• 検索結果がありません。

(1)๬݄৽Ұʢژ౎େֶ਺ཧղੳݚڀॴʣ http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki ʮग़ுɾߨԋʯ §1

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

シェア "(1)๬݄৽Ұʢژ౎େֶ਺ཧղੳݚڀॴʣ http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki ʮग़ுɾߨԋʯ §1"

Copied!
8
0
0

読み込み中.... (全文を見る)

全文

(1)

๬݄৽Ұʢژ౎େֶ਺ཧղੳݚڀॴʣ

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki ʮग़ுɾߨԋʯ

§1. Ճݮ৐আͰด͍ͯ͡Δ਺ͷू߹ʮମʯͱͦͷରশੑΛද͢ʮΨϩΞ܈ʯ

§2. Ґ૬ۂ໘্ͷʮྠମʯͱʮඃ෴ʯ

§3. ਺࿦ͱزԿʹڞ௨͢Δʮབྷ·Γ߹͍ͷߏ଄ʯ

(2)

§1. Ճݮ৐আͰด͍ͯ͡Δ਺ͷू߹ʮମʯͱͦͷରশੑΛද͢ʮΨϩΞ܈ʯ

਺࿦ͷݪ఺͸༷ʑͳʮ਺ͷू߹ʯͷݚڀʹ͋Δɻݚڀର৅ͱͳΔ୅දత ͳʮ਺ͷू߹ʯͷྫͱͯ͠͸

ࣗવ਺ N = {0,1,2, . . .}

੔਺ Z = {0,±1,±2, . . .}

༗ཧ਺ Q = {a/b | a, b Z, b = 0}

R = {a | a ͸࣮਺} ͷΑ͏ͳʮී௨ͷ਺ʯ͔ΒͳΔू߹ͷଞʹ΋ɺ୅਺త਺

Q = {x C | xn +cn−1xn−1 +. . . c1x+c0 = 0; c0, c1, . . . , cn−1 Q}

C = {a+bi | a, b R}

ͷΑ͏ͳʮී௨ͷ਺ʯͷൣғΛ௒͑ͨू߹΋͋Δɻ

͜ͷΑ͏ͳछʑͷʮ਺ͷू߹ʯͷதͰ΋ɺʮՃݮ৐আͰด͍ͯ͡Δʯ਺

ͷू߹ɺͭ·Γʮମʯ͸ಛʹॏཁͰ͋Δɻઌ΄ͲͷྫͰ͸ɺQ, Q ΍࣮਺ମ R, ෳૉ਺ମ C ͸ମͷجຊతͳྫʹͳΔɻͦͷଞʹ΋ɺ਺࿦Ͱ͸͜ΕΒͷମ ͷ෦෼ମʹͭ·ΓɺՃݮ৐আͰด͍ͯ͡Δ෦෼ू߹Λѻ͏͜ͱ͕͋Δɻ෦෼

ମΛಛఆ͢Δͱ͖͸ɺʮ෦෼ମͷੜ੒ݩʯΛ༻͍Δ͜ͱ͕ଟ͍ɻ͜Ε͸ͭ·

ΓɺʮͦΕΒͷʢੜ੒ʣݩΛؚΉ࠷খͷ෦෼ମʯͱ͍͏ੑ࣭ʹΑͬͯ෦෼ମΛ ಛఆ͢Δͱ͍͏࢓૊ΈͰ͋Δɻྫ͑͹ɺQ ͷ෦෼ମͰ༗ݶݸͷੜ੒ݩͰੜ੒

͞ΕΔମͷ͜ͱΛʮ਺ମʯͱݺͿͷ͕ͩɺ਺ମͷ۩ମྫͱͯ࣍͠ͷΑ͏ͳ΋

ͷ͕ڍ͛ΒΕΔɿ

Q; Q(

−1); Q(3

2); Q(3 2,√

−3)

਺ମQ(3 2,√

−3)ͷ৔߹ɺ3 2ͱ

ω def= −1 +√

−3

2 = e2πi/3 Q(3 2,√

−3) Λੜ੒ݩʹ࠾Δ͜ͱ΋ՄೳͰ͋Δɻ

਺ମͷݚڀͰ͸ɺʮΨϩΞ܈ʯ͸ඇৗʹجຊతͳ໾ׂΛՌͨ͢ɻ਺ମ F Q ͷʮΨϩΞ܈ʯGal(F/Q)͸؆୯ʹ͍͏ͱɺՃݮ৐আͱཱ྆తͰ͋Δɺ

͢΂ͯͷશ୯ࣹ

F F

͔ΒͳΔू߹Ͱ͋Δɻ

(3)

ྫ͑͹ɺ਺ମF def= Q(3 2,√

−3) =Q(3

2, ω) ͷ৔߹ɺੜ੒ݩͷߦઌΛ ࢦఆ͢Ε͹ఆ·ΔGal(F/Q)ͷೋͭͷݩσ, τ Λ

σ : F F τ : F F

3

2 3

2 3

2 ω · 3 2

ω ω2 ω ω

ͱఆٛ͢Δͱɺ

Gal(F/Q) = {id, σ, τ, τ · σ, τ2, τ2 ·σ}

ʢͨͩ͠ɺid͸߃౳ࣸ૾ʣͱͳΔ͜ͱ͸؆୯ͳܭࢉʹΑͬͯ֬ೝ͢Δ͜ͱ͕

Ͱ͖Δɻ

§2. Ґ૬ۂ໘্ͷʮྠମʯͱʮඃ෴ʯ

࣍ʹزԿʹ͍ͭͯগ͠ߟ࡯ͯ͠ΈΑ͏ɻʮద੾ͳ৚݅ʯΛຬͨ͢ɺෳૉ਺

܎਺ͷೋม਺ଟ߲ࣜͷɺෳૉ਺ମ C ಺ͷղͷू߹Λߟ͑Δͱɺʢෳૉʣฏ໘

಺ͷ୯Ґԁ൫ͱʮہॴతʹಉܕʯͳزԿతର৅ʹʮҐ૬ۂ໘ʯ͕ग़དྷ্͕Δ ʢਤ̍Λࢀরʣɻ

ਤ̍ɿ୯Ґԁ൫ͱہॴతʹಉܕͳҐ૬ۂ໘

(4)

ྫ͑͹ɺ༗໊ͳϑΣϧϚ༧૝ʹग़ͯ͘Δํఔࣜ

Xn +Yn = 1

ʢͨͩ͠ɺn 3͸੔਺ʣ͸ઌ΄Ͳͷʮద੾ͳ৚݅ʯΛຬ͍ͨͯ͠Δɻ

Ґ૬ۂ໘ͷزԿΛݚڀ͢Δ্ʹ͓͍ͯͦͷۂ໘্ͷ༷ʑͳʮྠମʯͷز Կ͸ॏཁͳςʔϚͱͳΔɻಛʹۂ໘্ͷ͢΂ͯͷྠମ͕ʮੜ੒ʯ͢Δʮجຊ

܈ʯ͸ۂ໘ͷزԿΛղ໌͢Δ্ʹ͓͍ͯॏཁͳಓ۩ʹͳΔɻྫ͑͹ɺۂ໘ͷ ʮछ਺ʯʢʹυʔφπܕͷ݀ͷ਺ʣ͕g ͩͱ͢Δͱɺجຊ܈ͷੜ੒ݩͱͯ͠ɺ

ਤ̎ͷΑ͏ʹʮ͖Ε͍ͳेࣈܗʯʢʹʮॏෳ౓ 1ʯʣͰަΘΔʮ͖Ε͍ͳྠମ

ͨͪʯ

α1, β1, α2, β2, . . . αg, βg

Λ࠾Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ͜ͷੜ੒ݩͨͪ͸࣍ͷΑ͏ͳجຊతͳؔ܎ࣜ

α1 ·β1 ·α−11 ·β1−1 ·α2 · β2 · α−12 ·β2−1 ·. . .· αg · βg ·α−1g · βg−1 = 1 Λຬͨ͢ɻ͜ͷؔ܎ࣜ͸ੜ੒ݩͨͪͷʮަΘΓํʯʹʮབྷ·Γ߹͍ํʯͷ༷

ࢠΛهड़͍ͯ͠Δ΋ͷͱݟΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ

ਤ̎ɿʮॏෳ౓1ʯͰབྷ·Γ߹͏ɺҐ૬ۂ໘্ͷ୅දతͳྠମ

Ґ૬ۂ໘ͷجຊ܈͸ઌ΄ͲʮྠମͰੜ੒͞ΕΔ܈ʯͱͯ͠ఆٛͨ͠Θ͚

͕ͩɺ࣮͸ʮۂ໘ͷඃ෴ͷม׵܈ʯͱͯ͠ఆٛ͢Δ͜ͱ΋ՄೳͰ͋Δɻ͜͜

α 1

β 1 β

2

α 2

(5)

Ͱ͍͏ʮۂ໘ͷඃ෴ʯͱ͸ɺଞͷۂ໘͔Βɺݩʑ༩͑ΒΕͨۂ໘΁ͷࣸ૾Ͱ͋

Γɺ͔ͭͦͷࣸ૾ΛہॴతʹݟΔͱɺ༩͑ΒΕͨۂ໘ͷখ͞ͳۙ๣ͷίϐʔ ΛԿຕ͔ूΊͨΑ͏ͳߏ଄ʹͳ͍ͬͯΔΑ͏ͳ΋ͷΛ͍͏ɻίϐʔͷʮຕ਺ʯ

͕༗ݶͳͱ͖͸ඃ෴Λ༗ݶ࣍ඃ෴ͱݺͿɻ࣮͸ɺ༗ݶ࣍ඃ෴͸ݩʑ༩͑ΒΕ

ਤ̏ɿҐ૬ۂ໘ͷ༗ݶ࣍ඃ෴ͱͦͷ্ʹ͋Δແݶ࣍ͷඃ෴

(6)

ͨۂ໘ͱಉ༷ʹʢෳૉ਺܎਺ͷʣଟ߲ࣜͷղͷू߹ͱͯ͠ʮ୅਺తʯʹఆٛ͞

ΕΔ΋ͷʹͳΔɻ͔͠΋ݩʑ༩͑ΒΕͨۂ໘Λఆٛ͢Δଟ߲ࣜͷ܎਺͕୅਺

త਺ɺͭ·ΓQͷݩʹऔΕΔͱ͖ɺඃ෴ͷۂ໘Λఆٛ͢Δଟ߲ࣜͷ܎਺΋ಉ

༷ʹ୅਺త਺ʹͳΔΑ͏ʹऔΕΔ͜ͱ͸؆୯ʹࣔ͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ͜ͷʮඃ

෴ͷ୅਺ੑʯͱ͍͏ੑ࣭͸࣍અͰ͸ॏཁͳҙຯΛ࣋ͭɻ

Ұํɺίϐʔͷຕ਺͕ແݶʹͳΔΑ͏ͳແݶ࣍ඃ෴΋ܾͯ͠໾ʹཱͨͳ

͍΋ͷͰ͸ͳ͘ɺྫ͑͹ɺجຊ܈ͷઌ΄ͲͷೋछྨͷఆٛʢʹʮྠମʯʹΑ Δ΋ͷͱɺʮඃ෴ʯʹΑΔ΋ͷʣ͕࣮͸ಉ஋Ͱ͋Δͱ͍͏ࣄ࣮͸ɺແݶ࣍ඃ෴

Λ༻͍ͯূ໌͢ΔͷͰ͋Δɻ۩ମతʹ͸ɺݩʑ༩͑ΒΕͨۂ໘ͷྠମΛແݶ

࣍ඃ෴ʹʮด͍ͯ͡ͳ͍ಓʢʹʮύεʯʣʯͱ্ͯ࣋ͪ͛͠ɺͦͷಓͷ࢝఺Λ ऴ఺ʹࣸ͢Α͏ͳม׵܈ͷݩΛߟ࡯͢Δ͜ͱʹΑͬͯࣔ͢ͷͰ͋Δʢਤ̏Λ

ࢀরʣɻ

§3. ਺࿦ͱزԿʹڞ௨͢Δʮབྷ·Γ߹͍ͷߏ଄ʯ

ͯ͞§1ʹొ৔ͨ͠਺ମ F def= Q(3 2,√

−3) =Q(3

2, ω) ͷΨϩΞ܈

Gal(F/Q) = {id, σ, τ, τ · σ, τ2, τ2 ·σ}

ͷ࿩ʹ໭Ζ͏ɻ͜ͷΑ͏ͳΨϩΞ܈ʹରԠ͢Δମ͸ʮΫϯϚʔ֦େʯͱݺ͹

ਤ̐ɿΫϯϚʔ֦େ͔Βੜ͡Δʮ਺࿦తͳॏෳ౓ 1ͷབྷ·Γ߹͍ʯ

ω j

ω k

ω i ω

2 n/3

(7)

ΕΔ΋ͷͰͦͷΨϩΞ܈͸ಛघͳߏ଄Λ͍࣋ͬͯΔɻ۩ମతʹॻ͘ͱɺΨϩ Ξ܈ͷੜ੒ݩσ, τ ͸ʢ؆୯ʹ֬ೝͰ͖ΔΑ͏ʹʣ࣍ͷΑ͏ͳؔ܎ࣜΛຬͨ͠

͍ͯΔɿ

σ2 = τ3 = id, σ·τ ·σ−1 = τ2

ਤ̑ɿ਺ମͷઈରΨϩΞ܈͸Ґ૬ۂ໘ͷ෭༗ݶجຊ܈ʹࣗવʹ֎࡞༻͢Δ

. . .

数体の

外作用

ガロア群

(8)

ಛʹ࠷ޙͷؔ܎ࣜ͸ σͱτ ͷʮབྷ·Γ߹͍ํʯΛهड़͍ͯ͠Δ΋ͷͱݟΔ͜

ͱ͕Ͱ͖ɺجຊ܈ͷྠମʹؔ͢Δؔ܎ࣜΛ࿈૝ͤ͞ΒΕΔ΋ͷͰ͋Δɻ࣮ࡍɺ σ͕ɺ୯Ґԁͷ্ʹࡌ͍ͬͯΔҰͷϕΩ৐ࠜω ʹʢఆٛΑΓʣؔ܎͍ͯͯ͠ɺ τ ͷํ͕ɺ࣮࣠ͷ্ʹࡌ͍ͬͯΔ 3

2ʢ΍ͦͷࣗવ਺ϕΩʣʹʢఆٛΑΓʣؔ

܎͍ͯ͠Δ͜ͱΛࢥ͍ग़͢ͱɺ͜ͷʮབྷ·Γ߹͍ํʯ͸ਖ਼ʹʮ୯Ґԁʯͱʮ࣮

࣠ʯͱ͍͏ʮ਺࿦తͳྠମʯͷབྷ·Γ߹͍ํΛ൓ө͍ͯ͠Δ΋ͷͱݟΔ͜ͱ

͕Ͱ͖ɺӹʑ§2ͷྠମͷབྷ·Γ߹͍ͷٞ࿦Λ࿈૝ͤ͞ΒΕΔ΋ͷͰ͋Δʢਤ

̐Λࢀরʣɻ

࣮͸ɺ͜ͷ਺࿦ͱزԿͷߏ଄తྨࣅੑ͸ܾͯ͠఩ֶతͳ؍࡯ʹཹ·Δ΋

ͷͰ͸ͳ͘ɺ༷ʑͳܗͰݫີͳ਺ֶͱͯ͠ఆࣜԽ͢Δ͜ͱ͕ՄೳͰ͋Δɻ͜ͷ Α͏ͳఆࣜԽʹ͓͍ͯॏཁͳ໾ׂΛՌͨ͢ͷ͸ɺ§3ͷٞ࿦Ͱݴٴͨ͠ɺʮ༗

ݶ࣍ඃ෴ͷ୅਺ੑʯͰ͋Δɻ͜ͷ୅਺ੑΛ༻͍Δ͜ͱʹΑΓɺ਺ମͷΨϩΞ

܈͕ɺʢ͋Δద੾ͳҙຯʹ͓͍ͯʣ༗ݶ࣍ඃ෴ͷม׵܈ʹࣗવʹ࡞༻͢Δ͜ͱ Λࣔ͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ͜ͷ࡞༻ͷ͜ͱΛɺ਺ମͷઈରΨϩΞ܈ͷ෭༗ݶجຊ

܈΁ͷ֎࡞༻ͱݺͿʢਤ̑Λࢀরʣɻ

ઌ΄Ͳͷʮ਺࿦ͱزԿͷߏ଄తྨࣅੑʯΛʢԿΒ͔ͷҙຯʹ͓͍ͯʣςʔ Ϛͱͨ͠ఆཧ͸ແ਺ʹ͋Γɺ࣌ؒͷؔ܎ͰݸʑͷఆཧΛ͜͜Ͱৄ͘͠঺հ͢Δ

͜ͱ͸Ͱ͖ͳ͍͕ɺ1990೥୅Ҏ߱ɺ਺ཧղੳݚڀॴΛத৺ʹ׆༂ͨ͠ɺʮ਺

࿦తجຊ܈ʯؔ࿈ͷݚڀΛखֻ͚Δݚڀऀάϧʔϓʢʹҏݪ߁ོɺদຊᚸɺ தଜതতɺۄ઒ٍ҆உɺ๬݄৽Ұɺݹঙӳ࿨ɺ੕༟Ұ࿠౳ʑʣͷ࢓ࣄͷେ෦

෼͸ਖ਼ʹຊߨԋͰ঺հͨ͠Α͏ͳ਺ֶతઃఆʢʹʮ෩ܠʯʣͷԼͰ͜ͷΑ͏

ͳςʔϚ΍ͦͷԆ௕ઢ্ʹ͋Δ಺༰Λѻ͍ͬͯΔͷͰ͋Δɻ

参照

関連したドキュメント

[r]

 ⑦ 改修工事実施工事費(全体工事費、補助対象工事費)

[r]

[r]

成平ィ 成平イ 成平① 合

[r]

[r]

轻子分为三代,第一代包括电子、电子中微子;第二代包括μ(缪子)子和μ中微子;第三代包括τ子和τ 中微子。第一代电子中微子和第二代μ中微子已分别在 1956 年和