の形 式的幕級数

Fレ

)=Σ

Qノ

,α

→=Σ ♭

`Z. t=0 を=0 について これ らが等 しい,つ ま り

F(z)=θ

(Z)で ある とは,任 意 の を∈閻 について α

_t=bJが

成 り立つ ことである。

定義

1。3.2 CIレ_]]の

元どうしの加法

,乗

法を次のように定める。 まず

, F(Z),G(Z)を _{C[レ ]]の}元 と し 。 F(Z)=Σ _{鷹 。}α:Zを 'C(Z)=Σ 胆 ObぅZ。 と お く. この ときF(z),C(Z)に 対 して,

1.F(Z)と

_{θ(Z)の 和 を}

FO)+GO)=Σ儘

+bめZ多 を=0

2.数

列

{pπ}凝0を Pれ

=Σ

肛

0%bれ

一

。として

F(z)と

σ

(Z)の

積を

Fレ

_)θ

レ

)=Σ

■

Z t=0 と定める。 こ の と き_{,F(Z)+θ (Z)=θ (Z)+F(Z),F(Z)θ} (Z)=σ (Z)F(Z)が 成 り 立 つ こ とは明 らかで あ ろ う. 多項 式

P(z)=α o+αlZ+―

・+αηZれ は_,(η

+1)次

以 上 の項 の係 数 を0 と考 える ことに よ り,形式 的幕級数C[レ_]]の元 と考 え る こ とが で きる。そ して2つの多項 式 について,そ れ らを多項 式 と して和,積を とった もの と, それ らを形 式的 幕 級 数 と して和,積を とった もの は一致 す る。この よ うに 形 式的幕 級 数 同 士 の演 算 は,多 項 式 同士 の演算 の拡張 と言 え る. 定理 1。

3.3F(z),θ

_(Z),∬(Z)を

zの

形 式 的 幕 級 数 とす る と き

,次

が成 り 立 つ. ヽ １ ＞ ︰ リ Ｃ ∈ α Ｚ α ∞ Σ 祠 ／ １ Ｉ ノ ヽ_︰ ︱_、 〓 Ｚ Ｃ

1.

F(Z)+(G(Z)+∬

(Z))=(F(Z)+G(Z))十

〃

(Z) (1・

8) 2. F(z)(G(Z)∬ (Z))=(F(Z)θ (Z))∬(Z) (1・ 9) 証 明 F(z)=Σ 経 O αjZt,θ(Z)=Σ 延Obノ ,〃 (z)=Σ 鷹 。CtZJと お く・ 1.

Цa+じレ

)+〃 lzl)=Σ

Qノ

+Σ

偽

+の

ノ

:=O t=0

=Σ

_E幌

十

bを

+の

メ

t=0

=Σ は

+bDノ

+Σ

Qノ j=0 '=0

=(F(Z)+θ

(Z))+ff(Z) ＼ 、 ︲ ′ ノ π Ｚ ＼ ｌ ｌ ノ 一 π Ｃ ｂ η Σ 同 ／ ′ ︰ ヽ ＼ ∞ Σ 祠 ／ ′ ′ ︰ ︲ ︲ ヽ 、 ヽ 、 ︲ ′ ／ Ｚ α ∞ Σ 同 ／ ′ ！ ヽ ヽ る     〓

¨ ″

 一和

＜・・８＞式︲ま

_・口

 岬

り     ９ よ   に ２

ここでΣ

l=Obん

ら ん

=pπ

とおくと

′       ′

∞

_Σ

Ｔ

Σ

Ｔ

Σ

Ｔ

Σ

祠

一 一                                        _一 一                                     一 一                                          一 一 Ｚ ∬ Ｚ θ Ｚ Ｆ

13 第1章

Frobeniusの

問題 次 に (1.9)式 の右辺 を変形す る。 ヽ 、 ︲ ′ ／ Ｚ Ｃ ∞ Σ 画 ／ ′ ︲ ｌ ＼ ヽ 、 ︲ ′ ／ ヽ 、 ︲ ′ ／ η Ｚ 一 π ム υ α

羹

朦

／ １ １ 、   と 一 一       ％ ａ     〓

Ｈ

 

 

赫

レ       録

ｒ

 

 

〓

ｏ

時

 

Σ

ｒ ヽ     で こ こ の □ せ わ ︿ 口 み 組

′

 

 

 

′

 

 

 

 

 

 

轟



 

_橘

 

 

 

 

 

く・

硫一 

裁 

  

 鳴

０                           そ ″                             は

ｍ  

   

   

  悧

Ｆ                               ｚ ＜                                 て つ よ ア ﹂ 題   １ ． 命 を0と表 す 。この とき

F(Z)+0=0+F(z)=F(Z)

が成 り立 つ.

2.Σ

_凝。

(―C)ン

を

一F(Z) と表 す。この とき

F(Z)+(―

F(Z))=0

が成 り立つ. 3.F(z),G(Z),∬ (Z)CC[[Z]]と す る。この とき F(Z)(G(Z)+〃 _(Z))=F(Z)θ (Z)+F(Z)〃 (Z) (F(Z)+θ (Z))∬(Z)=F(Z)Jf(Z)+θ (Z)rf(Z) が成 り立つ. 4.α_。

=1か

つ α

O以

外の係数 の項 が全て

0に

な る形式的幕級 を 1と 表 す。この とき F(Z)・

1=1・

F(z)=F(Z)

が成 り立つ.

ここでは詳細は述べないが

,命

題

13.4は

CIレllが

“環

"と

なることを

示 して い る。

1.4

形式的幕級数 の逆元

多項式同士の積では次数が増加す ることはあつても,減少す ることはな ぃ。しか し,形 式的幕級数で は減少す る場合がある.例えば, (1-Zα )(1+Zα +Z2α

+.…

)=1

(1・1の が成 り立つ.実 際,(1.10)式 は以下 の ように積 の各次数 の係数 を計算する ことで確 かめ られ る。 (1-Zα )(1+Zα +Z2α +.…

)=1+(1-1)Zα

+(1-1)Z2α +.…

=1 定 義 1。 4。

lF(z)∈

CllZ]]に 対 し て,F(Z)θ

(Z)=1と

な る σ(z)∈ CIレl]を F(z)の逆 元 とい い F(Z) 1

と表す。

ただし

,CI[ヨ]の

全ての元に対して逆元があるわけではない

.

第

1章 Frobeniusの

問題 定義1.4.1よ _{り(1.10)式 は次 の ように表 され る。} (1-Zα

) 1=1+Zα

+・ …

(1.11)

補 題

1.4.2F(z)=Σ

_鷹。αじZを C Clレ_l]とす る。 この と き

,F(Z)が

逆 元 を もつ た め の 必 要 十 分 条 件 は α。≠

0で

あ る。 証明 (必要性の証明

)F(z)G(Z)=1を

満たす σ

(z)=Σ

鷹0仇´ ∈CIレl] が存在すると仮定すると,

F(Z)G(Z)=α obo+(α obl+α lbO)Z+(α ob2+α lbl+α 2bO)Z2+.…

=1 よって αob。

=1よ

りαO≠

0で

あ る. (十分性 の証 明)α。≠0と仮 定 す る

.G(z)=Σ

延。btZtが F(z)θ

(Z)=1

を満 たす ためのb。 の条件 は αOb。

=1 (1.12)

αObl―十αlbO―

_0

α_{Ob2 +α}lbl―■α2bO 0 αobん +αlbた

_1+…

・

=0 (1・

13) で あ る。ここで(1・13)式 において,bた の係数 は α。で あ り,そ れ以外 の G(z) の係 数 はb。_,bl,.… ,bた 1が現 れ る.よ って(1・12)式 か ら順 に

bO=上 ,bl

α

lb0 α0 0o

と

_,全

ての式を満たすように

bん_(た=0,1,… )を

定めることができる

.□

系

1。

4.3F(z)∈

CIレ]]に

対し

,F(z)1が

存在すればただ

1つ. 証 明 F(z)θ (Z)=F(Z)∬ (Z)=1と な る θ(z)=Σ 鷹Ob,Zを,〃(Z)= 15

Σ程。

QZづ

が存在すると仮定すると

,

αob。 __α

OQ

αObl―■αlbO__αOcl―+αl C0

(1・

10

(1.15) α_Obん +αlbた

_1+.…

=αOCん +αlCた_1+・ … である

.補

題1.4.2よ りαO≠

0で

あるか ら,(1.14)式 において

bO=c。

が 成 り立つ。次 にb。 =c。 を (1.15)式 に代入す ると,同 様 に して

bl=clが

成 り立つ.し_{たが って (1.14)式 か ら順 に}

bO=cO,bl=Cl,.…

を代入 してい く と,仇 =Cづ(づ ∈No)となる.よって θ

(z)=〃

(Z)で ある。

□ 1。

5

形式的幕級数 と■

obeniusの

問題

定義 1.5。

1自

然数の集合 ス=(αl,α2,…・,α

d}と

η∈

NOに

対 し,

L(2):=#{(鶴

1,m2,・ …,鶴d)∈ NOdl鶴lα

l+m2α2+…

・

+π

dα

d=η

} と定める。つまりF資_(η)とは,ηが/1で表現可能でないとき0で あ り,ηが ス で表現可能な ときその表現の場合の数,つまり mlα

_l+m2α2+…

・

+mdα d=η

を満たす (ml,m2,… ・

,ma)の

組 の総数である. 命題 1.5。

2自

然数 の集合 ス=(αl,α2,… ,αa)に 対 して,次 が成 り立つ.

Σれし

)Zn=け

zQ)1←

―

Zの

)1-←

―

ZQ)1

れ=0 証明

1≦

た≦

dの

各 自然数 たに対 して

い一

Zり

1=Σ

月

ウ

ニ₌₁ とお くと, (1-Z° 1) 1(1-Zα 2) 1._(1-Zα a) 1 (1・

10

Ｚ ｄ   ａ ｐ ∞ Σ 脚 Ｚ ｐ ∞ Σ 卿

ρ

∫

:)Z'1

∞

Σ

［

∞

Σ

祠

一 一       〓

_武甍

P

π Ｚ ヽ ︱ ︲ ︲ ′ ノ ハ リ ｄ ｐ ,'aCNo +を_d=0

第

1章 Frobeniusの

問 題

17

を得 る。こ こで(1・11)式よ り (1-Zαん

) 1=1+Zα

た+z2α た+.…

(1・

17)

である

.よ

ってρ

∫

°は

孤

た

)={: ￨:l::￨:[:》

は

な

い

) である。したが つて

Σ

武甍

P一

月

P

'1,'2,―,taCNo '1+ +'d=2 d

=#{ILめ ,…

り∈

NodttP=lo=1,a…

っの

,Σ

れ

=η

} λ=1 d =#{(づ1,j2,一

・

,づd)∈ NOdlづ

た

=α

λ

mた(∃

鶴た∈

NOユ

=1,2,… .,α

),Σ

を

た

=η

} た₌₁

=#{い

1,m2,一

。

,鶴d)∈ NOalmlα

l+m2α 2+… ・十

mdα

d=2)

=み

(2) □ とな る.

L(η

)を 求 め る問題 は形 式的幕級数 として

,(1-Zα

l) 1.… (1-Zαa) 1 の係数 を求 め る問題 にな った.こ _{の (1.16)式 か ら′}2(η)を ηに よって 明示 的 に示 す式 を求 めた い。そのた め には形 式的幕級数 と して扱 って い るだ け で は不十 分 で,こ の Σ 准 。ね (η)Zれ を “解析 関数 "と して捉 え る必要 が あ る.そこで ,次 章 で解析 関数 について考察 す るこ とにす る.

第

2章

複素関数

素菖豪軍塚

:姦

碁膏理留

[ζ

lこ￡翼抒

]1:ま

[R、

よ

rft倉

言理畠褒 を扱い,P/1(η)の 値 を求め るための準備 として,任意 の有理関数が特異部 と定数 の和 に部分分数分解で きることを示す。

2.1

解析 関数

まず

,Cか

ら

Cへ

の写像 ∫(複素関数)について考 える

.な

お,こ こでは v⊆1を をと書 くこととする

.z=χ

+を_ν∈

Cに

ついて ∫(Z)は ∫

(z)=R￡

(∫(z))+jlm(∫(Z)) というように実部 と虚部に分けて考えることができる.このとき,Re(∫(z)),Im(∫(Z)) はともにzの関数,つまり,zの実部 πと虚部νによって定まるか ら,Re(∫(z)),Im(∫(Z)) をそれぞれ 鶴(π ,ν ),υ (χ ,υ)と して, ∫(″

+り

)=υ

(",ν)+υ(",ν)j と書 くことができる.こ のように複素関数は2つ の

2変

数関数 と考 えるこ ともできる. 以下

,zは

複素数の値 をとる変数 として用いる。 定義 2.1.1∫ を

Cか

ら

Cへ

の写像 とし,α ∈

Cと

する。ただ し,∫ は

C

全体で定義 されている必要 はな く

,z=α

の近 く

(z=α

を中心 とす る ある円板上_)の

z=α

以外の点で定義されていていればよい。この とき, ∫(Z)が

Z=α

で極限値

AcCを

もつ とは,任意の正数cに対 し,ある正数 δが存在 して, z≠ αの とき_lz― αl<δ ならば￨∫(z)― ス

￨<C

第

2章

複素関数

19

を満たす ことである。この とき,極限値 スを lim/(Z) と表す。 定義 2.1.2∫ を

Cか

ら

Cへ

の写像 とする

:た

だ し,ノ は

C全

体で定義 さ れている必要はな く,ある

R>0に

ついて

lzl>Rの

範囲で定義されてい ればよい。この とき,∫(Z)が

Z=∞

で極限値 ス

cCを

もつ とは,任 意の 正数6に対 し,ある正数

Dが

存在 して,

lzl>Dの

とき￨∫(Z)―ス

￨<(

を満たす ことである.この とき,極限値 スを

hm∫

_(Z) z―,00 と表す. 定理 2.1.3ノ,ク を

Cか

ら

Cへ

の写像 とし,α ∈

Cと

する.∫(z),θ(Z)の

z=α

における極限値が存在するとき,極限値の演算について次が成 り立 つ_(α は∞ でもよい). 1.limz→_α(∫

_(Z)+g(Z))が

収束 して limz→α(.′(Z)+θ

(Z))=hmz→

α∫(Z)+limz→αg(z)が成 り立つ . 2.limz→_{α(∫(Z)g(Z))が}収束 して

limz→α(∫(z)g(Z))=limz→α∫(Z)limz→αθ(Z)が成 り立つ.

3.hmz→

α

∫

レ

_)≠ 0の

とき

,hmz→

α

器が収束して

hmz→

α

_;需

=器

究詈

_8が

成り

立つ。

証明は省く

.詳

しくは

_Plを

参照

.

定義

2.1.4∫

を

Cか

ら

Cへ

の写像とし

,α

∈Cと する

.∫(z)が

Z=α

で

連続であるとは

,∫(Z)が lim∫_(Z)=∫(α) z→α を満 たす こ とで あ る.

定理 2.1.5∫ を

Cか

ら

Cへ

の写像 とし

,z=″

+ν

り_,(■,ν ∈ 叫 α

=

α+bj(α ,b∈

R)と

する。∫(″ +づν

)=鶴

(π ,υ

)+υ

(π ,ν)づ が

Z=α

で連続で あるための必要十分条件 は,υ(χ ,ν ),υ (・ ,ν)が ともに(α,b)で連続である ことである。

証明は省く

.詳

しくは

p]を

参照

.

定義

2.1.6∫

を

Cか

ら

Cへ

の写像とし

,α

∈Cと する

.

∫が

z=α

で微分係数αを持つとは

,

α

=lim」

(Z) ∫(α) Z→α Z― α となることである.こ の とき αを

点のま

日ま

_勇o

と表す. 定義 2。1.7α

cCと

する。αの近 くで定義された複素関数 ∫(z)が

Z=α

で 解析的であるとは,∫(Z)の

z=α

における微分係数が存在す ることであ る

.ま

た_,χ ⊂

Cに

対 して χ 上で定義された複素関数 ∫(z)が χ 上の解 析関数であるとは,∫(Z)が任意の α∈χ で微分係数 をもつことである. 定義

2.1.8C上

の複素関数 ∫が解析的のとき,各

zに

_∫の

zで

の微分係 数を対応 させ る関数を

∫

′

(z)ま

たは

と表し

,∫

の微分または導関数という。

∫″(z)または と表 し,∫ の第二次導関数 という。一 数を

∫

(π)(Z)ま

たは

(携

)π

∫

(Z) と表 し,∫ の第 η次導関数 とい う。特に ηが

2以

上の導関数 を高階導関数 という。さらに η

=0の

ときは

∫

(°)(Z)=∫ (Z) 関 素 複 る き を         で

加

︺

矛

ψ

／ １ ヽ 、 脚 とする.

第

2章

複素関数

21

補題 2.1。

9χ

⊂

Cと

し,∫をχ から

Cへ

の写像 とする。このとき,∫がα∈ χ で解析的な らば ∫は α∈

Xで

連続である. 証明 lim∫(Z)一∫(α

)=α

Z→α Z― α とお くと_(α は複 素数),

魁げ

②―

∫

0)=魁

_{牛をメレー}

の

=lim∫

(Z)一

∫

(α

】

lim(z_α) Z→α Z― α Z→ α

=α

・0

=0

となる

.よ

って

limz→

_α∫

_(z)=∫

(α)よ

り

,∫(z)は

Z=α で連続である

.□

定理

2.■

。

10χ

⊂Cと し

_,∫,ク

をχから

Cへ

の写像とする。∫

,gが

どちら

もχ上の解析関数であるとき

,次

が成り立つ

. 1.∫ (z)土 g(z)は

解析的である

. 2.∫_(z)g(Z)は

解析的である

. 3.g(z)≠

0の

とき

_,あ

は解析的である

.

証明

α∈

Xと

する。

1.

=(Ψ

+T)

魁

_(1今

嚢響

+壁

_笑挙

2)=兜

Ψ

+兜

禦

=∫

′(α)+g′(α) なス理 ∫

(Z)+g(Z)の

z=α

での微分係数は存在 し,任意のz∈ χ に (∫(Z)+θ(Z))′

=∫

′ (Z)十ク′(Z) が成 り立つ.(∫_{(Z)― ク(Z))′} についても同様.

2.

つ

０

∫

0ズ

の一∫

090=Д

agO―

∫

oズ

の

+∫

0ズ

の一∫

Og0

Z一 α Z α

=(Ψ

嗣

+禦

バ

_→

で あ る。こ こで_,補題2.19よ り

魁∈等努⊇

gO+θ

°

ズ

の

∫

lal)

=魁

_Ψ

_ttgO+魁

髪

=響

兜∫

lal =∫

′

(α)ク(α)十g′(α)∫(α)

よつて

.f(Z)g(Z)の

z=α

での微分係数は存在し

,任

意の

z∈

χにつ

い て (∫(Z)ク(Z))′

=∫

′ (Z)g(Z)+∫(Z)ク′(Z) が成 り立つ. z― α

_(Z―

α_)θ(Z)g(a) ,(Z)一 θ(a)

ク

(aズ

α

) で あ る。こ こで,定理 2.1.3(3)よ り _θレ)一,(a) limz→ α―訃

魁 π 能 ァ

=hmz→

α

gOglal

一g′_(α) (g(α ))2 よって デ万の

z=α

での微分係数 は存在 し,ク

(z)=0と

なるzを除 く任意 の z∈ χ について

(あ

)′

=″

□ が成 り立 つ。

あ―満

gし

)一

ク

レ

)

第

2章

複素関数

23

系 2.1。

1l

χ ⊂

Cと

し,∫,gを χ か ら

Cへ

の写像 とする.∫,ク が どち らも χ 上の解析 関数 である とき,次 が成 り立つ。 1・

湯

_(∫(Z)土 g(z))=∫

′

(Z)土g′(z)

2.湯

_{(∫(″)ク(Z))=∫}

′

_{(Z)g(Z)+∫(Z)g′}(Z)

3.務

_満

_=覇

_券欽∫

(Z)≠

0の

範囲で成り

立つ

.) ところで,複 素関数 ノ

("+り

)=Z(χ

,ν

)+υ

(χ ,ν)を とい う表示について 考えると,定理2.1.5から,包(χ ,ν ),υ (χ ,ν)が それぞれ連続ならば ノ(π十づν) も連続であった。しか しなが らυ(χ ,ν ),υ (π ,ν)が%,ν で微分可能であって も

,必

ず しも ∫(″ +づν

)が

解析的であるとは限 らない.υ(χ ,ν),υ(",ν

)が

χ,り のそれぞれについて微分可能であるが,ノ(″+をν)が解析的でない例 を 以下に示す。 例

2.1.12複

素関数 ∫(χ +jν

)=Z(χ

,ν

)+υ

(″ ,ν)を に対 して し(π ,ν

)=

"2,υ(%,ν

)=ν

2と_{する。この とき} ,υ(χ ,ν),υ(",ν)は ",ν について微分可 能であるが,∫(″ +をν)は α≠bなる α=α+bり において解析的でない. 実際にこれを確かめるために,ん

=π

+νj,α

=α

+bjと

お く。∫の

z=α

での微分係数 を考える.

∫

(α+ん)一

∫

(α) (2.1) α+ん ― α

αα

+→ 2+●

十の

2の

_02+b句

″+νを (2αχ

+"2)+(2bν

tt ν2)j "十 νZ _((2αχ+χ2)十 (2bν +ν 2)づ )(χ ― νを)

(″

+νづ_{)("一 ν}J) _(2α

_"2+π

3+2bν

2+ν

3)+(2b″ν+"ν

2_2α

″ν一 ″2ν)を ∬

2+ν

2 上 式 を用 い て,(π,ν)を (0,0)に近 づ け る 方 法 と して 次 の

2つ

を考 え る と χ=0,ν →

0の

と き

∫

(α

+0+υ

づ

)一

∫

(α)

=:咄

Ψ

=2b

︲ｉ ｍ仰

●・

動

(α

+0+ν

j)一 α

ν=0,χ →

0の

とき

鳳 畿 ポ ギ 鏃 穿

生

=鳳

墜

宇

旦

=2α

O.助

となる。ここで定義

2.1.2と

定義

2.1.7よ

り

,∫(χ+jν)が

Z=α

で解析的で

あるならば

,lχ +νJIが

十分

0に

近いとき

(2.1)式

は

1つ

の値に近づかなけ

ればならない。しかし

(2.2),(2.3)は,α

≠

bの

とき

(2.1)式

が

1つ

の値に

定まらないことを示している。つまリノ

(%+jν )の

_"+り

=α +bjに お

ける微分係数は存在しないことになる

.し

たがつて複素関数 ∫

("十 jν)は,

α≠

bと

なるα

=α

tt bjに

おいて解析的でない。

このように

,複

素関数は微分係数について考えると,2つ の2変数実関

数とは本質的な違いがでてくる

.解

析関数は

,実

部と虚部が微分可能なだ

けでなくそれ以上の性質を有しているのである

.

定理

2。 1。

13η 回微分可能な複素関数

1ノ(z),g(Z)に

対して

,次

が成り立つ。

た だ し0≦ た≦ ηとな る た,η ∈

NOに

対 して (1)は

2項

係 数 で (l)=満 である. 証明 数学的帰納法で証明す る。 (1)η

=1の

とき よって η

=1の

とき_,命題 は成 り立 つ. (2)η

=鶴

のとき命題が成り立つと仮定する

.(π

∈ヽ

ｇ 一 れ ∫ ＼ ｌ ｌ ノ η   た ／ ′ ︰ ヽ ＼ り Σ 同 〓 ｇ Ｆ Ｊ π ヽ １ ， ノ

α

一

ル

／ ｌ ｌ ＼ ｇ 一 ∫ ヽ ｌ ｌ ノ ー た ／ １ ＼ ・ ▼ ん 同 〓 ｇ ∫ ＋ ク ∫ 〓 θ ∫ ヽ ︱ ′ ノ α 一 ル ／ １ １ ＼ 1系 3.2.2で 後述す るように,1回微 分 可能 な複 素 関数 は何 回で も微 分 可能 で あ る。

５ ２                                                                                         ＞ ＋ ｇ

ノ

 

 

 

一

り

 

・

１

＋           一 十   一_た

り 

叩 

_菰句

  

工︺

_成

一﹂

Ｉ ダ         叶

¨ 

  

  

一副

 端

げ

 

︹

ハ

句

ノ

 

＞

 

け

 

れ

は       ０       ∫ し   メ   ＋

い

 

 

 

［

 

 

 

_ｍ

ダ

第

 

η

 

 

 

 

 

一

_一



 

一

一

 

 

〓

た 一 １ ヽ ︱ ノ

に

_解

〓 とな る.よ って □

け

 

 

り

，       一 ０       コ ｒ ′ ″           π                    ・ な い と

定理

2.1.14π

を

2以

上の自然数 とし,■(Z),ん(Z)・ …,/鳥(Z)を η回微分 可能な複素関数 とする。このとき次が成 り立つ.

(携

)η

げ

1∫2-・

■

γ

D=け

り

,1た

れ

=2た11わ ￨.…

た

が

夕

)∫

同…∫

∈

紛

た1,た2-,んm CN0 証明

mに

関す る数学的帰納法で証明す る. (1)η

=2の

とき,定 理2.1.13よ り

紛

π

帆

力

=自

のオ

_{・ ′}

=Σ

_詰月

の

だ

°

ι+ん=2 ι,たcヽ0 である。よって

m=2の

とき_,命題 は成 り立つ.

(2)m=ι

の とき_,命題が成 り立つ と仮定す る.(ι は

2以

上の 自然数.)

m=ι

+1の

とき,定 理2.1.13よ り

儀

)n帆

か珊

J―

か硼十

J→

=自

_の帆

か…

が叶

°

濯

帰納 法 の仮 定 か ら

き

C)帆

ん

―

・

が°

ぶ

?

=社

Ⅲ

2昆

ι

_…

扇 芦 爾

月

°

_月

り

_.…

_ガ

リ

ん絆

た,た1,た2, ,たICN0 よって

m=ι

+1の

ときも命題 は成 り立つ。 (1),(2)よ り

,2以

上の任意 の 自然数

mで

命題 は成 り立つ

.

□

第

2章

複素関数 2。

2

多項 式

Cの

元を係数とする

zに

関する多項式の集合を

Cレ_1と

表す

. 定理 2.2.■ αたCC(た =0,1,…・,η)を 係数 とす る

zの

多項式

P(z)=α

o+

α

lz+…

・+αnZπ について,次 が成 り立つ。

1.多

項式

P(z)は

C上

の解析関数である. 2.P′_(z)=α

l+2α

2Z+…

・

+η

αっZれ 1で ある. 証明

1.微

分係数,極 限値 の定義か ら容易に確かめ られるように,定数 αんは導関数

0の

解析関数であ り,∫

(z)=Zは

導関数1の解析関数で ある。よって,定 理2.1.10よ り解析関数 同士の積,和 は解析関数であ るか ら

,P(z)は

C上

の解析関数である. 2.∫_(z)=Zつ の微分 を考 える.

鳳

生

イ ト

型

=鳳

=li瑞 ((Z+ん)°

1+(Z+ん

)"2z+…

.+Zπ 1) =η Zπ 1 よって,2.1.11よ りP(z)を各項毎 に微分 して2.を得 る。

□ 複素数 は

2次

方程式の解が常 に存在す るよう,実 数か ら拡張的 に構成 さ れた数の集合で ある

.複

素数 まで数 を拡張す ると

,2次

に限 らず何次方程 式であつても解が存在す ることが知 られてお り,これを代数学の基本定理 とい う.(証明はp]を参照.) つ ま り次 が成 り立つ。 定理

2.2.2任

意 の多項 式

P(z)=Σ

l=Oαたノ ∈Cレ](αη≠0)はαl… ,α,・ ∈

Cを

用 い て

P(Z)=α

れ(Z― αl)―・(Z― απ) と因数 分解 で きる.この とき,αl,α2,…・,αれが

P(Z)=0の

解 とな る. 上記 の定理 に よって

,1次

以 上 の任 意 の複 素数係 数 多項 式 は

1個

以 上 の 零 点 をもち,か つ因数 分解 で きる こ とが保 証 され る. 27

て   ↓             り い   ０             ９ 用 を Ｚ

凡

式

 

の

 

 

 

 

 

 

効

項   ≠             一 く

彬

胸

 

の

﹃

は   じ

羽

ば

 

 

れ

 

萌

，                           α           一 ．こ       ヽ ノ                   ．           Ｚ る   ′レ           ｚ     “ ぃ

す

 

Ｒ

 

 

 

 

‘

、

ヽ

︱

ノ

鮭

が

半

げ

都

零     一   ｏ

の

 

 

し

ヽ



Ｈ

 

 

 

一

一

 

 

 

〓

位   一 一   ２ ．︲   ０

ｐ

羽

赳

裂

ス

 

 

 

で

¨ 

_置

   

 ”

成   明       表 が   証         と 定義 2.2.3α,αl,.… ,αっ ∈C(α ≠ 0)と す る。 多項式

P(z)=α

(Z― αl)・ …(Z―απ)に対 し,α l,.… ,απをP(z)の 零点という。また,αl,…,αれ の中にα」と同じ値が ん個あるとき,α_{プをP(z)の 位数 んの零点 という。ま} た_{,このときれを P(z)の 零点 αプの位数 ともいう。} 命題

2.2.4多

項式P(z)∈ Cレ_]に対 し,α を P(z)の 零点 とする.こ のとき

(α

の位数

)=min{づ

∈

No10≦

り

,PO(α)≠ 0}

で あ る.こ こで であるか ら ん   ん   ん ＜   一 一   ＞ た   た   た 一 ん α 一 Ｚ ＋ た 一 ん 一 ん ん   ん   ０ ｒ ｌ り ヽ ｌ ｔ 〓 ん α 一 Ｚ ん ヽ １ ′ ノ α 一 彬 ／ ｆ ｌ ＼ ん   ん ≠ 〓 た   た           ＞ ＜   ＜           ん ︱ ・         ＜   ０ ０   ん         ｏ   ′ ≠

ｒ

〓く

報 

 に

叩

︱ ︱ ︱ し       ０   ん

ニ

ル

 

●

／ １ ヽ   て つ カ た し る な と □ よ り,主 張 は正 しい.

第

2章

複素関数 2。

3

有理 関数

定義

2.3。

1有

理関数

R(z)と

は

,多

項式

P(z),の(Z)∈ Cレ]を

用いて

Ц

a=器

_Oの

と表される関数のことである。ただし,(2.6)式の表記においてはP(z),の(Z) は共通因数 をもたない多項式であることを暗黙の前提 とし

,P(Z),C(Z)が

共通因数 をもつ場合は,約 分 したものを改めてP(z),の(Z)と表す とする. この とき

R(z)は

_の(Z)の零点を除 く

zcCで

定義 される。

砺λ

ttL]践

嘉曇

ξ

孵 税 鵬夕を

11饗

∬嬌

の零点 αの位数 の こととす る. 定義

2.3.3有

理関数

R(z)=6紛

について

1.α cCが

R(z)の

極 で あるとは,α が の(α

)=0を

満 たす ことで ある。

2. R(z)=髪

_分の極 αの位数 は

,c(z)の

零点の位数 とす る. 定理 2.3。

4有

理関数R(z)に対 し,次 が成 り立つ。

1.Ц

z)の

極以外の点で

R′_(z)が

存在し

,R′(Z)も

有理関数である。

2.P(z),R(Z)は 同じ極をもつ。

αがス

Z)の

極であるとき

, (R′(z)の 極 αの位数)=(R(Z)の極 αの位 数

)+1 (2.7)

で あ る. 証 明

1.P(z),C(Z)∈

Cレ]と し

,2(Z)=6樹

とす る と系 2.1.11よ り

の

(Z)≠ 0と

なる

zに

おいて

Щ慕

oo

とな るので

_,7(z)は

有理 関数 で あ る. 29

2.(2.8)式 は約分される可能性があるので

,7(z)の

極 は R(z)の 極の一 部である。しか し実際には

,R(z)の

極の全てが

7(z)の

極であるこ とを示す.α をの_(z)の位数 んの零点 として の

(Z)=(Z―

α)ん9(Z)と お

くと

9(α)≠

0で

P′

0レ

ーが

90-POん

い が

‐

90-POレ

ーが 〆

0

((Z― α)んg(Z))2 P′_(Z)(Z― α_)9(Z)一 P(Z)ん g(Z)一 P(Z)(Z一 α_)9′(Z) (Z一 α)ん +19(Z)2 (Z― α_{)(P′ (Z)9(Z)一} P(Z)9′ (Z))一 P(Z)ん 9(Z) (Z― α_)ん+19(Z)2 となる。P(z)と の(Z)には共通因数がないのでP(α )≠ 0,また ん

>0

より

,z=α

のとき_(2.24)式の分子は

0で

はない。よって αは

P(z)

の極で

,そ

の位数はん

+1で

ある。つまりЦ

z)と R′_(Z)は

同じ極を

もち,(2.7)式 が成 り立つ. □ 有理 関数 で は多項 式 と違 って,分 母 の値 が 0と な る とき,つ ま り極 で は 値 が定 ま らな い。 しか し,むしろ積極 的 に ∞ とい う記 号 を値 の よ うに用 いて極 で の値 と したい。そのため に次 を定義す る. 定義

2.3.5P(z),C(Z)∈

Cレ]と し

,R(Z)=6紛

とす る。 1.P(α_)≠ 0,の_(α

)=0の

とき

R(α

)=∞

と表す。

2.limz→

。

Цウ

_)を

R(∞

)と

表す。

以 上 の定 義 を用 い る と,有理 関数 ∫(z)はC∪{∞

}か

らC∪_{∞

_}へ

の写

像と考えることができる

.以

_下,C∪

_{∞)の

ことを

C*と

表す

.

命題 2.3.6有理関数

R(z)=6紛

に対して

,α

=max{degえ

deg O}と

し

,

月

_(Z)=

αO■ a71Z―十・・・―十 αdZd

●・

10

b。

+blz+…

・

+bdZd

とする.(α_a,bdのどち らかは0ではない。_)こ のとき

Rl(Z)=

αozd_.αlzd 1-十 ・・・―+αd (2.11) bOzd■ blzd 1-卜・・・■bd

と

おく

_れ

Z≠ 0の

と

き鳥

0=部

が

成り

立ちЦ→

=hmz‐ o島

0

とな る. R′

(Z)=

00

第

2章

複 素 関数 証 明 αた,bλ c Cと し,

P(Z)=α

o+α

lZ+…

・_+απZπ

O(Z)=bo+blz+…

・

+わ

れ

Zη}

ス

の

=器

,α

=maxIЪ

弓

とする。また

z≠ 0と

する

.こ

のとき

_,Rl(z)を

変形すると

αOZd―■αlZd 1-+・ ・・I αd bOzd+blzd-1+・

…

+bd

(α

o+サ

+…

・

+ツ

)Zd

(bo+り +…

・

+シ

)Zd P(ウ )Zd

の

(:)Zd とな る.よ って

Щ

O=螺

_諸

=螺

_髪

_罪

=lim αOzd―十 αlZd 1_...・ I αd z→O boza+blza_1+.…

+bd

=鶏

RllZl となる

.

□ 定義

2.3.7以

下,有理 関数R(z)に対 し,命 題2.3.6の _{島 (z)を 用 いる}.

1.∞

が

_RZ)の

極 であるとは

,0が

Rl(z)の極 であることとす る。この とき (R(z)の

z=∞

での極 の位数)=(Rl(Z)の

z=0で

の極 の位数) とす る. つ ０

Rl(Z)=

2.∞

が

_Hz)の

零点であるとは

,0が

Rl(z)の 零点であることとする. このとき, に(z)の

z=∞

での零点の位数

)=91(Z)の

z=0で

の零点の位数) とする: 定理 2.3.8P(z),の(Z)を多項式 とし

,deg P(z)=η

,degの

(z)=mと

ぉ く。有理関数

R(z)=6紛

に対 して次が成 り立つ。 1.η

>mの

とき R(z)は

Z=∞

で η―

m位

の極 をもつ.

2.2<鶴

のとき

R(z)は

Z=∞

で π ―η位の零点をもつ. 3.η

=mの

とき月

_(∞

_)=競

_≠

0 証明 命題2.3.6の _{(2.10)式 ,(2.11)式}を用いる. 1.η

>mの

とき α

=η

,α

>mで

,αη≠0,bπ ≠

0で

あ り,

島

0=

α_OZπ +α_lZπ 1+・・・_+α鯰 Zη 'れ_(bOZ・rl tt blzη・-1+・ …

+bm)

とな る.よ って

0が

_{島 (z)の η―}

m位

の極 で あ るか ら,∞ はR(Z)の η―鶴 位 の極 で あ る. 2.η

<η

の とき

ご

=鶴

,α

>η

で

,α

π≠

0,bm≠

0で

あり

,

鳥 ②

=

となる。よって0が 島

(z)の

η―η位の零点であるから

,∞

は

R(Z)

の

m―

η位の零点である

.

第

2章

複素関数

33

3.2=鶴

の とき

α

=π

=η

で

,α

れ≠

0,bm≠

0で

あり

,

島

0=

αOZπ_{「 α}― lZπ 1-十・・・+― απ ろ。zη +blzη 2-1+・ …+られ よ り,

知

Rlレ

_)=考

となる

.す

なわち

R(∞

_)=競

_≠

0で

ある

. □

服

=月

期警

ξ

?=器

に

はα

acq4“gaa=2“

gα

の

=

(R(z)の零点 の位数 の和

_)=(R(Z)の

極 の位数 の和

_)=max(π

_,η) ただ し極_,零点 は ∞ を含めて

C*で

数 える. 証明

P(z)=α

_ηZπ+αη_lzれ 1+… ・+αO,の

(z)=bmzπ

+bπ_lzれ 1+… ・+b0 とす る と

_,z≠

_{∞ である複素数 の範囲において}

_,R(z)=5樹

_{の零点の位} 数 の和 は

2,極

の位数 の和 は π である。ここで

z=∞

の場合 を含 めて考 える.

1.2>mの

とき

定理

2.3.8よ

り

_,Ц

z)は

Z=∞

でη―

m位

の極をもつ。よって

(z=∞

を含 む

R(z)の

_{極 の位 数 の和}

_)=(η

一鶴

_)+鶴

_=η

とな る.つ_{ま り,(R(z)の 零点の位数 の和)=(R(Z)の極 の位数 の和}

₎₌₂

で あ る。

2.2<鶴

の とき 定 理2.3.8よ り

R(z)は

Z=∞

で 鶴 ―η位 の零 点 をもつ。よって

(z=∞

を含む

_Hz)の

零点の位数の和

_)=(η

_―η)+η

=鶴

となる

.つ

まり

_,(R(z)の

_{零点の位数の和}

_)=(R(Z)の

_{極の位数の和}

_)=m

で あ る.

3.η

=mの

とき 定理2.3.8よ り

z=∞

は

R(z)の

零点でも極 で もない

.し

たが って

は

(z)の

零点の位数の和

)=(R(Z)の

極の位数の和

_)=mで

ある。

よって

_,z=∞

を含めて数えると

,Hz)の

零点の位数の和は

R(z)の

_極の

位数 の和 に等 しい。

□ 2。

4

有理 関数 の部分分数分解

定理

2.4.1有

_理関数Ц

z)は

z=∞

を極にもつとする

.こ

のとき

_,定

数項

をもたない多項式ス

(z)∈

｀

Cレ]と

Z=∞

を極としない有理関数島

_(z)が

存在して次が成り立つ

. 1・

R(Z)=ス

(Z)+島

_(2)と表せ る.

2.1の

_{よ うな ス(z),Rl(Z)は 唯一つである。}

3.degス

_(z)=(R(Z)の

z=∞

_{の極 の位数} ) 証 明

1.Iz)=6粉

は

z=∞

を極 とす る有理 関数 とす る

.(つ

ま り

deg P>deg O)多 項式の除法により

P(z)を

_の

_(z)で

わつて

,

P(Z)=の

_(Z)ス

_0(Z)+30(Z)

とする。ただし

,■0(z),比(Z)∈

CИ

,deg 3o(Z)<degの

(Z)で

ある

.

このとき

_,deg■

_{。=deg P―}

deg o≧

1で

ある。いま

,■

。

(z)の

定数

項 を αとす る と P(Z)=C(Z)(■ _o(Z)一 α_{)+(α の(Z)+3o(Z)) (2.12)} と書 きかえ られる。ここで, バ

Z)=4。

(z)一α

, 3(Z)=α

の

(Z)+3o(Z)

夕

上を

護

tttl「

″

1看

Ъ

場翼戸

“

g00よ

り

場は

Iの

=“

。

0-の

十

=バ

a+器

第

2章

複素関数 と表せ る.よ って,

deg

И

_(Z)=degス

_{0(Z)=deg P―}

deg O=ぃ

_(z)の

∞ での極の位数

)

(2.13)

とな る.

2.定

数 項 をもたない多項 式 ■1(z),■2(Z)と

Z=∞

を極 としない有理 関 数 Rl(z),R2(Z)に 対 して

_{,R(Z)=ス 1(Z)+Rl(Z)=42(Z)+R2(Z)と}

する

.さ

らに

deg 31(z)≦ _{deg01(Z),deg 32(Z)≦ degの 2(Z)と}

して

35

島

_0=器

鳥

_0=器

とお く.(2.14)式_{,(2.15)式 の右辺 は既約 とす る}

.条

件 よ り,

ム

0+器

=ん

0+器

И

l(Z)の

1(Z)+31(Z)И

2(Z)の

2(Z)+31(Z)

(2.lo

●

.1り

の

1(Z)

の

2(Z) (2.16) を得 る。_{(2.14)式 ,(2.15)式}で既約だか ら,(2.16)式の両辺も既約であ る。この とき既約表示は一意的であることか ら, の

1(Z)=02(Z)

である。_{(2.16)式の分子を計算すると} , ス1(Z)の

1(z)+31(z)=42(Z)の

2(Z)+32(Z)

(■1(Z)― ス2(Z))の

1(Z)=32(Z) 31(Z) (2.17)

となる。ここで,

deg Bl(z)≦ deg 01(Z),deg 32(Z)≦ degの

2(Z)=degの

1(Z)

よ り,

deg(32(Z) 31(Z))≦

degの

_{1(Z) (2.18)}

である.■_1(z)≠ И_2(Z)と すると_{,deg(■1(z)一} И_2(Z))≧ 1よ り , deg(ス 1(Z)― ス2(Z))の

1(Z)>degの

1(Z) (2.19)

ス1(Z)≠ И2(Z)の とき(2.17)式 ,(2.18)式 ,(2.19)式に矛盾が生 じる. したがって ■

_{1=И 2,31=β}

_2,Rl=R2で

ある。 3.(2.13)式 よ り従 う。 □ 定義 2.4。

2上

記 の ス_(z)を

R(z)の

z=∞

で の特異部 とい う.

定理 2.4.3有理関数

R(z)は

Z=β

_{をん位の極にもつとする}

_.定

_数項を

もたないん次の多項式バ

z)と

z=β

を極としない有理関数

Rl(z)が

存在

して

, 1・

R(Z)=バ

≠→

+Rl(Z)と

表せる

.

2.1の

_{よ うな И(z),Rl(Z)は 唯一つで ある}.

3.Iz)の

z=β

の極の位数がんのとき

,ス(フ

≒

)はdeg T(Z)<ん,T(β)≠ 0と な る多項 式 を用 いて

/1(ァ

≒

5)=1兵

等

￨

と表 される. 証明

1.Iz)=器

_{箸尋毒等総 を}

z=β

を極 にもつ有理関数 とする.

β

=ん

_{蕉位数んの}

_aZ)の

_{極とし,z=:+β とおくと}

_(ァ

_場

_=ぐ),

R(:+β

)=

となる。このときα

=max{れ

,η}と

おいて

,分

母と分子にξ

aを

かけ

る と,

R∈ +→

= 0狗

第

2章

複素関数

となる。このときξに関する多項式として

,(2.20)式

の右辺の分子は

η個の

1次

_式とξ

dつ

の積であるから

_,β

_{≠α。に注意すると分子はα}

次式である。また

_(2.20)式

の右辺の分母は

m個

の

1次

_式とξ

d―

れの

積であり

,β

=ん

に注意すると分母はα―ん次式である

.よ

って分子

躍賠

f∬

賽難雰毬亀

18彙

巫射ぶ、

1

次多項式

,■0(ぐ)を

ξ

=∞

を極としない有理関数として

, ″ ｒ ０ ０

R(:十

β

)=И

(ξ)+」Z〕 (ξ ) と表せ る.すなわち

R(Z)=R(:+β

)

=ス

(ξ)十

RIC)

=ス

(房モ

7)+RO(島

: となる。さらに月o(ξ)はξ

=∞

を極 としなし (p≦ 9,αρ≠0,♭_{9≠ 0)と}すると ヽ_ので,R。 (ぐ

)=

αO+…+α,ぐ_' bO+… +b.(,

となる。よって

b9≠ o

z=β

を極としない。

_00+…

+赫

)レ

ー

の

9

00+…

+あ

)い

の

9

_α

o(Z―

β

)9+…

・

+α

_ρ

_(z―

_β

_{)9 P}

わ

o(Z―

β

)9+―

・+b9

より,20(島

_)=Rlレ

)と

おくと

Rlレ)は

=ス 1(C)+Rl

=■ 2(C)+鳥

20(島 )

2.定数項をもたない多項式ム

(z),■2(Z)と

Z=β

を極としない有理関数

[ま

を

Fさ

t賢

け

菫

_[1￠

石

κ

美

れメ②

=ス

2時

_)+R2②

＞ ＞ β     β ＋     十 １ ア ヽ １ ア ヽ ＜ ＜ ヽ ｌ ｌ ノ β ＋ ー 一 ε ｏ ／ ′ ︱ ＼ Ｒ

に   定 極 ば を   れ

い

卿

併 犯           ，

ル

く

モ

Ｐ

¨

 

で

_，

知

 

イ

る

_。

こ

。

こ

こ

４

_．

．ょ

鴨

な   つ   ２ ． に と も 理 仮

Rt(:+β

)=

とおける。ただし

s>ι

_,cs≠ 0,α_t≠ 0と

する

.こ

のとき

猟

の

=鳥

(音

+う

CO+島 +…

・

_+あ

do+島

+…

+α

_寿

Co(Z―

_β

_)S+…

・+Cs

(Z―

β

)St(島(Z―

β

)ι

+…・

+αt)

となる。

これは

z=β

を極にもつことになるので仮定に矛盾が生じる。

したがって

R。

(:+β)は ξ

=∞

を極にもたない。ゆえに■1(z)=

鵠

[蘇

_(ぁ

り

こ

_(ぷ

11∴

∫

)と

な

_気

9η

却

《

=島

獄

3.バ

z)=ι

_ん

Zん

+… ・

+ι_lzと

すると

_(ι

ん≠

0)

ス

_(島

)=し

為

+が

市 一

+島

_ιl(Z―

β

)ん

1+… ・

+ι

ん

_1(z―

β

)+ι

ん

(Z―

β

)ん

となる。ここで

T(z)=ι

_l(Z―

_β

_)ん

1+…

・

_+ι

_ん

_1(z―

_β

_)+ι

_{んとすれば}

, deg T(Z)<ん_,T(β)≠0 である. 定義 2.4。

4上

記の ス傷≒_)を R(z)の

z=β

での特異部 とい う。 □