● .2の

第

4章  Popoviciuの

定理

       77

4.5。

l 

α

=2の

場 合

α,ろ を互いに素な自然数 とし,α ≧

2,b≧

2とする。このとき

:+:=7

を変形 して,

b"+α

_ν=α

b‑1

を満 たす χ,ν ∈N。 の有無 を調 べ る。α≧

2,b≧

2よ り

1は

_{α,bで 表現 可} 能 で ない。よって,補^{題 4.4.3か らbχ}+αν=α

b‑1と

な る ″_,ν c NOは^唯 一つ存在 す る^.

以 上 か ら次 が成 り立 つ^.

定理 ^4.5。lα,bを 互 い に素 な 自然数 と し^,α ≧

2,b≧

2とす る.こ の とき

第

4章  Popoviciuの

定理

       78

式を満たす ″,ν,z∈ ^N。 の存在の有無 を調べることは_,b″+α ν

=χ

を満た す%,ν ∈

NOの

存在 の有無 を調べ ることに等 しい と言 える。そ こで_(4.22) 式の

X,zに

ついて考察す る。

ど′をcご′≡

1(mod 

αb)(1≦ C7r<αb)を 満たす 自然数 とす る。この とき,

XO=α

b― 」′

cご′

‑1

ZO=

とお くと_,

cχ

O+α bzO=α bc‑1(Xo,Zo∈

NO) となることを示す^.

まず 1≦ σ′<α

bよ

りχ。=α

^{b一 c″}

>0は 明らか。また

,cσ

′≡

1

(mOd  α

b)よ

り

^z。

=蛯 _{評 CZで あり}

,ご

≧

^1,C≧

^2だ から

^cσ

′ ‑1>0で

z。 ∈N。 と分 か る

.最

_{後 に}

cXs+―

α

bz。 ==c(αb―

ご ′

)+α

^b(1∠

::・

1)

=α^{bc― c♂}

+c♂ ‑1

=α

bc‑1

とな る.こ こで,(4.22)式 の

cX+α bz=α bc‑1を

満 たす χ ∈

N,z∈ N0

は一意的 だ か ら

χ

=χ

。=α^{b― ♂}

,z=約 =

^CC′

′―‑1

.2o を得 る

.一

方

,bz+α

ν

=ab―

^{σ′を満 たす π},ν ∈^N。 が存在す るための必 要十分条件 は,補^{題4.4.3よ りb″}+αν=c″ を満たす χ^,ν

c NOが

存在 しな い ことである。つ ま り,

■α

^,b}(ご

′

)=0

が成 り立つ ことである。よって α′を αα′≡

1(mod b),び

を^bb′ ≡

1(mod 

α₎ を満 たす 自然数 とす る と,定 理^4.3.6よ り

発― {写 ^}― {ギ }+1=0

嘉 ^+1={写 }+{ギ ^}

^(4.2o

第

4章  Popoviciuの

定 理

       79

が成 り立つ ことが ら″+αν=α^b― ご′を満 たす π,ν ∈閻 が存在 す る必要十 分条件 で あ る。す なわ ち (4.20)式 の^z,ν,z∈

Noが

存 在 す るた め の必要十 分条 件 は (4.24)式 が成 り立つ こ とであ る。

また,(4.20)式 が解 をもつ とき,こ の式 を

(の 十^bZ)α +bC″ =α

bc‑1

_(4.2つ

と変形 し_,cν

+bz=yと

お けば α

y+bc″

_=α

bc‑1と

な るが (4.22)式 と 同様_,これ を満 たす

yと

″も唯一つで あ り,(4.23)式 を導 いたの と全 く同 様 に して α″を α″′≡

1(mOd bC)(1≦

α″

<bC)を

満 たす 自然 数 とす れ ば,

″

=字

^{を得 る}

^.同

^{様 に して び′をbb″ ≡}

1(mod 

αC)(1≦ ^y′ <αC)を 満 たす 自然数 とすれ ば_,ν =bb″‑1を得 る。つ ま り (4.20)式 の解 ″,ν,zは^存 在 す るな ら唯一 つ で あ り,そ れ は

CC″ ‑ 1

とな る。た だ し_,α″

,び′

,♂ は

αα″≡

1(mod bC)(1≦

α″

<bC)

bb″ ≡

1(mod 

αC)(1≦ び′k αC) C♂ ≡

1(mod 

αb)(1≦ ど′<α^b) を満たす 自然数 とす る。以上 を整理す ると次が成 り立つ。

定理 ^{4。 5。}

2自

然数 α,b,cは どの

2つ

も互いに素である とし_,α ≧

2,b≧

2,c≧

2とす る。また,α′

,が,ご′をそれぞれ

αb

Ｚ

﹇ 一∝

¨一比

ν

αα′≡

1(mod b)

bb′ ≡

1(mё

d α₎

cご′≡

1(mOd 

αb)(1≦ ど′<αb)

を満 たす 自然数 とす る.こ の とき

者 ^+:+:=1‑石 焼

を満 たす ∬,ν,z∈ 閻 が存 在 す るため の必要十 分条件 は,

(4.26)

ヽ ｔ ｒ リ

″ 一 ｂ

ｒ り ヽ ｔ

＋

ｌ

＞ リ

ピ 一 α

ｒ り ヽ ｔ

＋

♂ 一励

第

4章

 Popclviciuの 定 理

が成 り立つ ことで あ る^.さ らに α″

,ろ″をそれぞれ

αα″≡

1(mod bC)(1≦

α″<bC),bび^′≡

1(mod ac)(1

を満 たす 自然数 とす る と (4.26)式 の解 は

≦わ″

<aC)

CC//‑1

である^.

4.5.3 

α

=4の

場 合

α

=3の

場合 と同様 に して

,d=4の

場合 における必要十分条件 を導 く^. 自然数 α,ら,c,ご はどの

2つ

も互いに素である とし_,α ≧

2,b≧ 2,c≧

2,α ≧2と す る。この とき

80

αb

Ｚ

﹇ 一∝

¨一脆

ν

︲ 一 嗣

一 υ 一α Ｚ＋ 一Ｃ

ν ＋

一ｂ Ｚ ＋

一 α

を満 たす ″,ν,z,υ ∈

NOが

存 在 す る こ とは (4.27)式 を変形 して

Cご (bχ +α ν

)+α

^b(α

Z+Cυ)=α

^bCα

‑1

を満 たす ″,ν,z,υ ∈

NOが

存 在 す る こ と と同値 で あ る^. 一 方_,b″+α ν

=χ

,α

z+cυ =yと

お くと (4.28)式 は

b"+α

_ν

=χ

を満たす χ,ν

c NOが

存在する α

z+cυ =yを

満たす^z,υ ∈ヽ が存在する そこでまず_(4.29)式を満たす χ

,yに

^{ついて考察する。}

cごχ+α

by=α

bcα

‑1

^.2の

と表せ る。この とき^gcd(α

b,ca)=1で

ぁ り_,α ≧

2,b≧ 2,c≧

2,α ≧

2よ

り■α

b,ca}(1)=0で

あるので補題

^4.4.3か

ら■α ら

,ca}(α

bCd‑1)=1で ある。

したがって (4.29)式 を満たす χ,y∈ ^N。 は唯一つ存在す る。ゆえに_(4.28) 式を満たす χ,ν

,z,o c NOが

存在す るための必要十分条件 は,(4.29)式 を 満たす χ と

yに

_{対 して次の2つ}が どち らも成 り立つ ことである^.

ドキュメント内 与えられた単位分数の和で表せる数について ： 数学理科甲子園の問題から (ページ 78-81)