理論ゼミ（後期） 2016 P3 quark 2 2

課題研究 ^P3 理論ゼミ

第 ² 章 対称性とクォーク ^2.9 ∼ ^2.11

加須屋春樹

2016

11

10

2.9 SU _{(3) 群のもう} 1 _つの例 : アイソスピンとストレンジネス

1947年のパイオン発見を皮切りに、当時“素粒子”と考えられていた粒子達はその数を増やし続け、1960年頃まで には100を超える“素粒子”が知られるようになった。その内、核子を含む強い相互作用をする粒子は、現在ハドロ ンと呼ばれている。強い相互作用による反応の前後で変化しない(強い相互作用で区別できない)量子数がいくつか知 られており、そのひとつはアイソスピンである。

いくつかの新粒子は、強い相互作用の時間スケールに比べると奇妙なほど長寿命であった。ストレンジネスと呼ば れる加算的な量子数があって、それが強い相互作用(と電磁相互作用)では保存し、弱い相互作用では保存しないとす れば、多くの現象が理解できるということが最終的に認識された。

ストレンジネスSはハドロンに対して以下のように与えられる:

S = 0 : π, N, ∆, · · ·

S = 1 : K⁺_{, · · ·} (1)

S = −1 : Λ, Σ, · · ·

I3に加えて、第二の加算的量子数Sの発見により、アイソスピン対称性をより大きな群、すなわちランク2の群に 拡張することは自然な試みであった。しかし核子と異なりハドロンは幅広い質量持つため適当な群の同定は難しく、 1961年にはじめてSU (3)が提案された。

ハドロンの質量をM (MeV/c²)、電荷をQe(eは素電荷)、バリオン数をB、スピンの大きさをJ、アイソスピンの 大きさと第3成分をそれぞれI, I3、ストレンジネスをSとし、便宜(多重項の中心を座標原点に一致させる)のため にハイパーチャージY を以下で定義する:

Y ≡ B + S ⁽²⁾

比較的質量の近いハドロンをB, J, I3, Y で分類し、B, J の等しいものについて横軸をI3,縦軸をY としてプロット すると次のようになる。確かに図はSU (3)の8次元表現や10次元表現のウェイト図と似た形をしている。実際

I3= H1,

√3

2 ^{Y = H3 (3)}

とすれば完全に一致する。また図から

Q = I3+^Y

2 ⁽⁴⁾

が成り立っていることが分かる。これは中野・西島・Gell-Mannの法則と呼ばれる。

ハドロンのSU (3)多重項の構造は、周期表の化学元素の分類を思い起こさせる。周期表と同じように、SU (3)の 分類は下部構造の存在を強く示唆している。

SU (2)アイソスピン対称性が成功を収めたのは、本質的に構成子u,dクォークの質量が等しいためである。だがs

クォークを組み入れたSU (3)はSU (2)のようなよい対称性をもたず、むしろそれはハドロン状態を分類整理するの に使われる。これをフレーバーSU (3)と呼ぶ。u,d,sクォークのフレーバーSU (3)を、cクォークやbクォークまで

含めてSU (4)やSU (5)に拡大しようという試みも考えられたが、質量差が大きすぎてもはや摂動論的に扱うことが

できないため適切ではない。

表1: B = 1, J = 1/2

M Q I I3 Y

p 938 1 1/2 1/2 1

n 940 0 1/2 _−1/2 1

Λ 1116 0 0 0 0

Σ⁺ 1189 1 1 1 0

Σ⁰ 1193 0 1 0 0

Σ⁻ 1197 ₋₁ 1 ₋₁ 0

Ξ⁰ 1315 0 1/2 1/2 ₋₁

Ξ⁻ 1321 ₋₁ 1/2 _{−1/2 −1} ^-2

-1 0 1

-3/2 -1 -1/2 0 1/2 1 3/2

I₃ Y

n p

Σ+ Σ0

Σ-

Ξ- Ξ0 Λ

図1: B = 1, J = 1/2

表2: B = 1, J = 3/2

M Q I I3 Y

∆⁺⁺ _{∼ 1232} +2 3/2 3/2 1

∆⁺ _{∼ 1232} +1 3/2 1/2 1

∆⁰ _{∼ 1232} 0 3/2 _−1/2 1

∆⁻ _{∼ 1232 −1} 3/2 _−3/2 1

Σ^∗+ 1383 +1 1 1 0

Σ^∗0 1384 0 1 0 0

Σ^∗− 1387 ₋₁ 1 ₋₁ 0

Ξ^∗0 1532 0 1/2 1/2 ₋₁ Ξ^∗− 1535 ₋₁ 1/2 _{−1/2 −1}

Ω⁻ 1672 ₋₁ 0 0 ₋₂

-2 -1 0 1

-3/2 -1 -1/2 0 1/2 1 3/2

I3

Y Δ⁺ Δ⁺⁺

Δ⁰ Δ^-

Σ^*+ Σ^*0

Σ^*-

Ξ^*0 Ξ^*-

Ω^- 図2: B = 1, J = 3/2

表3: B = 0, J = 0

M Q I I3 Y

π⁺ 140 +1 1 1 0

π⁰ 135 0 1 0 0

π⁻ 140 ₋₁ 1 ₋₁ 0

K⁺ 494 +1 1/2 1/2 1 K⁰ 498 0 1/2 _−1/2 1 K¯⁰ 498 0 1/2 1/2 ₋₁ K⁻ 494 ₋₁ 1/2 _{−1/2 −1}

η 549 0 0 0 0

-2 -1 0 1

-3/2 -1 -1/2 0 1/2 1 3/2

I3

Y

K⁺ K⁰

π^- π⁰ π⁺

K⁰ K^-

η

クォーク ^“ 原子 ^”

ハドロンをまとめた図はSU (3)のウェイト図とうまく対応した。しかし、8次元表現や10次元表現は現れたが、最 も基本的な3-表現や^¯3-表現は現れない。そこで基本表現に対応する基本的な粒子としてクォークを導入しよう。3-表 現の3つの状態e1, e2, e3に対してそれぞれu,d,sクォークを当てはめる。3-表現と原点対称な関係にある^¯3-表現の 3つの状態e¯₁, ¯e₂, ¯e₃に対してはu,d,sクォークと逆符号の量子数をもつそれぞれの反粒子u, ¯¯ d, ¯sが対応する。対応 関係(3)に基づいてクォークにアイソスピンの第3成分I3とハイパーチャージY を与え、バリオンはクォーク3つ からなりメソンはクォークと反クォークからなると考えられるのでクォークのバリオン数B = 1/3、スピンJ = 1/2 とする。さらに(2)からストレンジネスSを、中野・西島・Gell-Mannの法則(4)から電荷Qeを決める。以上のよ うにして決めたクォークの量子数を表に示す。

表4: クォークの量子数

クォーク J B Q I3 S Y

u 1/2 1/3 2/3 1/2 0 1/3

d 1/2 1/3 _{−1/3 −1/2} 0 1/3

s 1/2 1/3 _−1/3 0 _{−1 −2/3}

2.10 クォーク・反クォーク状態 ^: メソン

クォーク模型では、メソンはクォークと反クォークの束縛状態である。そこで_{3 ⊗ ¯3}を考える。Notes on SU (3)で 見たように、9つの状態は8重項と1重項に分かれる。それぞれの状態は以下のようになる:

相対軌道角運動量Lをもつメソンのパリティは

P = −(−1)^{L (5)}

である。ここで負号はqと¯qの内部パリティが逆のためであり、₍₋₁₎^Lはq¯q波動関数の角度依存項YLM(θ, ϕ)に対 する空間反転(θ → π − θ, ϕ → ϕ + π)^{から生じる。中性q¯q}系は粒子・反粒子共役演算子Cの固有状態である。C の値はqとq¯を入れ換え、さらにその位置とスピンも交換して求められるので、

C = −(−1)^S+1(−1)^L= (−1)^{L+S (6)}

が得られる。ここで負号はフェルミオンの交換から、₍₋₁₎^S+1はq¯qスピン状態の対称性から生じる(S = 1ならス ピンの交換について対称、S = 0なら反対称)。Sはq¯q対の全内部スピンを表す。パリティ保存はLの偶数状態と奇 数状態が混じり合うことを禁止する。それゆえC保存が多重項のスピンSを一義的に決める。

実験で同定されたメソンは全て予期されたq¯q多重項に入っており、クォーク仮説を受け入れる根拠となった。

図4: 重心系エネルギーに対するe⁺e⁻ _→ハド ロンの断面積

ところで、強い相互作用で崩壊する粒子は実験家の検出器の 中に飛跡を残すほど長く生きてはいない。むしろそれらの粒子 は崩壊粒子の飛跡を追いかけることで同定される。たとえば∆ はπN散乱(πN→ ∆ → πN)で作られただちに崩壊する。この ような不安定粒子の崩壊は指数法則

|ψ(t)|²= |ψ(0)|^{2e−Γt (7)} に従う。ここで_{τ ≡ 1/Γ}を状態の寿命と呼ぶ。よってM を崩 壊粒子の静止質量として

ψ(t) ∼ e^{−iMte−Γt/2 (8)} πNの重心系のエネルギーEの関数としてみると

χ(E) =

∫

ψ(t)e^iEt_{dt ∼} ¹

E − M + iΓ/2 ⁽⁹⁾ つまり、実験家がみるπN反応率は

|χ(E)|²∼ ¹

(E − M)^{2+ (Γ/2)2 (10)}

のような形をとる。この関数は中心E = M で幅Γの鋭いピークをもち、これをBreit-Wignerの共鳴公式という。

2.11 3 _{体クォーク状態} : _バリオン

クォーク模型ではバリオンはクォーク3つの束縛状態であるから、_{3 ⊗ 3 ⊗ 3}を考えるのは自然である。メソンと同 様の方法で27の可能な状態をSU (3)で分解すると次が得られる:

3 ⊗ 3 ⊗ 3 = 10 ⊕ 8 ⊕ 8 ⊕ 1 ⁽¹¹⁾

それぞれの状態は次のようになる。

ここで基底状態のバリオンのスピンを考える。3つのスピン1/2を合成すればよいから、

J 状態 J3

3

2^(S) ↑↑↑ ³2

√1

3(↓↑↑ + ↑↓↑ + ↑↑↓) ¹2

√1

3(↓↓↑ + ↑↓↓ + ↓↑↓) −¹2

↓↓↓ −³2

1 2^(MS)

√1

6(↑↓↑ + ↓↑↑ −2 ↑↑↓) ¹2

√1

6(2 ↓↓↑ − ↓↑↓ − ↑↓↓) −¹2 1

2^(MA)

√1

2(↑↓↑ − ↓↑↑) ¹2

√1

2(↑↓↓ − ↓↑↓) −¹₂

クォーク模型から期待されるバリオンを数え上げるには、SU (3)フレーバー分解とSU (2)スピン分解を組み合わ せる必要がある:

(10S ^{⊕ 8}MS^{⊕ 8}MA^{⊕ 1}A^{) ⊗ (4}S^{⊕ 2}MS^{⊕ 2}MA

)

= [(10 ⊗ 4) ⊕ (8 ⊗ 2)]

| {z }

S

⊕ [(10 ⊗ 2) ⊕ (8 ⊗ 4) ⊕ (8 ⊗ 2) ⊕ (1 ⊗ 2)]

| {z }

MS

⊕ [(10 ⊗ 2) ⊕ (8 ⊗ 4) ⊕ (8 ⊗ 2) ⊕ (1 ⊗ 2)]

| {z }

MA

⊕ [(1 ⊗ 4) ⊕ (8 ⊗ 2)]

| {z }

A

= 56S ^{⊕ 70}MS^{⊕ 70}MA^{⊕ 20}A ⁽¹²⁾

これはフレーバー・スピンSU (6)の_{6 ⊗ 6 ⊗ 6}を分解したことに相当する。最初に見たように、最低質量のバリオン は完全対称な、スピン3/2 10重項と、スピン1/2 8重項の中にうまく納まる。

ここで例えば、スピン3/2の∆⁺⁺はフレーバー・スピンについて完全対称な波動関数u ↑ u ↑ u ↑^{で記述される。} しかし同種フェルミオンであるクォーク交換に対しては反対称のはずである。この問題は、第1章でもふれたように、 クォークに新しい特性、3つのカラーRGBを与えることによって解決される。カラーはSU (3)対称性をもつ。それ はフレーバーSU (3)とは違って厳密な対称性であると信じられている。ここで重要な仮定をおく。ハドロンはすべ てカラーを持たず、すなわちSU (3)カラー群の1重項表現に属する。これを色の閉じ込めと呼ぶ。バリオンのカラー 波動関数はしたがって

(qqq)col.singlet= _√¹

6(RGB − RBG + BRG − BGR + GBR − GRB) =√¹

6^{ϵijkCiCjCk (C1= R, C2= G, C3= B)} (13) のように表される。全体の波動関数は

ψ_全= ξ_{空間· ζ香り· χスピン· ϕ色} (14)

のようであるから、全体として反対称となるためには、空間_×スピン_×フレーバーに対しては対称でなければなら ない。

最後に具体的なクォーク模型の波動関数の一例として、スピン上向き陽子の波動関数を考える。スピン_×フレー バーで対称となるように組んで

|p ↑⟩ = √¹

2^{(pSχ(MS) + pAχ(MA))}

= _√¹

18[2u ↑ u ↑ d ↓ − u ↑ u ↓ d ↑ − u ↓ u ↑ d ↑ + 2u ↑ d ↑ u ↓ − u ↑ d ↓ u ↑ − u ↓ d ↑ u ↑

+ 2d ↑ u ↑ u ↓ −d ↑ u ↓ u ↑ −d ↓ u ↑ u ↑] ⁽¹⁵⁾

Notes on SU ₍₃₎

SU (3)は行列式が1の_{3 × 3}ユニタリー行列のなす群であり、エルミートでトレースレスの_{3 × 3}行列により生成 される。エルミートでトレースレスの_{3 × 3}複素行列の自由度は8であり、その基底として物理学では次の8つの行 列が標準的に用いられる。これらはGell-Mann行列と呼ばれる。

λ1=





0 1 0 1 0 0 0 0 0



 λ2=





0 _{−i 0} i 0 0

0 0 0



 λ3=





1 0 0

0 −1 0

0 0 0





λ4=





0 0 1 0 0 0 1 0 0



 λ5=





0 0 _−i 0 0 0 i 0 0



 (16)

λ6=





0 0 0 0 0 1 0 1 0



 λ7=





0 0 0 0 0 _−i 0 i 0



 λ8= √¹

3





1 0 0 0 1 0 0 0 ₋₂





SU (3)の生成子は慣例的に

Ta= ¹

2^{λa (17)}

と定義され、次の構造をもつ

[Ta, Tb] = ifabcTc (18)

ここで構造定数fabcはa, b, cに関して完全反対称であり、次の実数値をとる:

f123= 1, f147= ¹

2^{, f156= −} 1

2^{, f246=} 1

2^{, f257=} 1

2^{, f345=} 1

2^{, f367= −} 1

2^{, f458=}

√3

2 ^{, f678=}

√3

2 ⁽¹⁹⁾ fabc= 0 (others)

(18),(19)がsu(3)代数の構造を決定する。 (18),(19)から次のセット

(J1, J2, J3) = (T1, T2, T3), (T4, T5, (^√3T8+ T3)/2), (T6, T7, (^√3T8_{− T}3)/2) (20) はそれぞれsu(2)代数の構造[Ji, Jj] = iϵijkJkを満たしており、su(3)の自然な3つのsu(2)部分代数を形成してい ることが分かる。

また、SU (3)の生成子の内T3とT8だけが可換であることも分かる。ゆえにT3とT8は同時対角化可能であり、 それらの固有値は状態をラベルするのに使うことができる。H1_{≡ T}3, H2_{≡ T}8とする。Hiの固有値をウェイトと呼 ぶ。Ta = ¹₂λaとするときH1= ¹₂λ3とH2= ¹₂λ8はすでに対角型であるから、その固有ベクトルと固有値は次のよ うになる。それぞれを横軸にH1の固有値、縦軸にH2の固有値を取ってプロットすると図のようになる:

固有ベクトル H1の固有値 H2の固有値

e1=





 1 0 0







1 2

1 2^√3

e2=





 0 1 0





 ⁻

1 2

1 2^√3

e₃=





 0 0 1





 ^{0 −}

√1 3

-1 -0.5 0 0.5 1

-1 -0.5 0 0.5 1

H2

H

(18)の複素共役をとると

[T_a^∗, T_b^∗_{] = −if}abcT_c^∗

∴_[−Ta^∗_{, −Tb}^∗_{] = ifabc(−Tc}^∗_{) (21)} ゆえに_−Ta^∗はTaと同じ交換関係を満たしている。よってTa_{= −}¹₂λ^∗_aも(18)を満たす。このとき、先程と同様に H1= −¹₂^λ3とH2= −¹₂^λ8の固有値を調べると次のようになる:

固有ベクトル H1の固有値 H2の固有値

¯ e1=





 1 0 0





 ⁻

1

2 −₂^√1₃

¯ e2=





 0 1 0







1

2 −₂^√1₃

¯ e₃=





 0 0 1





 ⁰

√1

3 -1

-0.5 0 0.5 1

-1 -0.5 0 0.5 1

H2

H₁

これは^¯3-表現と呼ばれる。

E_±α1_≡

√1

2^{(T1± iT2) (22)}

E_±α2_≡

√1

2^{(T4± iT5) (23)}

E_±α3_≡

√1

2^{(T6± iT7) (24)}

とするとこれらは“昇降演算子”である。すなわち

[H, E_±αi_{] = ±α}iE_±αi

(

ここでH= (H1

H2

))

(25) を満たす。よってH|µ⟩ = µ |µ⟩^とすると

H_E±αi_{|µ⟩ = (E±α}iH_{± αiE±αi) |µ⟩}

= (µ ± α^i)E±αⁱ|µ⟩

∴_E±αi|µ⟩ ∝ |µ ± αⁱ⟩ ⁽²⁶⁾

例えばTa= ¹₂λaのときは

E^α1= _√¹ 2

( λ1

2 ^{+ i} λ2

2 )

=_√¹ 2





0 1 0 0 0 0 0 0 0



 (27)

E^α2= _√¹ 2

( λ4

2 ^{+ i} λ5

2 )

=_√¹ 2





0 0 1 0 0 0 0 0 0



 (28)

E^α3= √¹ 2

( λ6

2 ^{+ i} λ7

2 )

=√¹ 2





0 0 0 0 0 1 0 0 0



 (29)

だから

E^α1e₂= _√¹

2^{e1, Eα2e3=}

√1

2^{e1, Eα3e3=}

√1

2^{e2 (30)}

より

α1= (1

0 )

, α2=^{( 1/2}√ 3/2

)

, α3=^(−1/2√ 3/2 )

(31) Ta_{= −}¹₂λ^∗_aのときは

E^α1 =√¹ 2

(

−^λ₂^∗1 − i^λ₂^∗2 )

= −√¹ 2





0 0 0 1 0 0 0 0 0



 (32)

Eα2 =_√¹ 2

(

−^λ∗4 2 ^{− i}

λ^∗₅ 2

)

= −√¹ 2





0 0 0 0 0 0 1 0 0



 (33)

E^α3 =_√¹ 2

(

−^λ₂^∗6 − i^λ₂^∗7 )

= −√¹ 2





0 0 0 0 0 0 0 1 0



 (34)

だから

E^α1e¯1_{= −}

√1

2^{e¯2, Eα2e¯1= −}

√1

2^{e¯3, Eα3e¯2= −}

√1

2^{e¯3 (35)}

より

α1₌

(1 0 )

, α2₌

( 1/2_√ 3/2

)

, α3₌^(−1/2√ 3/2 )

(36) ここで_{3 ⊗ ¯3}を考える。

組成 状態 ウェイト

|e¹⟩ ⊗ |¯^e3⟩ |e¹⟩ ⊗ |¯^e3⟩ ^(1/2,√3/2)

|e¹⟩ ⊗ |¯^e2⟩ − |e¹⟩ ⊗ |¯^e2⟩ ^{(1, 0)}

|e²⟩ ⊗ |¯^e3⟩ |e¹⟩ ⊗ |¯^e3⟩ (−1/2,^√3/2)

|e¹⟩ ⊗ |¯^e1⟩,|e²⟩ ⊗ |¯^e2⟩,|e³⟩ ⊗ |¯^e3⟩ ^1/

√2(|e¹⟩ ⊗ |¯^e1⟩ − |e²⟩ ⊗ |¯^e2⟩)

1/^√_6(|e1⟩ ⊗ |¯^e1⟩ + |e2⟩ ⊗ |¯^e2⟩ − 2 |e3⟩ ⊗ |¯^e3⟩) ^{(0, 0)}

|e2⟩ ⊗ |¯^e1⟩ |e2⟩ ⊗ |¯^e1⟩ (−1, 0)

|e3⟩ ⊗ |¯^e1⟩ |e3⟩ ⊗ |¯^e1⟩ (−1/2, −^√3/2)

|e³⟩ ⊗ |¯^e2⟩ − |e³⟩ ⊗ |¯^e2⟩ (1/2, −^√3/2)

|(1/2,^√3/2)⟩ = |e¹⟩ ⊗ |¯^e3⟩として、そこから昇降演算子を作用させていくと、例えば

|(1, 0)⟩ ∝ E−α³|e1⟩ ⊗ |¯^e3⟩ ∝ − |e1⟩ ⊗ |¯^e2⟩ ⁽³⁷⁾

|(0, 0)A⟩ ∝ E−α¹(− |e1⟩ ⊗ |¯^e2⟩) ∝ √¹

2^{(|e1⟩ ⊗ |¯e1⟩ − |e2⟩ ⊗ |¯e2⟩) (38)} などの計算により表の状態を得る。これを図示すると

-0.5 0 0.5 1

H2

参考文献

[1] ジョージァイ,『物理学におけるリー代数』,吉岡書店 [2] 佐藤光,『群と物理』,丸善出版

[3] B.ポッフ他,『素粒子・原子核物理入門』,丸善出版 [4] “Notes on SU(3) and Quark Model”,

(https://workspace.imperial.ac.uk/theoreticalphysics/public/MSc/PartSymm/SU(3)Notes.pdf) [5] “リー代数と量子論”,(http://www.cc.kochi-u.ac.jp/~tsue/lie_algebra.pdf)