半無限弾性体地表面点加振解の無限積分を有限積分で表す方法 : (続)内部減衰を考慮する場合

(1)

【論』文】 UDC ：624．131．55 ：624．042．7：517

髀

謬

黔鯱鷲蟹鐫

半

無限

弾

性体地表

面

点

加振解

の

_{無限積分}

を

有

_限

積

分

で

_表

す

方法

（続）内部減衰を考慮する場合正会員小林俊、夫室　 §1．まえがき　地盤と構造物との動的相互作用を評価する際，地盤を半無限弾性体として扱う方法がある。このとき，基本となる地表面への定常点加振に対する応答の_解には．無限積分表現が含まれる。文献 1）_{では} ，この無限積分を有限積分に変換する方法を，地盤の内部減衰なしの_{場合}について_示した。本論文では，地盤の内部減衰を考慮した場合について，減衰なしの場合と同様に_無限積_分を有限積分に変換する方法を示す。　§2．内部減衰の表現方法、　等方均質な半無限弾性体は， 3つの独立な物性値で定義づけ．られる。・ここでは次の 3つの物性値を用いる。　　　密度　　　 ρ 　　　ボアソン比　v　　　・　　　せん断剛性　

G

　ここでは，内部減衰の表現方法として複素せん断剛性

G

を用いることとし_，’その表記方法としては文献6）_に倣って（1｝式を用いる。　　　

G

　＝Getfe……一 …・……・………・…・………_（1_）　ただし， G ：無減衰想定時のせん断剛性（実数｝　．．『

・一

者

恤伽 h ・減齪数……（・）一_{般的}には複素せん断剛性の表記方法としては_，　　　G ’＝ G ’（1十2　h_：_〕　 1 が用いられることが多いが，　　・h＝ h’，G ＝G ’1_十_（2h’_）t と対応させておけば

G

＝

G

’となり，両者は同一物性の地盤を対象としていることになるので，ここでは後述する理諭式展開の際の簡潔さを尊重し_， _{（1 ）式}を用いることとする。　一方，密度ρとボアソン比 P は実数とする。したがって複素ヤング率 E は　　　ξ； 2（1_十_ン）

G

＝＝2_（1_{十 v}_）Ge：ie＝Eet‘v・・・・・…　_{（3 ）} 　ただし，

E

：無減衰想定時のヤング率（実数）となる。　 §3．上下動の場合　3．1 無減衰の場合の上下点加振解　地表面に円筒座標の原点を置き，深さ方向をz 軸とし，水平方向を（r，e）で表す。内部減衰が無い場合，原点への上下定常点加振に対する地表の上下応答 w は_，文献2）により（4）式で表きれる。

・・一

黜

、，qt．

畢

、吻 … q・・

dq

　　　　　　・…：…曾…　r・・…鹽・・『・・∴・・・・・・・…　（4 ）

ここに， q ：＝ a：＋ 12 〒β i ＋

_ガ

_．

’ q1：_{積分変数}

’一覗 VL一

写

（、＋

詬

崔

、y_）　　　　　　　．1　・・．　 tt ；縦波速度

・一儡 Vr一

袴　

_・瀲速度　　　　　諞・｝：n 次Besse1関数　ここで，積分変数をqから　　　q≡ _ζ_ノ，　dq＝

jd

ζ・・一■齟・・一・・・・…　．・・a−・・・・・・・・・・…　（．．5）なる変換で ζに_変え，また　　　　・　　　α＝ _？_ゴ，　_ノ_〒_α_／r．・・…。・噛凾幽・▼・・・・・・…一・一・ ∵∵・凸（6 ）　　　γ＝1／

j

＝＝ Vr／VL＝＝　1−2v _／21 −_v　L・・・・…　_（7_）なるパラメタを導入する。このとき　　　α＝・〔q：− li_）1／2＝

K

_ζ_ブ_）2−_（ γノ）tll ／2霜’（ζ’一γ2アノ2 　　　　　　　　　　……・………・…・……・一 …・（8）　　　β＝〔_（it一_ノt）1〆2＝

1

〔_{む｝}t一_ノt｝1／2三_ノ_（ ζt− 1）1 ／ 2 　　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…　凾・・・・…　一・r・（9、）となる。これらを用いて（4）式を整理すると（10）式が得られる。， ω一

_T

−

1 ｝

；

／

ZEua

_・

∬

、，

r

＋

鑑甥

。_、_。− 1_，、／i 　　　　gJo（ζα）d_ζ・・一・…　一・・・・・・・・・・・・・・・…　◆・・・・・・・・・…　_（10_）零鹿島建設技術研究所・工博　（昭和 61 年11月7日原稿受理｝　 3．2　内部減衰考慮の_{場合}の上下点加振解　内部減衰考慮め点加振解を求める方法としては_，文献3）の一般解を用いた文献t｝_の_{無減衰}_の解に対し，せん断剛性を複素数．とすることに伴い各種パラメタを修正する方法を用いることとする。その理由は，支配方程式である微分方程式の係数が，実数から複素数に変わるだけなので，解法がそのまま踏襲サることができるためである。　せん断剛性を複素数とすることに伴い，各パラメタは一

₅₃

一

(2)

以下のように変わるe

＿＿＿＿＿＿．．＿＿＿＿＿_（₁₂_）

V，：

YT

＝蘰万

q2＝gt＋

1i

＝ _ダ＋

i

’・・；一 …………・………」（13 ）　　　　　　− Ge3‘’ 〆尸而万 e‘’呂y ，e ゆ　　　　 E＝（q’一

1

’ ｝v 』

K

_ζノ_）一 _（_加イ騨 μ

V．_、・

Y

、・・

V7

、1＋

Jiil

！

2

の

．

』 β

：

鷭羅糊

一、、， _，

〆

……_・_{14 ・}

一

咢

、1．

1

、

孟

≒

、〆一囃

諞

霸

tl

Σ

e

厳

衰考慮。場合。点加振嗣、，

°…’…………（11 ）

_！_無_減_衰_の_{場合}_の_解 _（₄_）式_を_修_正して _（15）式のように

j

：_ノ冪ω匹聾＝ ω／Vre‘e＝ノe −t“_，

_j

＝

ietp

i

求まる。

’：‘＝ω／V、＝ ω从 e崢＝‘θ 一‘・_{， t}_＝

1e

‘’

i

　　　　呷　　　　　　　　　傳　　　　　　F

ψ一一

鰐

∬

薦

・（・繭

、

，「、．

、，

・_一一，

器

・

r

、、，，．，一

離詫

芝

り

：

書

鮨

矯

．

押

’一・一一 …・…・一一一（15 ）　ここで

E

（ζ｝＝（2ζ：− e−2fe）2− 4ζt（ζi一_γ ： e−t‘e_）1〆：〔ζ：− _e−t ‘“ ）1／t・・一一…

凾・∵・・∴・・…

一・・・・…

。・・…

∵・・・…

‘・・・・…

■■・・・…

含゜’…’（16）とする。これは減衰考慮の場合の Rayleigh関数である。さ．らに，関数論の適用の際，複素平面の上半円に対する積分値を0に収束させるため，次のように案形しておく。

「

．

、

』

」

・一一_、

黔

・

∬

孛

（『一

裁

睾

1

野／！_…_ζ… 一一，

器

争

∬［

〔

ζ（針一

養

i

詈

1

鄲

孕

・e：tp_・_・一_・

｝

一_・

噛］

_J

_．_・_ζ・_… 一，

器

［

1−，

≒

∬陣

継

…

躯

・

ld

_・

］

…・

1

：：

1

．．

（

i7）このとき，公式

　∬

蝋ζ・）dζ一1！・（・〉・）…・一 ………（18）が用いられているe ’ 　（17）式において

r

・−

xm

’

1

ζ（

ギ

蕀

誓

ア／：＋・1− ・

｝

J・ζ・・d・　　　　　　　　　・一■・・■t・・・・・・・…　輔・・・・・・・・・・…　▼凾凾・（19 ）とすれば

・＝＝_，

器

≒

Z

（

　_『 a1 1＿v×

）

・…・一…_（・・）となる。・　3．3Rayleigh 関数

E

（z）の性質・唱　複素変数 z に対する Rayleigh関数興g）の_性_質を謂ぺる。　　　Irtz）＝ _（2　_zt− _e’up _）t− 421_（z2一_γte−u“）1／：　　　　　　・（zt− e−tte ）1／2− …・・………・… （21 ）ここで　　　2編：_ζθ冒‘¢ 　　　（ζ＝ ze ‘9｝・一・・・…　噛・・・・…　一・・・…　（22）として代入する。　　　

E

（ζe−‘ ”＝ e’4‘『（2_ζi− 1）：− 4ζ3（ζ

1

一_γ：）i／°

・くζ_｝−1｝v3｝＝ e−°‘“F（ζ）・・・・・・・・…

。（23）ここに

F（ζ）冨（2

ξ

・− 1 ）・−₄ ζ・（ζ：一 γ2）’ノ：（ζ’− 1_）’！t 　　　　　　　　　。…　r・∵7r・・・…　？…　‘…　一・…　一・…　（24）

i

は無減褒の場合の Rayleigh関数である。このとき

i

F （ζ）− 0………・………・・…・……（25）

i

の根はRayleigh　Pole_ζ＝±

9

，（実根〉のみであるから　　　 F（z_》＝0 ・・・・…∵冒宀・◆…　一・・・・・・・…　凾・・■・・■■・・・…　■一・・（26 ）　の_根_ζ_o も（22＞式より　　　　ζo＝ _±

9be

・−te…　■一・・・・・…　噛・・・・…　。…　r・・・・・…　一・一…　（27＞　のみであ_ることがわかる。　　一方，因数（ガーe’US ：／’_および（z’ T _γ2e”tg）1！2の分　岐点は　　　　琴＝ _±e曽‘？，　、Z＝＝± γe −‘e・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… 　（28》　の 4 点であり，これと（Z7）式の減衰考慮の Rayleigh 　Poleも含め，すべて直線．　　　　z＝ ±re−‘e　（変数 r ，　g ：定数） ………_（₂₉_）　の上にならぶことになる（図一1 ）。　　3．4 上下点加振解に_利用する恒等式の誘導　　複素関数vf（z｝に関する複素積分 vl を考察する。

・…

争

ガ

護

響

＋・c

｝

脚

一（・・）

ノ

矚・。　　叩一仰一複素平面 γ8一ゆ Fr 　 ζb 一如　一」一γ 0 ワト減衰無の場合 γo一岬ゼ佃　ぴ「図一1 特異点配置一

₅₄

一

(3)

ただし， vc ＝ 1− v

幽一

÷∬

ex _・

1

− i_（・・−zsin ・）

ld

・　　　　　　　；変形Hankel関数（文献1参照） v・一

∫

・f（z》dz ・一 …・………一・一（・・） c皀一〇一帥一_為一伸尸」　　一ゆ一_γ8 」一L8h 」 L o γげ齢 o一ゆ菊e一伽図一2 積分路 z 0 、、₂_、_、 ψ β ワ輝瓠図一3　（z一β）IXt の 1価正則な領域図一4　（Z±− fitr／t の．1価正則な領域一β λ ： θ 0 臼← ψ β 図一5　z がB の上岸（B†）にある時の偏角図一6　z がB の延長上にある時の偏角ここに積分路

C

は図一2に示す閉曲線である。　ここで，複積分関数に含まれる 2 価関数　　　（21一β2）匸／2 ，　β＝ γe 一ゆ・…………・・……・…・（32）に対し，上記積分に際して 1価正則となるような分枝を次の _{よう}に定める。　一般に　　　（z一β）1／1＝（e‘ψlz一_β1）1〆1＝ ete！／丁珊　　　　　　・・………・………（33）　ただし， − p＜ ψ〈2π一Q は図一3に示す複素平面上の半直線A を除いた領域で 1価正則な分枝である。これを用いて（zt一β t ｝’／t_に_ついても 1価正則な分枝を次のように定めることができる。　　　（zi一_β2 ）i！t_＝（z一_β）i／t 〔z＋_β｝1ノ：　　　　　　　　＝ete／霙》屑丁×eU「！顧　　　　　　　　＝ e醒ψ＋苅／I　Iz2一_β讐1 ……・…・…（34 ）これは図一4の _{線分}B を除いて 1価正則である。　こうして定義された1価正則な分枝について，図一2 の_積分路の_各部分における表現を求める。　まず，上半平面上において積分変数 z＝　rete が

B

の上岸B．にあるとき（図一5），

1 ：

_葛

π一ψ

卜

…・…∴・…・…………一 _（₃₅_・となるから（34）式より　　　（z2一_βt_）i／t；_e’aψ＋n／2 　1z’一 β：1 　　　　　　　　；eaπ一P−P｝／t 　 l_〆e−tiv一_γte ’：‘Pl 　　　　　　　　＝　ie’teV5r ；’＝−

i

：「・・・… 　尋・・・…　一…　一■・（36 ）　次に積分変数 z＝rete が B の延長上にあるとき（図一6），　　　　　　　　　　　 ”

鱈

；

遭

π

静

｝

一… ……・…・……一（・・）となるから（34）式より　　　（z：−

fi

り1／：＝_e“e＋n／1 　1z：一： β：1 　　　　　　　　≡e“「−V＋「“Pt／t　 lrte’”g一_γ2e −2sg1 　　　　　　　　＝ −e−tvVF ＝

57

；i − ………_（_{38 ）} 　次に積分変数 z＝rele が B の下岸

B

一にあるとき（図一7）

1 二

躯

_；

ψ

卜

…一 …・………・…（39 ・となるから（34）式より　　　（z2一_βり1！：＝＝　_e“e＋m！3 　12t一β31 　　　　　　　　呂8雌一9＋2「一例！2 　1rte冒ltp 一 γ．e一郭り

1

　　　　　　　　幕一‘e−‘ワ_》『

F

…：：

7i

「・・・…　一呷卩呷…　一・（40）　最後に積分変数が実軸上を動く時， z＝ x＞0として図一8の記号を用いれば

1 ：

_窓

｝

……一 ……・…一 …………・…・・（41 ・となるから（34）式より　　　一 55　一

(4)

図一 7_{x が}B _の_下_{岸（}B．_）_{にある}_時_の_偏角図一8　z がB 実軸上にある時の偏角．琴一1．．2価因_熱_の1価正則分枝　　　「積分路．．Z の変垓．（zB一γ露e一脚）1儒〔z3−e−3‘つ呂儒 L一一ζく0 一〔ζ3一γ霧e’2ぼ’｝L個一｛ζ2re −2‘_り

1

’2 L1 0＜rく_γ コ_ー ‘・一‘’糎．噸一「’澗し ₂ シ〈 r 〈ピ _一 ♂・将」 1 睡 1＞r ＞ γ 」 N γ ＞ r ＞0 由一卵_澗 ‘eτ姫_府　　　　　　　　1 L＋ ζ＞0 〔ζ2一γ 一2_つ↓’3 ．，〔ζ2∵e−3医’_）．”2 　　 ’

（z2一β：）1／蟹_＝（x：一 βり1／圉〒θ

讐

_‡苅／t

lx’一_β「1、 ∴ 、 ∴

＝ ρ轡雛 1 蕪β2i ’’’””・

1

；

i

（42）同様に2〒

7

ヱ〈04）_ζ

き

　　　ψ＝ _ψ_を_〒_π_十_為　　　　　　　　　　　・…　．・・・…　■■・…　L・・・・・・・・・・・・… （43）　　　x＝ _為_ヂπ＋ ψr　　、　　　　　　　．となるから（34）式より

（」〜一_β：）1／t_＝

1

（−X）：−

fl

：

li

／

f

’＝ _〔野ψ†

卸

／髴

izi一β彗：

．．

．’』

’＝ ♂π＋xi＋ π ＋“di〆1．

1

（−x｝2一_β31、　　　　　　　＝ − e−“ex←XSi／

i

．　1q，2一_β2卜・…　r ∵（44 ）したがって（42 ）．式と．_（44）、式と_耕ら・・tt．

、

i

，　　　

1

（一）2一β21i／「＝一_（_げ一_β琴_｝V2…………・……_（45_）とな．る。　　　　・　．．．tt・． ∴．．，同様な方法で・（30_）．式1；含ま_尊_るもう_．1つの．_．2．価関数　　　（zl− e−±‘e ）1〆t・・・・・・・・・・・・・・・・・…。・・・・・・・・・・・・・・・…_（

46

_）につ

U

ても，（32）式から（45）．式までのβ

_を

．

、

βゴ_ε一‘ワ…∴ ；・…ニ…・…… ∵……∵…・…：……（47＞

i

と置き換えることにより，積分路の各部分におりる表現

i

（3_．）

Ll

上の積労塩　　　　　　 li ・、，一

∬

｛

（

L

　_re ’‘’ ）（一酵 _冊）e’ue を次のように求めることができる。　z が B の上岸 B．にあるとき

．（

2i

−：

R

・）if・t_・_ie−・・ノ

i

＝

7

・_，一 …・・一・……_（48 ）　2 が B _{の下}_岸B 一に．あるとき

．（z’一β

1

｝

Y

’一一‘ρτ‘

r4F

〒

r

・・7_：’一 ……・・（49）　z が実軸上にあるとき　　　

1

（−x アーβt｝i／：＝一（xt一β2）且／「・……… （50｝　これらを図一2の積分路各部に対応させてまとめると，表一1のようになる。これを用いて，各積分路に対する積分表現を求めてみる。　（1 ＞L 一上の_積分 1，一　　　　 ’ ’ 　・・ −

f

．

｛

ζ（

、

岩

呈

≡

鐸

γ／！_・_・_c

］

u

・・ζ・）・・　 ’ ．　　　　・■■・・一一・・・・・・・・・・・・・・…　t−・・…　。・…　（51）ここ _で_積_{分変数（}_ζ_）を（7 ζ）_で置き換える。このとき　　　F（一ζ）＝F（ζ｝・・・・・…　■＋・・・・…　■■・・・・・・・・・・・・・・・・・…　（52）が成り_立

1

から_次式が得られる。

… ＝

：［

（一ζ）

1

−（ζ2一γ2e −2‘P）1／21 　　　　十vc 　　　

E

（ζ｝etCP

］

・

_u

・・一・ω ・一… −

f

｛

ζ〔

gt

云

る

暑

≡

響

…

IU

・（一ζ・）

d

ζ…一・…………・……（・3）　（

2

）．／L．上の積分私

・・一

∬｛

ζ （

監

≡

：

f

「

￥

’

4i

． ’

1

’ ＋

趣

… ζ 　　　　　　　　　　・・・…　膠・・・・・・・・…　一・・−r・一…　。・…　（54）　ここで，n が 0または偶薮の時に成立する　　　型「閥（ζα）＋

Un

（一ζa）＝2　Jn（ζφ，　　　　　　　　（n _；0または偶数）…・…・………（55）なる関係（文献1，_{参照）}_を_用_い_{れば}_次_式_が_{得ら}_、_{れる} 。

・・＋・L−−

f

。 ’

｛

_る

暑

響

祠

　　　　　1・

IU

。（ζ己〕＋ ’ H＿e（一ζ

d

）｝dζ

一 _・

∬

1

ζ（

る

1 ≡

咢

γ／t＋vc

］

　　　　　　 Je（　

9a

_）d_ζ＝ 2_×_vl，

1

_（19_{）式よ}_り_｝　　　　　　　　　　・・・・・…　：・・・・・・・・…　一・・…　∴ ∴・・・…　（56 ）　積分路L、，為，Ls，　L，上では，　　　2r＝ −re 」SP ，　　dz＝ − e −‘Fdr t−・・一・・・・・・・… （57）なる関係より，積分変数を．z から r に変換することができる。

・r ・・喫

∬

1

．，，。． 1_）t_{．、}_。汀

7

_、

F7

（4） L‘上の積分

L

− ．

₅₆

一（2〆

le

一塁‘・− _e−2‘ つ’＋4・_r‘ eL ’ 2‘

哂

7 屑

7 ・−2 ゆ　　　　　　　　‘7 炉＝ア．．＋ vclij ・（− re −・・ α）（一・”・d・）・vc

｝

i

_」・（一・・ … α）d・…・……・…・………・…………一（58 ）

(5)

（2r「− 1 ）’ 十472 ！

i

「：7ア『》

5

戸匚：：下「したがって次式が得られる。

．’．．rV5r ：i＝ ’

Fi

…−

x

｛

，，。，。

跨

…

器

需

鵠

，一・・e ・vF

］

…− re −‘’ ・）・一酬一一

イ｛

‘7 研

7 　

− ・C

｝

U

・← ・・一

噺

…・：・…

1

……・………・．

（

・9・・・

1 †

・・一一・・e …

∬

（、。．1）

r

．、。＞

F

ア研

7

耳・（’r・一‘’ ωdγ’””… “”… … … ”… ’（6°｝（5） L2上の積分 1．・・，−

f

． ’

｛

（− 7e −‘ つ（− e−‘e 》四 7）e’：tp

一一

4 ！

剛一岬

戸

両

（6） Ls上の_積分島　　　　　　（一　_re−‘_つ（− e−5r 碑 _）e−ltp （2rte−t‘e一 θ一2岬）！− 4　r！e−i‘PiV 炉 y両「θ

．7研＝ア．。、，＋・clu ・（一・・一ゆ ω（− e’”

d

’ ・） …−

f

”

｛

…

li

」・← re ： ‘・・）

dr

…・…一 …一：一・・…∴…………・（61）．＝ _・一・・

f1

’

（

（272e−3‘9−_e 厂2‘の）3十4．77_¢−2‘eiVF7fi 　　　　　　　r研＝アー．．一、、。＋vc

｝

4

・← re −・・ ω （一 ’ e−spdr _） e

（2・2− 1｝：＋4‘・2冱＝

ア

碑したがって次式が得られる。 1、、＋1・，＝一』一ゆ

∬｛

7_両・・clU ・← rti −・・助 …・一 …………・…・∵・・………一凾（62） 7 _冴＝ア一一_・i_・一・・

∫

且（2〆− 1）・ 74 ‘・＞

F7

／

7

＝ア（2・’− 1）’＋4　i・’　

fi

》

V

；’＝

57

；’ 、、。

善

ll

編

1

籌

，

ll

− _，、

i

・・

1

− _・_・一・・_a ）・・ ………一・……（・

e

・　（7）留数の定理　図一2の積分路に囲．まれた領域においては，被積分関数vf （z）はRayleigh　Poleを除い』で正則である。したがって留数の定理より次式が成り立つ。　　　vl ＝2　ni　Res　

ivf

（2）；ζe｝”…・…・・………（64）これを各積分路ごとに分けて書くと次のようになる。　　

i

（

f

。．．＋

乱

＋

fh

．。

紘

）

vf〈・）dz ．．

：

i

｝

4

。← re7 ‘9a _）_dr 　　　　≡ 2πiRes1，f（2）；ζo｝・……・・………・（65）この 4つの_積分の内，第 1項は（56）式より2×，1に等しい。また第4項については，　　　lvf（z_）1→ _θ（．12−21）　　　（Izl−Ooo ）・・・・・…　■…　（66）となることが文献1 ，に示されているので，その積分値は 0になる。・これらを考慮して次式が得られる。

・・− r・iResi・f（・）・ζ・

1

−

S

（

五

．。†

ゑ

り

）

・’（・）・・一　n ’

i

Resl

・ ’_f （x_）；　

S

｛｝．

・ ‘・一絶

∬

（、r，．

1

_）2 ．

1 蠕

研

7

鄭（

7 　

re−… ）dr

梅・

ズ

、，。

雲

11

磊

1

響

尹

、

ll

、．，，猛・一_・_e−・ … dr ……・・………一 ……∴……・……一 …・（… この有限積分結果 vl を用いて（乞O ） ’ 式より上卞点加振解が得られる。

．．

．、』

．一．1 　§

4

．水平動の場合　　　　　　．　　　　　　 1．

4．1 内部減衰考慮の場合の水平点加振解

_｛_．

，．

まず，内部減衰が無い場合，原

点

への水平定常点加

振

た対する地表の加振芳向の水平変位 u＝は，女献 2，_で与えられひる・叫輩その表現鰭干

顰

して獄

で

表すこと肘筍

r

・

胃

詈

∫

°b

｛

（

βq　　　（2q’−βげ」2）2− 4　

d

_βq’

）

J・・・…

（

音

・、，，一

鮎

ψ，・

）

Jl・・）・・S2 θ

ldq

−_：…・…・・（68 ・次に内部醸舗 _の場合の_水平点

_曄

解 _讐

_蹄

驪

_興

ん黼性を騾数覿とする

9

とに伴う各パラメタの修正により（69 ＞式のように得られる。 ’＼，　　　　一、

57

一

(6)

・x− ・

器

∬

｛

（

E

− ，，。．

罪

｛

、 aAqt

）

J・・q…

（

E

・_，，_。±

募

ζ

_嬢

）

・・

の

… s2el ・

d

− …（69・ここで（5 ），（12 》，（1_タ）_．式を用い

gq

，

i

，！，虜を ζ，ノで表現し，さち．に _（6_）式_を用い _て」をα／r で書き換えると次式となる。

9

・一、

黔

÷

∬

1 （

，

et

．

論

，・

ζ‘

9

’『e−：te ）1 ／2e 艙Ugp

）

J，・ζ・

・

（

ζ 「

二_←

ζ（ζ2一召「3‘e_）_｝ノ_『_θ一U9

、（ζt− e−t‘ つユ／詈　　（2ζ：− e’ue ｝t− 4（ζ2一γ：e−2‘曾）1 ！ 2（ζ2− e−21P_）1_／1

）

J・・ζ・… S ・e

］

d・・……・……・一（・・）

ここで後に関数論の適用の際，複素平面の上半円に対する積分偉を0に収束させるため，次のように変形しておく。ここで簡略化のために，（16 ）式の表現を用いる。

’_Yx＝・

器

÷［

・・

丁

既

r

∬

1

_、

S

・．

歸

≒

ζ（

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i

襲

罪

一_・_・一

伽

・・

・

（

・＋ aX °°

1

・・一

飼

・・ ζ（

編

i

…

罪

”_一・

1

・・

鋼

・・s2 θ

］

…二

1

…一∴・・−

1

・…

ll

−t−．−_t−一 …；〈71・このとき（18 ）

_夢

用いら

_導

てい

や

・

・．セ永平_点加蠏鯏用する恒等式_礪導

ここで

まず（72）式で表されている ”iiを有限

嶺

分化するた

H・… 　

XM

（

、、’一。

・・

巡

端

ii2

／3

めに

T

．複素関

卿

）に関する鞣積簾考察…

一_・_・一

小

嫩 ……・一 ……＿．，72、

・…

2 ）

’ ＝　一　

1

、・．

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・ − z〔

犠

ii

罪

〃

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・一

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・ ζ

1 諞

…

罪

・・

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．

L

，

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₁

”… …… （75 ）、すれば・

騨

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∵

’”’°’””°

∵

’¶”’”°◆”’¶一一゜一（711

．．、：。一

∫

，、，．，d．．．。．

1

………．．．．．．．．．．_、76_）

戦

黔箸

一・×”，

議霜

嬲

、

駄

纏齢臨

_{正，}

i

_。_選

＋（v ＋αXπ勾cos 　2刮”………・………（74 ）

i

ばれ_{た表}一1の分枝を用い，積分路各部に対応した積分となる．

i

表現を求める。　（1）

L

一上の_積分Iu　　　　　　　 ’． ▼

・・一一

丁

．

〔

，，．。

髦

轡・ t 一ζ（ζ

議

ii

字

／t − RC

｝

u

・・・… ……・一 ……・一 …・・………・∴・・…………77・ここで積分変数（ζ）を（一ζ｝で置き換える。

・・一一

ズ［

．、

ピ

夢

轡・・一（一ζ）

1 語

誌

i

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”

L

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一一

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｛

、梦．

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｝一ζ（ζ

漏

iii

字

〃 −

_hclu

・← … d・一 …・…………・ ∵ ・………；一・…・（78 ）　（2 ）L＋上の積分塩（2 ζ2− eTtt ρ ）：−_{4 （} ζ2一γ2er ：‘つ》2（ζ2− e−2te ）1／：

（ζ2− e−3‘ つ1／2

霆

1

（ζ）eue したがって（55）式を考慮すれば次式が得られる。　　　　　　　　　　　　ζ ζ（ζ’−_e−：‘ つ1／2 ・・一一

∬

1

一一一 ζ（“ ’“_e−t‘“ ）i！

≒

鴻

｝

_姻

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一

｛

L − 一

∬｛

一一・

∬｛

（ζ「− e72‘e 〕1 ！：　　　F（ζ｝e：

f9

，、　　　 ζ ζ（ζ：−_e ；tt9）v2 一・

c

1

li

」・（ζ・）・

i

」一← ζ

4Md

ζ 　　　（ζ3− e−8‘9 ）1／ 2 （3） L、上の積分 1，，tt” ．

i

・，一一_．

（

’

1

F（ζ〕e：te 一・

C

｝

ゐ（ζ・）

d

ζ一・×

yli

1

（72》「式よ・ト・・…・…・・…_（_・・_）　　　 1 ．_、_。… 府，、。

読攀

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黔

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．一

₅₈

一

(7)

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，。、− re −・・。）← e −・v_… 一一_・_e−・・

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｛

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_，，。．1

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圃

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．＿．＿．＿．＿＿．．＿．＿＿＿．＿＿．＿＿＿＿・…・…・…・・…・…・_（₈₁_）

・ぜ・（一ゲe −‘“ a）

4

・

1

… ：’… … … …∵一’… （4＞ L4上の_積分乱

i．一一

ズ

｛

− _re−‘’

← re ”“ ）（’e“‘“

tW

》e’2tPt

−、、。 − Hcl ．

ie一幻戸一（2・_r・_e−ti “− e−・・つ・＋4〆・ −2‘・厨》卿・　　　　・Ho 〔− re ’‘ea ）（− e’‘edr ）

一一・_・一・・

X

’

（

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・（，〆．1ア．

鼻

濡

、

r7

（5 ） L，上の積分塩

・_、、一一

f

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（

− _re’‘“

← 「e−’e）← ie 一陶

F7

）e−2t“ ・_．

i

・

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｝

i

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9

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_（2_〆_e−… 一〆・つ一 ₄_‘_〆 θ 一2‘・冱＝

7

♂

7

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ズ

1

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議

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｝

＝ − te

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ズ｛

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1

　　　　・Ho← re −‘ea _）_← _e−tedr ）

一一・・一・

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≒

碑

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・一・一一・………（84・（81 ）一（84）式より次式が得られる。

ii・・・…

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≒

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−_・_ie−・“

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一_・

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・一・

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｛

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（

1 ≦

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，− rt、… − _re−・・・・… …………・…………・一（85・ここで右辺第 1項は r → 1_の時被積分関数が発散するので_，次のよう．な変数変換をしておくことが数値積分上望ましい。

・一 _・

in

詈

ξ・

dr

一

詈

・・S

詈

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ξ ・∴・……一一 ……・…………・…一・………… … ’… … … ∵閧’°’呷’°（86 ）

f

， ’

k

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ξe −’“_a

）

9

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g

…

一

詈

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（

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晋

ξe−t・a

）

・ξ………一 ………・……（87）　（7 》留数の定理　図一2の積分路に囲まれた領域においては_，被積分関数 Hrl 〔z）はRay且eigh 　Poleを除いて正則である。した

がって留数の定理より次式が成り立っ。　　　”、＝ 2　ni　

Res

1

、

A

（z）；ζ。卜・・一 ………_（₈₈_）これを各積分路ごとに分けて書くと次のようになる。 e・i− ・・Res・

i

・＾（・》・

蝪

工

．。＿調・・一・・Resl・＾（・）・ζ・

1

…

（

L

．．＋

x

。，．。．恥．。＋

L

．

）

gf・（2｝dz

＝　2　rri　Res 　

1

”

A

（z）；_ζ・

1

…・…一・……一・（89） 1 この 3つの積分の内，第 1項は（80）式より2×画に，

i

等しい。また第3項については文献 1，と同様な方法によ

i

り 0となることが示されるので，次式が導かれる。

i

．一‘’

詈

ズ

s・

劉

一・

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ξe −tφ_a

）

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59

一

(8)

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1

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、

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・・

_♂

_・_・

_d

・…・・………・…∴・…∴・・……… ………_（_…

（8 ）（73 ）式の商についても複素関数 ”以2）の複素積分HI ：を考察することにより有限積分化することができる。

Ef… ）一

｛

，。．

詳

；

…，。＋ z（z’− e’u’ ）t／’　 ’ F（z）e… 　 − _v

｝

u

・・・… ……− 1，一一一 …・・…一 …。・・−t・一・…1・（91）

il・−

JC

…（・）dz …………・・……・・………・………・：，一 ………∴ …・一・・………（92）ここに積分路 C は図一2 た示すものである。　　　・　　　　　　　「　　　　　 ’、　

1

　∬

fi

（2）に対する．A（z〕の相違点を比較すると，　　　　　　　、　

i

）｛｝内の第 1項の_符_号が異なる　　　　　　　l 　

ii

）_ぜ。〔za）の代わりに

U

：（za）となっている　　　　　．．　．　　　　　　　 ’　一　：．　甫）

1

｝内の第 3項定数が異なるド　　ー　　　　　　　　　．　 ’L ” の 3 点である。この 3点に注意しつつ _HI_、の求め方をトレースすることにより涛が次のように求められる。

商一・・Res 蹴 _藪｝一_・_・一・’

晋

∬

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一。

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… 欄・ …・…・・……・…………一・，・…・一・93・被積分関数．　 O．2 0，1 o ム_O，₁ 一_〇_．2 ’ 図一9 …．』．．．一．．．門1 τ『−’”齟

_ξ

τ　　　　 7 　　　　 1 4r■’丁＝尸【〆一　星「’　　一 h卩（−re−’．a）阿＋脚一岬プ｝恥噌

i

〔訓一1 ア細「「“ 　　　 … 一　　 …

i

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1 　

… ．T．．『．『”T−’_−…1 実部

｝

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…

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i

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i

　　　曳，＝二・∴−

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二・那・・2：『｝「、　　　 … 諏

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i

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i

… と … ・

i

’・

i

_．_．

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》

_J

i

上下応答基本関数の被積分関数（v＝1／3，α 　＝le）被積分関数　O．4 0 一_〇_．₂ 　　　 ζ うして有限積分化された HI、，襾を用いて（74 ）式　　より水平点加振解が得られる。　　　　　 ’ 　　　 §5．計算例　　　 5．1 地盤物性の _{振動数依存}_性’・” 　　　ここまでの理論展開では」定常加振に対する定常応答　　牽対象としているので

1

地盤物性の振動数依存性につい r ては何も制限は加えら_れていない。ここでは簡単な例と　　．して地盤物性を振動数に依存しない定数の場合を扱う。

振動数に依存しな｝い複素剛性に対しては，時間領域の　　応答で因果律を満たさないという指摘4）_{がある}_。_{しかし}_，　　ここで扱っているような地盤と構造物との動的相互作用　　といった類の現象は，いかなる数式でも記述し切れると　　は考えられず，その及ば_槍．どころの程度の問題であり， r 一_〇_．4 ．図JIOa ）．水平応答軸対_祢成分基本関数の被積分関数（_その 1_）　　　　　（ン＝1／3，乙＝10》　　　　　　　　　　　　 ’1 被積分関数・　 0．5 　．　　　　　　　1．　ミ　　　I　　　　　　J 　；　罰n7ξ’門・〔幽gnをξ’e−．嚼幽幽幽』‘．_† 実部　　　．．．．．．．．．．．．．．「　　　　’一’“　i

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．… 」・．．．．．一．．．．．．．．L．．．．．．rrrr ．1．．．．一．．．．．．．．．一．L．』．．．．．．＿＿r．」．_岬τ10b）水平応答軸対称成_曾基本関数の被積分_閑難（その 2）　　　　　（y冨1〆3，　【匡言10）　馳　　　　　　　 1 一 _〇〇　一

(9)

被積分閲数　 O．5 0 一_〇_，₅ 一₁_、_o 図一11a） 1　　　 1 ヨ 1 1 1　　　　　　　　旨　　　 3 ： … ｝　　　r、『7 Z ’−1「＋4rZ　　　　　H．〔−ra．．眇の L−　　　　−r ．　　rπ ＝幵〔2 ドー1霍 2rLl ．＋1 　 1−r　r一細、（−re ．呷己∫ … … 3　．一芦；7「・ヤ　　　　　　． 1 　実部i 　　　　　　ト　　　　卩・0，6i

1 ii

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　I ” Q．2i　　　 O．4i　 γ 　圏』辷：二・r　　 α8… 1．｝＿』．．．．＿＿．．1．．．・・

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… ： … 3 … …

i

… こ i ．0． …　　　　　 1 　　　　　　　　，_，？　 1 ”　　i …… … …

i

虚口 1　　　　　　　　 3 ．哥：卩 1 卩　　　… … … … … … … ．　　　 1 　　　 … … … … i　　　　　圏 … し … 1　　　　 L L L ＿」 r．r■rrr，，水平応答逆対称成分基本関数の被積分関数（その 1）（μ＝1／3，a＝10）被積分関数 O．3『’”．．．．．．．．’．．．「’…’『『『T．………1齟’’’’”『’”−’”…『…‘．幽…．『．．．．．．．．…1…’…”…一齟’”『’1 　　　　・・吾ξ・晒・_晋ξ・r ・Fa）　　

i

　　 i　　， o．2 ．．．．．　 … 0，1 一

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i

．■．＿．＿、．．．．と．_〈二：：：コ　　　齟．ド　　　　　　　　　1 　　　．．i．：’i−一・一外購暫層。

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i

．．．．．．L．．．．．．．齟・齟．・．r．　．rrL．．．．．．．．．．．．．．，．・L驢．．．．．■rrr齟．L・．・一．．」図一11b）水平応答逆対称成分基本関数の被積分関数（その 2_）　　　　（v＝1／3，a＝10） 1 0 一₁ 一

r

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l

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i

’ ir1．一’へ；_∵ 文献5 ）（FFBT）i 図一12　上下応答基本関数（v＝1／3）解析目的に適った精度が得られるならば，今度は計算実行上の容易さや経済性に大きな価値が出てくる。その意味で振動数に依存しない複素剛性は因果律を満たさないという本質的な欠点を持つとはいえ一概には捨て難い手法なので，ここで_計算例として用いることにする。　一方，ボアソン比についてはり＝ 1_／3とした。　5．2　被積分関数　有限積分に変換された（67 ）式，（90）式および（93）式の被積分関数の形状を，無次元化振動数 a ＝　10の場合を例として図一9〜11に示す。これらのうち図一9，図一10　a）および図一11a ）においては，　 r＝ _{γ の} 左右で_被積分関数が異なるので，この点では連続ではあるが尖点になっている。そこで数値積分実行の際には，積分領域を r＝ γで区分し，両領域に数値積分法を適用すれば，それぞれの領域内ではいずれも数値積分上おとなしい_性質なので，_精度の高い解を得ることができる。　5．3 基本関数　（20）式で_与えられる上下点加振解を

气

器

・

与

（vf ・＋・・

A

）一・一 …（94）と_表し_， vfi ，　vft を上下応答基本関数と呼ぶ。同様に（74 ）式で与えられる水平点加振解を　　　　　　 ’

Yx−_、

騫

籌

・

÷

泌・iift 　　　　　十（必十ゴ馬危）cos 　2θ｝……・1・………・…（95 ）と表し，必，読を水平応答軸対称成分基本関数，また遜，通を水平応答逆対称成分基本関数と呼ぶ。これらの基本関数は，ボアソン比レと，無次元化振動数 a と， 2 o 一1 一2 1 0 一₁ 陸 13a）水平応答軸対称成分基本関数（レ＝1／3） 5 図一13b）水平応答逆対称成分基本関数（v＝1／3）　 5a2 一

₆₁

一

(10)

1 o 一₁ 子’…’　；　　　　1

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i　　　 l i i l 1

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1 ｛卜齟’”齟’ ｝　 1 「「r，，L，1，、

…

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_｝

　　　　　　炉 L一．；，．漏甲　乱」図一14a）上下応答基本関数の近似式（v＝＝1／3，　h＝5％） 1 0 一₁ … 、

…

，， 1_． … ：，鯛_，_，圏，，，，，，，，　 … − 　　　　　　　　　　　　　　　　　唱　　　層　唱　　．　　 − 　唱「₋₋ 唱． − 旨．．．」．唱 − 唱唱唱．．．唱 1 」 − 　．　．　．　_．　．　₁ 　．　．　．　．　1 … 叩 … 1 − 1 ・ … “_． 1 ．．． lI ．．　法 2 ° ° 　 ° ° L ° − ° − − 唱゜ … − ー層．．． II ．． 1 　 … −．．_．_圏．．．脚脚ト．、脚ート脚ート FF ． r ト　 ” ．　　 1 　．　 I 　 I 　．　　．　　ト　　．馭　　．．． 1 式似 … ー旨近 − … 旨卩 1 ．_．_． − 圏」一， −卩_卩．．．．．幽卩卜．卩卩．・_卩_圏・_卩，部実ー　 … ユ゜＝畧冒 3 ゜ ° ：＝ 3_° ． ° ，辱「，，，，「，唱，唱．監 − ．．．_． −．．．．層．」層　　．　　．　　．　　．　　　　　　　　　　　　　　．　　．　．．　　圏　　 F 　　卩　卩 5 … ： … ー； … ト r イ_ト_．．．　．．　．　．ト　．　．　」 … … f 　　゜部 … 虚罰　 5a2 図一14b）上下応答基本関数の近似式（レ＝1／3，　h＝10％） 2 1 o 一₁ 一₂ f 　実部

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… … 「 …’…

i

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「．」．．」図一15a）水平応答軸対称成分基本関数の近似式（v＝1／3_，_h＝5 ％） 2 1 o 一1 一₂ f齟．幽齟齟・齟

1i

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i　　　　 …

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… ヒ i．．． _｝ l　　　

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図一15b）水平応答軸対称成分基本関数の近似式（v＝1／3_，h＝IO ％｝，25 f　　　

i

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j

水平応答逆対称成分墓本関数の _{近似} 式（ン 1 ／3 ，　 h＝

5

％）

_減衰定数

_h

_か

ら

2

）式で_{与えら}れる

q

の3つの変数で与えられる関である _。　　　　、　

1

　本法の妥当性を確認るために，本法で求めた結果と既往の方法で求めた結の比較を行う。すなわち， 0≦_a _≦

25

の範囲に_おいて，法によって求めた基本関数と，無限積分表示のまま文 51の方法（

FFBT

）によって求めたものを h −5％，

1

_唐ﾉ_ついて比較し，図一 12 ．1 ﾉ示す。両者はほとんど一致しいる。図一

16b

》水平応答逆対称成基本関数の近似式（

v

＝1／

3

，　九＝10 ％）

@5

．

4

　近似式　　　　　・　　　．　・ ’ 　一に，減衰が比較的小さい場合は，減衰無しの解をもにして減衰考慮の近似解を求めるのは常套手段である。こでもこの思想を踏襲して，内部減衰無しの場合の本関数

f

（

h

；

O

＞と，

ｩ

ら（

2

）：式で _与_えられる gとを用いて，内部減衰がhの場合の基本関数の近似式訳ん）を次式で与る_。

(11)

こうして与えられる近似式ノ〈

h

）と，本法で求めた基本関数

f

（

h

）とを比較して図一14一図一16に示す。これを見ると，近似式が簡単であるにもかかわらず良く近似されており，この方法によれば無減衰の基本関数さえ用意しておけば，減衰考慮の基本関数の近似値を容易に求めることができる。　§6．結　論　半無限弾性体地表面点加振に対する地表の応答変位解に含まれる無限積分を有限積分に変換する方法について，地盤の内部減衰を考慮した場合を示した。内部減衰なしの場合についてはすでに報告されているが1〕_，_{本報} の_結果は内部減衰に関して， 0の場合も含んで，より一般化されたも

q

）であ_る。　本法は次の 3つの利点を持つ。　 1）無限積分表示のまま数値積分を行う場合は，結局は有限区間で打切ることになるが，有限積分に変換しておけば，この打切り誤差が生じない。　 2）無限積分表示の場合は，積分路の近く，あるいは

積分路上に Ray量eigh　Poleが存在し，_糠積分関数の数値積分上の_{性質}が悪くなるので，特に無減衰や低減衰を想定した場合には特別のくふうが必要となるが，有限積分表示に変換しておけば，積分路の_近くにはRayleigh Poleは_存在せず，被積分関数も数値積分上おとなしい形状となるので，この煩雑な処理が不要となるばかりでなく，所要の精度を得るためには数値積分の刻みを比較的粗くすることができる。　3）積分範囲が0から

1

までと極めて短い。　最後に_，無減衰の場合の解をもとにして，減衰考慮の解を与える単純な近似式を提案し，本法によって得られた解と比較した。　謝　辞　日本学士院会員武藤清東大名誉教授には，本研究に関わる一連の研究において，その端緒より変らぬ御指導をいただきました．。謹んで感謝いたします。　本研究の遂行に当たり，日本学士院会員小平邦彦東京大学名誉教授には理論式の展開につき御指導いただきました。謹んで感謝いたします。　解析プログラムの_作成と実施計算は鹿島建設情報システム_{部佐}々_木文夫職員の御協力によるものであり，ここに謝意を表します。参考文献 1）小林俊夫 1 ．半無限弾性体地表面点加振解の無限積分を有　　限積分で表す方法，日本建築学会論文報告集，第302号，　　昭和56．4 2）田治見　宏：耐震理論に関する基礎的研究，東京大学生　　産技術研究所報告，第8巻，第4号，昭和34．3 3〕妹沢克惟：Further　Studies　en　RayleighWaves　Having 　　SOm6　Azimuthal　Distributien，

』東京帝国大学地震研究所　　彙報，第6号，昭和4．1 4）例えば　滝沢春男：線形動力学系の数理構成に関する基　　礎考察（第1部），同（第2部），日本建築学会論文報告集，　　第296号，昭和55．10，同第301．号，昭和56．3． 5）小堀鐸二，三浦賢治，増田　潔，佐々木文夫，山本幸正

　　：　FAST 　FOURIER 　BESSEL _変換による粘弾性半無限

　　地盤の GREEN 関数の解析法，構造工学論文集，　Vol．32

　　B，1986年3月　　　・　　・

6＞高岡宣善：構造材料の内部摩擦による減衰振動，土木学

　　会誌，昭和 57．3

(12)

/ ' ''' " ' t1. 't' / _t/'' 'v' '!'t .t t''' .tl. t .t. t.tl t .t./..t ' --

SYNOPSIS

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EVALUATION,OF

RESPONSE

TO POI]YT LOAD

EXCITATION

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' ''

ON

SEMI-INFINITE

ELASTIC MEDIUM ttt

.

"'

Cgnflg..ering

in't,e,rnaldgmping _of _medium

,/,,'i.

･//. ''. /'

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. ,.. ･ , by Dr.TOSHIO KOBAYASHI, Senior

_Research

Engineer,

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Technology,Member

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Inthe solution of the semi-infinite elastic medium fora _pointloadexcitation of the

_goil

satfa6e'1 an infihite'in-tegral _,appears.In.ordertoevaluate. the.response, the valtte of this,infiniteiptbgralmust'be

66thined.

The

t tt

t. dMaemthpOi:gtOoftrtahneS:OoriMl.

thiSinfiniteintegraltOa finiteintegral.hgsbeen

ffl,Eelay

repgftedi) in_,tfiecaE.g of no internal

'

lnlninthteirSn:rPd.

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Mfth9d iS

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totransform.theinfinite integral tpfinite

intfgra!

consiy,t.

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,Inthismethod, _qnadequate complex functioe,correspondingtothe'i.ntegrandisadopted apq'an'identi6al

gqua-[iOeni.Wfl:lthe

i.:

eOglrVaelSi;hteh:n:irl:lenail"tseil:l,oinScO.bntalene,d.p?.a.S:ddbOyntCheaUfcinhiyt'i.itihte!.ogrreaml,.;

Using,

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identical.lequation.,

ttt tt

This method isvery useful bythe'fo.11oviingreasons. '

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O

Ifthenumeri'cal'i'ntegral _pr6c6dure isappi'ied.directly totheinfiniteint6gral,'itisinibossibltitoexecute it

toinfinite.range.It must be stopped at a suitable range. Inthis case,

F

cut off error isproduced. Butwhen

thenlimerlcal integral_procedyreisapplied after transfbrmingthe'i'nfiniteintegral'to fihiteintegrai.'thiscut .tt .. .

off error isnot _produces, 'r,/."./' ' ' '

tttt

2) Thereisthe Rayleigh_pole near'or on the contour of the infiniteipte'gral..Near t.he't'pole,th,eintegrand

fallsintoillcondition fora numerical integrationand

'special

procedur'e'

is

reqtiired e'spe6ihll'y in_thecase'of

small or zero internaldampingof soiL Butthis_poledoesnot exist near thecontour of the transformed

finite

integraland thereisno difficilltyinthe numerical integral_process.

3) The range of numerical integralisvery short. Itisonly fTomOto 1.