不確実性下の地域環境と開発政策

NII-Electronic Library Service

不

確 実性

下

の

地

域 環 境

と

開発 政

策

大　

石

　和　博

　 　 　 要 　 　約

　

本 論 文で は， 環 境 価 値 不 確 実 性下における地 域開発の意 思 決 定 と最 適 開 発 政策の 可能 性

をreal　optien 　approach により検 討す る

．

環 境価値不確実 性 下 に お ける開発 業 者の地 域 開発 が barrier　controL に従っ てい るこ と

，

政策変 数の操作によっ て開発 業 者を社 会 的最 適な開 発 行動に誘 導で きる 可 能性 が ある こ と を示 す

．

Key　

Words

：不確 実性

，

地 域開発

，

自由境 界

，

社 会 的 最 適

．

　 　 　 　目　 　 次

1 ．

は じ め に

2 ．

環 境 価 値 不 確 実 性下の地 域開発の _意思 決 定

3 ．

開発 業 者の 自由境 界と政策変 数の操作

4 ．

開発政策決 定 者の 自 由 境界と最適開 発 政策

5 ．

お わ りに 　 Appendix

1

．

は じ めに

　

本 論 文で は

_，

real　option 　approach に より不確 実 性下 に おける地 域開発の 意思 決定と最適

開発 政策を分 析 す る1

．

　

不確実 性 につ い て は伊 藤 確 率 微分方 程 式に より記 述し

，

地 域開発の timingの 決 定は最 適 停 止 問 題 として扱 う

．

こ の分 析 枠 組み に基づい て私 的 自由境 界お よ び 社 会 的 自由境 界を 導 き

，

不確 実性下に おける最 適 開発 政 策を考 察 する

．

　 本稿は大きく

3

つ に分 けるこ と がで き る

．

　

まず

，

本 稿の基本 的枠 組みであ る不 確 実性 下の連続 時間の_{動 学}model を設 定 する

．

こ れ は

，

開発 業 者が環 境価値不確実 性 下 に おい て地域開発 を行 う意 思 決 定model である

．

model では

2

種 類の 租 税 制 度 を 設 け る

，

環境 資 産の_{価 値}を把 握できる政 策 決定 者が存 在し

，

1



_{本 稿 で展 開 さ れ るreal}

　option 　approach はfinancial　option 　approach の analogy で ある

．

と りわ け

　

American　opti 。n と関 係 が 深い

．

開 発 政策の設計に こ の approach を使 うadvantage につ い て は 　 　 ［X2 ］を参 照さ れ たい

．

77

開発業者による過 剰な開発を抑 制 するとともに地 域 環 境 保 全の財源とし て用い る た め に開 発業 者に課 税を行 うとする

．

こ れ らの設定の下で 地 域開発 投 資の意 思 決 定問 題を確率 的 動 的 計 画 法に より解 き， 地域開 発投

資

の意思決 定の条 件 式を導 出 する

．

　

つ ぎに

，

この条 件 式に基づい て 自 由境界問 題 を解き

，

自由境 界を定 義する

．

この 自 由境 界は 開発 業 者が地域開 発 投

資

を行 う領 域と_行わ ない _領域 に分 ける境 界になっ てお り ， 地 域 開 発 投 資の意 思 決 定が

barrier

・_{control と な}っ _てい るこ と を示 す

．

ま た

，

政 策 決 定 者が 政策 変 数 （

2

種 類の税 率 ）を変 更した場合の効 果

（

自 由境 界の shift）を考 察 する

．

　

最 後に

，

環 境 価 値不確 実 性下の最 適 開 発 政策につ い て考 察 する

．

政策決定者は_{環 境 資}産 の利用価 値だけで な く非利 用 価値を も考 慮して地 域 開発 投 資を行 うとする

．

上 と 同様に し て

，

こ の設定下で政策決定 者の 自 由境 界を定 義 する

．

最 後に

，

簡 単な例を挙 げて開 発 業 者 の自 由境 界 （私 的 自 由境界）と政 策 決 定 者の そ れ （社 会 的 自由境 界 ）が

一

致 する条 件 式を 導 く

．

これ が不 確 実 性下にお ける最適開 発 政策の

1

つ の rule で ある

．

この 条件式は税率 の関係 式とな り，

2

種類の税率の 問 にtrade

−

off がある こ と を示 す

．

2

．環

境価値

不確 実性 下

の

地 域 開発

の

意 思

決 定

　

本 節で は

，

地 域開発 業 者の地 域 開発 投 資の意思 決 定 を 定 式 化 する

．

ま ず

，

決定 論 的に設 定 を行い

_，

つ ぎに model の 中に不確 実 性を 入れ る

．

環境 資 産の価値の分類

　

或る地域を 開 発 す る 場 合 を想定 する

．

この 地域に おける環境 資 産の価 値 を利 用 価値 （直 接 的利用価 値 ）と非 利 用 価 値

（

間 接 的利用価 値， 存 在価 値な ど を含む

）

に分 ける こ と がで きる と し よう

．

地 域 開 発 が行われ た後に環 境 資 産か ら供 給さ れる service の価値を利 用 価 値， また は直 接 的 利 用 価 値 と よ び

，

他 方

，

未 開 発の状 態で環 境 資 産か ら供給 さ れ るser＞

−

ice

の価 値を非 利用価 値と よ ぶ こ とに す る2

．

地 域の環 境 資 産の価 値

　

その地 域 をすべ て開発 し た場 合の 環境 資産の _直接 的利用 価値を

P

＞

0

と記 す3

．

また

，

その地域がすべ て未 開発の状 態である とき， 環境 資産の非 利 用 価値を（？（

P

）＞

0

と記 す

，

こ こ で

，

関 数

Q

の _{は環 境 資 産の非利 用 価 値 を表 す関数であ り}

_，

_{非 利 用 価} 値は直 接 的利 用 2 　 環 境 資産の価 値の定 義お よ び評価 方 法につ _いては

，

た とえば ［F］

，

［J］な ど を参照 さ れ たい

．

3_{直接的 利 用 価} 値は 開 発によっ て環境 資産か ら供給さ れ る service の市場 価 格に基づい て 近 似 さ れ 　 る と仮 定 する

．

NII-Electronic Library Service 価値に 基づ い て測定さ れ る と仮 定 する4

．

開発 業 者が 地 域開発に

K

≧0 だけの資 本を投 入 してい る と き

，

環 境 資 産のうちΦ （

K

）∈ _［0，1）の割合だけ開発が行わ れてい る と仮 定する

．

K ＝

0ではΦ（0）＝0 とする

．

これ は開 発 業 者が 全 く地 域開発 資 本を投 入し てい ない 場 合 で あ り

，

その 地 域 が すべ て未開発の状態にある こ と を表 す

．

また，

K

＞

0

で はつ ぎの よ うに仮 定 する5

．

Assumption

；

　　

Φ（

・

）∈ 02 （R_{＋ ＋}

iR

_＋），

　　 lim

Φ’ （

K

）＝ 十_{〇 〇 1} 　 　 K＼0 Φt（

K

）＞

0

_，

　　　　

Φ”（

K

）＜

0

_， 1三m Φ’（K ）＝ 0

．

K

−→

十eo 　よっ て

，

K

＞

0

の と き はΦ （

K

）∈ （0，1 ）と なっ て

，

開 発 業 者が地 域 開発 資 本を投 入し て 地 域開発 を行っ てい るこ とにな る

．

Φ （

K

）が

1

に近づ _くとい _うこと は地 域 開発が進ん で い くこ と を

，

い いか えれ ば_， 未開発の 地域が小さくなっ てい _くこ とを 示し てい る

．

以 下で は

，

K ≧o だけの資 本を投入 してい る とき， 地域の 環境 資産の 総 価値を直 接的 利 用 価 値 Φ （

K

）

P

と非 利 用 価 値 （

1 一

Φ （

K

））

Q

（

P

）の和_， つ ま り 　 　Φ （

K

）

P

十 （

1 一

Φ （

K

））

Q

（

P

） に よっ て近 似 す るこ とにし よう

．

開発 業 者の_{収 入 関数} 　 地域 開発 後は環境 資 産か ら さま ざ ま なservice が供 給さ れる ようになる

．

こ の Service の 市 場におい て開発 業 者は十 分 小さな存 在であると仮 定 する

．

上の定 義か ら_， この 開発 業 者 がK ≧0 だ けの 資本 を投 入 してい ると き

，

地 域の環 境 資 産の直 接 的 利 用 価 値は Φ （

K

＞

P

と

_表

すこ とができ

，

開発業 者の_収入 を直 接 的利 用 価 値 Φ （K ）P _≧o で近 似 する

．

　

本稿で は環境 保全 と地 域 開 発 に 関 す る 政策の意 思決 定 者 （略して

，

開発 政策 決 定 者 ）が 存 在 する場 合 を想 定 する

．

開 発 政 策 決定 者は 環 境 保 全の財 源 と して地 域開発 か ら得ら れ る 収入に対 して課税 する と しよう

．

税 率 をθ_{Φ ∈ ［}

0

_，

1

_）とす れ ば

，

開 発 業 者 は θ_ΦΦ （

K

）

P

だ け の _税を支 払わ なければ なら ない ことになる

．

以上 の設定か ら

，

開 発業 者の_収入 関数 をつ ぎ の ように定 義 する

．

　　

11（P

，

K ）会 （1

一

θ Φ）Φ（K ）P

．

よっ て

，

固 定さ れ た直 接 的 利 用 価 値

P

に対 し て

，

収入関 数

H

（

P

，

・

）はK につ い て strictly 4_{非 利用価 値は未 開発の状 態で の環 境 資 産 （森 林}

_，

_{生態 系の生物 多 様 性 など）か ら供 給 される} 　 service の価 値であ る た め

_，

その正_確な_評価が_{非 常}に困 難である

，

本 稿で は

，

議 論を_{簡 単}にする 　 ためにこの仮定を おく

．

5_{本 稿で はつ ぎの} 記号を 用い る

．

　 Rn

　A　n次元Euclid空 間1

　

R 全 R1

，

　

R＋

A

｛x ∈R ；x ≧ o｝，

　

R＋＋ 全 ｛x ∈ R ；＝ ＞ o｝

，

　 σm _（XIY _）A ｛開 集合X ⊂ Rn上で定義 され

Y

⊂

R

の中に値 を持つ m 回連 続微 分可能なすべ _{て の関数 ｝}

79

N工 工

一

Eleotronio _Library

cencave 　functionで ある6

，

地 域開発へ の_課税

　

地 域 開発の _{投 資}財の 価格を c ＞ 0

（

fixed

　constant

）

と す_る

．

環境 保 全 を 目 的 と し_て開発 政策 決 定 者が 地 域開発 投 資に対して課 税 する場 合を想 定 する

．

税 率をθ_1≧

0

_{とする と}

_，

地 域開発投 資財

1

単位当た りの_購入費用 は（1＋ θ【）c であ り

，

」だけの地 域開発投 資を行 うと き投 資財の総費用 は（

1

＋ θ1）cl と な る

．

　notation を簡 単に す る た め に

，

地 域開発投

資

財

1

単

位当 た りの_費用 を 　 　 　 A 　 　ψ； _{（1＋ θr）}c と し

，

地 域開発 投 資の_{総 費 用}を ψ∫ と書 くこ とにする

．

　以 上では開発業 者の意 思決 定につ い て決 定論的に設定を行っ た

．

以 下では 上で与え ら れ た model に 不確 実性 を導人 し よう

．

　 経 済の不 確 実性は外生的な shock で起 き

，

そ れ は幾何

Brown

運動で表すこ と がで き る と仮 定 する

．

議 論を簡 単にす る た めに

，

その shock は直接 的利 用 価 値の動きのみに限定 す る

．

直接的利用価 値は確 率的 な sbock にさ ら さ れてい る と し

，

時刻

t

≧

0

における直 接 的 利用 価値をP （t）＞ 0 と記し

，

確 率過 程 ｛

P

（t）｝_t≧oは

1

次元幾何 Brown 運動に従っ て変 動 する と仮 定 する

．

｛

z

（t）｝t_≧o を

1

次 元 標 準 Wiener 過 程， （

p

，μ，σ）∈

R

餌

を既 知の

定

数と し， 　 　

dP

（t）

＝

μP （t）dt＋ σP （t）dZ （t）

，

　 　 　 with 

P

（〔〕）

＝P

，

　　　　　　

登xed

　

_（

P1μ

_，σ_）∈

R

馬

＋7 であるとする7

．

　つ ぎに

，

不 確 実 性下 で の地 域開発 投 資の意 思決 定 model を設 定する

．

　 開発業者 は 時 刻

t

≧

0

におい て

1

（t）≧0 だ け 地 域 開 発投 資を 行 う とす る

．

許容制御の 集 合 を簡単につ ぎの ように記 すti

，

6



_{直 接 的 利 用 価 値p を 固 定 した とき}

_，

_strictly 　cencave 　functionであ る ための必 要 十 分 条件

架

K ）

_一

・・

−

ee・・ Φ〃… 〈 ・

　 　が成 り立つ

．

_収入_関数の strjct　concavity は 後の評 価 関 数の strict　concavity を導出 す る た め に 必 要 　 　 と な る

．

ア

幾 何Brown 運動はfinanclal　option 　m （〕delにおい て B！ack

−

Scholes過 程 ともよばれ

，

株 価な どの変 　 　動 を 表 すmodel として用い られ る

．

μは driftと よ ば れ

，

　 P （t）_{が時 刻}と ともに変 動する方 向を 示

　　

し

，

σ _{はvolatility と よばれ}

，

_その変動の方 向の不確 実 性 を表 す

．

本 稿で もこ の用 語 を用い る

．

vola

−

　 tilityが大 き くなる ほ ど不確 実 性 （直 接 的利 用 価 値の上 下変 動 ） も大 き くなる

．

8_{許容 制御に}つ _いて は

，

［FS］

，

［YZ ］な ど を参 照さ れ たい

，

NII-Electronic Library Service

u

_（R ． ）

A

｛1 ・R ＋ ∋ t・H ・1（t）∈R ＋ ｝

．

時 間 区 間 ［O

，

T】⊂

R

_＋ で の資本 stock 量 をつ ぎの ように定め る9

．

姻

ll

距

、 

dt

：

i

；

：

1

：

こ こ で

，

k は 地 域開発 資 本の初 期stock 量で あ る

．

　

不 確 実 性下 で の地 域開 発 投 資の意 思決 定 問 題は確 率制

御

問 題であ る

．

こ の 問 題を確 率 的 動 的計 画 法に よ り解 く

．

　 開発 業 者は

，

初 期の直 接 的利 用 価 値

，

初 期の資 本量の組

　　

（

P

（0）_，

K

（0）_）

＝

_（P，

k

_）∈

R

 

_＋ を所 与とし て

，

投 資 費用 を差 し引い た 収 入の割引 現

在

価 値の期 待 値 を最 大にする よ うに資 本の非 減 少 過 程 ｛

K

（t）｝t≧oを選 択 する と仮 定しよう

．

割 引 率ρ＞

0

_（た だ し

，

ρ〉 _μ⊥D

）

が与え ら れ た と き目的汎 関 数を

　　

・_［醐 … _】

…

［

f

。 ＋°° ・

一

ρt_（・（・ ・

t

・

，

K

  ）

一

ψ川 ・）

dt

］

と定め る

．

こ こ でEo は時 刻zero に おい て初期 値の 組 （p

，

　

k

）が与 えら れ た ときの条 件 付 き 期待 値の _{演 算}を表 す

．

つ まり

，

開発 業 者の 地 域開発投 資の 意 思 決定問 題は 　 　 　 max 

J

_［P，　

k

；

1

（

・

）］， 　 　 ∫

（

・

）∈u（R＋）

　　

subject 　to　 dP（t）

一

_μP （t）dt＋ σP （士）

dZ

（t）_，

　

　

　

　

州

二

淑

：

　　　　

fixed

　

（P，鳶，μ，σ）∈

R

〜

＋， である

．

この問 題 に対 応する実 数 値評価関数を

　　

V

（P，

k

）全

　　　

sup

　　

J

［P，　

k

；

1

（

・

）］ 　 　 　 J（

・

）∈u_（R＋） とお く11

_．

_{上 で示し た ように収入関 数}

_n

（

p

，

・

） が iCにつ い て g

．

　trictly　concave 　

function

で あ る

の で

，

関 数 V（

p，

・

）もk につ い て strictly　concave 　

function

である12

．

　

以 下では

V

（

・

，

う∈

02

（

1

暗

_＋IR

）

と仮 定し

，

上で設定 した 不確 実性 下の地 域 開 発 投資の 意 9_{以 下の展 開 を簡単にす る た めに}

_，

_{資本 減 耗 を無視する}

_．

10_{この 条 件 が 必 要 な 数 学 的}

_，

_{経 済 的 根 拠 につ い ては ［DP ］を 参 照 さ れたい}

_．

ll_{sup はあら ゆ る 許容 制 御 system の と り方を考えて}

_，

_{そ の 中 で の 上 限を とること を意 味 する が}

_，

　 　こ こ では略 記している

，

詳 しくは

_，

［FS］

，

［N］

，

［YZ］ などを参 照さ れ たい

．

12_{証 明に}つ _いて は ［DP ］を参 照され たい

．

81 N工 工

一

Eleotronio _Library

思決 定問 題 を 最適停 止 問 題と して解 こう

．

　

各 時点で開発 業 者は 二者 択

一

の選 択肢

一

地域開 発 投

資

を す る か否か

一

を持っ てい る

．

こ こ での 地域 開発 投 資model で は継 続して収入を得るか

，

停 止 して地 域開発投 資を実 施 す る か に対応する

．

［FS ］に従い _， 地 域 開 発 投

資

が行われる_未知の _{時 刻}丁 ＞ 0を停 止 時 刻と すれば_， Bellman の最 適 性 原 理 か ら

v

_・蒔

晶

）

輒

丁 ♂ _・・_… t・_，・ ・t・_〉

−

a

_{… t}・_）dt＋ e

−

・Tv … T ・

_・

K ・T・_）

］

を得る

．

　

時間 区 間 ［O

，

ti］⊂

R

＋ に おい て 開 発 業 者は投 資を行わ ない と し

，

こ の時 間 区 間で初 期 資 本 stock _量を k＞ 0 に保つ と仮定する

．

この と き，　

Bellman

の最適性 原理 か ら 隅 ）・

輒

 

一

佃

・ ・t・

_，

_嗣 ・ ＋ e

一

_鞭

_{暇 ）}

］

が成り立 つ

．

等_号が成 り立つ の は

_，

［o，tl］におい て地 域開発 投 資を行わ ない こ とが最 適な 場 合である

．

　

不 等 式の右辺の評価関数

y

（，

k

） に 対 して 伊藤 の 補 題 を 適 用 し

，

t1≠ 0 で割っ て

，

tl ＼ 0と して極 限を とる と， ・晦 肋 ∂γ

1

黔

L

去

・

諺

号

讐

恥 ・≧・ を得る13

．

等 号が成 り立つ の は_， ［O，t、］⊂ R＋におい て地域開 発 投資を行 わ ない こ とが最 適 な 場 合であ る

．

　

以上で は地域開 発 投資を行 わ ない 場 合 を考え た

．

つ ぎに地 域 開発 投 資を行 う場 合 を_考え る

．

い ま， 初 期 資 本 stock 量

alS

’

　k で ある と きに △K ≧0だけの_{地 域開発 投 資}を瞬時 に行 う 意思決 定 を考 えよう

．

この とき， 最 適 な投 資行 動を表す条件 式は 　 　∂ γ_（

_P

_，　

il

_） 　 　 　

一

ψ ≦0 ⇒ △

K

＝0，

　 　 　 ∂

k

∂

yl

絆

）

_一

ψ・ ・ ⇒ ・△ ・

［

△

K

＞ o〈 ∂

v

_（P・

k

　 　 　 ∂k ）

L

＿

一

_ψ

一

_・

1

と なる14

．

すな わち， 　 　∂

v

_（

_P

_，

k

_） 　 　 　

一

ψ ≦0 　 　 　 ∂

k

の場 合には

，

最 適な投 資の意思決 定は投 資を行わずに資 本 stock _量を初 期 値 k に保つ こと 13 　 詳し く は

，

た と え ば ［KS］

，

匚MB ］な ど を参 照さ れ たい

。

1・t 　これ らの 式 を導く た めに

，

収 入 関数と 評 価関数の性 質 （strict 　concaVity ＞を用い てい る

．

導 出に 　 　つ い ては

，

［DP］を参 照さ れ たい

．

NII-Electronic Library Service で あ る

．

逆 に，

　　

∂

v

_（

_P，

il

_） 　 　 　 　

一

ψ＞ 0 　 　 　 ∂

k

の場 合には

，

最 適な投 資の_意思決 定は条 件 式 ∂ γ

1

籍

1L

＋△。

一

_ψ

一・

を 満 た すように 瞬 時 に△

K

＞ 0 だ けの地域開発投 資 を行 うことである

．

　

したがっ て

_，

地 域 開 発投

資

を行わない こ と が最 適な場 合に は_， 条 件 式

　　　　　　　　

∂

v

_（

_P

，

k

） 122 ∂ 2v （

P

，k ） 　 　 　 　

− H

（P，

k

）

＝0

　 　ρ

v

（P

，

k

）

−

itP

　　　　　　　　　

∂_P

−

i

σ

一

P ∂

_P

・ が 満 た さ れ

，

逆 に

，

地 域開発投

資

を行 うこ と が 最適な 場合に は

，

条 件 式 ∂ γ

1

劉

＿

一

_ψ一 ・ が 満 た さ れ る

，

開 発 業 者 はこれ らの 条 件 式にもと つい て地域開発 投 資の意思決定を行 うこ とに な る

．kp

平 面は

_，

地域開発 投 資 を行 う領 域と地 域開発 投 資を行わ ない_{領 域}に分か れ る

．

以 下で は

_，

これ らの 境界

，

すなわち自 由境 界を求めてみよう

．

3

． 開発 業

者

の

_自

由境 界 と

政策

変 数

の

_操作

　

自由境界 問 題を解い て開発 業 者の 自 由境 界関：

ft

　

PFB

（

・

）を求め る ことに し よう

．

Resu

旧 　上の モ デ ル が与え られた と き

，

評 価 関数と自由境 界 関 数は そ れ ぞ れ

　　

v

（P

，

k

）

＝

ムω P防 _＋ （1

一

_θ ・）Φ （

k

）

P

，

　 　 　 ρ

一

μ PF …

_辰

β1

謡

三

雛

  ， とな る

．

こ こで

_，

　

　

防

一

去

一

拳

・

（

拳

一

跡

汐

・ 1 で _ある

．

Proof

；Appendix にて行 う

．

■ 　こ の結 果か ら地 域開発 投 資の 限界 効 果を考えて み よう

．

　 　 　

83

　 　 　 N工 工

一

Eleotronio _Library

　Result

　

1

で得ら れ た自 由境_{界 関}数 を_{変 形 し} ， 両 辺 に 追 加 的

資

本 投入 量

dK

＞

0

を掛 ける と （1

一

θΦ）

 

撃

 

dK 一

誰

1

ψ・・ と なる

．

まず

，

左 辺の直 感 的 意 味を考えよう

．

現存の 資本 stock 量 k と_{確 率}的 shock にさ ら さ れ た_{直 接 的利 用 価 値 瑞}B娩 ）が与えら れ た場 合， 資 本 を追 加 的に

dK

単位投 入 し た と きの追加 的収 入が （1

一

θ_Φ）

PFB

（k）Φ’（k）dK である

．

直 接的 利 用価値の期 待 成 長率は

drift

μ であ り

，

将 来の収 入は

P

で割 り引かれ るの で， 左辺は追 加 的 収入の 期 待現在価値であ る

．一

方

，

右辺 の ψ

dK

は資 本を 追加的に 蹟 単位投 人 した ときの _{投 資 費}用で あ る

．

さ らに

，

（1竃

讐

Φ儲 ・ ψ・

K

　

［

・

誰

、・ ・

！

が 成 り立 つ か ら

，

追 加 的 収 入 の 期 待 現 在 価 値 は投 資 費 用 をoption　value 　multiple β1

／

（β1

− 1

）倍だけ上 回っ てい なければな ら ない

．

以 ヒか ら_， 上 の 等式は追 加 的投 資が 正 当 化さ れる条 件を表し てい るとい _える

．

　つ ぎに

，

評 価 関数の直感 的意 味を考えて み よう

．

　 評価関数の第

2

項 　 　 （1

一

θΦ）Φ （

k

）P 　 　 　 　 ρ

一

μ は_， 地域開 発資本 を永久 に 初 期 水

ag

　kで

・

一

定に保 ち 続けた場 合に開発 業 者が得る収 入の期 待現在 価 値である

．

よっ て

，

第

1

項

Ai

（

k

）pa は最適 な将 来の開発 規 模 拡 大の価 値

，

すな わち， 将 来に お い て 開発 規 模 を拡 大 する とい うoption の現 在価値になっ てい る

．

開発 業 者が 地域開 発資本 を追 加 的に投 入 す る とい うoption を行 使 する と き

，

限界 option 価 値を 放 棄 するこ とになるの で_，

　　

A1

’ （

k

）〈

0

であ る

．

　Result

　

1

_{と 関数} Φ（

・

） に関する仮 定を使って

，

自 由境 界関数が満たすべ き基 本的 な 性

質

を示し

，

自由境 界を

kp

平 面に描い て みよう

．

まず

，

つ _ぎの計 算か ら

Result

　

2

_を得る

．

　

　

　

　

PF

_・ 

一

、β1

謡

…

鶲

  …

　　　　　　　

，

Bl_（ρ

一

_{μ ）ψ}Φ”（k）

　　　　

丹B’ 

＝一

　 　 　 ＞

0

_，

　　　　　　　　　

（β1

− 1

）（

1 一

θ_Φ）（Φ’ （

k

））2 　 　 　 β1（ρ

一

μ〉ψ 　 　 　

1

　 　

1im

　PFB 　（k）＝ 　 　 　 1il皿 　 　 　 ＝ 07

　　　　　　　　

（

61

−

1）（1

一

θΦ ）為＼oΦ ’ （階） 　 　 k＼0

　　　　　　　　　

廐（ρ

一

μ）ψ 　 　 　

1

　 　

1im

」_％B （

k

）

＝

　 　 　

li

皿 　 　 　 　

＝

十〇Q

．

　　　　　　　　

（β、

− 1

）（

1 一

θΦ ）k→＋・。Φ ’   　 鳶→十DQ

NII-Electronic Library Service

Result　

2

　

自 由 境界関 数 _昂B （

・

）は kにつ い て strictly　monotonc 　

increasing

　

function

で あ り， 　 　

limj

｝B （

k

）

＝0

，　 　　　 　

li

皿 PFB （k）；十〇 〇 　 　 　 k

→

十DC 　 　 ic＼ 0 で ある

．

　

図

1

は

Result

　

2

_に基づ い て不確 実 性 「の自 由境 界 関 数　

PFB

　_（

・

；θ1，θΦ）の

graph

， つ ま り 自 由境界 を描い た もの である

．

こ こ で

，

（θ1，θΦ）は固定さ れ た 政策変 数の組である

．

　

曲 線の _右下で は 地 域 開 発 投 資は行わ れ ない

．

価格が確 率的 に変 化 する に従い

，

点 （K （t），P（t））は垂 直 方 向に 上下する

．

この点が 上 に移 動 し

，

曲線にぶつ か り

，

さらに曲線 の上 に 出ようとすると， 点が曲線を超え ない だけの 地 域開発投

資

が行わ れ る

．

価 格が低下 して点が曲線の下に移 動した と きには

，

価 格が再び 上昇して曲線にぶつ _かるまで地 域 開 発 投資は行われ ない

．

_［DP ］の_{用 語}に従え ば

，

これ は barrier　contro1 である15

，

図

1

　 不確 実性下の自 由境 界

P

　

本節の残 りで は比較動学分析を試み よう

．

　

以上の _{考 察}で は政策 変 数を 固定し てい た

．

開発 政策決 定 者 に よっ て政 策 変数θ1，θΦが変 更さ れた と き自由境 界が どう変 化す る か を 見てお こう

．

これ らの_効果はつ _ぎの ように決 定 さ れる

．

15 詳し く は ［DP ］を参照 さ れ たい

．

85

N工 工

一

Eleotronio _Library

響

一

，β1

．

留

三

鵲

＞

fU

．’ ，、）・ ・i

騫

一

（ β1（ρ

一

μ）ψ

　　 1

β1

−

1 ）Φ’（

k

）（1

一

θ_Φ）・ 〉 ・・

　

す な わ ち

，

税 率の引 き上 げ （θ1

，

θΦ の 上 昇

）

に よっ _て 自由境_{界は 上 に} shift し

，

地 域開発 投 資を行 う領域が小 さくな る

．

図

2

は こ の内容を示した もの である

．

shift前 と比べ _{る と}

_，

任 意に与えら れ た直 接的 利 用 価 値 に 対 して地 域開 発を抑 制 する こ と に なる

．

逆 に減税 （θ₁ ，θΦの低下）の場 合には地域開 発 を促進 す るこ とになる

．

　

ま た

，

volatility σ が他の _parameter と_{独 立 で あ れ ば}つ ぎの性 質を得る こ とがで _きる

．

　

　

籌

・ ・i

鼻

（

β1 βi　

− 1

）

…

　

volatility σ _は直 接 的_{利 用 価 値}の_{変 動}の _{方 向}の不 確 実 性を表 すか ら

_，

不確 実性 が 増 大

（

つ ま りvolatility σ が増 大 ）_{す れ}ば

，

_{β1が 減 少 す る た め}

，

_{option 　value 　multiple β1}

／

（β1

−

1）は 増 大 する ことになる

．

したがっ て

，

不 確 実 性が増大 すれば自 由 境_界は 上 に shift し

，

地 域 開 発投 資を行 う領域が小 さ くな り， 地 域開発 資 本の追加 的投入 を 遅 らせ て し まうことにな る

．

も し

，

地 域 開発を 早め る方が 望 ま しい の であ れ ば

，

不 確 実 性が増 大 する ときは税率の 引き 下げ （θ1，θa」の低下）が望 ましい とい える

．

　

以 上の内容をつ _ぎの

Resuit

　

3

_で ま_{とめておこ う}

．

Result　

3

　

不確実 性の _{増 大}の 下 で は 地域 開発が遅れ る可能性 が あ る

．

地 域開発 を促 進させるため に は税 率 を

一

ドげると効 果 的であ る 可能 性がある

．

図

2　

政策変 数の操 作 と自由境界の shift

P

0

Φ ）

k

NII-Electronic Library Service 次 節で は政策 変 数を どのように組み合 わ せ れ ば よい かにつ い て

_考

察 しよう

．

4

．開 発

政策決定者

の

自由境

界

と

最適開発政策

　

本 節で は_開発 政 策 決定 者の_意思決 定問 題 を扱い ， ［X1 ］に依拠して不確実 性 下の 最適開 発 政 策の可 能 性 につ い て考 察 する

．

　

上 の議論か ら

，

開発 業者は政 策変 数を所 与と してい るの で政 策 変数の変更により 自由境 界が shift _する こと が分かっ た

．

し た がっ て

，

も し 開 発 政 策 決定 者が 政策 変 数を最 適に操 作で きるならば_， 開発 業 者の 自由境 界を社 会的最適 な自由 境界に

一

致させ る こと がで きる で あ ろう

．

そこ で以下で は政 策 変 数を最 適に操 作で き る開発政策 決 定 者を想定する こ と に しよう

．

開発 政 策 決 定 者は未 開発 地 域の非 利 用 価 値を考 慮して 自 由境 界を 決

定

す る と仮定 する

．

以 上の_{前 提}に基づ い て開発 政 策 決 定 者の収 入 関数を

　

HS

_（

P

，

K

）全 Φ （

K

）

P

十 （

1 一

Φ （

K

））

Q

（

P

） と定め る

，

こ こ で関 数

Q

（

・

）は環境の非 利 用 価 値を表す関 数であ り

，

つ ぎの ように仮 定 する

．

Assumption

；

　　

9

（

P

）＜ P

，

Q

・り ∈ C2 （R _{＋ ＋}；R ＋），

　

Q

’ （

P

＞＞ 0，　

Q

” （

P

）≦

0．

　

よっ て

，

p を固 定 し た と き 開発政策 決 定 者の収入関 数

HS

（

P ，

・

）は

K

＞ 0 につ い て

strictly　concave 　

function

となる16

．

こ の収入 関数を用い て開発 政 策 決 定 者の 目 的 汎関 数を

」S_［P，k_；∬（

・

）_］

AE

・

［

f6

＋°° e

−

pt

（

nS

_（・・_啝 ・_）

一

…

t・

_）

・dt

】

と おく17

．

すな わ ち

，

開発 政

策

決 定 者は環 境の価 値 （直接 的 利 用 価 値と非 利用価 値の和

）

か ら 地域開 発投 資 費用 を差し引い た もの の割 引現 在 価 値の期 待 値を最 大に す るよう に資本 の_{非 減 少 過 程}｛

K

（t）｝_t≧oを選 択 する

，

と仮 定 するの であ る

．

開 発 政策決定 者の問 題 に対 応 する実 数値評価関数を

16



_{価 格p を固 定し た と き}

_，

_{strictly　concave 　functionであ る た め}の必 要 十 分 条件

　

　

　

∂2Hl

黔

一

_・P

− Q

・P・）Φ〃・・ … 　 　が成 り立つ

．

17_{議 論 を簡 単にするた め}

_，

_{私 的割 引率}

＝

_{社 会 的 割 引 率と仮 定して}い る

．

割引率の厳密 な扱い につ 　 　いては

，

［W ］

，

［X2 ］な ど を参 照さ れ たい

．

87

N工 工

一

Eleotronio _Library

　

vs （

P

，　

k

）

9

・up 」

S

［凾 ∫（

・

・

1

　 　 　 ∫い ）∈召_（R_＋）

とお く

．

収 入関 数

ns

（

P ，

・

）は K ＞ 0 につ い て strictly　concave 　

function

で あ るか ら

，

関 数

Vs

_（p，

・

）も k につ い て strictly　concave 　functionで ある

．

　

上 と 同様にして

_，

_{不 確 実 性}下で _{社 会 的 最適}な地 域開発 投 資 を決め る 自 由 境界を定 義 する こと が で きる

．

こ の _{自由 境 界}を

磆B

  と記し て社 会 的 自由境界 と よぶ

．

E

で述べ た よう に

_，

最適開 発 政策の

1

つ は

Result

　

1

におい て定 義さ れ た

PFB

_（

kl

　

OI，

_θΦ）

（

これ を私 的 自 山 境界 とよ ぶ

_）

と社 会 的 自 由境 界

瓏

  を等しくする ように 政策変数の 組 （θ_1，θΦ ）を設 定 す る ことで _ある

．

つ ま り

，

不確 実性下 の最 適 開発政策の 政策変数は

　　端

 

一

PF。（klθ

i

 θΦ

＊

〉 を みたす組 （θ1  θΦ

＊

）と して定 義さ れ る とい _うこ とである

．

　

つ _ぎに， 非 利用価値 を

表

す関 数（

2

（

・

）_{を特 定 化 する こ と に よっ て}

_，

最適開発 政策の _{政 策 変} 数の組み合わ せ を_考えよう

．

直感 的な 理解を重 視し

，

簡 単な場 合 を 想 定 す る

．

Example

；

Q

（

・

）_が

1

_{次 関 数}の _場合

　

非 利 用価 値 を表す 関 数 をつ ぎの よ うに特 定化 する

．

　　

q

（

P

）全 qP

　　

fixed

　

q

∈ _（O_，1_）

，

　

上で 述べ たこ とか ら

，

地域 開 発 投資を行わない ことが最 適な場 合に は

，

条 件 式

齦

・

一

μ・ ∂

1li

’

；

（

；

LS pp

　

k）

_一

去

♂

≠

咢

1

典

_嚇

_・

一

・ が 満 た さ れ

，

逆に

，

地 域開発 投 資を行 うことが 最適な 場 合には

，

条件 式

　　

∂

vs

（

P

，　

k

） 　 　 　

−

c ＝ 0 　 　 　 ∂

k

　 　k

＝

k＋△ κ が満たさ れる

．

開 発 政策決定 者はこれ らの条件 式にもとつい て地域開 発 投

資

の 意 思決 定を 行 うことになる

．kp

平 面は

_，

地 域 開 発投 資を行 う領域 と地 域 開 発 投 資 を行わない 領 域 に 分か れる

．

こ れ ら の境 界

，

すな わ ち 社 会 的 自 由境 界を求める こ とがで きる

．

これを結 果 と して ま と めて お こう

．

Result

　

4

　上の model が与 え られ た とき

，

開発 政策 決 定 者の_{評 価関数}と自 山境界 関 数はそ れ ぞ れ

　　

v

・ （P，k）− B、  Pβi ＋ Φ ω _P ＋ （

1

ゆ   ）_ap ， 　 　 　 ρ

一

μ

　

　

鴫

 

一

（

謡

1

註

…

騒

w

NII-Electronic Library Service と な る

．

Proof

；Appendix にて

行 う．

■

　

開発政策 決定者 が 地 域 開 発資本を追 加的に投入 した場合の効 果 を考 察してみ よう

．

　

Result

　

4

_{で得られ た 社 会 的}自由境 界_関数を変形 し

，

両辺に追加的資 本 投入 量

dK

＞

0

を 掛 ける と

　　

（・

−

q

嘛

  Φ’ （

k

＞

dK

_一

_β・ cdK 　 　 　 　ρ

一

μ　 　 　 β1

− 1

と な る

．

まず， 左 辺の 直 感的意 味を考えて み よう

．

地 域 開 発資本 を 追加 的に

dK

単 位 投入 す る と開発 地 が 拡大し， 環 境 資 産の直 接 的利 用価 値が

鴫

（肋 Φ ’   己

K

だけ 増加 する

．一

方

，

未 開 発 地の 減 少によっ て非 利 用 価 値が 9

璃

（

k

）Φ ’ （

k

）

dK

_{だ け 減少 す}る

．

した がっ て 左 辺 は

，

環境 資 産の_{追 加 的価 値 （}

1一

_の

_崘

（

k）

Φ’ （

k

）

dK

の期 待現

在

価 値 を示してい る

．一

方

，

右辺の cdK は地 域 開 発

資

本 を追 加 的に

dK

単 位 投入 した ときの 地域開発 投 資 費 用であ る

．

以 上 か ら

，

　　

追 加 的 価 値の期 待現在 価 値

_＝



β1



＞ 1

　　　　

追 加 的 投資 費用

　　　　

β1

−

1 と なっ て い る ことが分かる

．

い い か え れ ば

，

開発 政策決 定者の 地域開発 投 資は

，

追 加 的 価 値の 期 待 現在価値が 地域 開発 投 資 費用 を option　value　multiple β1

／

（β1

− 1

）倍だけ上回っ て

い る場合に妥 当となるとい うこ とである

．

　

つ ぎに

，

評 価 関 数の直 感 的意味を考 えてみよう

，

　評価関数の第

2

項 　 　Φ （

k

）P 十 （

1 一

Φ （

k

）＞_qp 　 　 　 ρ

一

μ は

，

地 域開発資 本を永久 に 初期 水 準た で

一

定に保 ち続 けた場 合の環 境 資産の期 待現在 価 値 であ る

．

よっ て

，

第

1

項

B1

（

k

）

pn

は最 適な将 来の開 発規 模 拡 大の価値

，

すな わち

，

将 来 におい て開発 規 模を拡 大 するとい _うoption の現 在 価 値に なっ てい る

．

開発 政 策 決 定 者が 地 域開発資本を追加的に投入する とい うoption を 行使する とき

，

限界option _{価 値}を放 棄 す るこ とに なるの で，

　　

B1

’ （

k

）く

0

で ある

．

　

さ て

，

最 適な 政策 変 数の_組み 合わ せ が 開 発 政策 決 定 者に よっ て どの よ うに決 め ら れ るの か を見よう

．

89 N工 工

一

Eleotronio _Library

　

Result

　

4

で社 会 的 自 由境界

軸

一

、

謡

結

i

毒

’ ，、） を得た か ら

，

社 会 的 自由境 界と_{私 的 自由境 界}との差 は

　

瑞

・

k

・

− PF

_・… 一 （

 

誌

il

、

（

、

≒

一

路

）

と な る

．

これ を受 け

，

つ _ぎの

2

つ の場 合 を想定するこ と ができる

．

・・

嵩

一

鷺

・ ・の ・き

　

固定さ れ た gに対して， 　 　 　 1

一

θ Φ 　 　

0

≦θ1 〈 　 　 　 　

−

1 　 　 　 　

1 − q

を満た す ように税 率の組 （θ1，θΦ）が設 定 さ れて い ると きの私 的 自 由境界 を孺

晋

_偽 θ₁

，

θ_{Φ） と} 記 すと

_，

　　瓏

（

k）

〉

踏盞

）_（k1θ1，θΦ） と な り

，

社 会 的 自 由 境 界 は 私 的 自 由 境 界 の 上 に な っ て い る

．

こ の 場 合

，

瓏   ＝

踏晋

_偽 θ 玉，θΦ） と なる ように税 率θ・

，

θ_Φ を引 き上 げ_て私 的 自由 境 界_{を 上 に shiftさ} せ る必 要がある

．

…〉

嵩

一

鷺

・ ・のと き 　固定さ れ た q に対 して

，

　 　 　 　 1

一

θΦ 　 　θ1 ＞ 　 　 　

−

1 　 　 　 　 1

− q

を 満 た す ように（θ_bθ Φ）が設定され てい る ときの私的 自由境 界を

蹣

）  θ、

，

e¢ ）と記 す と

，

　　璃

3  く

瑠

（k；θ1，θΦ） と な り

，

社 会 的 自 由境 界 は私 的 自 由 境 界 の 下 に な っ て い る

．

こ の 場 合 に は

瓏

（k）

；踏盗

）_（kl　OI ，　eo）と なる ように税 率 θ・

，

θΦ を引 き 下 げて _{私 的 自 由境 界を 下}に shift さ せ る必 要がある

．

　以 上の内 容 を図 示 した ものが 図

3

であ る

．

NII-Electronic Library Service 図

3　

社 会 的 自由境 界と私的自由境界

P

0

）

鳶 こ れ らの操 作の_後

_，瓏

 

＝

_昂B偽 θ_{1，娠 ）}と なっ た場 合を考えて み よ う

．

こ の と き

　

A

− ＿

1＋ _θ1

_＝

0 　1

−

9　 1

一

θΦ が成 り立つ か ら

，

　 　 　 　

1 一

θΦ 　 　θ1 ＝ 　 　 　 　

− 1

　 　 　 　

1 − 9

を得る

．

税 率 θ_{Φ を操 作 する と}

　　

亟 ＝＿＿

L

＜ o 　 　dθΦ 　 　 　 1

−

9 でなければな ら ない

．

よっ て_， parameter　gが 与 えら れ た とき

，瓏

（k）＝ _{昂B 僑}θ王

，

娠 ）を み た す

2

種類の税 率 θ_、 と θΦ との間に は trade

−

offが あるとい うこ とが 明ら か と なっ た

．

以 上 か ら次の 結 果を得た ことになる

．

Result

　

5

　

開発政策 決 定 者は

2

種類の 税 率 θ1

，

θΦ を操 作して

，

開 発 業 者を社 会的 最 適 な 開 発行 動 へ _{誘 導で きる可能 性が あ}る

．

_{開 発 業 者}を_社会_{的 最}適な_開発 行 動に誘導した後で は

，

税率の 間には trade

−

off が存 在し，

一・

_{方の税 率} θ_{亜を引 き}上げる と他 方の税 率 θ1を 引 き 下 げる必 要 性が 生 じ る

．

以 上か ら 最 適 開 発 政 策に お ける税率の rule を示すこ とが でき た

．

91 N工 工

一

Eleotronio _Library

5

．

お わ り に 我々 が行っ た こ とを簡単 に ま とめ_ておく

．

　

第

2

節で は

，

地 域 開発 投 資の timing の 問 題 を 伊藤 過 程の最適停 止 問 題 として扱っ た

．

その 前 提 とし て， 環 境 資 産の価値が確 率 的な shock に さら され てい る 状 況 を 想定し

，

環 境 価 値 不 確 実性を_{幾 何 Brown 運 動}で表 現 した

．

我々は地 域開発 投 資 を行 う領 域 と行わ ない 領域 とに分 ける自由境 界があること を 明 ら かにし た

．

　

第

3

節で は

，

自由境界 問 題 を解 き評価関数と自 由境 界 関 数を定 義し

，

地 域 開 発投 資の限 界 効 果を考 察した

．

つ _{ぎに自由境界関 数}の基本 的な性 質を 示し た後

，

環境 価 値 不確 実 性

F

における地 域 開 発投 資行 動 が

barrier

・_{control に}従_{っ て}い る こ とを明 ら かに し た

．

本 節の最 後で は比較 動 学を行い ， volatility の 増 大

，

税率の変 更が自由境 界に 及ぼす 効 果 を示した

．

　

第

4

節で は

，

我々 の approach の advantage を 生 か して

，

不確 実 性下にお ける開発 政策設 計の可 能性を探っ た

．

開発 業者と 同 様の環 境 価 値_不確 実性_下に_おい て意 思決 定を行 う政 策 決 定者を想 定し_， 政 策 決定 者の _{自由境 界}を定 義し た

．

この _{自 由}境界と最 適開発政策下の開 発 業 者の 自由境 界が

一

致す る よ うに政策 変 数を決 定し た

．

この 分 析の_直感 的 な 理解を促 す た めに環 境 資 産の非 利用 価 値 を 特 定 化 し

，

最 適 開 発 政 策下の税 率の rule が

存

在 する可 能 性 を 明 ら かに した

．

Appendix

Proof

　of　

Result

　

1

　

地 域開 発投 資を 行 わ ない領域におい て は

，

　　　　　　　　

∂V （P，

k

）

122

∂ 2V （P

，

κ_） 　 　pv （P

，

　k）

一

_μP 　 　 　 　

−

H （

P

，

k

）

＝0

　　　　　　　　　

∂_P

一

喜

η



∂_P・ が成 り立つ

．

この 偏 微分 方 程 式 はつ ぎの変 数係 数の

2

階 scalar _値非 斉 次 線 形常 微 分方 程 式 と み な して よい IS

．

　　　　　　　　

dV （Plk） 122 　d2v （P・k ） 　 　 pv （P；k）

一

μP 　 　 　 　

− H

（P；

k

）

＝

o

．

　　　　　　　　　

dp

一

百

σ P　

_dp

・ これ は Euler型の常微分方 程 式で ある

．

こ の

Euler

型の_{常 微 分 方 程 式 を解 くた}めに

，

まず

，

対応する斉 次 方 程 式 ls

　

以 下では ［DP ］の recipe に従っ て展 開 する

．

評 価 関 数V（

・

，

・

）は多変数関 数 なので

，

上の式 は 偏

　

微分 方 程式で あ る

．

この式はilに関 する偏 微 分 を含ん でい ない の で

，

　 y（

・

，

　k）を未 知 関 数

，

　 P を 　 独 立 変 数 と す る

2

階の scalar 値 非 斉 次 線 形 常微 分 方 程 式と みな して よい

．

こ の場 合

，

　kは関 数 を 　 shift させ る _parameterであ る

。

NII-Electronic Library Service

　　　　　　

122

　

d2V

_（P；

k

_） 　 　 　

dV

（Plk） 　 　 　

＝

0 　 　ρ

y

（P；

k

）

一

μP

　　　　　　

dp

　

ri

σ

’

P

　

dp

・ の

一

般解を求め る

．V

（P；

k

）

＝A

（

k

）pS と お け ば， 特 性 方程 式は β2＋ ・

（

畚

一

1

）

・

懈

一・

と なる

．

こ の

2

_{次 方 程 式}の _解を β1

÷

菱

・

腸 ）

2 ＋

挈

・ ・，

暢

一

畚

一

_{腸 ）}

2 ＋

挈

… と書 くと

，

斉 次 方 程 式の

一

般 解は

　　 v

（P；

k

）

＝Al

（鳶）P角 _＋

A2

_（

k

_）P亀 と なる

．

よっ て

，

上の常 微分方程式の

一

般 解は

，

　　

v

_（

_P

；

k

）

＝

Al（k）

_P

＆ ＋

A2

（k）_P＆ ＋

Vps

（P；

k

） と書ける

．

こ こで Vps （

_p

；k）は特殊 解で ある

．

　 pが zero に近づ い た と き評価 関 数の 値 が有 限と なるように

，A2

　（

k

）

＝0

と お く

．一

般 解は

　　

v _（P；鳶〉

− A1

  _Pβ・_＋

Vps

_（

P；

k

_） と修正 さ れ る

．

特 殊 解の ひ とつ を未 定係 数 法で求めて

　　

Vp

、（，、　

k

＞

一

（

1 一

θ_・）Φ （

iC

） ， 　 　 　 ρ

｝

μ を得る19

・

．

よっ て

，

一

般 解は

　　

v

（，、k）

− A

、（

k

）， ・1 _＋（

1 一

θ・）Φ（k） ， 　 　 　 ρ

　

μ で ある

，

　

追 加 的投 資の ない _{領 域}の もう

1

つ の境 界

，

す な わ ち 曲線 　 　 ∂

v

_（P，

k

） 　 　 　　 　 　 　

一

ψ＝

0

　 　 　 　 ∂

k

をp につ い て解い てk の_式で _表し

，

　 　

P ；

昂B  と記述 す る

．

これ がつ _ぎの最適性の

2

_{条 件}を満たすと仮 定 する20

．

19



_{収 入 関数はn（p} ；k）

＝

（1

一

θΦ）Φ （h）p であるか らVps（p；櫛 全くlp ＋

Co

と お くと

，

未 定 係 数 法か ら 　 　 　 （1

一

θΦ）Φ （k） 　 　 　 ＞O

，

　 　 ζo

＝

O 　 　 　 　

Ci

＝

　 　 　 ρ

一

μ 　 　 を得る

．

2° これ ら

2

条 件が 必 要 な根 拠につ い ては ［DP ユを参 照さ れ たい

．

93 N工 工

一

Eleotronio _Library

Value−

matching 　condition

　　　　

∂

v

_（

_P

，

k

） 　 　 ψ＝ 　 　 　 ∂

k

」

 

一

 

_・

_P

・…

晒

（

1 一

緤

 

・k・・

Smooth −pasting

　condition

・

一

鷂

詳

＞ P

。

。

、1

，

B、、、

一

_瑠

  _{照 ・］}・・，

−

1_＋（

1 一

鍔

 

・

これ ら

2

条 件か ら自 由境界関数

　　　　　　　　

β1（ρ

一

μ）ψ 　 　

PFB

（

k

）

＝

　　　　　　

（β1

− 1

）（

1 一

θ_Φ）Φ’ （

k

）

を得る

．

この とき

，

smooth

−

_pasting　condition か ら

A

・ ’ ・・

k

・

」

1

諺

黌

’ ［

PFB

・_{… ］}・

一

_・・ ， ＜ ・ を得る

．

■

Proof

　of　

Result

　

4

　

Result

　

1

_と同様_{に して証 明で きる}

．

　

地 域 開 発投 資を行わ ない 領域に おい て は

_，

　

　

ρvs （P

・

k_）

一

_μ

_P

∂

y

評

鳶）

一

_圭

σ2p2 ∂2y

譯

_毒

罫

ん）

−

rls（P，

　

k ）

一

＝0

が成り立つ

．

こ の_{偏 微 分 方 程 式}はつ _ぎの Euler型の常 微 分方程 式とみな し て よい

．

・舳

一

・

μ

禦

一

去

・

〆

f

（

t2

！

IYIVSi2P

；

k

_）

_一

嚇

・

一

・

・

この 常 微 分方程 式を解 くた めに

，

まず

，

対応 する斉 次 方 程 式 ・

vs

（

P・

・）

一

・・

dy

｝

；鳶

L

押

♂y

_謡

；k）

_一

・ の

一

般 解を求め る

．vS

（p；

k

）＝

B

（

k

）pfiと おけば

，

特 性 方 程 式_は β2 ＋ ・

（

μ　

1

σ2　

2

）

β

一

髪

一 ・ と なる

．

こ の

2

次 方 程 式の_解を β1 ・

梯

・

腸

）

2 ＋

噐

・ ・，

　

　

畔

1

一

_拳

一

（

_畚

一

1

）

2 ・

耋

・ ・，

NII-Electronic Library Service と書 くと

，

斉 次 方程 式の

一

一

_{般 解}は

　　vs

（P；

k

）

＝B

、（

k

）pfii＋

B2

（

k

）pa と なる

．

よっ て

，

上の常 微 分 方程 式の

一

般 解は

，

　　

yS （

PlfO

）　

・

＝

　Bi 

_声

＋ B2（k）

_P・

4 ＋

噌

_S（

P

；k） と書 ける

．

こ こ で

_噌s

_（p；k_{）は特 殊 解}で あ る

．

p が zero に近づい た とき評価関数の_値が 有 限 と な る ように

，

B2　（k）

＝

0 _{とお く}

，一

_{般 解は}

　　

vs_（P；

k

）

− B

、  P

・

th ＋

噌s

（Pl　

k

_） と修正 さ れ る

．

特 殊 解のひ とつ を 未定 係 数 法で 求 めて

　

噛

P

；il）

一

（ 1

−

_q）Φ   ＋ _qp 　 　 　 ρ

一

μ を得る21

．

よっ て

，

一

般 解は

V

・ （

P

、

k

）

− Bl

（

k

）

pP1

＋ （1

−

_q）Φ   ＋

_1P

　 　 　 ρ

一

μ である

．

追加 的投 資のない_領域の もう

1

つ の_{境 界}

_，

す な わ ち 曲線

　　

∂

vs

_（P

_，

　

k

_＞ 　 　 　

−

c

＝0

　 　 　 ∂

k

をp につ い て解い て kの 式で _表し

，

　　

P ＝

瓏

（

k

） と記述 す る

．

これ がつ ぎの 最 適 性の

2

条 件 を 満 た す と 仮定す る

．

Value−

matching 　condition ；

　

　

・

一

∂

vi

絆

〉灘 ω

一 Bl

’ ・・）

_［

_瑞

 

_」

・ ＋ （1

−

・）Φ ’ （’

C

　 　 　 ρ

一

μ ）

醜

・

k

・

・

Smooth −pasting

　condition ；

・一

弯

藩

紛 騨 一

 

・

［

瑞

・

iC

・

匹

（

1

諜

 

_・

これ ら

2

条件か ら自由境 界 関 数 21



_{収入 関数はnS} （Plk）

一

（（1

−

q）Φ   ＋g）p であるからVllls（p；め 全ξ1p ＋ ξo と お くと

，

未 定係 数 　 法か ら 　 　 　 （1

−

9）Φ （k）十9 　 　 　 ξ1

＝

　 　 　 ＞ O

，

_ξo

一

  　 　 　 ρ

一

tt 　 　を得る

．

95

N工 工

一

Eleotronio _Library

軸

一

、β1

弩

仁

翫

）

を得 る

．

この と き

，

smooth

−pasting

　condition か ら

β₁’ 

」

謡

〉

繋

〉

［

醜

・k）

_］

1

−，

a ＜ ・

を得る

．

■

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．

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