第 1 章 直線方程式
1-1 直角坐標 ...1
1-2 函 數 ...1
1-3 直線的斜角與斜率 ...3
關鍵時刻 ...5
考題大觀園 ...5
大考特區 ...7
第 2 章 三角函數及其應用
2-1 有 角及其度量 ... 102-2 三角函數的定義 ... 10
2-3 任意角的三角函數 ... 11
2-4 三角函數的圖形 ... 12
關鍵時刻 ... 13
考題大觀園 ... 14
大考特區 ... 16
2-5 和差角與倍角公式 ... 17
2-6 正弦定理與餘弦定理 ... 18
2-7 三角測量 ... 19
關鍵時刻 ... 20
考題大觀園 ... 20
大考特區 ... 22
第 3 章 量
3-1 量的意義及其運算 ... 253-2 量與內積 ... 26
關鍵時刻 ... 27
考題大觀園 ... 28
大考特區 ... 29
第 4 章 式的運算
4-1 多項式的四則運算 ... 314-2 餘式與因式定理 ... 32
4-3 分式與根式的運算 ... 34
關鍵時刻... 35
考題大觀園 ... 35
大考特區... 37
第 5 章 方程式
5-1 多項方程式 ... 395-2 行列式 ... 40
5-3 一次方程組 ... 42
關鍵時刻... 43
考題大觀園 ... 43
大考特區... 45
第 6 章 複 數
6-1 複數的四則運算 ... 486-2 複數的極式與棣美弗定理 .... 49
關鍵時刻... 51
考題大觀園 ... 51
大考特區... 53
第 7 章 不等式及其應用
7-1 一元二次不等式 ... 557-2 絕 不等式 ... 55
7-3 二元一次不等式的圖形 ... 57
關鍵時刻... 58
考題大觀園 ... 58
大考特區... 61
第 8 章 數列與級數
8-1 等差數列與級數 ... 63
8-2 等比數列與級數 ... 64
8-3 無窮等比級數 ... 65
關鍵時刻 ... 66
考題大觀園 ... 66
大考特區 ... 68
第 9 章 指數與對數
9-1 指 數 ... 719-2 數 ... 72
9-3 數的應用 ... 73
關鍵時刻 ... 74
考題大觀園 ... 74
大考特區 ... 76
第 10 章 排列與組合
10-1 排 列 ... 7810-2 組 合 ... 80
10-3 二項式定理 ... 82
關鍵時刻 ... 83
考題大觀園 ... 83
大考特區 ... 85
第 11 章 機率與統計
11-1 集合與樣本空間 ... 8711-2 機 率 ... 88
關鍵時刻 ... 91
考題大觀園 ... 91
大考特區 ... 93
11-3 統 計 ...95
關鍵時刻 ... 97
考題大觀園 ... 98
大考特區 ... 99
第 12 章 二次曲線
12-1 圓的方程式 ... 10112-2 圓與直線的關係 ... 102
關鍵時刻 ... 104
考題大觀園 ... 104
大考特區 ... 106
12-3 拋物線 ... 108
12-4 橢 圓 ... 109
12-5 雙曲線 ... 110
關鍵時刻 ... 112
考題大觀園 ... 112
大考特區 ... 114
第 13 章 微積分及其應用
13-1 極限的概念 ... 11613-2 多項式函數的 數與 函數 ... 118
13-3 微分公式 ... 119
關鍵時刻 ... 120
考題大觀園 ... 120
大考特區 ... 122
13-4 微分的應用 ... 124
13-5 積分的概念與反 函數 .... 125
13-6 多項函數的積分 ... 125
關鍵時刻 ... 126
考題大觀園 ... 127
大考特區 ... 129
第一章 直線方程式 1
1. Page 2 _________________________________________________________________________________________ P(a,b)在第二象限⇒ <a 0 b > 0
( , ) ( )
Q ab b−a = , 在第二象限 P ab a( , +b)在第四象限
0 0
0 0
ab a
a b b
> <
⇒ ⇒
+ < <
( 3, )b ( )
Q a a = , 在第二象限
2. Page 2 _________________________________________________________________________________________ 3 ( 1) ( 4) 0
( , ) (1, 2)
2 2 2
A B
P= + = + − − + = −
2 2
(3 1) (4 ( 2))
PQ = − + − − = 22+62 = 40=2 10
2 P Q
M = + (3 5, 4 2) (4, 1)
2 2
+ − +
= = −
2 2 2 2
(4 1) ( 1 3) 3 4 5
RM= − + − − = + =
3. Page 3 _________________________________________________________________________________________ 0 6 0 6
( , ) ( , ) 3 1 3 1 P m n = + +
+ +
( , )3 3
= 2 2 3 3
2 2 3 m+ = + = n
4 : 1: 4
BC= AC⇒AC BC= 4 6 8 13
( , ) ( , )
4 1 4 1 C x y = + − +
+ +
=(2,1)
4. Page 3 _________________________________________________________________________________________ : 1: 2
AC BC=
2 1 2 1 ( 3,3) ( , )
1 2 1 2
a b
B − = + +
+ +
2 1
3 5
3
2 1 4
3 3 a
a
b b
+ = −
= −
⇒ ⇒
+ =
=
3BC=2AC⇒AC BC: =3 : 2 8 3 8 3 ( 1,1) ( , )
3 2 3 2
a b
C − = − + +
+ +
3 8
1 1
5
3 8 1
5 1 a
a
b b
− = −
=
⇒ ⇒
+ = −
=
故B(1, 1)−
5. Page 4 _________________________________________________________________________________________
△DEF的重心 即是△ABC的重心
重心 3
A B C G= + +
5 7 ( 3) 8 0 ( 2)
( , )
3 3
+ + − + + −
= =(3,2)
重心 3
A B C G= + +
0 ( 12) 24 6 ( 24) 12
( , )
3 3
+ − + + − +
= =(4, 2)−
6. Page 4 _________________________________________________________________________________________ A C+ = + B D
D= + − A C B
(5,2) ( 4,3) (1,3)
= + − −
(0,2)
=
A C+ = +B D (5,2) ( ,3)+ b =( ,3) (0,a + a+ 1) (b 5,5) ( ,a a 4)
⇒ + = + 5 1
4 5 4
a b a
a b
= + =
⇒ ⇒
+ = = −
故a+ = − b 3
1. Page 5 _________________________________________________________________________________________
{
x x ∈ ℝ}
2 0
x − ≥ x ≥2
{
x x≥2,x∈ℝ}
2 4 0
x − ≠ x ≠ ±2
{
x x≠ ±2,x∈ℝ}
{
x x ∈ ℝ}
2 4 0
x − > x < −2 x >2
{
x x< −2,x>2,x∈ℝ}
(x−1)(x+3)≠0 x ≠1, 3−{
x x≠ −1, 3,x∈ℝ}
2. Page 6 _________________________________________________________________________________________(5) 3 5 2 17
f = × + = f(0)=02− = − 1 1 (5) (0) 16
f + f =
(5) ( (5)) (17) 17 1 18 g f =g f =g = + =
( (1)) (1) 2 a= f g = f =
( (1)) (2) 4 b=g f =g =
6 a+ = b B(2,2)
A(0,0) P m n( , )
3 】 1
B(6,13) A(1, 2)− C x y( , )
】 4 1
C(1,1) A a b( , ) B( 3,3)−
】 2 1
B a b( , ) A( 4,4)− C( 1,1)−
】 2 3
C
A D
B
3. Page 6 _________________________________________________________________________________________ 2x− = ⇒ =1 3 x 2 入
2 2 4
(2 2 1) (3)
3 2 1 7
f × − = × ⇒ f =
× +
1 3
2 2 2
x+ = ⇒ =x − 入 3 3
3 2 1 3
( 2) ( )
2 3 2 5
2 4
f f
− +
− + = ⇒ =
− +
4. Page 7 _________________________________________________________________________________________
(1) 2 2 3
(2) 5 2 5 1
f a b a
f a b b
= + = =
⇒ ⇒
= + = = −
( ) 3 1 ( 1) 4 f x = x− ⇒ f − = −
假設一次函數 f x( )=ax+ b
( , )x y =(1,3) 入 a+ = ... b 3 ( , )x y =(2,7) 入 2a+ = ... b 7 由 得a =4 b = −1 故 f x( )=4x− 1
5. Page 9 _________________________________________________________________________________________
2 2 2 2
( 6 3 ) 5 3 ( 3) 4 y= x − x+ + − = x− −
頂點(3, 4)−
稱軸方程式x = (3 或x − = ) 3 0 最 值= − 4
2 2 2
2( 2 1 ) 1 2 2( 1) 3 y= − x − x+ + + = − x− +
頂點(1,3)
稱軸方程式x= (或1 x− = ) 1 0 最大值 3=
6. Page 9 _________________________________________________________________________________________
2 2 2 2
( ) ( 10 5 ) 11 5 ( 5) 36 f t = −t − t+ + + = − −t + 頂點(5,36)
t 1 5 10 f (t) 20 36 11 最大值 36= 最 值 11=
最大溫差為 36 11 25− =
2 2 2
( ) 2( 2 1 ) 3 2 2( 1) 5 f x = x + x+ − − = x+ −
x y
−1 1
−5 3
0
−3 (不合)
最大值 3= 最 值= − 3
7. Page 9 _________________________________________________________________________________________ 設f x( )=a x( −1)2+3
( , )x y =(0,1) 入得a+ = ⇒ = − 3 1 a 2
2 2
( ) 2( 1) 3 2 4 1 f x = − x− + = − x + x+ 故a= −2 b= 4
已知頂點(2,1) 設 f x( )=a x( −2)2+ 1 (0) 5 4 1 5 1
f = ⇒ a+ = ⇒ =a 故 f( 1) 1 ( 1 2)− = ⋅ − − 2+ =1 10
8. Page 10 ________________________________________________________________________________________ 開口 a> 0
在(0,c)的 線斜率b> 0 (0,c)在原點 方⇒ < c 0 圖形與x軸交點有 2 個
2 4 0
D b ac
⇒ = − > ( 1) 0 a− + =b c f − < 答：
開口 a< 0
在(0,c)的 線斜率b> 0 (0,c)在原點 方⇒ < c 0
(1) 0 a+ + =b c f = 16a+4b+ =c f(4)<0
2 4 0
D=b − ac> 答：
9. Page 10 ________________________________________________________________________________________
2 2 0
kx − x+ >k 恆成立 0
k>
( 2)2 4 0 D= − − × × < k k
1
⇒ < − 或k k> 1 由 得：k> 1
(k+2)x2+6x− < 恆成立 3 0
2 0 2
k+ < ⇒ < − k
62 4 ( 2) ( 3) 0 D= − × k+ × − <
36 12k 24 0 k 5
⇒ + + < ⇒ < − 由 得：k< − 5
(3, 4)− x=3
(1,3)
x=1
(10,11) 5
(5,36)
x (1,20)
1 10
x y
(0, 3)− (1,3)
( 1, 5)− −
x y
O (0, )c ( 1, ( 1))− f −
b>0
−2 −1
−1 0 1 −5 −2
1. Page 12 ________________________________________________________________________________________
1
1
2 2 2 m =− −5 3 = −
− 2
3 0 m =1 1−
− 不 在
3 tan 60 3
m = ° = 4 3
m = − 2
1
5 2 1 m =3 0− =
− 2
3 3 0 m =5 1− =
−
3 tan 45 1
m = ° = 4 1
m = 2
2. Page 12 ________________________________________________________________________________________ 正：m3=m4 0：無 負：m1>m2
3 4 1 2
m =m >m >m
正：mAB<mCD 0：無 負：mDA>mBC
CD AB DA BC
m >m >m >m
3. Page 13 ________________________________________________________________________________________ 已知A a( ,2) B(1,3) C(2,5) 點共線
AB BC
m =m 2 3 5 3
1 2 1 a
− −
⇒ =
− − ⇒2(a− = −1) 1
1 a 2
⇒ =
由題意知 A , B , C 點共線
AB AC
m =m 3 1 5 1 6 2 k 2
− −
⇒ =
− − ⇒ − =k 2 8⇒ =k 10
4. Page 13 ________________________________________________________________________________________
1 3
m = m2 2
= − a
1// 2 1 2
L L ⇒m =m 2 3 2
a 3
− = ⇒ = − a
1 2 1 2 1
L ⊥L ⇒m ×m = − 2 3 1 a 6
− × = − ⇒ = a
1 2
m = − m2 1
=a
1// 2 1 2
L L ⇒m =m 1 2 1
a 2 a= − ⇒ = −
1 2 1 2 1
L ⊥L ⇒m ×m = − 1 ( 2) 1 a 2 a× − = − ⇒ = 5. Page 14 ________________________________________________________________________________________
x 0 −3 y 4 0
x 截距= −3 y 截距= 4 面積 1 ( 3) 4 6
= × − ×2 =
x 0 2 y 4
3 0
x 截距=2 y 截距 4
= 3 面積 1 2 4 4
2 3 3
= × =
6. Page 15 ________________________________________________________________________________________
斜率m a 0 a 0 ab 0
b b
= − > ⇒ < ⇒ < 0
y = 入得ax c 0 x c a + = ⇒ =−
x 截距 c 0 c 0 ac 0
a a
=− < ⇒ > ⇒ > 故 ( , ) (P ac ab = , )在第四象限
斜率m a 0 a 0 b 0
b b a
= − < ⇒ > ⇒ > 0
x = 入得by c y c
= ⇒ = b y 截距 c 0 bc 0
= < ⇒b < 故 ( , ) (Q b bc )
a = ,- 在第四象限
7. Page 15 ________________________________________________________________________________________ 點斜式 2 2( ( 3))
y− = −3 x− − 3y 6 2x 6 2x 3y 0
⇒ − = − − ⇒ + = 斜率不 在⇒鉛直線⇒ = −x 3
點斜式y− − = −( 3) 1(x−2)⇒ + + =x y 1 0 點斜式y− − =( 3) 0(x−2)⇒ = −y 3
8. Page 15 ________________________________________________________________________________________ ( 1) 3 4
0 ( 2) 2 2 mPQ= − − =− = −
− −
點斜式y− − = − ⋅( 1) 2 (x−0) ⇒2x+ + =y 1 0
( 4) 8 12 3 ( 1) 4 3 mAB= − − =− = −
− −
點斜式y− − = −( 4) 3(x−3) 3x+ − =y 5 0
9. Page 16 ________________________________________________________________________________________ 斜截式y=2x− ⇒3 2x− − =y 3 0 斜率m=tan 60° = 3 斜截式y= 3x+2
3x− + =y 2 0 x
y
−3 4
L
O x
y
O 2 1 (0, )
4 3
(2,0) 2 1
10. Page 16 _______________________________________________________________________________________
截距式 1 3 2 6
2 3 x y
x y
+ = ⇒ + = x 截距=3 y 截距=6
截距式 1
3 6 x y
+ = 2x+ =y 6
11. Page 16 _______________________________________________________________________________________ (0,1)
2 P Q
M= + = 斜率 ( 2) 4 3
2 ( 2) 2 mPQ= − − =−
− −
L PQ 1
L⊥PQ⇒m ⋅m = − 2
L 3 m = : 1 2( 0)
L y− =3 x− ⇒2x−3y+ = ⇒ −3 0 2x+3y− = 3 0 故a+ = − + − = − b ( 2) ( 3) 5
PQ中點A =(3,3)
PQ L 1 PQ⊥ ⇒L m ×m = −
2 4
1 1
4 2
PQ L
m = − = − ⇒m =
−
3 1 ( 3) 0
L y】 − = ⋅ x− ⇒ − =x y
12. Page 17 _______________________________________________________________________________________ 設直線L: 2x+3y= k
( , )x y =(1,2) 入得2 6+ = ⇒ = k k 8 : 2 3 8
L x+ y= 2 3 1
8x 8y
⇒ + =
故 2 3 1
8 8 8 a− = − = − b
設直線為x− + = y k 0 6 2 0
( , ) (2,0) 3 4 6 0
x y x y x y
+ − =
⇒ =
+ − =
入得
2 0− + = ⇒ = − k 0 k 2 故x− − = y 2 0
13. Page 18 _______________________________________________________________________________________ 設直線為x+2y+ = k 0
(4, 1)
A − 入得4− + = ⇒ = − 2 k 0 k 2 故x+2y− = 2 0
設直線為2x+3y+ = k 0
( , )x y =(4,5) 入得8 15+ + = ⇒ = −k 0 k 23
2 3
2 3 23 0 1
23 23 x+ y− = ⇒ x+ y=
故 2 3 5
23 23 23 a+ =b + =
14. Page 18 _______________________________________________________________________________________
3 ( 2) 3
1 2
k k k
=k ⇒ − =
−
2 2 3 0 3
k k k
⇒ − − = ⇒ = 、− 1 3
k = ：3 3 1
1= ≠ (1 3 兩線平行) 1
k = − ： 1 3 1
1 3 1
− = =
− − (兩線重合) 3, 1
k ≠ − ：兩線交於一點
4 2
4 2
1
a a a
a = ⇒ = ⇒ = ± 2
a = ：4 2 2 2 1 1
= ≠− (無解)
2
a = − ： 4 2 2
2 1 1
− −
= =
− (無限多解)
2
a ≠ ± ：恰有一組解
15. Page 19 _______________________________________________________________________________________
1 2 1 0
L】 x− + =y m =1 2
2 3 8 0
L 】 x+ − =y m = − 2 3
1 2
1 2
2 ( 3)
tan 1
1 1 2 ( 3)
m m
θ= ± m m− = ± − − = ±
+ + × −
θ=45°或135°
1 2
1 2
1 2 3
3 3 3
tan 1 1 2
1 3 3
m m
θ m m
− −
= ± = ± = ±
+ + ×
3 1
3 3
= ± = ±
θ=30°或150°
16. Page 19 _______________________________________________________________________________________ m1不 在 m = −2 3
2 2 2
tanθ =m = − 3⇒θ =120° 交角θ=30°或150°
m1不 在 2 1
m = − 3
2 2
tan 1 m 3
θ = = − ⇒θ2 =150° 交角θ=60°或120°
17. Page 20 _______________________________________________________________________________________
2 2
3 ( 1) 4 3 5 20
( , ) 4
3 ( 4) 5
d P L = × − − × − = =
+ − 2 2
3 4 3
( , ) 2
3 4 d P L = + a+ =
+ 4a 6 10
⇒ + = ⇒4a+ = ±6 10 ⇒ = − (1a 4 不合) L
Q
P
M L Q
P A
L1
120°
30° 150° L2
60° 120° 150°
L1 L2
18. Page 21 _______________________________________________________________________________________
1
1 3 4 3 0 6 8 6 0
L】 x+ y− = ⇒ x+ y− =
1 2
2 2
9 ( 6) 15 3 ( , )
10 2 6 8
d L L = − − = = +
2 4 2 4 8
x y x y
− − = ⇒ + = −
1 2
2 2
( , ) ( 8) 20 2 4
d L L = k− − = +
8 20 8 20
k+ = ⇒ + = ±k ⇒ =k 12( 28− 不合) 19. Page 21 _______________________________________________________________________________________
1 2
( , ) ( , ) d P L =d P L
2 2 2 2
3 4 3 4
3 1 1 3
x+ −y x+ y−
⇒ =
+ +
3x y 4 (x 3y 4)
⇒ + − = ± + −
3x+ − = +y 4 x 3y−4 ⇒ − = x y 0 3x+ − = − +y 4 (x 3y−4)⇒ + − = x y 2 0 由圖可知銳角的角平 線之斜率為負 故x+ − = y 2 0
1 2
( , ) ( , ) d P L =d P L
2 2 2 2
2 1 2 4 5
1 2 2 ( 4)
x+ y− x− y−
⇒ =
+ + −
2(x 2y 1) (2x 4y 5)
⇒ + − = ± − −
2( 2 1) 2 4 5 3
x+ y− = x− y− ⇒ = − y 8 2( 2 1) (2 4 5) 7
x+ y− = − x− y− ⇒ = x 4
故 7
x =4 3
y = − 8
Page 22
1.(╳) 2.(○) 3.(○) 4.(○) 5.(○) 6.(╳) 7.(╳) 8.(○) 9.(╳) 10.(○) 11.(╳) 12.(○) 13.(○) 14.(╳) 15.(○) 16.(○) 17.(○) 18.(╳) 19.(╳) 20.(○) 1. 恆過( 2, 1)− −
4. X →Y 和 Y → X均為1 1函數 6. mAB=mCD ⇒ AB //CD 或共線 7. P(a,b)到x軸的距離為 b 9. x截距為2⇒(2, 0) 點斜式
0 3( 2) 3 6
y− = x− ⇒ =y x−
11. 合成函數不具交換性
14. 水平線與鉛直線 斜率不 在 並不滿足
18. L ax by】 + − =c 0 0 0
2 2
( , ) ax by c d P L
a b + −
= +
19. 1 1 多 1
Page 23
1.( ) 2.( ) 3.( ) 4.( ) 5.( ) 6.( ) 7.( ) 8.( ) 9.( ) 10.( ) 11.( ) 12.( ) 13.( ) 14.( ) 15.( ) 16.( ) 17.( ) 18.( ) 19.( )
1. (a,b)在第四象限⇒ >a 0 b <0 0
b− <a b <3 0 故(b a b− , 3)在第 象限 2. 設P(a,0)且 PA PB= 則
2 2 2 2
(a−2) +3 = (a−6) +5
⇒ a2−4a+ + =4 9 a2−12a+36 25+
⇒ 8a=48⇒ =a 6 故P(6,0) 3. 5AC=7BC⇒AC BC】 =7 5】
15 2 25 2 ( 1, 3) ( , )
2 5 2 5
x y
B − = − + +
+ +
2 15 1 7 4
2 25 2
7 3 x
x
y y
− = −
=
+ ⇒ = −
=
( , ) (4, 2) C x y = −
4. 支撐點在 ABC 的重心
重心 0 ( 12) 24 6 ( 24) 12
( , )
3 3 3
A B C
G= + + = + − + + − +
(4, 2)
= −
5. f(1)= + =1 5 6 f f( (1))= f(6)= × + =2 6 3 15 6. 由題意知頂點(1,5)
設 f x( )=a x( −1)2+ =5 ax2−2ax+ +a 5
2 12 6
5 11
a a
b a b
− = − =
= + ⇒ =
故b− =a 11 6− =5 7. y=x2−4x− =5 (x−2)2−9
頂點 (2, 9)P − 0
y = 入得x2−4x− = 5 0 5, 1
⇒ = −x Q(5,0) R −( 1, 0) 由 ： PQR 面積 1 6 9 27
= × × =2 L1
L2
x y
(1,1) 斜率> 0
斜率< 0
2 】 5 A(−3,5) B( 1,3)−
C x y( , ) 7
x y
6 5 (2, 9)−
−1
8. L ax by】 + + =c 0
斜率m a 0 ab 0
= − < ⇒b > x 截距 c 0 ac 0
a
=− < ⇒ >
點(ab,ac)在第一象限 9. 4 1 3
1 ( 3) 4 mAB= − =
− −
點斜式： 4 3( 1) 3 4 13 0
y− =4 x− ⇒ x− y+ =
2 2
0 0 13 13 ( , )
3 ( 4) 5 d O L = − + =
+ −
10. (A) m=tanα =tan 60° = 3 (B) 水平線m =0
(C) ( 6) ( 2) 4 1
5 1 4
m= − − − =− = −
−
(D) 6 2
3 m a
= − = −b =
−
11. 設直線 4x−5y+ =k 0 將 ( , ) ( 1,3)x y = − 入得 4 15 k 0 k 19
− − + = ⇒ = 4x−5y+19= 0 12. 設直線L】3x−4y+ =k 0 P(1,2)
2 2
( , ) 2 3 8 2
3 ( 4) d P L = ⇒ − +k =
+ − 5 10 15, 5
k k
⇒ − = ⇒ = −
故L】3x−4y+15=0或 3x−4y− = 5 0
13. ( ) 2( 2 3 ) 8 2( 3)2 25
2 2
f x = − x + x + = − x+ + (不合)
x y
−1 2512
2 1 0 3
−2
最大值=12 14. L1】4x−3y+ = ⇒3 0 8x−6y+ =6 0
2 8 6 5 0
L 】 x− y− =
1 2 2 2
6 ( 5) 11 ( , )
8 ( 6) 10 d L L = − − =
+ − 15. kx2+6x+ > 恆成立 3 0
0 k >
0 62 4 3 0 3
D< ⇒ − × × < ⇒ > k k 由 得知：k >3
16. P, Q, R 點共線⇒mPQ =mQR 5 3 3 1
2( 1) 6 4
1 1 ( 2) k k
k
− −
⇒ = ⇒ − = ⇒ =
− − −
17. (C) 式D = −( 6)2− × × =4 3 1 36 12− =24> 0
18. 斜率 3 3
1
=鉛直差=− = − 水平差
19. 由題意知方程組有無限多組解
2 3 2 3
2 0 2 4 0
x ay b x ay b
x y x y
+ = − + = −
− = ⇒ − =
4
a = − b =3 故a+ = −b 1
Page 24
1.( ) 2.( ) 3.( ) 4.( ) 5.( ) 6.( ) 7.( ) 8.( ) 9.( ) 10.( ) 11.( ) 12.( )
1. 由題意知BD CD =】 2 3】 0 14 15 0
( , ) ( , )
2 3 2 3
D x y = + +
+ +
(14, 3)
= 5
2. 設 ( 6, 2)A − − B(2, 1)− C(1,2) 畫圖得知
D= + −B C A
(2, 1) (1, 2) ( 6, 2)
= − + − − − (9, 3)
=
3. 1 1 1 2 1
2 2
x x x x
x
− −
= − ⇒ − = − − ⇒ = +
1 1
1 2 ( ) 5
2 2
( ) ( 1) 2
1 1
2 4 ( ) 1
2 2
f f
− − − × − +
= ⇒ − = −
− + × − −
4. a >0： 開口 0
b > ： 圖形與 y 軸交點處的 線斜率b >0
2 4 0
b − ac> ：圖形與 x 軸有 2 點交點 畫圖 斷得頂點在第 象限
5. 斜率m =tan135° = −1
點斜式y− − = − ⋅( 3) 1 (x−2)⇒ + + = x y 1 0 6. 設直線L: 2x−3y=6k
3k+ −( 2 )k = ⇒ = 8 k 8 故 : 2L x−3y=48 7.
0 x
−4 4
y
由圖可知 ( 3) 0f − < 8. 設 f x( )=ax2+bx+c
(1) 0
f = ：a b c+ + = ... 0 ( 2) 0
f − = ： 4a−2b c+ = ... 0 (3) 20
f = ： 9a+3b c+ =20 ... 由 得a =2 b =2 c = −4 故 f x( )=2x2+2x− ⇒4 f(2)= + − =8 4 4 8 x
y
B D
C A
x y
A( 6, 2)− − B(2, 1)− C(1,2) D
x y
斜率b>0
x y
3k 0
0
−2k
另解
1
設 ( )f x =a x( −1)(x+2) (3) 20 2 5 20
f = ⇒ × × =a a =2 ( ) 2( 1)( 2) 2 2 2 4 f x = x− x+ = x + x−
(2) 8 4 4 8
⇒ f = + − = 9. PP R′ ～ QQ R′ AA 相似
: :
PR RQ=PP QQ′ ′
2 2 2 2
3 2 2 1 0 2 :
1 1 1 1
+ − − + −
= + +
3 : 3 1 :1
= =
10. mL = ⇒1 mL′ = − 1
2 1 ( 1) 3 0
L′】y− = − ⋅ x− ⇒ + − =x y 1
2 0 2
3 0 5
2 x y x
M x y
y
− + = =
⇒
+ − =
=
】
2 (1, 5) (1, 2) (0, 3) A′ = M− =A − =
11. 1 2
2 2 2 2
4 3 3 3 4 2
( , ) ( , )
4 ( 3) 3 4
x y x y
d P L =d P L ⇒ − − = + −
+ − +
4x 3y 3 (3x 4y 2)
⇒ − − = ± + −
取+ 的⇒ −x 7y− = 1 0 取−的⇒7x+ − = y 5 0 12. 1 1
m =2 m = 2 3
2 1
1 2
3 1
tan 2 1
1 1
1 3 2
m m
θ= ± m m− = ± − = ±
+ + ×
θ=45°或135°
Page 25
1.( ) 2.( ) 3.( ) 4.( ) 5.( ) 6.( ) 7.( ) 8.( ) 9.( ) 10.( ) 11.( )
1. kx2−2x k+ > 恆成立0 0 0 k D
>
⇒ <
2 2
( 2) 4 0 4 4 0
D= − − × × < ⇒ −k k k <
2 1 1
k > ⇒ > 或k k < − 但1 k >0 故k > 1 2. 重心 0 ( 12) 24 6 ( 24) 12
( , )
3 3 3
A B C
G= + + = + − + + − +
(4, 2)
= −
3. 數 a =1 b = −1 ab = − <1 0 b a− = − < 2 0 (ab b a, − )= − − 在第 象限 ( , )
4.
2 2
A C B D
M = + = + ⇒ +A C= +B D D= + −A C B
(5, 2) ( 4, 3) (1, 3) (0, 2)
= + − − =
5.
2 2
A C B D
M = + = + ⇒ +A C= +B D ( 5, 4) (4, 8) (0, 5) D= + − = −A C B + − − −
( 1,1)
= − 在第二象限
6. f x( )=a x( +3)2−9a+2 由最大值 20 得知 9a 2 20 a 2
− + = ⇒ = − 7. 設 C(0,t)
2 2 2 2
(5 0) ( 1) (3 0) ( 4) AC=BC⇒ − + +t = − + −t
2 2
25 t 2t 1 9 t 8t 16
⇒ + + + = + − + 10t 1
⇒ = − 1
t 10−
⇒ = (0, 1)
C 10−
8. 開口 a >0
在點(0,c)處的 線斜率b <0 與 y 軸交於 (0, )c ⇒ < c 0
與 x 軸交於兩點⇒D=b2−4ac> 0 0
abc > 故P b( 2−4ac abc, )= + +( , )在第一象限
x y
O (0, )c
線斜 率 b<0 9. x = −1 入 y= −( 1)2 = ⇒1 P( 1,1)−
2
x = 入 y=22 = ⇒4 Q(2, 4)
2 2
(2 ( 1) (4 1) 9 9 3 2
PQ = − − + − = + =
10. 利用內 點公式可得： 1 0 3 2 3
3 1 2
m= × + × = +
1 0 3 2 3
3 1 2
n= × + × = +
⇒ m+ =n 3
11. (A)D = −( 3)2− × × = − <4 5 1 11 0 且領 係數5>0開口
° °
P Q
R P'
Q' L
A' A
M L
L'
A D
B M C
A(0,0) P m n( , ) B(2,2) 1
3 ：
Page 26
1.( ) 2.( ) 3.( ) 4.( ) 5.( ) 6.( ) 7.( ) 8.( ) 9.( ) 10.( )
11.( ) 12.( ) 13.( ) 14.( ) 15.( ) 16.( ) 17.( ) 18.( )
1. x 截距 3⇒通過點(3,0)且知斜率為 2 設直線y− =0 2(x−3)⇒2x− − = y 6 0 (6,6) 入 滿足 2x− − = y 6 0
2. 1 4 3 12 3 4
x y
x y
+ = ⇒ + =
設直線 3x−4y+ =k 0 將 (2, 1)− 入得 6 4+ + = ⇒ = −k 0 k 10 3x−4y−10= 0
3. 斜率 tan 1
6 3
a a
b b
= = π ⇒ = a b =: 1: 3
4. y 截距 1 0 1 2
a+ ≤ ⇒ ≥ −a
−
斜率 3 1 0
2 m= a− ≤ 3 1 0 1
a a 3
⇒ − ≤ ⇒ ≤
由 得 1 1
a 3
− ≤ ≤ 5. (0, 6) :b =6
(3, 0) : 3a b+ = ⇒ = − 0 a 2 3a+2b= − +6 12= 6 6. AB 中點( , 2)
2 a+b
入 2x+ = y 4
2 ( ) 2 4 2
2 a b
a b
× + + = ⇒ + =
1 3 2
mAB
a b a b
− −
= =
− − mL= − 2 2 ( 2) 1 a b 4 a b
− × − = − ⇒ − = −
−
由 ：a = −1 b = 3 2a b+ = − + = 2 3 1 7. (C) ╳： 2 3 1
1 ( 2) 3 mAB= − =−
− −
⇒直線為 2 1( 1)
y− =−3 x− ⇒ +x 3y− = 7 0
(D) ○： 1 11 1
2 ( 1) 3 ( 1)
AB AC
m =m ⇒ x− = −
− − − −
1 10 17
3 4 2
x− x
⇒ = ⇒ =
8. (A) ╳：斜率 1
= −4
(B) ○： x =0 入得y =7 故 y 截距=7
(C) ╳：(7,7) 入得7+28≠28 故點(7,7)不在線 (D) ╳： y =0 入得x =28 故 x 截距=28
9. 1
2
3 2 0
3 2 0
L x y L x y
+ − =
+ + =
：
：
1 ( 1,1) 1
x A
y
= −
⇒ ⇒ −
=
設通過 A 點的直線為x− + = y k 0 ( 1,1)
A − 入得
1 1 k 0 k 2
− − + = ⇒ = 2 0
x− + = 直線不通過第四象限 y 10. 直線斜率 24
m = 7
由圖知直角 角形7 : 24 : 25 故AB =25
11. L1】y− − = −( 4) 2(x−0)⇒2x+ + = ⇒y 4 0 m1= −2
2 1 2 2 0 2 2
1 2 x y
L 】 + = ⇒ x+ − = ⇒y m = −
1 2
m =m L1//L2
1 2 2 2
4 ( 2) 6 ( , )
2 1 5 d L L = − − =
+
12. PQ的中點(0,1) 入 L 得 0 3+ + = ⇒ = − b 0 b 3 1 ( 3) ( ) 1 2
2 3
PQ L
PQ⊥ ⇒L m ×m = − ⇒ − × −a = − ⇒ = −a 由 得a b+ = − 5
13. // 2 1 ( 1) ( 2)
1 0
AB CD
AB CD m m
a b
− − − −
⇒ = ⇒ =
− −
1 1
1 a b 1 a− = ⇒ − =b
2 ( 2) 1 1
1 1
0 1
BD AC
BD AC m m
a b
− − − −
⊥ ⇒ × = − ⇒ × = −
− −
4 2
1 ( 1) 8
1 a b
a b
× − = − ⇒ − =
−
由 得a =4 b =3 故a+2b= + =4 6 10
14. 2 2 2 2
3 4 3 4
3 4 3 4
3 1 1 3
x y x y
x y x y
+ − + −
= ⇒ + − = + −
+ +
3x y 4 (x 3y 4)
⇒ + − = ± + −
3x+ − = +y 4 x 3y− ⇒ − = 4 x y 0 3x+ − = − +y 4 (x 3y−4)⇒ + − = x y 2 0 由 得角平 線為x− =y 0 x+ − = y 2 0 由圖可知銳角的角平 線斜率為負 故x+ − = y 2 0
m < 0
L2 :
L1 : y
x 1
2 3 4
2 3 4 1
x+3y− =4 0
3x y+ − =4 0 a+
− 1 (0, )2
m≤0 y
x
1
15.
10 2 5 0 9
6 7 0 220
x y x
x y y
−
− + = =
⇒
− + =
= −
交點( 9, 20)
− −2 入直線得 2a b− = − ⋯⋯9 (*)
又 斜率為 2 2 a 1
− = ⇒ = − 入 (*) a
20 b 9 b 11
− − = − ⇒ = − 故a b+ = −12
16. 設L1: 3x+4y+k1=0 L2: 3x+4y+k2 = 0 將 ( 29, 23)− (31,23) 入L1 L 得 2
1 5
k = − k = −2 185
故 1 2 1 2
2 2
( , ) 180 36
3 4 5 k k
d L L = − = =
+
17. P a( ,1) 入 L 得 3a − = 4 2 a = 2
PQ L 1 PQ⊥ ⇒L m ×m = −
3 4
4 3
L PQ
m = ⇒m = −
即1 4 3 3 4 4 5
1 3
b b a b
a
− =− ⇒ − = − − ⇒ = +
由 得a b+ = 7 18. x −2 0
y 0 3 ⇒ =b 3 c = − 2
且 3
a =2 13 ( 2) 3 d =2 × − =
3 21
3 ( 2) 3
2 2
ab−cd= × − − × =
第二章 三角函數及其應用
1. Page 30 ________________________________________________________________________________________ 840 14
180 3
π π
° × =
° (弳)
13 13 180 6 6 390
π × °
= = °
2(弳)≒2 57.3× ° =114.6° (或360 π
°)
1140 19
180 3
π π
° × =
° (弳) 15 15 180
4 4 675 π
− − × °
= = − °
5(弳)≒5 57.3× ° =286.5° (或900 π
°)
2. Page 31 ________________________________________________________________________________________ 2012° =360° × +5 212°為第 象限角
101 5
2 16
3 3
π = π× + π 為第四象限角
12(弳)≒12 57.3× °=687.6°=360°+327.6°為第四象限角
1000 360 2 280
− ° = − ° × − °為第一象限角
21 5
2 2
4 4
π = π× + π 為第 象限角
5(弳)≒5 57.3× ° =286.5°為第四象限角
3. Page 31 ________________________________________________________________________________________ 1100° −1080° =20°為最小 同界角
1100° −1440° = −340°為最大負同界角 22 7.33
− 3 = − ⋅⋅⋅
22 2
( ) 8
3 3
π π π
− + = 為最小 同界角
22 4
( ) 6
3 3
π π π
− + = − 為最大負同界角
480 720 240
− ° + ° = °為最小 同界角 480 360 120
− ° + ° = − °為最大負同界角 35 8.75
4 =
35 3
4 8 4
π − π = π 為最小 同界角
35 5
4 10 4
π − π = − π 為最大負同界角
4. Page 32 ________________________________________________________________________________________ 6
r = ， 40 2 9 θ = ° = π
弧長 6 2 4
9 3
S=rθ= × π = π (公分)
面積 1 1 6 4 4
2 2 3
A= rs= × × π = π (平方公分)
周長 2 2 6 4 12 4
3 3
T= r s+ = × + π = + π (公分)
10
r = ，A=12π
2 2
1 1
12 10
2 2
A= rθ⇒ π = × ×θ 6 25 θ π
⇒ = 6 12
10 25 5
S=rθ= × π = π (公分)
1. Page 33 ________________________________________________________________________________________
8 4 5
sin csc
10 5 4
A= = ⇒ A=
6 3 5
cos sec
10 5 3
A= = ⇒ A=
8 4 3
tan cot
6 3 4
A= = ⇒ A=
15 17
sin csc
17 15
A= ⇒ A=
8 17
cos sec
17 8
A= ⇒ A=
15 8
tan cot
8 15
A= ⇒ A=
2. Page 33 ________________________________________________________________________________________ 13 2 26
AB = × =
周長 (5 12 13) 2 60= + + × =
周長 (5 12 13) 2 60= + + × =
3. Page 34 ________________________________________________________________________________________ 求式=sin 60° +cos30° −tan 45° 3 3 1 3 1
2 2
= + − = − 求式 ( )1 2 ( 1 )2 32
2 2
= + + 1 1 3 15
4 2 4
= + + = A
B
C 8 6 10
A B
C
8 17 15
A
B
C 5 12→24
13
A
B
C 5→10 12
13
2
4. Page 35 ________________________________________________________________________________________ 求式 sin 25 csc25= ° ° +tan 36 cot 36° °
= + = 1 1 2
求式=sin 50° ×cos 20° ×csc 50° ×sec 20° =(sin 50° ×csc 50 ) (cos 20° × ° ×sec 20 )° = × = 1 1 1
5. Page 35 ________________________________________________________________________________________ 求式=sin 402 ° +sec 402 ° +cos 402 ° −tan 402 °
=(sin 402 °+cos 40 ) (sec 402 ° + 2 °−tan 40 )2 ° = + = 1 1 2
求式=sin 422 ° +cos 422 ° +tan 272 ° −sec 272 ° =(sin 422 °+cos 42 ) (tan 272 ° + 2 °−sec 27 )2 ° = + − = 1 ( 1) 0
6. Page 35 ________________________________________________________________________________________ 斜率tan 3
θ= − 4 4cos sin 2cos sin
θ θ
θ θ
+
+ ( 同除 cosθ) 4 ( 3)
4 tan 4
2 tan 3
2 ( ) 4 θ
θ + + −
= =
+ + − ( 同 4× )
16 3 13 8 3 5
= − =
−
3sin 4cos 2sin 3cos
θ θ
θ θ
+
− ( 同除 sinθ ) 3 4 1
3 4cot 2
2 3cot 1
2 3 2 θ
θ + + ×
= =
− − × ( 同× )2
6 4 10 4 3
= + =
−
7. Page 36 ________________________________________________________________________________________ (sinθ+cos )θ 2= +1 2sin cosθ θ
2 1
2 1 2sin cos sin cos
θ θ θ θ 2
⇒ = + ⇒ =
tan cot 1 2
sin cos
θ θ
θ θ
+ = =
(sinθ−cos )θ 2= −1 2sin cosθ θ 1 2 1 0
= − × = 2 sinθ−cosθ= 0
(sinθ−cos )θ 2= −1 2sin cosθ θ
1 2 4
( ) 1 2sin cos sin cos
3 θ θ θ θ 9
⇒ = − ⇒ =
1 9
tan cot
sin cos 4
θ θ
θ θ
+ = =
1 1
sec csc
cos sin
θ θ
θ θ
− = −
1 sin cos 3 3
sin cos 4 4 9
θ θ
θ θ
= − = =
8. Page 36 ________________________________________________________________________________________ sin cos 2
3 sin cos
3 k
θ θ
θ θ
+ =−
× =
(sinθ+cos )θ 2= +1 2sin cosθ θ
2 2 5
( ) 1 2
3 3 6
k k
− = + × ⇒ = −
sin cos 1 3 sin cos
3 a
θ θ
θ θ
+ =
=
(sinθ+cos )θ 2 = +1 2sin cosθ θ
1 2 4
( ) 1 2
3 3 3
a a
= + × ⇒ = −
1. Page 38 ________________________________________________________________________________________ sinθ−cosθ
3 4 7
( )
5 5 5
= − − =
secθ−tanθ
17 8 25 5 ( )
15 15 15 3
= − − = =
2. Page 38 ________________________________________________________________________________________ (sec , tan )
A θ θ 在第四象限
sec 0 tan 0
θ θ
θ θ
> ⇒
< ⇒
為第一、四象限角
為第二、四象限角，故θ 為第四象限角
csc 0 tan 0
θ θ
θ θ
>
⇒
<
、
、
為第一 二象限角 為第二 四象限角 θ 為第二象限角
3. Page 38 ________________________________________________________________________________________ tan 5 0
12 sin 0
θ θ
θ θ
= > ⇒
< ⇒
為第一、 象限角 為第 、四象限角
θ 為第 象限角 sin cos ( 5) ( 12) 7 13 13 13
θ θ − −
⇒ − = − =
原式
2 ( 3) 1
( 6) 5
5 11
4 15 ( 16) 3 4 ( )
5
× − − − −
= = =
− + −
+ ×
−8 10 6 θ
−8 15 17
θ
−12 13 −5 θ
−4 5 −3
θ
4. Page 39 ________________________________________________________________________________________ 求式 cos0 sin 90 sin180
cos180
= ° + ° + °
° 1 1 0 2
= + + 1=
−
求式 sin 0 cos90 sin 270 cos0
= °+ ° + °
°
0 0 ( 1) 1
= + + − = − 1
5. Page 40 ________________________________________________________________________________________ sin( 30 ) sin 30 1
− ° = − ° = − 2 cos( ) cos 1
3 3 2
π π
− = =
sec( 60 )− ° =sec 60° = 2 cot( ) cot 3
6 6
π π
− = − = −
6. Page 41 ________________________________________________________________________________________ sin 690 sin 330 sin 30 1
° = ° = − ° = − 2 cos 240 cos60 1
° = − ° = − 2
tan( 2025 )− ° = −tan 2025° = −tan 225° = −tan 45° = − 1
1 1
( ) ( ) ( 1) 2
2 2
− + − + − = −
sin( 480 ) sin 240 sin 60 3
− ° = ° = − ° = − 2 cos( 300 ) cos60 1
− ° = ° = 2 tan 225° =tan 45° = 1
原式 3 ( 3) 1 1 0 2 2
= × − + + =
7. Page 41 ________________________________________________________________________________________
2 2 3
sin( ) sin sin
3 3 3 2
π π π
− = − = − = −
tan7 tan 1
4 4
π = − π = −
csc3 csc 2
4 4
π π
= =
31 31 3
cos( ) cos cos
6 6 6 2
π π π
− = = − = −
8. Page 41 ________________________________________________________________________________________
求式 cos tan cos
sin tan sin
θ θ θ
θ θ θ
= + −−
− −
cos ( 1) cos 1
sin sin
θ θ
θ θ
= + − − = −
求式 ( cos ) ( sin )− θ ⋅ − θ
= ⋅(cot )θ
( sin ) ( sin )− θ ⋅ − θ ⋅(cot )θ =cotθ
9. Page 42 ________________________________________________________________________________________ sin 230° =sin(180° +50 )° = −sin 50°
sin 50 k 0
− ° = < ⇒sin 50° = − > k 0
tan 50 2
1 k
k
⇒ ° = −
− ，故選(B)
tan 22° = > k 0
sin 2002° =sin 202° =sin(180° +22 )°
sin 22 2
1 k
k
= − ° = − +
1. Page 44 ________________________________________________________________________________________
1 y
2
−π 4
−π
4 π
2 π
4
3π π x
−1 O
週期 2 2
π π
= =
1 y
π x
−1
−π O 2π 3π 4π
週期 2 4
1 2
π π
= =
2. Page 45 ________________________________________________________________________________________ 週期 2
2 π π
= = 週期 2
1 2
π π
= = 週期 2
4 2 π π
= = 週期 2 2
1
π π
= =
− 1− k2
−k 50°
1 22°
1 1+ k2 k
