相似行列
定義 1 2 つの正方行列 と に対して、 ½ となる 正則行列 が存在するとき、 と は相似であるという。
定理 1 2 つの正方行列 と が相似であれば、
rank rank
定理 2 と が相似なとき、 と書くと
なら、
なら、
三角化・対角化
定義 2 (行列の三角化・対角化) 行列 に対して、
が三角行列 と相似なとき、すなわち ½ の とき、 は で三角化可能
が対角行列 と相似なとき、すなわち ½ の とき、 は で対角化可能
という。
対角化の条件
定理 3 (十分条件) 正方行列 の固有値がすべて異なるなら ば、 は対角化可能である。
定理 4 (必要十分条件) 行列 に対して
次正方行列 の異なる固有値は ½
固有値の重複度はそれぞれ ½ ½ 固有空間はそれぞれ
½
であるとき
が対角化可能
対角化の方法
次正方行列 の異なる固有値を ½ , その重複度をそ れぞれ ½ ½ とする。
固有空間 ½
の基底をそれぞれ求める
各基底を構成するベクトル全体を列ベクトルにもつ行列 を とする
このとき
½
½
½
¼
¾
¾
¼
例：行列の対角化
例 1
は対角化可能か調べ、可能ならば対角せよ。
解答
固有方程式
¾
より、固有値は 1(重複度 2).
固有空間の次元 rank :
½
rank rank
重複度と固有空間の次元が異なるため、対角可能でない。
例：行列の対角化
例 2
は対角化可能か調べ、可能ならば対角 せよ。
解答
固有方程式
より、固 有値は .
固有値はすべて異なるから対角化可能である。
すべての固有値に対する固有空間の基底を求める。
例 2( つづき )
同次連立 1 次方程式
½
½
¾
¾
をそれぞれ解いて
½
½
¾
¾
任意定数
½ の基底 , ½ の基底 したがって、
とすれば ½
例：行列の対角化
例 3
は対角化可能か調べ、可能ならば対角 せよ。
解答
固有方程式
¾
より、
固有値は (重複度 2) と . 次より、対角化可能である。
例 3( つづき )
同次連立 1 次方程式
½
½
½
¾
¾
¾
をそれぞれ解いて
½
½
½
¾
¾
¾
( は任意の定数)
例 3( つづき )
½ の基底
, ½ の基底
したがって、
とすれば ½
