定義A.3.1 A がA-加群として半単純のとき，A を半単純環と呼ぶ．Aの 両側イデアルがAと {0}に限るとき，Aを単純環と呼ぶ．
命題A.3.2 Aが半単純環のとき，単純A-加群M と単純左イデアルa⊂A に対して，aとM がA-加群として同型なるための必要十分条件はa·M ̸= 0 なることである．
[証明]十分なることは命題A.1.2で示した．逆にA-加群の同型写像f :a→˜ M があったとする．A=a⊕bなる左イデアルb⊂Aがとれるから，直和分解 A=a⊕bに関するAからaへの射影をπ:A→aとして，x=f◦π(1)∈M とおく．任意のa∈aに対してf(a) =f◦π(a) =axとなるから，a·M ̸= 0 である．
Aは半単純環であるとすると，任意の単純A-加群M に対して，M と A-加群として同型な単純左イデアルa⊂Aが存在する；実際，命題A.1.5から Aは単純左イデアルの和 だからa·M ̸= 0なる単純左イデアルa⊂A が存 在する．よってM と aは A-加群として同型である．
Aの単純左イデアルのA-加群としての同型類全体をC(A)と書く．c∈C(A) に対して
⟨c⟩=∑
a∈c
a⊂A
とおく．
命題A.3.3 A が半単純ならば
1) 任意のc∈C(A)に対して⟨c⟩はA の両側イデアルである，
2) 相異なるc, c′∈C(A)に対しては⟨c⟩ · ⟨c′⟩= 0，
3) C(A)は有限集合である．
[証明]c∈C(A)とする．cに含まれない 単純左イデアルb⊂Aに対しては命 題A.1.2より⟨c⟩ ·b= 0となる．よってc̸=c′∈C(A)に対して⟨c⟩ · ⟨c′⟩= 0 である．又，a,b∈cとして，a·b̸= 0 なるb∈bをとるとa·b=bとなる から，a·b⊂ ⟨c⟩である．よって
A= ∑
a⊂A:単純左イデアル
a
より⟨c⟩ ·A=⟨c⟩ · ⟨c⟩ ⊂ ⟨c⟩. よって ⟨c⟩は Aの両側イデアルである．最後 にA= ∑
c∈C(A)
⟨c⟩だから
1 =e1+· · ·+er, 0̸=ei∈ ⟨ci⟩, ci∈C(A)
として，c1,· · · , cr は互いに相異なるとする．任意の単純左イデアルa ⊂A に対して
0̸=a=e1a+· · ·+era
だからeia̸= 0 なるei ∈ ⟨ci⟩がある．よってb·a̸= 0なる b∈ci があり，
よってa∈ci となる．よってC(A) ={c1,· · ·, cr}である．
命題A.3.4 A は半単純環であるとする．A が単純環となる必要十分条件は
♯C(A) = 1なることである．
[証明]Aは単純環であるとする．c∈C(A)として，⟨c⟩ ̸= 0はAの両側イデ アルだからA=⟨c⟩となる．よって任意の単純左イデアルb⊂Aに対して
b=A·b=∑
a∈c
a·b
よりa·b̸= 0 なるa∈c がある．よって命題A.1.2よりb∈cとなる．
逆に♯C(A) = 1とする．両側イデアル0̸=b⊂Aに対してb0⊂bなる単 純左イデアルb0 ⊂A がある．一方任意の単純左イデアルa⊂Aに対して，
a=b0aなるa∈a がある．よってa⊂ba⊂b．よってb=Aとなる．
Aを半単純環としよう．命題A.3.3よりC(A) ={c1,· · ·, cr}は有限集合 である．Ai =⟨ci⟩とおくと
A=A1⊕ · · · ⊕Ar (A.6) となり，1 =e1+· · ·+er (ei∈Ai)とおくと，Ai=Aei はei∈Ai を1 と する単純半単純環である．
[証明]まずA= ∑
c∈C(A)
⟨c⟩=A1+· · ·+Arであり，i̸=j ならばAi·Aj= 0 である．任意のa∈Ai に対して
a=a1 =ae1+· · ·+aer=aei,
同様にeia=aだから，Aiはeiを1とする環である．一方a1+· · ·+ar= 0 (ai ∈Ai)とすると，ai =eiai = 0．よってA=A1⊕ · · · ⊕Ar である．Ai
のAi-部分加群はA-部分加群だからAi は半単純環である．更に，単純左イ
デアルa⊂Ai をとると，a は Aの単純左イデアルでeia =a ̸= 0．よって a∈ci．よって♯C(Ai) = 1となり命題A.3.4よりAi は単純環となる．
直和分解(A.6) をAの単純分解と呼ぶ．
さてAを半単純環として
A=A1⊕ · · · ⊕Ar, 1 =e1+· · ·+er (ei∈Ai)
をAの単純分解とする．ai⊂Ai を単純左イデアルとすると，ai はA の単 純左イデアルで
C(A) ={[a1],· · ·,[ar]} である．このとき
命題A.3.5 A-加群M に対して，M は半単純A-加群であり，aiとA-加群 として同型な単純A-部分加群N ⊂M の全体をSi とすると
eiM = ∑
N∈Si
N
となり，更にM =e1M⊕ · · · ⊕erM である．この直和分解をM の等型分 解と呼ぶ．
[証明]適当な直和
⊕Λ
AからM への全射A-加群準同型写像があって，
⊕Λ
A は半単純A-加群だから，M は半単純である．Mi =eiM ⊂M はA-部分加 群だから半単純である．そこでN ⊂Mi を単純A-部分加群としよう．適当 なx∈N をとれば或aj に対してN =ajxとなる．ここで j̸=i とすると，
x=eiy(y∈M)と書けるから，任意のa∈aj ⊂Ajに対してax=aeiy= 0．
よってN = 0となり矛盾する．よってj=i，即ち，ai·N̸= 0だからNとai
はA-加群として同型である．逆に単純A-部分加群N ⊂M がA-加群として aiと同型ならば，N =aix(x∈N)となり，N=aix⊂eiAx⊂eiM となる．
上で述べたことからM =e1M +· · ·+erM である．一方x1+· · ·+xr= 0 (xi∈eiM)とすると，eiej= 0 (i̸=j)よりxi= 1xi=eixi = 0となる．
A-加群の完全系列
0−→L−→f M −→g N−→0
が分裂するとは，g◦φ=idN なるφ ∈HomA(N, M) が存在することを言 う．このとき
M = Im(f)⊕Im(φ), f :L→˜ Im(f), φ:N→˜ Im(φ).
[証明]x∈M ならばx−φ◦g(x)∈Ker(g) = Im(f)だから，M = Im(f) + Im(φ)．x ∈ Im(f)∩Im(φ) ならばx = φ(y) ∈ Ker(g) (y ∈ N) より0 = g(x) =y，よってx=φ(0) = 0．
命題A.3.6 A-加群P に対して次は同値である；
1) P は射影的A-加群（即ち，A-加群の準同型写像g:M →N が全射な らばHomA(P, M)→HomA(P, N) (φ7→g◦φ)は全射），
2) A-加群の完全列0→L→M →g P →0は分裂する，
3) P⊕Lが自由A加群となるA-加群Lが存在する．
[証明] 1)⇒2) HomA(P, M)→HomA(P, P) (φ7→g◦φ)は全射だから．2)
⇒3)自由A-加群M をとって完全列0→L→M →P→0を作れて，これ が分裂するから，L⊕P→˜ M となる．3)⇒1)自由A-加群P⊕LのA-基底 {eλ}λ∈Λをとる．A-加群の全射準同型写像g:M →N とφ∈HomA(P, N) に対して
Φ = [(x, y)7→φ(x)]∈HomA(P⊕L, N)
として g(zλ) = Φ(eλ) なる zλ ∈ M をとり，Ψ ∈ HomA(P ⊕L, M) を Ψ(eλ) =zλ(λ∈Λ)により定義すると，g◦Ψ = Φとなるから
ψ= [x7→Ψ(x,0)]∈HomA(P, M) はg◦ψ=φを満たす．
命題A.3.7 次は同値である；
1) Aは半単純環，
2) 任意のA-加群は射影的，
3) 任意のA-加群は半単純．
[証明] 1)⇒2) A-加群P をとる．自由A-加群M とA-加群の全射準同型写 像g:M →P がとれて，M は半単純A-加群だからM = Ker(g)⊕L なる A-部分環群L⊂M がある．このときA-加群の同型L→˜ P (x7→g(x))が成 り立つから，Ker(g)⊕P が自由A-加群となり，P は射影的A-加群である．
2)⇒ 3)A-加群M のA-部分加群N ⊂M に対して，A-加群M/N は射 影的だから，A-加群の完全列
0−→N −→M −→M/N −→0
は分裂する．よってM =N⊕LなるA-部分加群L⊂M がとれる．
3)⇒1)明らか．