「正多角形」

第５学年○組 算数科学習指導案

指導者 ○○ ○○ １ 単元 「正多角形」 ２ 指導観 本単元は、正多角形について、観察や操作を通して定義や性質を理解し、定規やコンパスを適切 に用いて正しく作図できるようになることをねらいとしている。定義については、直線で囲まれた 形を多角形ということや、辺の長さが全て等しく、角の大きさも全て等しい多角形を正多角形とい うことを理解する。また、六つの辺の長さが全て等しく、六つの角の大きさも全て等しい六角形を 正六角形ということなど、具体的な正多角形の定義についても知り、既習の正三角形や正方形を正 多角形と捉え直す教材でもある。性質については、円に内接や外接すること、その中心と正ｎ角形 の頂点を結ぶ直線でｎ個の合同な二等辺三角形に分割されること、中心角は全て等しく「360°÷ ｎ」で求められることなど様々に挙げられる。その中から学習のねらいに応じた必要な性質を、自 分たちの言葉で理解する。そして、それらの定義や性質をもとに様々な作図方法を見いだし、課題 に適した作図技能を身に付け、正多角形をもとにした模様をかくことができるようにする。 本学級の児童は、第１学年では、色板を使った形づくりや影絵遊びの中で、ずらしたり、回した り、裏返したりするなどの操作を通して、分割された図形を合同と見る素地となる経験をしている。 第２学年では、三角形と四角形や長方形と正方形の学習において、辺の数を数えたり角の形に着目 したりする活動を通して、辺の数や直角の有無で図形を定義する経験をしている。第３学年では、 コンパスや三角定規などを用いて、円をもとにした模様づくりや、二等辺三角形や正三角形の定義 や性質にもとづいた作図を経験している。第４学年では、角の大きさの測定・作図や、平行四辺形 の定義や性質にもとづいた作図、平行四辺形やひし形を対角線で分割したときにできる図形の考察 を経験している。第５学年では、合同な図形の作図条件を考える学習において、トレーシングペー パーや透明方眼シートを重ねて、図形の形を決める構成要素への見方・考え方を深めていく経験を している。そして、本単元で正多角形を二つに折ってぴったり重ねたり、回転して模様づくりをし たりする学習は、第６学年における対称の学習へと発展していく。 本単元の指導にあたっては、単元末の幾何学模様のコマづくりに向かって、正多角形の定義や性 質、作図方法を探っていく活動を設定した。第１時は、正多角形の辺や角に着目し、定義を理解す ることができることをねらいとする。そのために、７種類のコマの形を提示し、回り方を観察させ、 きれいに回る形とそうでない形の比較から、きれいに回る形に共通する特徴を見つける活動を設定 する。７種類の中には、三つの正多角形の他に、辺は等長であるが角は等角でない六角形や、等角 であるが等長でない六角形などを入れるしかけをつくり、「等辺かつ等角」という正多角形の特徴 へと焦点化できるようにする。第２時は、様々な正多角形の共通点を見いだし、性質として一般化 することができることをねらいとする。そのために、折ったり透明シートを重ねたりして様々な正 多角形の共通点を見つける活動と、見つけた共通点の表現や根拠に視点を当てた交流の場を設定す る。子供からの様々な観察・操作の必要に応じられるように教具を準備しておく。第３時は、外接 円を使った正六角形の作図方法を見いだし、適切に作図できることをねらいとする。そのために、 既習の定義や性質を生かして様々な作図方法を考えさせ、見いだした作図方法の妥当性を演繹的に 検証したり、「早い、簡単、正確」の視点から序列化したりする交流の場を設定する。第４時は、 正多角形の幾何学模様を適切にかくことができることをねらいとする。これまでに培った正多角形 への見方・考え方を作図に生かす場面である。ここでは、必要に応じて幾何学模様のモデルを提示 したり透明シートを与えたりする。ここでも、「早い、簡単、正確」の視点から交流する場を設定 する。複雑な幾何学模様の作図ができたことへの達成感を全体で共有できるようにする。

３ 単元の目標 ・ 手づくりコマの「よく回る形」や「整った美しい形」に関心をもち、正多角形の性質やその作 図方法を見いだそうとする。 【関心・意欲・態度】 ・ 見いだした正多角形の性質や作図方法の妥当性を、演繹的に検証することができる。 【数学的な考え方】 ・ コンパスや分度器を適切に使って正多角形をかいたり、正多角形をもとにした模様をかいたり することができる。 【技能】 ・ 正多角形の定義と性質、それらをもとにした作図方法について理解することができる。 【知識・理解】 ４ 各段階の算数的活動と見方・考え方の深まり 算 数 的 活 動 手 立 て _{正多角形についての見方・考え方} 着目していく構成要素と 定 義 理 解 自己追究 ○正 多 角 形 の コ マ の 形 に 着 目 ○正 多 角 形 と 他 の 図 形 の 比 較 ○正多角形の特徴見つけ 【観察・操作】 ○回転（回り方） ○紙折り 測定（相等関係） 交流 ○正多角 形に見 つけ た 形 の特徴を比較・検討 （帰納的） 【交流の視点】 ○形の特徴の共通点 は何か 活用 ○身の回 りの正 多角 形 見 つけ 【資料の提示】 ○様々な正多角形 ○身の回りの正多角 形の写真 性 質 理 解 自己追究 ○様々な 正多角 形の 共 通 点見つけ （帰納的） 【観察・操作】 ○紙折り（折り線） ○円の透明シート重 ね（頂点の位置） ○測定（相等関係） ○回転（頂点の位置） 交流 ○様々な正多角形の共通点 を 比 較 し て 検 証 (帰 納 的 ) ○円の半径等長の性質や合 同 条 件 な ど を 根 拠 に 検 証 (演繹的) 【交流の視点】 ○算数用語を適切に 使っているか ○見つけた共通点の 根拠は何か 活用 ○性質を 他の正 多角 形 に 適用 【問題提示】 ○正十角形など 作 図 ・ 構 成 自己追究 ○正六角 形の作 図方 法 の 模索 【観察・操作】 ○前時までに調べた 正六角形の観察 （定義、性質、作図方法） 交流 ○性質を 根拠に 作図 方 法 を検証(演繹的) ○様々な 正多角 形を 見 い だ し た 作 図 方 法 で 作 図 して検証(帰納的) 【交流の視点】 ○早くて簡単で正確 にかける方法はど れか ○作図の根拠は何か 活用 ○正多角 形を組 み合 わ せ た幾何学模様づくり 【問題提示】 ○幾何学模様 段 階 整った形 辺の長さが全て等 しく、角の大きさ も全て等しい形 辺の数、長さ 外接円の中心と頂点 を結ぶ直線を二辺と する合同な二等辺三 角形で構成される形 中心と頂点を結ぶ直線 三角形の形（二等辺三角形） 中心の周りの角 三角形の二辺は外接円の半径 外側にぴったり接する円 様々な幾何学模様 を、適切にかくこ とができる。 正六角形は合同な 六つの正三角形で 構成される形 中心角を使った作図 方法ならどんな正多 角形も作図できる。 分割されてできた三角形 三角形の形の関係（合同） 幾何学模様の中の正多角形 角の数、大きさ

５ 単元計画（全４時間） 学習 【第１時】正多角形の定義理解 【第２時】正多角形の性質理解（本時） 主 眼 ○ 手づくりコマの形に着目し、観察・操 作を通して、正多角形の定義を理解する ことができる。 ○ 観察・操作を通して、正多角形の形の共 通点を見いだし、正多角形の性質として一 般化することができる。 自 己 追 究 １．コマの回り方と形の関係に着目し、本 時のめあてをつかむ。 【手立て】重心の位置や面積、軸の長さな ど、形以外の条件はそろえてあることを児 童に分かる言葉で伝える。 ２．問題①について、自分の考えをつくる。 【手立て】折ったり切ったりして調べられ るように教具を準備しておく。 １．正多角形の性質を見つける本時の学習へ の意欲を高める。 【手立て】既習図形の定義と性質を想起させ、 正多角形の性質について調べたいという気 持ちを喚起する。 ２．問題①から本時のめあてをつかみ、自分 の考えをつくる。 【手立て】試しの活動として正八角形を取り 上げ、どこを調べようと思うかを挙げさせ、 活動の見通しがもてるようにする。 【手立て】大小様々な正三角形、正方形、正 五角形、正六角形、正八角形、正十角形から 調べたい図形を選んで調べさせる。 【手立て】円の透明シートや正多角形のコマ を準備しておく（頂点の位置を調べるため）。 ３．見つけた共通点の根拠を視点として交流 する。 【手立て】二等辺三角形になる根拠や合同に なる根拠、中心角を求める計算などについて、 既習内容をもとに説明させるようにする。 ４．適応問題を解いて学習をまとめる。 交 流 ３．「図形のどこに注目したか」を視点とし て交流し、定義について知る。 活 用 ４．身の回りの正多角形を見つける。 【手立て】上記以外の正多角形を挙げさせ たり、写真を示したりする。 問題② 他の正多角形 についても、学 んだことがいえ るか、確かめま しょう。 ○ 直線で囲まれた形を多角形という。 ○ 辺の長さがみんな等しく、角の大きさもみ んな等しい多角形を正多角形という。 ○ 六つの辺の長さが全て等しく、六つの角の大 きさも全て等しい六角形を正六角形という。 問題① きれいによく回る㋑㋓㋖の形に は、どんなとくちょうがあるでしょう。 折ったり測ったりして、正多角形の色々なき まりを見つけよう。 折ったり測ったりして、きれいによく 回るコマの形のひみつをさぐろう。 問題① 正多角形の形には、どんなきまり があるのでしょう。 問題② 身の回りから、正多角形の形を したものを見つけましょう。 ○ 半分に折るとぴったり重なる。 ○ 頂点は全て円の周上にある。 ○ 中心から頂点までの長さは、 全て等しい。

㋒

㋑

㋔

㋕

㋖

㋐

㋓

最後に幾何学模様のコマを紹介し、模様 の中に見える正多角形を見つけさせる。 ２㎝ 45° _２㎝ ○ 正多角形の頂点は全て円周上にある。 ○ 中心と頂点を結ぶ直線で、合同な二等辺三角 形に分けることができる。（正○角形は○個） ○ 正○角形の中心のまわりの角は「360°÷○」 ずつ分けられる。 ○ ㋑は六つの辺の長さが全て 等しいからよく回ると思う。 ○ ㋐も六つの辺の長さが全て 等しいです。 ○ でも㋐は角の大きさが違う。 ○ ㋒は六つの角の大きさが全 て等しいけどゆがんでいます。 ○ ㋑は辺の長さも角の大きさ もみんな等しいんだ。 全ての辺の 長さが等しい 全ての角の 大きさが等しい 図形の名前 ㋐ ○ × 六角形 ㋑ ○ ○ 正六角形 ㋒ × ○ 六角形 ㋓ ○ ○ 正八角形 ㋔ × × 平行四辺形 ㋕ × × 台形 ㋖ ○ ○ 正五角形 円の内側に ぴったり入る 合同な 二等辺三角形 中心の角 360÷○ 正三角形 ○ ○ 360÷３＝120 正方形 ○ ○ 360÷４＝90 正五角形 ○ ○ 360÷５＝72 正六角形 ○ ○(正三角形) 360÷６＝60 正八角形 ○ ○ 360÷８＝45 正十角形 ○ ○ 360÷10＝36 ○ 中心のまわりの角は全て等しい。 ○ 中心と各頂点を結ぶと、合同な二等辺三角形 に分けられる。

学習 【第３時】正多角形の作図 【第４時】正多角形をもとにした模様づくり 主 眼 ○ 既習内容を生かして、外接円を使った 正六角形の作図方法を見いだし、その妥 当性を検証することができる。 ○ 正多角形の作図方法をもとにして幾何学 模様をかくことができる。 自 己 追 究 １．問題①から本時のめあてをつかむ。 【手立て】前時の学習で調べた正六角形と 合同な正六角形をかいてもよいことや、前 時の学習で用いた透明シートを使って手掛 かりとしてもよいことを伝える。 【手立て】作図方法を思い浮かべる時間を 短時間とり、見通しを出し合うことでめあ てを焦点化できるようにする。 ２．問題①について、自分の考えをつくる。 ※㋒や㋓は、この段階では出なくてもよい。 交 流 １．問題①を解き、作図方法を確かめる。 活 用 ２．問題②から本時のめあてをつかむ。 【手だて】幾何学模様のモデルを提示し て同様の模様をかくか、自分で考えた模 様をかくかを選択できるようにする。 【手立て】模様づくりができたら、「説明 書づくり」として作図方法をかく活動を させる。 ３．互いの作品について交流し、よさを認 め合う。 【手だて】模様を見せ合って作図方法を 想像し合ったり、「説明書」をもとに作図 方法を伝え合ったりする。 【手立て】実際に回してみることで学習 への達成感が味わえるようにする。 交 流 ３．「かく方法の手順とその理由は正しい か」を視点として交流する。 ○ ㋐の解答例 ※㋒の考えが児童からでなければ、教師が示 して正六角形になる根拠を考えさせる。 ４．「早い・簡単・正確」という視点でまと める。 コンパスで円の周上に頂点をとってい けば、早くて簡単で正確に正六角形を作 図できる。 ○ 正六角形は、六つの合同な正三角形に分け られます。六つの頂点を通る円の半径と、正 三角形の一つの辺の長さは等しいので、この 方法で正六角形をかくことができます。 私は一辺が２㎝の正六角形をかきました。 まず、頂点は全て円の周上にあるので、半径 ２㎝の円をかきます。 次に、正六角形は六つの合同な正三角形に 分けられ、中心の周りの角は 60°ずつに分けら れるので、分度器で 60°ずつとっていきます。 すると、円周上に六つの交点ができるので、 それらを結ぶと、正六角形が完成します。 問題① 自分で一辺の長さを決め、正六角 形をかきましょう。 分度器やコンパスを使い、正多角形のき まりを生かして正六角形をかこう。 ㋐ 中心角 60° をとり、円と の 交 点 を 結 ぶ方法 ㋑ 合 同 な 正 三 角 形 を 継 ぎ 足 し て い く方法 ㋓ 二 円 の 交 点 と 中 心 を 通 る 直 線 に よ っ て 頂 点 を 決 め て い く方法 ㋒ コ ン パ ス で 円 周 上 に 半 径 と 等 長 に 点 を 取 っ ていく方法 問題① 正五角形や正八角形をかくには、 どの方法がよいのでしょう。 72° 45° ○ コンパスで円の周上に頂点をとって いく方法は正六角形でしか使えない。 ○ 中心の角を使った方法なら、正五角形 や正八角形もかくことができる。 コンパスと定規を使って正多角形をか き、それらを組み合わせて模様をかこう。 問題② 正多角形をもとにして、手づ くりコマの模様をかこう。 正多角形を組み合わせて重ねると、き れいなもようをかくことができる。

６ 本時 平成○年○月○日（○曜日） 第○校時 第５学年教室において ○主眼 紙を折って切ったり補助線を引いて測定したりする活動を通して、正六角形や正八角形などの性 質を見いだし、正多角形の性質として一般化することができる。 ○準備 （児童）定規、コンパス、分度器、はさみ （教師）板書資料、折り紙、発表ボード、正多角形カード、透明シート、 ○学習の過程 学習活動・内容 手立て 評価規準・評価方法 配時 導 入 自 己 追 究 交 流 １．正多角形の性質を見つける本時の 学習への意欲を高める。 ○ 既習図形（二等辺三角形と平行四 辺形）の定義と性質を振り返る ２．問題①から本時のめあてをつかみ、 自分の考えをつくる。 【正八角形の場合】 ○ 八つの頂点は全て円周の上にあり ます。 ○ 中心から各頂点までの長さは、全 て等しいです。 ○ 中心と各頂点を結ぶと、合同な八 つの二等辺三角形に分けられます。 ○ 中心の周りの角は、45°ずつに分 けられます。 ３．見いだした共通点について話し合 う。 （１）見いだした共通点の妥当性をグ ループで交流する。 ○ どんな大きさの正方形でも、中心 の角は必ず 90°ずつ四つに分けら れます。 ○ 定義については調べて知るこ とができたが、性質については まだ知らないことに気付かせ、 学習への意欲を高められるよう にする。 ○ 大小様々な正三角形、正方形、 正五角形、正六角形、正八角形、 正十角形のカードを準備してお き、調べたい図形を選んで、折 って補助線を引いたり分割した りしながら様々に調べられるよ うにする。 ○ 「頂点は全て円周上にある」 という見方・考え方ができなけ れば、円の透明シートを図形に 重ね合わせて調べさせたり、頂 点の位置に印をつけたコマを回 して観察したりさせることで、 気付くことができるようにす る。 ○ 自分の考えをかく活動では、 簡潔、明瞭、的確を意識してか かせることで、思考を整理させ る。 ○ 友達の考えを聞いて意見が異 なれば調べ直し、互いに考えを 付加・修正させる。 ○ 観察や 操作 によって、正多 角 形 の 性 質 を 見 い だ そ う と している。 【関・意・態】 《観察・ノート》 ６ 10 10 重ねたり測ったりして、正多角 形のいろいろな長さや角の大き さ、頂点の位置などを調べよう。 問題① 正多角形の形には、どん なきまりがあるのでしょう。 1.5 ㎝ 135° ２㎝ 45° ２㎝

交 流 活 用 ○ 正八角形の八つの頂点は全て円周 の上にあります。 ○ 正五角形は、中心と頂点を直線で 結ぶと、合同な五つの二等辺三角形 に分けられます。 ○ 正六角形は、中心と頂点を直線で 結ぶと、合同な六つの正三角形に分 けられます。 （２）見いだした共通点の妥当性につ いて、図形の性質を根拠に話し合う。 ○ 円の中心と頂点を結ぶ直線によっ て、合同な二等辺三角形にわけられ ます。三角形の二辺は円の半径にな っています。円の半径はどれも長さ が等しいから、二辺の長さが等しい 三角形ということです。だから、二 等辺三角形になります。 ○ 中心の周りの角について、一回転 の角の大きさは 360°で、正六角形 は６等分されるから「360°÷６」、 正八角形は８等分されるから「360° ÷８」で求めることができます。 ４．適用問題を解き、学習をまとめる。 ○ 各グループで見つけた共通点 を発表ボードにまとめさせるこ とで考えを整理させる。 ○ 見つけた共通点をキーワード 化して板書したり、図形に色を 付けたりすることで、視覚的に 共通点がわかりやすくなるよう にする。 ○ 見いだした共通点の妥当性に ついて、「全ての図形を測って みないとわからないか」を問う ことで、二等辺三角形の定義や 円の性質など、図形の定義や性 質を根拠に説明させるようにす る。 ○ ３で学習した性質について表 にまとめさせることで、どんな 正多角形についてもいえること を捉えられるようにする。 ○ 正多角 形の 共 通 点 を 見 つ け、性質として 演 繹 的 に 一 般 化 す る こ と が できる。 【考え方】 《発言・ノート》 ○ 確かめ た性 質の観点で、他 の 正 多 角 形 に つ い て 調 べ る ことができる。 【知・技】 《ノート》 12 ７ 問 題 ② 他 の 正 多 角 形に つ い て も、学んだことがいえるか確かめま しょう。 円の内側に ぴったり入る 合同な 二等辺三角形 中心の角 360÷○ 正三角形 ○ ○ 360÷３＝120 正方形 ○ ○ 360÷４＝90 正五角形 ○ ○ 360÷５＝72 正六角形 ○ ○(正三角形) 360÷６＝60 正八角形 ○ ○ 360÷８＝45 正十角形 ○ ○ 360÷10＝36 ○ 正多角形の頂点は全て円周上に ある。 ○ 中心と頂点を結ぶ直線で、合同な 二等辺三角形に分けられる。 （正○角形は○個） ○ 正○角形の中心の周りの角は 「360°÷○」ずつに分けられる。