2013.7.9
差分方程式の固有値解法
加藤賢悟 一般に実係数のk次差分方程式
xn+k+ak−1xn+k−1+· · ·+a1xn+1+a0xn= 0, n = 0, 1, 2, . . . , (a0, . . . , ak−1∈ R) (1) を考える．(1)をみたすすべての 実 数列の全体をV とおくと，V は
{xn} + {yn} = {xn+ yn}, c{xn} = {cxn}, c ∈ R を和とスカラー倍として 実 線形空間となる．
補題1. dim V = k.
(証明)．i= 0, . . . , k − 1に対して，viを(1)の解で， xi= 1, xj = 0 (0 ≤ j ≤ k − 1, j ̸= i)
を初期値にもつ数列とすると，{v0, . . . , vk−1}はV の基底となる．
{v0, . . . , vk−1}を補題1の証明に現れるV の基底とする．いま，V からV 自 身への写像T を
T : {xn} 7→ {xn+1}
で定める．すなわち，{yn} = T {xn}とおくと，yn = xn+1で与えられるのであ る．すると，TはV 上の線形変換(= V からV への線形写像)であり，
T v0= −a0vk−1, T vi= −aivk−1+ vi−1 (1 ≤ i ≤ k − 1) となるから，Tの{v1, . . . , vk−1}に関する表現行列は
A=
0 1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 . . . ... ... . ..
0 0 0 . . . 1
−a0 −a1 −a2 . . . −ak−1
である．
仮にAが(従ってT が)k個の 相異なる実固有値λ1, . . . , λkを持つならば，
T{λni} = {λn+1i } = λi{λni} であるから，数列{λ
n
i}はλiに属するTの固有ベクトルである．λ1, . . . , λkが相
異なるという仮定のもとで，{λ
n
1}, . . . , {λnk}は線形独立であるから，V の基底を 与える．従って，(1)の一般解は
xn= c1λn1+ · · · + ckλnk, (c1, . . . , ck ∈ R)
1
で与えられる．係数c1, . . . , ckは初期値x0, . . . , xk−1が決まれば一意に決まる． 例題．差分方程式
xn+2− xn+1− 2xn= 0, n= 0, 1, 2, . . . (2)
の一般解を求めてみよう．このとき，k= 2, a1= −1, a0= −2より， A=(0 12 1
)
である．
|A − λE| = λ(λ − 1) − 2 = (λ + 1)(λ − 2)
であるから，Aは固有値−1, 2を持つ．従って，差分方程式(2)の一般解は xn= c1(−1)n+ c22n, (c1, c2∈ R)
で与えられる．
問題．差分方程式xn+3− xn+2− 3xn+1− xn= 0の一般解を求めよ．
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