交通流の流体モデルにおけるカーブの 考察とその数値解析

考察とその数値解析

平成 14 年 2 月 5 日

情報電子工学科 竹野研究室

東海林 隼人

目 次

1

1

2

1

2.1

. . . . 1

3

2 3.1

. . . . 2

4

3 4.1

. . . . 4

4.2

. . . . 4

5

7 5.1

. . . . 7

5.2

. . . . 8

5.2.1

. . . . 10

5.3

. . . . 10

5.4 4

. . . . 13

5.5 4

. . . . 15

5.6 4

. . . . 15

5.7

. . . . 17

6

18

7

22

参考文献

24

交通の流れを解析するには大きく分けると、流体モデル、セルオートマトンモ デル、追従モデルに分けられ、ここでは交通流の流体モデルのカーブの考察 を行う。流体モデルとは交通の流れを流体運動とみなして偏微分方程式のモ デル化を行うものである。これは条件のない直線運動を前提にして考えられ たモデルで、これに対し竹野研究室では道路に斜面がある場合、信号がある ような場所での車の運動をモデル化する研究が過去に行われている。本稿で は道路に条件のある場合についてカーブがあるような場合を考察する。まず カーブにおける車の運動について考察し、停止距離モデルを用いてカーブで の交通流のモデル化を行った。次にその保存則方程式を

Lax-Friedrichs

新潟工科大学 卒業論文 平成

14

2

5

1

流体モデルの交通流は何の条件もない平坦な直線の道路を想定したものである。これに 対し、過去の西田氏の研究

¹⁾

²⁾

第

2

3

4

5

6

2

交通流で必要な概念はまず、速度、密度、交通量である。速度が大きいということはそ の分車の密度は小さく、逆に渋滞のような密度が大きな状態では全体の速度は小さくな る。また交通量は観測者から見たある位置を車がある時間に通過する量のことをいう。

2.1

速度を

v

x

t

x ₁

t ₁

v(x ₁ , t ₁ ) x ₁

t ₂

v(x ₁ , t ₂ )

密度は固定された時間内での与えられた領域内の車の台数であり、これを

ρ

d

L

ρ = 1

L + d (2.1)

交通量は観測者から見たある位置を車がある時間に通過する量のことで、これを

q

v ₀

ρ ₀

τ

v ₀ τ

ρ ₀

τ

ρ ₀ v ₀ τ

q = ρ ₀ v ₀ (2.2)

となる。一般には交通量は時間と位置に依存するので次のように表す。

q(x, t) = ρ(x, t)v(x, t) (2.3)

3

道路上のある区間内に

N

x

ρ(x)

区間

[x, (x + ∆x)]

N (x + ∆x) − N (x)

∆x

∆x

ρ(x) = lim

x→0

N (x + ∆x) − N(x)

∆x = N ⁰ (x)

となる。区間内の車の台数

N (x)

[a, b]

の車の台数は

N = Z _b

a ρ(x, t)dx = q(b, t) (3.1)

となる。よってこの区間における車の数の変化率は、単位時間あたりに区間の

a

q(a, t)

b

q(b, t)

d dt

Z _b

a ρ(x, t)dx = q(a, t) − q(b, t) (3.2)

これは積分保存則と呼ばれる。

これを

x

y,b

x, _dt ^d

_∂t ^∂

x

∂

∂x

∂

∂t Z _x

a ρ(y, t)dy = ∂

∂x {q(a, t) − q(x, t)}

∂

∂t ρ(x, t) = − ∂

∂x q(x, t)

∂ρ

∂t + ∂

∂x (ρv) = 0 (3.3)

が得られる。 この式は、車の保存則が偏微分方程式で表されることを示している。

3.1

速度と密度の関係には、

Lighthill

Whitham

v = v(ρ)

このモデルは密度が

0

v(0) = v _max

逆に密度の高い状態では車は停止してしまい速度は

0

v(ρ _max ) = 0

交通量もまた

q = ρv

ρ

∂ρ

∂t + ∂

∂x {ρv(ρ)} = 0

4

保存則の式について、直線での速度

v(ρ)

v(ρ, x)

¹⁾

²⁾

距離モデルが使われている。停止距離は、運転手がブレーキを踏もうと思って踏むまでの 時間

(

)

速度

v

ρ

1/(L + d)

L

d

空走距離の時間

t ₀

v ₀

d ₁

t ₀ v ₀

t ₀ v ₀ + d ₁

v = v ₀ + at x = v ₀ t + 1

2 at ²

v ² − v ₀ ² = 2ax

これは移動する物体が初速度

v ₀

v

(a

x

)

d

x

v ₀

v

0

0 ² − v ₀ ² = 2ax

−v ² ₀ /2a

停止距離を

d

d = t ₀ v ₀ − v ₀ ²

2a (4.1)

また、

F = −µmg, F = ma

a = −µg

(µ:

)

d = t ₀ v ₀ + v ₀ ²

2µg (4.2)

これを

v ₀

2

v ₀ > 0

v ₀ = −µgt ₀ + q

µ ² g ² t ² ₀ + 2µd v ₀ = −µgt ₀ +

s

µ ² g ² t ² ₀ − 2µg(L − 1

ρ ) (4.3)

4.1

道路が坂道である場合、西田

¹⁾

d = t ₀ v ₀ + v ² ₀

2(µ cos θ + sin θ)g

であるモデルを用いた。ここで

θ

これを式

4.1

µ

このモデルは、速度は密度だけではなく斜面の角度によっても変化するため

v = v(ρ, θ)

v = v(ρ)

4.2

mg

ma

G

F

Ν ^{β α}

2 1 2

Ν

2

l

l

F

Fig. 4.1

ここではブレーキの運動について考察する。進もうとする力

F = ma

F ₁ , F ₂

N ₁ , N ₂

G

ma = (−F ₁ ) + (−F ₂ ) (4.4)

鉛直成分は抗力と等しく、

0 = −mg + N ₁ + N ₂ (4.5)

まずはブレーキをかけない通常状態を考える。車そのものはそれぞれのモーメントがつ りあって回転しないものとして考えられるので各成分と

l

0

F ₁ l ₁ sin α − N ₁ l ₁ cos α + F ₂ l ₂ sin β + N ₂ l ₂ cos β = 0 (4.6)

次に前輪の移動分の回転角を

φ

I ₁

R ₁

θ

I ₂

R ₂

(1)

I ₁ φ ⁰⁰ = F ₁ R ₁ I ₂ θ ⁰⁰ = F ₂ R ₂

となる。また、移動距離はそれぞれ 半径

×

R ₂ θ = R ₁ φ φ = R ₂

R ₁ θ

加速度は

2

φ ⁰⁰ = R ₂

R ₁ θ ⁰⁰ I ₁ φ ⁰⁰ = I ₁ R ₂

R ₁ θ ⁰⁰ = F ₁ R ₁ (4.7)

よって

F ₁ = I ₁ R ₂ R ² ₁ θ ⁰⁰ F ₂ = I ₂

R ₂ θ ⁰⁰

進もうとする力

F = ma

F ₁ , F ₂

mR ₂ θ ⁰⁰ = (−F ₁ ) + (−F ₂ ) = −I ₁ R ₂

R ₁ ² θ ⁰⁰ − I ₂ R ₂ θ ⁰⁰

この式では

θ ⁰⁰ = 0

次に後輪にブレーキがかかり逆向きの回転運動が働くような場合を考えると、後輪に働 いていたモーメントに図

1

−F ₃ R ₃

I ₂ θ ⁰⁰ = F ₂ R ₂ − F ₃ R ₃ (4.8)

となり、最終的にこれらの式を連立させて解く。

ma = −F ₁ − F ₂ I ₁ R ₂

R ² ₁ θ ⁰⁰ = F ₁ R ₁

I ₂ θ ⁰⁰ = F ₂ R ₂ − F ₃ R ₃ 0 = −mg + N ₁ + N ₂

F ₁ l ₁ sin α − N ₁ l ₁ cos α + F ₂ l ₂ sin β + N ₂ l ₂ cos β = 0

まず上の

3

θ ⁰⁰ = − R ₃

M F ₃ (4.9)

F ₁ = − I ₁ R ₂ R ₃

M R ² ₁ F ₃ (4.10)

F ₂ = − R ₃ R ₂ ( I ₂

M − 1)F ₃ (4.11)

ただし、

M = I ₂ + mR ² ₂ + I ₁ ^R _R

2 とする。

これらにおいて、ブレーキをかけたときに摩擦がかかってもスリップしてしまうような 場合はブレーキの力が最大摩擦力を越えてしまう場合である。それは

F ₂ > µ ₀ N ₂ (µ ₀ :

)

0 = −mg + N ₁ + N ₂

F ₁ l ₁ sin α − N ₁ l ₁ cos α + F ₂ l ₂ sin β + N ₂ l ₂ cos β = 0

F ₁ l ₁ sin α + F ₂ l ₂ sin β = N ₁ l ₁ cos α − N ₂ l ₂ cos β

− I ₁ R ₃ R ₂

M R ² ₁ F ₃ l ₁ sin α − R ₃ R ₂ ( I ₂

M − 1)F ₃ l ₂ sin β = (mg − N ₂ )l ₁ cos α − N ₂ l ₂ cos β

− R ₃ F ₃ M { R ₂

R ² ₁ I ₁ l ₁ sin α + 1

R ₂ (I ₂ − M)l ₂ sin β} = mgl ₁ cos α − N ₂ (l ₁ cos α + l ₂ cos β)

N ₂ (l ₁ cos α + l ₂ cos β) = mgl ₁ cos α + R ₃ F ₃ M { R ₂

R ² ₁ I ₁ l ₁ sin α + 1

R ₂ (I ₂ − M)l ₂ sin β}

N ₂ = mgl ₁ cos α + ^R

^R _M

^F

{ ^I _R

^l

1

sin α − (m + _R ^I

1

)l ₂ sin β}

l ₁ cos α + l ₂ cos β

これを

F ₂ > µ ₀ N ₂

F ₃ > µ ₀ M mgl ₁ cos α R ₂ R ₃ (m + _R ^I

1

)(l ₁ cos α + l ₂ cos β − _mR ^µ

^I

1

+I

l ₁ sin α + µ ₀ l ₂ sin β) (4.12)

F ₃

車が何らかで減速するときに、車は従来進んでいたときのもとの速さで進もうとする慣 性力が働く。減速するときにもこれと同様に減速する車自体に慣性力が働き、前の方に押 し出されるように力が働く。

そうすると車は極端にいうと後方が浮き上がるような感じになり、車の重心は前方に移 動する。それにより前輪にかかる鉛直成分

mg

N ₁

N ₂

mg = N ₁ + N ₂

N ₂

F ₂ > µ ₀ N ₂

F ₃

(

) N ₂

F ₂ > µ ₀ N ₂

5

ここでは停止距離がカーブの時どのようになるかを考察する。カーブは直線とは違い遠 心力の影響等があり、曲がり切れるかどうかも考慮しないとならない。運転する時に、路 面の摩擦力より遠心力が大きくなってしまうと、車はカーブを曲がり切れずにカーブの外 に飛び出してしまうので 摩擦力

>

5.1

直進時にブレーキを踏むと、重心は前の方に移動して後輪が浮くような形になる。これ は車を横からみたとき、重心を軸にした車体にかかるモーメントである。これが、カーブ のときになると、横から見たときだけではなく、上からみたとき、前後から見たときと

1

3

車はカーブするときに前輪を方向転換させる。そのとき直進分の慣性が働き、タイヤに 対して横方向にも摩擦が発生し、重心からの距離と横方向の摩擦によりモーメントが生じ て車体に回転がかかる。この回転で後輪も次第に方向転換し始めて車は曲がる。

その際のタイヤにかかる摩擦力は、縦方向と横方向にかかる摩擦の合力で表され、カー ブではこれを扱う。加減速には縦方向に摩擦が使われ、曲がるには横方向に摩擦が使わ れる。

それぞれのタイヤ自体にも最大摩擦力があるため、摩擦の合力が最大摩擦力をこえるよ うな運転はしてはならない。加減速に摩擦を使い切っているようなとき曲がったりしては いけない。

遠心力

重心からの距離 と横方向の摩擦 によりモーメント が働く

遠心力と横方向 の摩擦がつりあ うことで安定し た運転ができる 車体の回転に

応じて後輪も 曲がる

Fig. 5.1

また、車がカーブを曲がるとき、遠心力が発生するが、これと横方向の摩擦がつりあう ことによって安定した運転ができる。遠心力が横方向の摩擦をこえてしまうような場合、

荷重が外側に大きくかかりカーブをはみだしたり横転の原因になってしまう。

なお、カーブでは遠心力を考慮して路面自体に傾斜が加えられているが、ここではこれ を考えないものとする。

5.2

車のタイヤの旋回の機構はアッカーマンとジャントウが

1880

図ではタイヤの向きと

r ₁ , r ₂

r ₁ cos α = r ₃ L

r ₃ = tan α L

r ₄ = tan β

r ₃ = r ₄ − D

D L

r

r

r

r

α β

Fig. 5.2

これらから、

1

tan β − 1

tan α = D L

また、

r ₁ ,r ₃

r ₁ sin α = L r ₃ tan α = L

r ₁ = L sin β r ₃ = L

tan β

と表すことができ、左側の前輪、後輪が描く円の軌道を示している。同様にして右側の車 輪の軌道も

r ₂ = L sin β r ₄ = L

tan β

5.2.1

アッカーマン型ステアリングは実際は低速時に用いられるモデルであり、遠心力の影響 は考えないものである。また、車が走るときはタイヤの接地面のねじれによって舵角通り には曲がらず、誤差が生じる。これはタイヤの横方向の摩擦により発生するので横滑べり 角、またはスリップ角とよばれ、実際のカーブではこの角度で決まる。これは一定値の舵 角には比例するがそれ以上では減少していきハンドルを切る程曲がれなくなることが知ら れている。またこの舵角の一定値はタイヤによって異なる。

実際は遠心力とスリップ角による影響があるが、モデル化にこれを適用すると複雑にな り、また急ハンドルのような場面を想定しないため、これは扱わずアッカーマン型をもと に考察をすすめる。

5.3

まず、カーブでの車の運動について求めることは次の

3

•

•

•

(

)

カーブでブレーキをかけた時について、直線と同じようにしてして考察する。カーブの 場合、横から見た図ではなく上から見た図を使い、ここでは

2

0

f ₁

f ₁ ^p , f ₁ ^q

車体の回転運動は横から見たときと同様にして考える。ただし車体に回転が伴うので車 体の慣性モーメント

I _G

φ

I _G φ ⁰⁰ = kf ₁ ^p + kf ₂ ^p + lf ₁ ^q − (L − l)f ₂ ^q (5.1)

5.4

Iθ ⁰⁰ ₁ = −(p _α · f ₁ )R (5.2)

Iθ ⁰⁰ ₂ = −(p · f ₂ )R (5.3)

(5.2)

p _α

p cos α + q sin α

f ₁ = f ₁ ^p p + f ₁ ^q q

Iθ ⁰⁰ ₁ = (−f ₁ ^p cos α − f ₂ ^q sin α)R I ˙ = _R ^I

Iθ ˙ ⁰⁰ ₁ = (−f ₁ ^p cos α − f ₂ ^q sin α) (5.4)

G k l f

f

L

Fig. 5.3

2

R

f

p

Fig. 5.4

また、ブレーキを後輪にかけたような場合を想定するので、直線の場合と同じように考 えて、ブレーキ力を

f ₃

R ₂

(5.3)

Iθ ˙ ⁰⁰ ₂ = −(p · f ₂ ) − f ₃ R ₂ R (p · f ₂ ) = f ₂ ^p

Iθ ˙ ⁰⁰ ₂ = −f ₂ ^p − f ₃ R ₂

R (5.5)

p

p _α

車の運動方程式は車の質量を

M

r _G ⁰⁰

Mr _G ⁰⁰ = (f ₁ ^p + f ₂ ^p )p + (f ₁ ^q + f ₂ ^q )q (5.6)

単位ベクトル

p

2

p

p ⁰

p ⁰

q

q ⁰

p

p ⁰ = c ₁ q, q ⁰ = c ₂ p

ここで、タイヤと地面の接点の位置ベクトルを

r ₁

r ₂

r ₁ − r ₂ = Lp r ₁ ⁰ − r ₂ ⁰ = Lp ⁰

ここで、

r ₁ ⁰

p _α

r ₂

p

r ₁ ⁰ = Rθ ⁰ ₁ p _α

r ₂ ⁰ = Rθ ₂ ⁰ p

θ ₂ ⁰ = θ ⁰ ₁ cos θ (5.7)

Rθ ⁰ ₁ sin α = Lc ₁ c ₁ = R

L sin αθ ⁰ ₁ = γθ ⁰ ₁ (5.8)

( R

L sin α = γ)

また、

p = (p ₁ , p ₂ )

q

p

q = (p ₂ , −p ₁ )

q ⁰ , p ⁰

p ⁰ = c ₁ q, C ₁ = γθ ₁ ⁰

q ⁰ = −γθ ₁ ⁰ p (5.9)

ここで、

r ₁ ⁰ = Rθ ₁ ⁰ p _α

r ₂ ⁰ = Rθ ⁰ ₂ p

r ₁ − r ₂ = Lp

r ₁ = − L

tan α q + Lp + C ₁ (5.10)

r ₂ = − L

tan α q + C ₁ (5.11)

これより重心の位置ベクトルは

r _G = (− L

tan α + k)q + (L − l)p + C ₁ (5.12)

のように求まり、この

2

(5.6)

−M (− L

tan α + k)γθ ₁ ⁰⁰ − M γ ² (L − l)θ ₁ ⁰² = f ₁ ^p + f ₂ ^p (5.13)

−M (− L

tan α + k)γ ² θ ₁ ⁰² + M γ(L − l)θ ⁰⁰ ₁ = f ₁ ^q + f ₂ ^q (5.14)

また後輪の半径は

L/ tan α

Rθ ₂ = L

tan α φ (5.7)

φ = R

L sin αθ ₁ ⁰ = γθ ₁ ⁰ (5.15)

したがって車体の回転運動の方程式は

γI _G θ ⁰⁰ ₁ = kf ₁ ^p + kf ₂ ^p + lf ₁ ^q − (L − l)f ₂ ^q (5.16)

(5.13)

(5.14)

(5.16)

(5.4)

(5.5)

θ ⁰⁰ ₁

θ ₁ ⁰⁰ = LR ₂ cos α

RX ₀ sin α f ₃ (5.17)

ただし、

X ₀ = γI _G + M γ(− L

tan α + k) ² + −M γ(L − l) ² + L cos α ² + 1 sin α I ˙

しかしこのとき、

k

4

5.4 4

4

2

2

α

β

これについて、

2

2

m ₂

Iθ ˙ ⁰⁰ ₁ = −f ₁ ^p cos α − f ₁ ^q sin α Iθ ˙ ⁰⁰ ₂ = −f ₂ ^p − m ₂

R

Iθ ˙ ⁰⁰ ₃ = −f ₃ ^p cos β − f ₃ ^q sin β Iθ ˙ ⁰⁰ ₄ = −f ₄ ^p − m ₂

R

f

f

f

f

α

L

D G

β

l

Fig. 5.5

4

r ₁ ⁰ = Rθ ⁰ ₁ p _α

r ₂ ⁰ = Rθ ⁰ ₂ p

4

r ₁ ⁰ − r ₂ ⁰ = Lp ⁰

、

r ₃ ⁰ − r ₄ ⁰ = Lp ⁰

θ ₂ ⁰ = θ ⁰ ₁ cos θ

θ ₃ ⁰ = θ ⁰ ₄ cos θ R

L sin αθ ⁰ ₁ = R

L sin βθ ⁰ ₃

したがって、タイヤの回転運動の方程式は

Iθ ˙ ⁰⁰ ₁ = −f ₁ ^p cos α − f ₁ ^q sin α (5.18)

Iθ ˙ ⁰⁰ ₁ cos α = −f ₂ ^p − m ₂

R (5.19)

Iθ ˙ ⁰⁰ ₁ sin α

sin β = −f ₃ ^p cos β − f ₃ ^q sin β (5.20)

Iθ ˙ ⁰⁰ ₁ sin α

sin β cos β = −f ₄ ^p − m ₂

R (5.21)

車体の運動方程式は

M γ( L tan α + D

2 )θ ₁ ⁰⁰ − M γ ² (L − l)θ ₁ ⁰² = f ₁ ^p + f ₂ ^p + f ₃ ^p + f ₄ ^p (5.22)

M γ( L tan α + D

2 )θ ₁ ⁰² − M γ(L − l)θ ⁰⁰ ₁ = f ₁ ^q + f ₂ ^q + f ₃ ^q + f ₄ ^q (5.23)

φ = γθ ₁

γI _G θ ⁰⁰ ₁ = D

2 (−f ₁ ^p − f ₂ ^p + f ₃ ^p + f ₄ ^p ) + l(f ₁ ^q + f ₃ ^q ) − (L − l)(f ₂ ^q + f ₄ ^q ) (5.24)

3

2

1

7

9

各方程式を連立させて解くと次のようになる。

θ ₁ ⁰⁰ = Lm ₂ RX ₁ ( 1

tan α + 1 tan β ) θ ₁ ⁰⁰ = Lm ₂ f ₃ ⁰

RX ₁ (5.25)

ただし、

f ₃ ⁰ = 1

tan α + 1 tan β

X ₁ = γI _G + M γL ² sin(α + β) ²

sin α ² sin β ² + −M γ(L − l) ² + 2ILγ( 1

tan α ² + 1

tan β ² + 1)

5.5 4

車両の運動解析については、一般には

2

4

4

3

x, y

z

4

3

4

この不定要素について考えなければいけないのは、スリップしない条件であるが、カー ブの時のスリップ条件は複雑になり不定要素もからむためこれを求めるのは難しく、これ は考えないものとしてすすめる。

5.6 4

停止距離は空走距離

+

2

R ˙

d ₁

d ₁ = ˙ Rφ = γ Rθ ˙ ₁ (5.26)

θ ₁

θ ⁰⁰ ₁

θ ⁰⁰ ₁ = c ₀

Z

θ ₁ ⁰⁰ dt = c ₀ t + C ₁

速度

v

Rθ ⁰ ₁

t = 0

θ ₁ (0) ⁰ = v ₀ /R

t ₁

0

0 = c ₀ t ₁ + v ₀ R t ₁ = − v ₀

c ₀ R

となる。

θ ₁ ⁰

θ ₁ (t ₁ ) = − v ² ₀

2c ₀ R ²

d ₁

d ₁ = γ Rθ ˙ ₁ = − γ Rv ˙ ₀ ² 2c ₀ R ²

となる。これらのことより、停止距離についてまとめると、カーブのときの停止距離

d

d = t ₀ v ₀ − γ Rv ˙ ₀ ² 2c ₀ R ²

= − RγX ˙ ₁ 2LRm ₂ f ₃ ⁰ v ² ₀

ここで、

γX ₁

1/ tan β = D/L + 1/ tan α

γX ₁ = X ₂

X ₂

X ₂ = γ ² I _G + M γ ² (L − l) ² + M R ² ( D

L sin α + 2 cos α) ² + +2I{1 + ( D

L sin α + cos α) ² }

θ ₁ ⁰⁰

d = t ₀ v ₀ + RX ˙ ₂ 2LRm ₂ f ₃ ⁰ v ₀ ²

R ˙ = L 2 ( 1

tan α + 1 tan β ) f ₃ ⁰ = 1

tan α + 1

tan β

から停止距離は次のように求められる。

d = t ₀ v ₀ + X ₂

4Rm ₂ v ² ₀ (5.27)

を

v ₀

2

µ

U

U = 2Rm ₂ X ₂

となり、速度は次のように求められる。

v = −U t ₀ + q

U ² t ² ₀ − 2U d (5.28)

を用いる。カーブでは速度は密度と舵角によるので、保存則方程式は

ρ _t + q(ρ, α) q(ρ, α) = ρv(ρ, α) α = α(x)

となり、道路の形状を反映した交通流の流体モデルが得られる。

5.7

まず、前後から見た図を以下に示す。ここでは遠心力との関係について考える。半径

r

h G

N

N

D

Fig. 5.6

このとき

N ₁ + N ₂ = mg

また両方のタイヤが横方向に及ぼす摩擦を

F

( h

G

)

D

2 N ₁ = D

2 N ₂ + F h

このとき、遠心力と横方向の摩擦がつりあうことで安定した運転ができるので、

F = mv ² /r

N ₁ = N ₂ + 2mv ² h rD

これを

N ₁ + N ₂ = mg

N ₁ = mv ² h

rD + 1 2 mg N ₂ = mv ² h

rD − 1 2 mg

となる。カーブのときには一方のほうに荷重がいき、この場合

N ₁

N ₂

0

mv ² h rD − 1

2 mg > 0 v <

s grD

2h (5.29)

のような速度が横転しないための条件である。

6

停止距離と横転しないための速度条件を用いて、

Lax-Friedrichs

ρ _t + q(ρ, α) _x = 0

ρ(x, t + ∆t) − ρ(x+∆x,t)+ρ(x−∆x,t) 2

∆t

+ q(ρ(x + ∆x, t), α(x + ∆x)) − q(ρ(x − ∆x, t), α(x − ∆x))

2∆x = 0

の形で近似するものである。

道路のモデルは距離

1000 [m]

450

600 [m]

100 [m]

1000 (∆x = 1)

ρ(x, 0)

0.005 [

/m]

時間が

60 [s]

車のモデルの各値は以下のように設定する。

車の長さ …

4.0 [m]

0.4 [m]

重量 …

1500 [kg]

0.72 [Nm]

車の幅 …

1.5 [m]

4800 [Nms ² ]

0.5 [m]

2360 [Nm]

重心から前輪までの距離 …

4.0 [m]

この結果を

Fig.6.1

(c)

(d)

0.00498 0.00499 0.005 0.00501 0.00502

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

ρ

x

0 100 200

300 400 500 600 700 800

9001000 0 10 20 30 40 50

60 0.004992

0.004996 0.005 0.005004 0.005008 ρ

x

t

(a)2

(b)3

8.61 8.62 8.64 8.66 8.68

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

x v

0 100 200 300 400 500 600 700 800 9001000 0 10 20 30 40 50 60 8.63

8.64 8.65 8.66 8.67 v

x

t

(c)

(d)

(3

) Fig. 6.1 r=100[m]

実際でも曲がる時はブレーキをかけ速度を落とし、直線に出てからは速度を上げていく のでこの結果は妥当であることが言えるだろう。

次に急なカーブについて計算する。カーブでは

r

r = 50[m]

とした場合の計算結果を

Fig.6.2

グラフの形は同じであるが

Fig.6.1

0.00498 0.00499 0.005 0.00501 0.00502

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

ρ

x

0 100 200 300 400 500 600 700 800 9001000 0 10 20 30

40 50 60 0.00498

0.00499 0.005 0.00501 0.00502 ρ

x

t

(a)2

(b)3

8.61 8.62 8.64 8.66 8.68

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

v

x

0 100 200 300 400 500 600 700 800 9001000 0 10 20 30 40 50 60 8.62

8.64 8.66 8.68 v

x

t

(c)

(2

) (d)

(3

) Fig. 6.2 r=50[m]

次に、

r = 50 [m]

0.001

Fig.6.3

Fig.6.2

次に、速度が一定のような場合で数値計算を行う。最高速度条件では

r = 50 [m]

およそ

97 km/h

6 [s]

を繰り返し考察する。

速度を

70 km/h

Fig.6.4

逆になる。この場合カーブに入るときは一時的に速度が下がるため密度は上がり、カーブ

0.000996 0.000998 0.001 0.001002 0.001004

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

ρ

x

0 100 200

300 400 500 600 700 800

900 10000 10 20

30 40 50 60 0.000996

0.000998 0.001 0.001002 0.001004 ρ

x

t

(a)2

(b)3

19.64 19.66 19.7 19.74 19.78 19.82

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

ρ

x

0 100 200 300 400 500 600700 800 9001000 0 10 20 30 40 50 60 19.66

19.7 19.74 19.78 19.82 v

x

t

(c)

(d)

(3

)

Fig. 6.3 r=50[m] ρ(x, 0) = 0.001

から出るときは密度が下がるのに応じて速度が上がっている。またカーブ内でも一定の速 度であるためそれに応じて密度は下がっている。

0.00102 0.001025 0.00103 0.001035 0.00104 0.001045

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

x ρ

0 100 200 300 400

500 600 700 800 900

10000 1 2 3 4 5 6 7

0.00102 0.001025 0.00103 0.001035 0.00104 0.001045 v

x

t

(a)2

(b)3

19.3 19.35 19.4 19.45 19.5 19.55 19.6

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

x v

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

10000 1 2 3 4 5 6 7

19.3 19.4 19.5 19.6 v

x

t

(c)

(d)

(3

) Fig. 6.4 r=50[m] v=70km/h

次に速度制限をこえてしまう

100km/h

Fig.6.5

7

停止距離モデルを用いた流体モデルでのカーブにおける交通流のモデル化を行うにあ たって、従来の動摩擦係数を用いたモデルではなく、タイヤの回転運動、車体にかかる モーメントのつりあい、垂直抗力から車の運動そのものをモデル化し、これを静摩擦係数 によるブレーキをかけたときのスリップしない条件で、直線でのモデル化を行った。これ をカーブについて考えるためカーブでの車の運動を考察した結果、カーブでは摩擦が縦方