完全非連結群の表現の基礎

完全非連結群の表現の基礎

高瀬 幸一 （宮城教育大学）

目 次

A.4 Noether 加群と Artin 加群 . . . 47

A.5 Noether 環と Artin 環 . . . 48

A.7 加群の指標 . . . 53 A.8 K-代数の Jacobson 根基 . . . 55 参考文献 57

1

完全非連結空間上の分布

1.1

局所コンパクト空間の連結成分

つ E∩F = ∅ なるものがある．A = M ∩E, B = M ∩F とおくと，M = A∪B

かつ A∩ B = ∅ だから A = M 又は B = M. そこで A = M, 即ち M ⊂ E とする．X の開集合 U, V で E⊂ U, F ⊂ V かつ U ∩ V = ∅ なるものがあ る1_{．X = U∪ V ∪} ∪ W_∈F Wc だから，有限個の Wi ∈ F (i = 1, 2, · · · , r) が あって, X = U∪ V ∪ Wc 1∪ · · · ∪ W c r となる．よって L⊂ W1∩ · · · ∩ Wr⊂ U ∪ V. ここで U′= U∩ W1∩ · · · ∩ Wr∈ F，実際， U′c= Uc∪ W₁c∪ · · · ∪ W_rc= V ∪ W₁c∪ · · · ∪ W_rc だから U′ は X の開かつ閉集合で M ⊂ U′ _{である．よって} F⊂ L ∩ V ⊂ U′∩ V ⊂ U ∩ V = ∅ となり，矛盾する． 命題 1.1.2 局所コンパクト Hausdorff 空間 X のコンパクトな連結成分 M ， 及び M ⊂ U なる X の開集合 U に対して，M ⊂ W ⊂ U なる X のコンパ クト開集合 W が存在する． 1_{Hausdorff 空間 X のコンパクト部分集合 E, F に対して，X の開集合 U, V で E⊂ U, F ⊂} V かつ U∩ V = ∅ なるものがある．

[証明] x∈ M に対して x ∈ Vx⊂ Vx⊂ U かつ Vxがコンパクトなる X の開集 合 Vxがあり，有限個の{x1,· · · , xr} ⊂ M をとって M ⊂ Vx1∪· · ·∪Vxr = V とできる． Y = V = Vx1∪ · · · ∪ Vxr はコンパクトで，M は Y の連結成分である．よって命題 1.1.1 より M =_∩ W∈F W (F は M ⊂ W なる Y の開かつ閉部分集合の全体）となる．ここで Y = V ∪ (Y \ M) = V ∪ ∪ W_∈F (Y \ W ) より，有限個の_{W1,· · · , Wt} ⊂ F をとって Y = V ∪ (Y \ W1)∪ · · · ∪ (Y \ Wt), ∴ M ⊂ W1∩ · · · ∩ Wt⊂ V とできる．このとき W = W1∩ · · · ∩ Wt は Y の閉集合だからコンパクト である．一方，W は Y の開集合でもあるから，X の開集合 W′ があって W = W′∩Y となるが，W ⊂ V ⊂ Y で V は X の開集合だから，W = W′∩V は X の開集合となる．最後に W ⊂ Y ⊂ U である．

1.2

完全非連結空間

[証明] 1)⇒ 2) 1 ∈ M ⊂ U なるコンパクト開集合 M がとれる（命題 1.2.1）． このとき Q ={x ∈ G | Mx ⊂ M} は G の開かつ閉部分集合である，実際， q∈ Q とする．任意の x ∈ M に対して xq ∈ M で M ⊂ G は開集合だから， x, q の開近傍 Ux, Vxで UxVx⊂ M なるものがとれる．M はコンパクトだか ら，有限個の_{x1,· · · .xr} ⊂ M をとって M ⊂ Ux1∪ · · · ∪ Uxr とできる．こ のとき V = Vx1∩ · · · ∩ Vxr は q の開近傍で M V ⊂ M となり，V ⊂ Q とな るから，Q は G の開集合である．p∈ Qc _{とする．M p̸⊂ M だから mp ̸∈ M} なる m∈ M がとれる．M は G の閉集合だから mW ∩ M = ∅ なる p の 開近傍 W がある．よって W∩ Q = ∅ となり，Q は G の閉集合である．さ て，1∈ M だから Q ⊂ M，よって Q はコンパクトで 1 ∈ Q である．よっ て K = Q∩ Q−1 _{は G のコンパクト開集合で 1∈ K である．更に x, y ∈ K} に対して，_{{x, y}−1, x−1, y} ⊂ Q だから M xy−1⊂ My−1⊂ M, M yx−1 ⊂ Mx−1⊂ M, よって xy−1∈ Q ∩ Q−1_{= K となるから，K は G の部分群である．} 後に用いるために次の命題を示しておく； 命題 1.2.3 局所コンパクト完全非連結空間 X のコンパクト集合 M ⊂ X の 有限開被覆_{{Vi}i=1,2,··· ,r} に対して，φi∈ Cc∞(X)Vi (i = 1, 2,· · · , r) を次の 三条件を満たすように取れる； 1) φi(x)≥ 0 かつ φ1(x) +· · · + φr(x)≤ 1 for ∀x ∈ X, 2) φ1(x) +· · · + φr(x) = 1 for∀x ∈ M, {φi}i=1,2,··· ,r を M と{Vi}i=1,2,··· ,r に関する 1 の分解と呼ぶ． [証明] 任意の x ∈ M ∩ Vi に対して，開コンパクト集合 x ∈ Wx ⊂ Vi がとれて，M はコンパクトだから，開コンパクト集合 Wi ⊂ Vi をとって M ⊂ W1∪ · · · ∪ Wr とできる．ここで U1= W1, U2= W2∩ W1c, U3= W3∩ W1c∩ W c 2,· · · とおくと，Ui⊂ Vi は開コンパクト部分集合で M ⊂ U1∪ · · · ∪ Ur, Ui∩ Uj =∅ if i ̸= j となる．よって φi= χUi ∈ Cc∞(X)Vi とおけばよい． 以下，X, G を局所コンパクト Hausdorff 完全非連結空間，及び群として， G 上の左 Haar 測度 dG(x) を一つ固定しておく．G のモジュラー関数を δG と書く (i.e. dG(xg) = δG(g)dG(x))．局所コンパクト群上の Haar 測度につ いては [2, Chap.V] を見よ．

1.3

局所コンパクト空間上の不変測度

1.4

smooth 関数

1.5

完全非連結空間上の分布

ψi· s で ψi· φ ∈ Cc∞(X)V_γi

だから ⟨T, s⟩ = r ∑ i=1 ⟨T, ψi· s⟩ = 0 となる，T = 0．一方，Tγ ∈ Γ(Vγ,DX) (γ ∈ Γ) で Tγ|Vγ∩Vλ = Tλ|Vγ∩Vλ とすると，任意の φ ∈ C∞ c (X) に対して，supp(s) = M ⊂ Vγ1∪ · · · ∪ Vγr 3_{層の一般論については [3, Chap. II] を参照．}

(γi ∈ Γ) として，M と {Vγi}i=1,··· ,r に関する 1 の分解を{ψi}i=1,··· ,r とし て，ψi· φ ∈ Cc∞(X)V_γi だから ⟨T, s⟩ = r ∑ i=1 ⟨Tγi, ψi· s⟩ とおく，M ⊂ Vλ1∪ · · · ∪ Vλs (λj∈ Γ) として M と {Vλj}j=1,··· ,r に関する 1 の分解を{ηj}j=1,_{··· ,s}とすると，Vij = Vγi∩ Vλj 及び θij = ψi· ηj とおく と，_{θij}i,j は M と{Vij}i,j に関する 1 の分解で ψi· s = s ∑ j=1 θij· s, ηj· s = r ∑ i=1 θij· s となるから r ∑ i=1 ⟨Tγi, ψi· s⟩ = s ∑ j=1 ⟨Tλj, ηj· s⟩ となり，T∈ Γ(X, DX) が定義できて，T|Vγ = Tγ (∀γ ∈ Γ) となる． T ∈ D(X) = Γ(DX, X) と φ∈ C_c∞(X) に対して ⟨T, φ⟩ = ∫ X φ(x)dT (x) = ∫ X φdT と書く．x∈ X における DX の stalk をDX,x = lim_−→ x⊂V ⊂X Γ(DX, V ) とする． T ∈ D(X) に対して supp(T ) = {x ∈ X | T ̸= 0 in DX,x} とおいて Dc(X) =

def.{T ∈ D(X) | supp(T ) : compact} とおく． 例 1.5.2 f ∈ C∞_{(G) に対して⟨Tf, φ⟩ =}∫ G φ(x)f (x)dG(x) (φ ∈ C_c∞(G)) により Tf∈ D(G) が定義され supp(Tf) = supp(f ). f と Tf を同一視する．

1.6

コンパクト台分布に関する smooth 関数の積分

T ∈ Dc(X) に対して M = supp(T ) とすれば，∃T0∈ D(M) s.t. T = p∗MT0 だから， ⟨T, φ⟩ = ∫ X φ(x)dT (x) = ∫ X φdT = def.⟨T0, φ|M⟩ (φ∈ C∞(X)) と定義する． 命題 1.6.1 T ∈ Dc(X) と φ∈ C∞(X, E) に対して ⟨v, α⟩ = ∫ X ⟨φ(x), α⟩dT (x) (∀α ∈ E∗_{= Hom} C(E,C)) なる唯一の v∈ E が存在する．v = ∫ X φ(x)dT (x)∈ E と書く． [証明] Mλ∩ Mλ′ =∅ (λ ̸= λ′) なるコンパクト開集合 Mλ ⊂ X (λ ∈ Λ) と vλ∈ E (λ ∈ Λ) があって φ = ∑ λ∈Λ χM_λ· vλ と書けるから，有限個の λ∈ Λ を除いて supp(T )∩ Mλ=∅ より v =∑ λ_∈Λ ⟨T, χMλ⟩ · vλ∈ E とおくと，任意 の α∈ E∗ _に対して ⟨v, α⟩ = ∑ λ∈Λ ⟨T, χMλ⟩ · ⟨vλ, α⟩ = ∫ X ⟨φ(x), α⟩dT (x). 一意性は 0̸= v ∈ E ならば ⟨v, α⟩ ̸= 0 なる α ∈ E∗ _{が存在することによる．} 例 1.6.2 p∈ X に対して εp= [φ7→ φ(p)] ∈ Dc(X) s.t. supp(εp) ={p} で， ⟨εp, φ⟩ = φ(p) (∀φ ∈ C∞(X, E)). 例 1.6.3 コンパクト部分群 K⊂ G 上の正規化された Haar 測度を dK(k) と して_{⟨εK, φ⟩ =} ∫ K φ(k)dK(k) (φ∈ C_c∞(G)) により εK ∈ Dc(G) が定義され る．supp(εK) = K.

1.7

コンパクト台分布の畳込み積

S⊗ T ∈ D(G × G) を定義すると supp(S ⊗ T ) = supp(S) × supp(T ) だから S⊗ T ∈ Dc(G× G) である．そこで S ∗ T ∈ D(G) を

⟨S ∗ T, φ⟩ =

∫

G_×G

φ(xy)d(S⊗ T )(x, y) (φ∈ Cc∞(G))

により定義すると，supp(S∗ T ) ⊂ supp(S) · supp(T ) だから S ∗ T ∈ Dc(G) を S, T の畳込み積と呼ぶ．次の命題は形式的に容易に証明される；

命題 1.7.1 1) Dc(G) は畳込み積に関して ε1を 1 とするC-代数である， 2) εg∗ εh= εgh (g, h∈ G), 3) コンパクト部分群 K ⊂ G に対して εg∗ εK∗ ε−1_g = εgKg−1 (g∈ G), 4) fi∈ Cc∞(G) に対して Tf1∗ Tf2 = Tf1∗f2，ここで f1∗ f2(x) = ∫ G f1(xy)f2(y−1)dG(y) (x∈ G).

1.8

群の作用で不変な分布

よって T (χgK) = λ· (G : K)−1 = λ· µG(K) (∀g ∈ G)．よって ∀φ ∈ Cc∞(G) に対して φ = r ∑ i=1 λi· χgiK (λi∈ C) とおくと T (φ) = r ∑ i=1 λi· T (χg_iK) = λ r ∑ i=1 λi· µG(giK) = λ· ∫ G φ(x)dµG(x). 定理 1.8.1 の証明 閉部分群 H ⊂ G に対して X = G/H としてよい． G, H はコンパクト群だから δG= δH = 1，従って X 上の G-不変 Radon 測 度 µ があって，G, H 上の正規化された Haar 測度 dG(x), dH(h) に対して ∫ G φ(x)dG(x) = ∫ X (∫ H φ(xh)dH(h) ) dµ( ˙x) (φ∈ Cc(G)) が成り立つ．特に µ(X) = 1 である．j : G→ G/H = X を自然写像 とする と，コンパクト開集合 M ⊂ X に対して j−1_{(M )⊂ G はコンパクト開集合} だから j∗: Cc∞(X)∋ φ 7→ φ ◦ j ∈ Cc∞(G) は単射複素線形写像となり，よって j_∗:D(G) ∋ S 7→ S ◦ j∗∈ D(X) は全射複素線形写像となって， ⟨j∗S, φ⟩ = ⟨S, j∗φ⟩ = ⟨S, φ ◦ j⟩ (∀φ ∈ C_c∞(G)) となる．よって S∈ D(G), g ∈ G に対して ⟨g · (j∗S), φ⟩ = ⟨j∗S, g· φ⟩ = ⟨S, (g · φ) ◦ j⟩ =⟨S, g · (φ ◦ j)⟩ = ⟨g · T, φ ◦ j⟩ = ⟨j∗(g· S), φ⟩ (∀φ ∈ C_c∞(X)) より g·(j∗S) = j_∗(g·S) となる．よって G-不変な T ∈ D(X) に対して T = j∗S なる G-不変な S∈ D(G) がとれる．補題 1.8.2 から ⟨S, φ⟩ = λ · ∫ G φ(x)dG(x) (∀φ ∈ C_c∞(G)) (λ∈ C) となるから，任意の ψ ∈ C_c∞(X) に対して ⟨T, ψ⟩ = ⟨S, ψ ◦ j⟩ = λ · ∫ G ψ( ˙x)dG(x) = λ· ∫ X ψ(x)dµ(x). 定理 1.8.3 T ∈ D(G) に対して，単位元の近傍 V があって g · T = T (or T· g = T ) for ∀g ∈ V ならば T ∈ C∞(G)．

[証明] コンパクト開部分群 K⊂ G があって，任意の k ∈ K に対して k·T = T とできる．_{∀g ∈ G に対して X = Kg ⊂ G はコンパクト開集合で，(k, x) 7→ kx} により K は X に連続かつ推移的に作用して，T|X∈ D(X) は K-不変であ る．一方 S = [C_c∞(X) = C_c∞(G)X ∋ φ 7→ ∫ G φ(x)dG(x)]∈ D(X) も K-不変であるから，定理 1.8.1 より T|X= λg· S (∃λg∈ C)．ここで任意 の k∈ K に対して λkg = λg だから，f = [G∋ g 7→ λg∈ C] ∈ C∞(G) は左 K-不変である．ここで G =⊔ i Kgi とおくと，∀φ ∈ Cc∞(G) に対して ⟨T, φ⟩ =∑ i ⟨T |Kgi, φ|Kgi⟩ =∑ i λgi ∫ Kgi φ(x)dG(x) = ∫ G φ(x)f (x)dG(x). よって T = Tf = f ∈ C∞(G) を得る． 系 1.8.4 H(G) = C∞ c (G) は Dc(G) の両側イデアルである．コンパクト開 部分群 K⊂ G に対して HK(G)def= εK∗ H(G) ∗ εK ={φ ∈ Cc∞(G) : 両側 K-不変} は εK を 1 とするH(G) の C-部分代数である． 例 1.8.5 コンパクト開部分群 K ⊂ G に対して，εK = vol(K)−1 · χK ∈ C_c∞(G) である．

2

smooth G-

加群

2.1

基本的な性質

E を smooth G-加群とすると，T ∈ Dc(G), v∈ E に対して [x 7→ xv] ∈ C∞(G, E) だから T v = ∫ G xvdT (x)∈ E が定義されて， E は左 Dc(G)-加 群となる． 命題 2.1.2 smooth G-加群 E とコンパクト部分群 K⊂ G に対して 0→ E(K) −→ E_{−−→ E}εK K _{→ 0 : exact.} [証明] v∈ E, k ∈ K, α ∈ E∗= Hom_C(E,C) に対して ⟨k(εKv), α⟩ = ∫ K ⟨(kk′_{)v, α⟩dK(k}′_{) =⟨εKv, α⟩} より εKE⊂ EK．逆に v∈ EK に対して ⟨εKv, α⟩ = ∫ K ⟨kv, α⟩dK(k) =⟨v, α⟩ for ∀α ∈ E∗ より εKv = v となり，εKE = EK である．v∈ E, k ∈ K に対して ⟨εK(kv), α⟩ = ∫ K ⟨(k′_{k)v, α⟩dK(k}′_{) =⟨εKv, α⟩ for ∀α ∈ E}∗ より εK(kv) = εKv，従って kv− v ∈ Ker(εK)．逆に v∈ Ker(εK) とする． lv = v∀l ∈ L なるコンパクト開部分群 L ⊂ G をとって K = n ⊔ i=1 ki(K∩ L) (n = (K : K∩ L) < ∞) とおくと ⟨εKv, α⟩ = ∫ K ⟨kv, α⟩dK(k) = n ∑ i=1 ∫ K∩L ⟨(kil)v, α⟩dK(l) = n ∑ i=1 (K : K∩ L)−1⟨kiv, α⟩ for ∀α ∈ E∗. よって n ∑ i=1 kiv = 0．よって v = n−1 n ∑ i=1 (v− kiv)∈ E(K) となる．

2.2

smooth

H(G)-加群と smooth G-加群

E が smooth G-加群ならば，E は自然に smoothH(G)-加群となる．

逆に E を smoothH(G)-加群とすると，T ∈ Dc(G) と v∈ E に対して，

v∈ εK· E なるコンパクト開部分群 K ⊂ G をとり，T ∗ εK∈ H(G) より T vdef= (T ∗ εK)v∈ E

とおくと，E は左Dc(G)-加群となる．そこで g∈ G に対して g · v = δg· v

2.3

H

(G)-加群

に対して，0̸= Im(p1)⊂ E1 (∵ W ̸⊂ E2) より Im(p1) = E1，又 Ker(p1)⊂

W∩ E2 E2より Ker(p1) = 0 となる．よって p1: W ˜→ E1 はDc(G)-加群

の同型を与える．p2 についても同様だから，_Dc(G)-加群の同型 E1→ E˜ 2 を

定理 2.3.3 コンパクト開部分群 K⊂ G と単純な HK(G)-加群 V に対して， HK(G)-加群の同型 EK→ V が成り立つような単純 smooth G-加群 E が存˜ 在する． [証明] 0 ̸= v ∈ V として，全射 HK(G)-加群準同型写像 f : HK(G) → V (φ7→ φ·v) に対してイデアル a = Ker(f) ⊂ HK(G) をとる．E1, E2⊂ H(G) を夫々_HK(G) と a で生成された左H(G)-部分加群とすると E1K= εK∗ E1=HK(G), E2K = εK∗ E2= a より，_HK(G)-加群として (E1/E2)K= εK· (E1/E2) = (εK∗ E1+ E2)/E2 ˜ → EK 1 /E K 1 ∩ E2=HK(G)/a ˜→ V. よって _{H(G)-加群 E3} = E1/E2 は 0̸= ∀u ∈ (E1/E2)K で生成される．こ こで Zorn の補題を用いて，E = E3/E′ が単純H(G)-加群となる H(G)- 部 分加群 E′ ⊂ E3が存在して，(E′)K ⊂ E3K→ V は HK˜ (G)-部分加群だから， E′)K={0} 又は E3K である．ここで (E′)K = E3K ならば E′= E3 となり 矛盾するから，(E′)K ={0}. よって HK(G)-加群として EK = εK· (E3/E′) = (E3K+ E′)/E′ ˜ → EK 3 /E K 3 ∩ E′→ E˜ K 3 → V.˜ よって単純_{H(G)-加群 E に対応する単純 smooth G-加群をとればよい．}

2.4

反傾表現

smooth G-加群 E に対して E∗ = Hom_C(E,C) は ⟨g · α, v⟩ = ⟨α, g−1· v⟩ (g∈ G, α ∈ E∗, v ∈ E) により G-加群となり，E∨ = (E∗)_∞ は smooth G-加群となる．これを E の反傾表現と呼ぶ．コンパクト開部分群 K⊂ G に対 して，命題 2.1.2 から (E∨)K = (E∗)K = { α : E→ C : 複素線形写像    ∃K ⊂ G:コンパクト開部分群 s.t. {v − k · v | v ∈ E, k ∈ K} ⊂ Ker α } = { α : E→ C : 複素線形写像    ∃K ⊂ G:コンパクト開部分群

s.t. E(K) = Ker(εK)⊂ Ker α

} =   α : E→ C : 複素線形写像    ∃K ⊂ G:コンパクト開部分群 s.t. α : E−−→ εK EK −→ ∃ C   

だから，複素線形同型 (EK)∗→ (E˜ ∨)K (β7→ [v 7→ ⟨εK· v, β⟩]) が成り立つ．v∈ EK _{に対して⟨v, ∗⟩ ∈ (E∨∨)}K _{で，v7→ ⟨v, ∗⟩ は単射 G-加} 群準同型写像 E→ E∨∨_{を与える．まず次の補題を示す；} 補題 2.4.1 smooth G-加群 E の G-部分加群 V ⊂ E に対して V⊥={α ∈ E∨| ⟨V, α⟩ = 0} は E∨ の G-部分加群で V = (V⊥)⊥={v ∈ E | ⟨v, V⊥⟩ = 0} となる．即ち ⟨ , ⟩ : V × E∨_/V⊥ _{∋ (v, ˙v}′_{)7→ ⟨v, v}′_{⟩ ∈ C,} ⟨ , ⟩ : E/V × V⊥_{∋ ( ˙v, v}′_{)7→ ⟨v, v}′_{⟩ ∈ C} は共に非退化双線形形式となる．特に E∨が単純 加群ならば E も単純 G-加群となる． [証明] V⊥ が E∨ の G-部分加群となることと V ⊂ (V⊥₎⊥ _{は明らか．v ∈} E̸∈ V とする．v ∈ EK なる開コンパクト部分群 K⊂ G をとると，α(v) ̸= 0, α(V ) = 0 なる α∈ (EK)∗ があって v′ = α◦ εK ∈ (E∨)K ⊂ E∨ である． このとき ⟨v, v′_{⟩ = α(εKv) = α(v)̸= 0, ⟨V, v}′_{⟩ = α(εKV ) = α(VK) = 0} となり，v̸∈ (V⊥₎⊥_． 反傾表現については次の命題が基本的である； 命題 2.4.2 許容 G-加群 E に対して 1) E∨は許容 G-加群で，G-加群の同型 E ˜→ E∨∨(v7→ ⟨v, ∗⟩) が成り立つ． 2) G-加群として E の単純性と E∨ の単純性は同値． [証明] 任意の開コンパクト部分群 K⊂ G に対して

dim_C(E∨)K= dim_C(EK)∗= dim_CEK<∞

だから，E∨ は許容 G-加群である．又

dim_C(E∨∨)K= dim_C(E∨)K= dim_CEK<∞

より，v7→ ⟨v, ∗⟩ は複素線形同型 EK_{→ (E˜} ∨∨₎K_{を与える．よって T : E ˜→ E}∨∨

は G-加群の同型写像である．又，E が単純 G-加群ならば E∨∨ は単純 G-加

群，従って補題 2.4.1 より E∨ は単純 G-加群となる．逆は再び補題 2.4.1 に

命題 2.4.3 C を自明な G-module とみて HomG(E⊗_CF,C) = { α : E⊗_CF → C : C-linear s.t. α(g· ξ) = α(ξ) for ∀g ∈ G, ξ ∈ E ⊗_CF } である．このとき次の_{C-線形同型が成り立つ；}

HomG(E, F∨)∋ A ˜7→ [u ⊗ v 7→ ⟨Au, v⟩] ∈ HomG(E⊗_CF,C).

[証明] A∈ HomG(E, F∨) と g∈ G, u ∈ E, v ∈ F に対して

⟨A(g · u), g · v⟩ = ⟨g · A(u), g · v⟩ = ⟨Au, v⟩

より，A7→ [u ⊗ v 7→ ⟨Au, v⟩] が 単射複素線形写像であることはよい．α ∈

HomG(E, F∨) とする．u∈ E に対して

αu: F ∋ v 7→ α(u ⊗ v) ∈ C

とおく．任意の k∈ K に対して k · u = u なるコンパクト開部分群 K ⊂ G

があるから，任意の k∈ K に対して

αu(k· v) = α(u ⊗ (k · v)) = α((k−1· u) ⊗ v) = α(u ⊗ v) = αu(v),

又，任意の g∈ G に対して

αg·u(v) = α((g· u) ⊗ v) = α(u ⊗ (g−1· v) = αu(g−1· v) = (g · αu)(v).

よって A = [u7→ αu]∈ HomG(E, F∨) で，任意の u∈ E, v ∈ F に対して

⟨Au, v⟩ = ⟨αu, v⟩ = α(u ⊗ v).

命題 2.4.4 M, N を smooth G-加群とすると

1) A∈ HomG(M, N∨) に対して⟨Au, v⟩ = ⟨u, A∗v⟩ (∀u ∈ M, v ∈ N) な

る A∗∈ HomG(N, M∨) が唯一存在する．

2) A7→ A∗ は複素線形同型 HomG(M, N∨) ˜→ HomG(N, M∨) を与える．

[証明] 命題 2.4.3 より複素線形同型

HomG(E, F∨) ˜→ HomG(E⊗CF,C)

˜

→ HomG(F ⊗_CE,C) ˜← HomG(F, E∨)

A7→ [u ⊗ v 7→ ⟨Au, v⟩] 7→ [v ⊗ u 7→ ⟨Au, v⟩] = [v ⊗ u 7→ ⟨Bv, u⟩] ←p B.

が成り立つ．

smooth G-加群 E があるとき，v∈ E, α ∈ E∨ に対して G 上の smooth

2.5

誘導表現

閉部分群 H ⊂ G と smooth H-加群 E に対して，C∞_{(G, E) は (g·φ)(x) =} φ(g−1x) (g∈ G, φ ∈ C∞(G, E)) により G-加群となるから，その G-部分加群

IndG_HE ={φ ∈ C∞(G, E)_∞| φ(xh) = h−1· φ(x) ∀h ∈ H}, indG_HE ={φ ∈ IndG_HE| supp(φ) : compact (mod H)} を夫々誘導表現，コンパクト誘導表現と呼ぶ． 群 G は G に右から作用することも出来るので，誘導表現を別の具合に定 義することができる．即ち，C∞(G, E) を (g· φ)(x) = φ(xg) により G-加群 として，その G-部分加群 Ind GHE ={φ ∈ C∞(G, E)∞| φ(hx) = h · φ(x) ∀h ∈ H}, indGHE ={φ ∈ Ind G

HE| supp(φ) : compact (mod H)}

を考えるのである．これら二通りの誘導表現は，φ ∈ C∞_{(G, E) に対して}

φ−(x) = φ(x−1) (x∈ G) とおけば，φ 7→ φ− が G-加群の同型

IndG_HE ˜→ Ind G_HE, indG_HE ˜→ indG_HE (2.2) を与えるから，どちらで考えても同じことである．保型表現の文脈では群の 右作用を用いる文献が多いようだが，純粋に表現論の文脈では群の左作用を 用いる場合が多いように思われるし，群の左作用の方が記号的に自然と思わ れるので，当面 IndG HE, ind G HE に関する記述を与えて，最後に自然な同型を 通じて IndG HE, ind G HE に関する記述を与える． コンパクト開部分群 K ⊂ G に対して G = ⊔ g∈Ω HgK, Kg = H∩ gKg−1 とおくと，φ7→ (φ(g))g∈Ω により次の複素線形同型が成り立つ； ( IndG_HE )K ˜ → ∏ g_∈Ω EKg_, ( indG_HE )K ˜ →⊕ g_∈Ω EKg_. 従って，E が許容 H-加群で G/H かコンパクトならば，Ω は有限集合とな るから，IndG HE = ind G HE は許容 G-加群となる．

2.6

誘導表現の基本的な性質

[証明] コンパクト開部分群 K ⊂ G に対して ψ ∈ L(G, δ−1_H δG⊗ E∨)K とし て，任意の φ∈ indG HE, k∈ K に対して ⟨k · φ, ψ⟩ = ⟨φ, k−1_{· ψ⟩ = ⟨φ, ψ⟩.} よって _{⟨∗, ψ⟩ ∈} (indG_HE )∨ である．更に G = ⊔ i KgiH として，任意の φ∈ S(G, E)K に対して，殆ど全ての i に対して φ(gi) = 0 で ⟨φ, ψ⟩ =∑ i ⟨φ(gi), ψ(gi)⟩ · ∫ K_{· ˙g}i ρ(x)−1dµρ( ˙x) より ψ 7→ ⟨∗, ψ⟩ は単射である．一方，任意の α ∈ (indG_HE )∨K をとると， 命題 2.1.2 より α : S(G, E)−−→ εK S(G, E)K→˜ ⊕ i EKi −−−−→ ∑ iαi C である．ここで Ki= H∩ gi−1Kgi であり αi∈ ( EKi)∗ である．ここで ( EKi)∗_{= (E}∨₎Ki ₌(_δ−1 H δG⊗ E∨ )Ki とみて，βi∈ ( δ_H−1δG⊗ E∨)Ki が (∫ K_{· ˙g}i ρ(x)−1dµρ( ˙x) )−1 αi∈(EKi)∗ に対応しているとする．(βi)i∈ ∏ i ( δ_H−1δG⊗ E∨)Ki に対応して ψ∈ ( IndG_H(δ_H−1δG⊗ E∨) )K が定まる．即ち x = kgih∈ KgiH に対して ψ(x) = δH(h)δG(h)−1· h−1· βi とおく．このとき任意の φ∈(indGH )K に対して ⟨φ, ψ⟩ = ∫ G/H ⟨φ(x), ψ(x)⟩ρ(h)−1_dµ ρ( ˙x) =∑ i ∫ K· ˙gi ⟨ψ(gi), φ(gi)⟩ρ(x)−1dµρ( ˙x) =∑ i ⟨βi, φ(gi)⟩ ∫ K· ˙gi dµρ( ˙x) = ∑ i ⟨αi, φ(gi)⟩ = ⟨φ, α⟩ となるから，_{⟨∗, ψ⟩ = α となる．} 次に示す関係は Frobenius 相互律と呼ばれて，以下の議論では重要な働 きをする；

定理 2.6.2 smooth G-加群 M と smooth H-加群 E に対して 1) 複素線形同型及びその逆写像

HomG(M, IndGHE) ˜→ HomH(M, E) (A7→ TA),

HomH(M, E) ˜→ HomG(M, IndGHE) (B7→ SB)

が TAu = (Au)(1), SBu = [x7→ B(x−1· u)] により与えられる．

2) 複素線形同型 Θ : HomH(δHδ−1G ⊗ E, M∨) ˜→ HomG(ind G HE, M∨) が ⟨Θ(A)φ, u⟩ = ∫ G/H ⟨A(1 ⊗ φ(x)), x−1_{· u⟩ρ(x)}−1_dµ ρ( ˙x) により与えられる． [証明] 1) A∈ HomG(M, IndG_HE) に対して α(A) : M ∋ u 7→ (Au)(1) ∈ E : 複素線形写像

α(A)(h· u) = (A(h · u))(1) = (h · A(u))(1) = A(u)(h−1) = h· (A(u)(1)) ∀h ∈ H

より α(A)∈ HomH(M, E)．一方 B∈ HomH(M, E) とすると，u∈ M に対

して

fB,u: G∋ x 7→ B(x−1· u) ∈ E : 複素線形写像 s.t.

1) fB,u(xh) = B(h−1x−1· u) = h−1· fB,u(x) for∀h ∈ H,

2) k· u = u for ∀k ∈ K なるコンパクト開部分群 K ⊂ G があるから

fB,u(kx) = B(x−1k−1· u) = fB,u(x) for∀k ∈ K より fB,u∈ IndGHE で

fB,g_·u(x) = B(x−1gu) = fB,u(g−1x) = (g· fB,u)(x) for∀g ∈ G.

よって β(B) = [u7→ fB,u]∈ HomG(M, IndG_HE) で，任意の A∈ HomG(M, IndG_HE)

に対して

fα(A),u(x) = α(A)(x−1· u) = (A(x−1· u)(1)

= (x−1· Au)(1) = (Au)(x) for ∀x ∈ G より β◦ α(A) = [u 7→ fα(A),u= Au] = A．又，任意の B∈ HomH(M, E) に 対して

2) 次のC-linear isom. の列から，Θ の存在は明らか； HomG(indGHE, M∨) ∼ −−−−−−→ 命題 2.4.4 HomG(M, ( indG_HE )∨ ) ∼ −−−−−−→ 命題 2.6.1 HomG(M, Ind G H(δ−1H δG⊗ E∨)) ∼ −−−−−−→ 1) HomH(M, δ −1 H δG⊗ E∨) ∼ −−−−−−→ 命題 2.4.4 HomH(δHδ −1 G ⊗ E, M∨). 具体的な対応は A7→ A∗s.t. ⟨A(1 ⊗ v), u⟩ = ⟨1 ⊗ v, A∗u⟩ = ⟨v, A∗u⟩ 7→ [u 7→ [x 7→ A∗_(x−1_{· u)]} 7→ [u 7→ ⟨∗, [x 7→ A∗_(x−1_{· u)]⟩] = B} 7→ B∗ で，f∈ indG HE, u∈ M に対して ⟨B∗_{f, u⟩ =⟨f, Bu⟩ = ⟨f, [x 7→ A}∗_(x−1_{· u)]⟩} = ∫ G/H ⟨f(x), A∗_(x−1_{· u)⟩ρ(x)}−1_{dµρ( ˙x)} = ∫ G/H ⟨A(1 ⊗ f(x)), x−1_{· u⟩ρ(x)}−1_dµ ρ( ˙x) となる． 命題 2.6.3 閉部分群 N ⊂ H ⊂ G と smooth N-加群 V に対して，次の G-加群の同型が成り立つ；IndG H ( IndHNV ) ˜ → IndG NV (ψ7→ [x 7→ ψ(x)(1)]). [証明] φ∈ IndG_NV に対して，開コンパクト部分群 K ⊂ G があって任意の k∈ K に対して φ(kx) = φ(x) (x ∈ G) となる．φx(h) = φ(xh) (h∈ H) と おくと，任意の k∈ H ∩ x−1_{Kx に対して φx(kh) = φ} x(h) (h∈ H) ，又任 意の q∈ Q に対して φx(hq) = q−1· φx(h) となる．よって φx∈ IndHNV ．そ こで φ′ : G∋ x 7→ φx∈ IndH_NV とおくと，任意の k∈ K に対して φ′_{(kx) = φ} kx = φxであり，任意の h∈ H に対して φ′(xh) = φxh= h−1· φx= h−1· φ′(x) となるから φ′∈ IndG H(Ind H NV ) となる．このとき任意の g∈ G に対して (g· φ)′(x) = φg−1x= (g−1· φ′)(x)

となる．一方，f∈ IndG H(Ind H NV ) に対して，開コンパクト群 K⊂ G があっ て任意の k∈ K に対して f(kx) = f(x) (x ∈ G) となる． e f : G∋ x 7→ f(x)(1) ∈ V とおくと，任意の k∈ K に対して ef (kx) = f (kx)(1) = f (x)(1) = ef (x)．任 意の q∈ Q に対して e f (xq) = f (xq)(1) = (q−1· f(x))(1) = f (x)(q) = q−1· (f(x)(1)) = q−1· ef (x). よって ef ∈ IndG_NV ．このとき任意の g∈ G に対して g g· f(x) = (g · f)(x)(1) = f(g−1x)(1) = ef (g−1x) となる．更に e φ′(x) = φ′(x)(1) = φx(1) = φ(x) e f′(x) = efx= [h7→ ef (xh) = f (xh)(1) = (h−1· f(x))(1) = f(x)(h)] = f(x). 以上の結果を自然な同型 (2.2) により IndG HE 及び ind G HE について述べれ ば次のようになる；まず，コンパクト開部分群 K⊂ G に対して G = ⊔ g∈Ω HgK, Kg = H∩ gKg−1 とおくと，φ7→ (φ(g))g_∈Ω により次の複素線形同型が成 り立つ； ( IndG_HE )K ˜ → ∏ g_∈Ω EKg_, ( indG_HE )K ˜ →⊕ g_∈Ω EKg_. 命題 2.6.4 G-加群の同型 IndG_H(δ−1_H δG⊗ E∨) ˜→ ( indG_HE )∨ (ψ7→ ⟨∗, ψ⟩) が_{⟨φ, ψ⟩ =} ∫ H_\G ⟨φ(x), ψ(x)⟩ρ(x−1₎−1_dµ′ ρ( ˙x) により与えられる． 定理 2.6.5 smooth G-加群 M と smooth H-加群 E に対して 1) 複素線形同型及びその逆写像

HomG(M, IndGHE) ˜→ HomH(M, E) (A7→ TA),

HomH(M, E) ˜→ HomG(M, IndGHE) (B7→ SB)

2) 複素線形同型 Θ : HomH(δHδ−1G ⊗ E, M∨) ˜→ HomG(ind G HE, M∨) が ⟨Θ(A)φ, u⟩ = ∫ H\G ⟨A(1 ⊗ φ(x)), x · u⟩ρ(x−1₎−1_dµ′ ρ( ˙x) により与えられる． 命題 2.6.6 閉部分群 N ⊂ H ⊂ G と smooth N-加群 V に対して，次の G-加群の同型が成り立つ；IndG H ( IndH_NV ) ˜ → Ind G NV (ψ7→ [x 7→ ψ(x)(1)]).

2.7

許容表現の指標

2.8

Schur の補題と既約表現の存在

定理 2.8.1 smooth 単純 G-加群 E に対して EndG(E) ={λ · idE| λ ∈ C}．

[証明] まず EndG(E) は divisionC-algebra である．そこで A∈ EndG(E)̸∈ {λ · idE| λ ∈ C}

として Rλ = (A− λ · idE)−1 ∈ EndG(E) (λ ∈ C) とおく．0 ̸= ξ ∈ E に対して_{{Rλ· ξ | λ ∈ C} ⊂ E は C 上一次独立である．実際，相異なる} {λi}i=1,··· ,r⊂ C に対して r ∑ i=1 ci· Rλ_i· ξ = 0, ci∈ C s.t. (c1,· · · , cr)̸= (0, · · · , 0) とすると r ∑ i=1 ci· Rλi= r ∑ i=1

ci· (A − λi· idE)−1 = f (A)· r ∏ i=1 Rλi (f (X)∈ C[X]) = c· s ∏ j=1 (A− µj· idE)· r ∏ i=1 Rλ_i (c, µj∈ C, c ̸= 0) ∈ EndG(E)×, より ξ = 0 となり矛盾する．一方，ξ∈ EK _{なるコンパクト開部分群 K ⊂ G} があるから E =⟨g · ξ | g ∈ G⟩_C=⟨g · ξ | ˙g ∈ G/K⟩_C で，G は可算個のコンパクト集合の和集合だから，(G : K) は可算．よって dim_CE は可算となり，C は可算となって矛盾する． 更に G は十分多くの単純 smooth G-加群をもつ； 定理 2.8.2 0̸= ∀T ∈ Dc(X) に対して T· E ̸= 0 なる smooth 単純 G-加群 E が存在する． [証明] まず T (χgK)̸= 0 なるコンパクト開部分群 K ⊂ G と g ∈ G をとり ⟨T, χgK⟩ = ⟨T, g · χK⟩ = ⟨g−1_{· T, χK⟩ = ⟨εg−1∗ T, χK⟩} だから，S = εg−1∗ T ∈ Dc(G) とおくと⟨S, χK⟩ ̸= 0．よって ⟨εK∗ S ∗ εK, χK⟩ = ∫ G_×G×G χK(xyz)d(εK× S × εK)(x, y, z) = const.× ∫ K dG(x) ∫ G dS(y) ∫ K dG(z)χK(xyz) = const.× ⟨S, χK⟩ ̸= 0 より 0̸= h = εK∗ S ∗ εK ∈ HK(G)⊂ H(G) = C_c∞(G). そこで h∗(x) = h(x−1) (x∈ G) とおくと，h∗ ∈ C_c∞(G) で，h0= h∗∗ h ∈ HK(G) ⊂ C_c∞(G) とおくと h0(1) = ∫ G |h(x)|2_{dG(x) ̸= 0 より h} 0 ̸= 0, h∗₀= h0．よって h2₀= h∗₀∗ h0̸= 0, h40= h 2 0∗ h 2 0̸= 0, · · · .

よって h0 = h∗∗ h ∈ HK(G) は冪零でない．ここで Jacobson 根基の性質 （定理 A.8.3）から h0̸∈ ∩ m_⊂HK(G):極大左イデアル m, よって h0 ̸∈ m なる極大左イデアル m ⊂ HK(G) が存在する．よって単純 HK(G)-加群 V =HK(G)/m に対して，HK(G)-加群として EK→ V なる単˜ 純 G-加群 E をとれば，h0̸= 0 on E，よって h ̸= 0 on E，よって S ̸= 0 on E，よって T ̸= 0 on E.

3

l-sheaf

3.1

基本的な性質

逆に Cc∞(X)· L = L なる Cc∞(X)-加群 L に対して X 上の l-sheafL が 次のように定義される．まず L(x) =⟨φ · s | s ∈ L, φ ∈ Cc∞(X) s.t. φ(x) = 0⟩C =⟨χM · s | s ∈ L, M ⊂ X : open compact s.t. x ̸∈ M⟩_C ={s ∈ L | φ · s = 0 for some φ ∈ C_c∞(X) s.t. φ(x)̸= 0} とおくと，t =∑ i φi· si ∈ L (φi ∈ Cc∞(X), si ∈ L) に対して t≡∑ i φi(x)si (mod L(x)) for∀x ∈ X である．実際，コンパクト開集合 M⊂ X と s ∈ L に対して t = χM· s の場 合に示せば十分である．x̸∈ M のとき，t ∈ L(x) だから t ≡ χM(x)· s ≡ 0 (mod L(x)) は明らか．x∈ M のとき χM · (χM · s − s) = 0, χM ∈ C_c∞(X) s.t. χM(x)̸= 0 より t− s ∈ L(x)．よって t ≡ χM(x)· s (mod L(x)). さて，開集合 V ⊂ X に対して Γ(V,L) =     (sx)x∈V ∈ ∏ x_∈V L/L(x)    ∀x ∈ V に対して x∈ ∃W ⊂ V :open, ∃s ∈ L

s.t. sy ≡ s (mod L(y)) for ∀y ∈ W

     とおき，これを φ· (sx)x∈V = (φ(x)· sx)x∈V (φ∈ CX∞(V ), (sx)x∈V ∈ Γ(V, L)) により CX∞(V )-加群とし，開集合 V ⊂ W ⊂ X に対して制限写像を resW_V : Γ(W,L) ∋ (sx)x∈W 7→ (sx)x∈V ∈ Γ(V, L) により定義すると，X 上の l-sheaf L が得られる．こうして出来た L を C_c∞(X)-加群 L により生成された（或いは対応する）l-sheaf と呼ぶ．このと き_{∀x ∈ X に対して複素線形同型} Lx∋ [(sy)y∈V] ˜→ sx∈ L/L(x) が成り立つ．更に 命題 3.1.2 Cc∞(X)-加群の同型 L ˜→ Γc(X,L) (s7→ (s ∈ L/L(x))x_∈X) が成り立つ．特に ∩ x∈X L(x) = 0.

[証明] s∈ ∩ x_∈X L(x) として s =∑ i χMi· si とおく．ここで si∈ L でコンパ クト開集合 Mi ⊂ X は Mi∩ Mj =∅ (i ̸= j) なるものとする．∀x ∈ Mi に 対して，s≡ si (mod L(x)) だから si∈ L(x)．よって si= ∑ j χ_M( jx)· s (x) j with M (x) j ⊂ X:open compact s.t. x ̸∈ M (x) j , s (x) J ∈ L と書けて，コンパクト開集合 x∈ V(x)_⊂∩ j M_j(x)c がとれる．よって有限個 の_{x1,· · · , xr} ⊂ Mi があって Mi⊂ V(x1)∪ · · · ∪ V(xr)となり χM_i= χMi· (χV(x1)+· · · + χV(xr )). よって χMi· si= ∑ k,j χMi· · · χV(xk)· χ_M(xk) j · s(xk) j = 0. よって s = 0 となる．s ∈ L ,→ L(X) とする．C∞ c (X)· L = L より s = ∑ j χM_j · sj (Mj ⊂ X:open compact, sj ∈ L) とできる．x ̸∈ ∪ j Mj ならば s∈ L(x) だから supp(s) ={x ∈ X | s ̸∈ L(x)} ⊂∪ j Mj, よって supp(s) はコンパクトである．よって L ,→ Lc(X) である．一方， s = (sx)x∈X∈ Lc(X) として M = supp(s) ={x ∈ X | sx̸= 0} とおく．コンパクト開集合 M ⊂ U ⊂ X がある，x ∈ U に対して，コンパク ト開集合 x∈ ∃Vx⊂ X と tx∈ L があって

sy≡ t1 (mod L(y)) for∀y ∈ Vx

となる．よって有限個の_{x1,· · · , xr} ⊂ U をとって U ⊂ Vx₁∪ · · · ∪ Vx_r と できる．ここで W1= Vx1, W2= Vx2∩ V c x1, W3= Vx3∩ V c x1∩ V c x2,· · · とおくと，Wi⊂ X はコンパクト開集合で Wi∩ Wj=∅ (i ̸= j) かつ U ⊂ W1∪ · · · ∪ Wr. よって t = r ∑ i χu· χW_i· tx_i ∈ L とおくと，x ∈ U ならば t≡ tx_i≡ sx (mod L(x)) (x∈ Wi⊂ Vx_i),

x̸∈ U ならば t ≡ 0 ≡ sx (mod L(x))．よって s = t である． さて CX∞-module L に対して，L = Γc(X,L) は Cc∞(X)· L = L なる C_c∞(X)-module だから，L により生成された C_X∞-module を L∗ とすると， 開集合 V ⊂ X に対して Γ(V,L∗) =     (sx)x∈V ∈ ∏ x∈V L/L(x)    ∀x ∈ V に対して x∈ ∃W ⊂ V :open, ∃s ∈ Γc(X,L) s.t. sy≡ s (mod L(y)) for ∀y ∈ W

    , Γ(V,L) =     (sx)x∈V ∈ ∏ x∈V Lx ∀x ∈ V に対して x∈ ∃W ⊂ V :open, ∃s ∈ Γ(W, L) s.t. sy= [s]∈ Ly for∀y ∈ W      だから，自然な C∞(V )-加群の準同型写像 iV : Γ(V,L∗)→ Γ(V, L) ((sx∈ L/L(x))x_∈V 7→ ([sx]∈ Lx)x_∈V) が定義されて，_CX∞-加群の準同型写像 i = (iV)V ⊂ X:open:L∗→ L が定義される．ここで 補題 3.1.3 任意の x∈ X に対して複素線形同型 ix= lim_−→ x∈V ⊂X iV :L∗_x= L/L(x) ˜→ Lx (s7→ [s]) が成り立つ． [証明] s∈ L = Γc(X,L) s.t. [s] = 0 in Lx とすると，x̸∈ supp(s)，よって コンパクト開集合 x∈ V ⊂ X があって supp(s) ∩ V = ∅ と出来る. よって χV ∈ C_c∞(X) に対して χV(x)̸= 0 かつ χV · s = 0 ([χV · s] = χV(y)[s] = 0 inLy for∀y ∈ X に注意)．よって s ∈ L(x) である．逆に s ∈ L(x) とする と，_{∃φ ∈ Cc}∞(X) s.t. φ(x)̸= 0 かつ φ · s = 0．よって  φ(x)[s] = [φ · s] = 0 inLx．よって [s] = 0 inLxとなる． 任意の [s]∈ Lx(s∈ Γ(V, L), x ∈ V ⊂ X : 開集合) に対して，x ∈ W ⊂ V なるコンパクト開集合 W ⊂ X がとれて，s′ _{= χ} M · s ∈ Γ(V, L) とおけば [s′] = [s] ∈ Lx かつ supp(s′)⊂ W である．∀y ∈ X \ W に対して y ∈ Vy かつ Vy∩ W = ∅ なる開集合 Vy⊂ X がとれて X = V ∪ ∪ y∈X\W Vy である． s′|V_∩Vy = 0 (y∈ X \ W ) だから，t|V = s′ かつ t|Vy = 0 (y∈ X \ W ) なる t∈ Γc(X,L) が存在して，[t] = [s] ∈ Lxとなる．

上の補題から，自然な_CX∞-加群の同型 i = (iV)V⊂X:L∗→ L˜ が成り立つ． X 上の C_X∞-加群 L, M に対して L = Γc(X,L), M = Γc(X,M) とおく． C∞ X-加群の準同型写像 f = (fV)V⊂X:open :L → M に対して，C∞(X)-加群の準同型写像 fX : Γ(X,L) → Γ(X, M) は Cc∞ (X)-加群の準同型写像 fX : L → M を導く．逆に Cc∞(X)-加群の準同型写像 f : L→ M が与えられたら，任意の x ∈ X に対して複素線形写像 fx: L/L(x)→ M/M(x) (s7→ f(s)) が定まり，任意の開集合 V ⊂ X に対して fV : Γ(V,L) → Γ(V, M) ((sx)x_∈V 7→ (fx(sx))x_∈V) は C∞(V )-加群の準同型写像となり， (fV)V⊂X:open:L → M は_CX∞-加群の準同型写像となる． 以上をまとめるて，次のように言うことが出来る； 定理 3.1.4 L 7→ Γc(X,L) は X 上の l-sheaf の圏から C_c∞(X)· L = L なる C_c∞(X)-加群の圏への圏同値を与える．

3.2

局所閉集合への制限

[証明] M⊂ X が閉集合の場合に示せばよい．このとき C∞(X)∋ ψ 7→ ψ|M ∈ C∞(M ) は全射である．実際，開集合 L ⊂ M に対して，L = M ∩ V なる開集合 V ⊂ X をとり L ⊂ W なるコンパクト開集合 W ⊂ V がとれる．L ⊂ M ∩ W ⊂ M ∩ V = L より L = M ∩ W だから，χ(M )_L = χW|M となる． よって φ∈ C∞_{(M ) に対して ψ∈ C}∞_{(X) s.t. φ = ψ|M とおくと} (sx)x∈M ∈ L(M) ⇒ ∀x ∈ M に対して x ∈ ∃V ⊂ X:open, ∃s ∈ L(V ) s.t. sy = [s]∈ Ly for∀y ∈ M ∩ V

⇒ φ(y)sy= ψ(y)[s] = [ψ|V · s] ∈ Ly for∀y ∈ M ∩ V

⇒ (φ(x)sx)x∈M ∈ L(M). そこで局所閉集合 N ⊂ M ⊂ X に対して，制限写像を resM_N : Γ(M,L) → Γ(N, L) ((sx)x_∈M 7→ (sx)x_∈N) により定義すれば，X 上のC∞ X-加群L を局所閉集合 Y ⊂ X に制限した Y 上の CY∞-加群L|Y が Γ(V,L|Y) = Γ(V,L) (V ⊂ Y : 開集合) により定義さ れる． 命題 3.2.2 L が l-sheaf ならば，局所閉集合 M ⊂ X に対して Γ(M,L) =     (sx)x∈M ∈ ∏ x_∈M Lx ∀x ∈ M に対して x∈ ∃V ⊂ X:open, ∃s ∈ Γc(X,L) s.t. sy= [s]∈ Ly for∀y ∈ M ∩ V      で ，制限写像 resX_M : Γc(X,L) → Γc(M,L) は全射である． [証明] (sx)x∈M ∈ Γ(M, L) として，x ∈ M を固定しておく．開集合 x ∈ V ⊂ X と s∈ Γ(V, L) があって，任意の y ∈ M ∩ V に対して sy= [s]∈ Ly とな る．一方，sx= [t]∈ Lx なる t∈ Γc(X,L) がとれる．[s] = sx= [t]∈ Lxだ から，コンパクト開集合 x∈ U ⊂ V があって s|U = t|U となる．よって任 意の y∈ M ∩ U に対して sy = [s] = [t]∈ Ly となる．(sx)x∈M ∈ Lc(M ) と して L ={x ∈ M | sx̸= 0} ⊂ M : コンパクト

とする．任意の x ∈ M に対して tx ∈ Γc(X,L) とコンパクト開集合 x ∈ Vx ⊂ X があって，任意の y ∈ M ∩ Vx に対して sy = [tx] ∈ Ly となる． L⊂ ∪ x_∈M Vx だから L⊂ V = Vx₁∪ Vx₂∪ · · · ∪ Vx_r となる．よって W1= Vx1, W2= Vx2\ Vx1, W3= Vx3\ (Vx1∪ Vx2),· · · とおくと，Wi⊂ X はコンパクト開集合で V = W1⊔W2⊔· · ·⊔Wrとなり，任 意の y∈ M ∩Wi に対して sy= [txi]∈ Ly となる．そこで t = r ∑ i=1 χW_i·tx_i∈ Γc(X,L) とおくと，任意の x ∈ M に対して，x ∈ r ∪ i=1 Wiならば x∈ M ∩ Wi なる i があって sx= [txi] = [t]∈ Lx となる．x̸∈ r ∪ i=1 Wi ならば，x̸∈ L だから sx= 0．一方，[t] = 0∈ Lx だか ら sx= [t]∈ Lx となる．よって (sx)x∈M = ([t]∈ Lx)x∈M となる． 完全非連結空間 Y から X への連続写像 q : Y → X があるとき，Y 上の l-sheafL に対して，Γc(Y,L) は φ·s = (φ◦q)·s (φ ∈ C_c∞(X), s∈ Γc(X,L)) により Cc∞(X)-加群となる．このとき Cc∞(X)· Γc(Y,L) = Γc(Y,L) となる から，対応する X 上の l-sheaf を q_⋆L と書く． L を X 上の l-sheaf とする．開集合 Y ⊂ X に対して Γc(X,L)Y ={s ∈ Γc(X,L) | supp(s) ⊂ Y }

とおくと，制限写像 s7→ s|Y は複素線形同型 Γc(X,L)Y → Γc˜ (Y,L) を与え

るから，その逆写像を infY X とする．閉集合 Z = X\ Y に対して，命題 3.2.2 より Cc∞(X)-加群の完全列 0→ Γc(Y,L) inf Y X −−−→ Γc(X,L) res X Z −−−→ Γc(Z,L) → 0 が成り立つから，包含写像を i : Y → X, j : Z → X とすると，X 上の l-sheaf の次のような完全列が成り立つ； 0→ i_⋆(L|Y)→ L → j_⋆(L|Z)→ 0.

3.3

l-sheaf の自己同型群

1) θ は X の位相自己同型写像， 2) 開集合 V ⊂ X に対して θ♯_V : Γ(V,L) ˜→ Γ(θ−1V,L) は複素線形同型写 像で θ♯ V(φ· s) = (φ ◦ θ) · θ ♯ V(s) (∀φ ∈ Cc∞(V ), s∈ Γ(V, L))， なることを言う．(X,L) の自己同型写像全体 Aut(X, L) は (θ, θ_V♯)· (η, η_V♯) = (θ◦ η, η♯_θ−1V ◦ θ ♯ V) により群となる． 定義 3.3.2 Cc∞(X)-加群 L に対して，(θ, θ ♯_{) が (X, L) の自己同型写像であ} るとは，θ は X の位相自己同型写像であり，θ♯ _{は L の複素線形自己同型写} 像で θ♯(φ· s) = (φ ◦ θ) · θ♯(s) (∀φ ∈ C_c∞(X), s∈ L), なることを言う．(X, L) の自己同型写像全体 Aut(X, L) は (θ, θ♯)· (η, η♯) = (θ◦ η, η♯◦ θ♯) により群となる． このように定義すると 命題 3.3.3 X 上の l-sheafL に対して L = Γc(X,L) とおくと，次の群の同 型が成り立つ； Aut(X,L) ˜→ Aut(X, L) ((θ, θ♯_V)7→ (θ, θ♯X|L)) [証明] まず (θ, θ♯)∈ Aut(X, L) に対して θ♯L(θ(x)) = L(x) for∀x ∈ X. (3.3) 実際，L(θ(x)) =⟨φ · s | s ∈ L, φ ∈ C∞ c (X) s.t. φ(θ(x)) = 0⟩Cより θ♯L(θ(x)) =⟨θ♯(φ· s) = (φ ◦ θ) · θ♯s| s ∈ L, φ ∈ C_c∞(X) s.t. φ(θ(x)) = 0⟩_C =⟨φ · s | s ∈ L, φ ∈ C_c∞(X) s.t. φ(x) = 0⟩_C = L(x). よって開集合 V ⊂ X に対して Γ(V,L) =     (sx)x∈V ∈ ∏ x_∈V L/L(x)    ∀x ∈ V に対して x∈ ∃W ⊂ V :open, ∃s ∈ L

s.t. sy ≡ s (mod L(y)) for ∀y ∈ W

     とおくと (sx∈ L/L(x))x∈V 7→ (θ♯(sθ(y))∈ L/L(y))y_∈θ−1(V )) により定義さ れた θ_V♯ : Γ(V,L) → Γ(θ−1(V ),L)

は_{C-線形同型写像である．実際，∀x ∈ θ}−1(V ) に対して

θ(x)∈ ∃W ⊂ V : opne, ∃s ∈ L s.t. sy≡ s (mod L(y)) for ∀y ∈ W .

よって開集合 x∈ θ−1_{(W )⊂ θ}−1_{(V ) に対して}

sθ(y)≡ s (mod L(θ(y))) for ∀y ∈ θ−1(W )

よって (3.3) より

θ♯(sθ(y))≡ θ♯(s) (mod L(y)) for∀y ∈ θ−1(W )

又_{∀x ∈ V に対して} L/L(θ(x))∋ s ˜7→θ♯(s)∈ L/L(x) が複素線形同型写像だから，θ♯ V は複素線形同型写像となる．更に θ♯_V(φ· (sx∈ L/L(x))x_∈V) = θ♯_V((φ(x)s∈ L/L(x))x_∈V) = (θ♯(φ(θ(x))sθ(x))∈ L/L(x))x_∈θ−1(V ) = (φ(θ(x))θ♯(sθ(x))∈ L/L(x))x∈θ−1(V ) = (φ◦ θ) · θ_V♯((sx∈ L/L(x))x_∈V). X 上の l-sheaf L と群準同型写像 G → Aut(X, L) (g 7→ (θg, θ♯_g,V)) に対 して 1) g∈ G は x ∈ X に g · x = θg(x) により連続的に作用する， 2) Γ(L, X) を g · s = θ♯_g−1,X(s) (g∈ G, s ∈ Γ(L, X)) により G-加群とし たとき，Γc(L, X) は smooth G-加群である と仮定する．ここで g∈ G, x ∈ X に対して，複素線形同型写像 lim −→ x∈V θ_g,V♯ :Lx= lim_−→ x∈V Γ(V,L) ˜→ lim_−→ x∈V Γ(θ−1_g V,L) = Lg−1_·x (3.4) により [g· s = θ♯ g−1,X]∈ Lx は [s]∈ Lg−1·x に写されるから， supp(g· s) = g · supp(s) (g∈ G, s ∈ Γ(X, L)) である．従って Γc(X,L) は Γ(X, L) の G-部分環群となることに注意する．更 に x∈ X の固定部分群 Gx に対して_Lx= lim_−→ x_{∈V ⊂X} Γ(L, V ) は自然に smooth Gx-加群となる．ここで s∈ Γ(X, L)∞に対して fs: G∋ g 7→ [g−1· s] ∈ Lx