よってf˙g ∈S(E)/S(E; ˙g)は g˙ ∈X のみに依存する．又f(kx) =f(x) for
∀k∈Kなるコンパクト開部分群K⊂Gがとれて，任意のg˙ ∈X に対して
˙
g∈K·g˙ ⊂X は開集合で
f′∈S(E) s.t.f′(x) =
f(x) :x∈KgH 0 :x̸∈KgH とおくと
˙
x∈K·g˙⊂X ⇒fx˙(x) =f(x) =f′(x)
⇒fx˙ ≡f′ (modS(E; ˙x)) よってs=
(f˙g∈S(E)/S(E; ˙g) )
˙
g∈X ∈Γ(X,L)．ここで∀k∈K, g∈Gに 対して
φk−1g(1) =f(k−1g) =f(g) =φg(1) よりφ˙k−1g= ˙φg∈S(E)/S(E;o)，よって
k·fk−1g≡θk−1◦θ(k−1g)−1φk−1g≡θg−1φg≡fg (modS(E; ˙g)) よりk·s=sとなる．よってs∈Γ(X,L)∞ でΛ(s) =f となる．
命題3.5.1 s∈Γ(X,L)∞に対して
fs:G∋x7→[x−1·s]∈ Lo
はsmooth関数で
1) Γ(X,L)∞∋s7→fs∈IndGH(Lo)は単射G-加群準同型写像，
2) s∈Γ(X,L)∞ に対してsupp(fs modH) = supp(s).
[証明]h∈H に対して
fs(xh) = [(xh)−1·s] = [h−1·x−1·s] =h−1·fs(x),
だから，fs ∈ IndGH(Lo) となり，fg·s(x) = [(x−1g)·s] = [(g−1x)−1·s] = fs(g−1x) (g∈G)よりs7→fsはG-加群の準同型写像となる．s∈Γ(X,L)∞ とg∈Gに対して
fs(g) = [g−1·s]̸= 0 inLo
⇔g−1·s|V ̸= 0 foro∈ ∀V ⊂X:開集合 ここでg−1·s|V =θg,X♯ (s)|V =θ♯g,V(s|g·V)
Γ(X,L) θ
♯
−−−−→g,X Γ(X,L)
resXcdotV
y yresXV
Γ(g·V,L) −−−−→
θ♯g,V
Γ(V,L) だから
⇔s|g·V ̸= 0 foro∈ ∀V ⊂X :開集合
⇔[s]̸= 0 inLg˙ ⇔ g˙ ∈supp(s) となる．よってsupp(fs (mod H)) = supp(s)であり
fs= 0 ⇔ [s] = 0 inLx for∀x∈X ⇔ s= 0 となり，s7→fsは単射である．
特にs7→fsはsmoothG-加群の単射準同型写像Γc(X,L)→indGH(Lo)を 与える．よってindGH(Lo) に付随する X =G/H 上の l-sheafを F として l-sheafの準同型写像(ΛV)V⊂X :L → F が
ΛV(s) =(
fs∈S(Lo)/S(Lo, x))
x∈V (s∈ L(V))
により定まる．任意のg˙∈X =G/H に対して
Λg˙ :Lg˙ →S(Lo)/S(Lo,g)˙ ([s]7→fs) となるが
S(Lo)/S(Lo,g) ˜˙ → Lo→ L˜ g˙ (fs7→fs(g) = [g−1·s]7→[s]) だから，Λx:Lx→ F˜ x (x= ˙g∈X=G/H)となる．よって
(ΛV)V⊂X:L→ F˜
はl-sheafの同型写像となる．特に次の定理が成り立つ；
定理3.5.2 s∈Γ(L, X)∞ に対してfs:G→ Lo (x7→[x−1·s])は smooth 関数で，s7→fsは次のG-加群の同型を与える；
Γ(L, X)∞→˜ IndGHLo, Γc(L, X) ˜→indGHLo.
A 半単純加群と半単純環
p-進群の表現論で必要となるであろう半単純加群や半単純環の一般論をま とめておく．内容は[4]の該当する部分を整理したものである．
以下，Aは 可換とは限らない1̸= 0をもつ環とする．特に断らない限り，
A-加群とは左A-加群の意味である．
A.1 半単純加群
定義A.1.1 A-加群M ̸= 0 は，A-部分加群がM と {0} に限るとき，単純 A-加群と呼ばれる．Aの左イデアルa⊂Aは，A-加群として単純であると き，単純左イデアルと呼ばれる．
命題A.1.2 単純A-加群M, N と A-加群準同型写像f :M →N に対して，
f ̸= 0ならばf はM からN の上への同型写像である．特に，単純A-加群 M と単純左イデアルa⊂Aに対してa·M ̸= 0ならば，aと M はA-加群 として同型である．
[証明]f ̸= 0だからKerf M，よってKerf = 0．f ̸= 0だからImf ̸= 0，
よってImf =N となる．単純A-加群M と単純左イデアルa⊂Aに対し てa·M ̸= 0とする．a·x̸= 0なるx∈M が存在するから，a∈aに対して f(a) =axとおくと，f :a→M はA-加群準同型写像でf ̸= 0である．よっ て命題の前半からf は aからM の上への同型写像である．
定義A.1.3 A-加群M は，任意のA-部分加群N ⊂M に対してM =N⊕L なるA-部分加群L⊂M が存在するとき，半単純であるという．
半単純 A-加群M の A-部分加群N ⊂M は半単純であり，商加群M/N も半単純A-加群である．
補題A.1.4 半単純A-加群M ̸= 0は単純A-部分加群N⊂M を含む．
[証明] 0̸=x∈M をとってf(a) =ax(a∈A)とおくと，Kerf Aは左イ デアルとなる．Kerf ⊂a Aなる極大左イデアルa をとるとf(a) Imf は極大A-部分加群となる．M = L⊕f(a) なる A-部分加群L ⊂ M をと れば，Imf = (L∩Imf)⊕f(a) となり，L∩Imf ̸= 0 である．ここで N=L∩Imf ⊂M は単純A-部分加群である．実際，A-部分加群P N に 対して，N =P⊕P′ なるA-部分加群0̸=P′⊂N がとれる．よって
Imf =N⊕f(a) =P⊕(P′⊕f(a)) となり，f(a)の極大性から P = 0を得る．
命題A.1.5 A-加群M ̸= 0に対して次は同値；
1) M は半単純A-加群，
2) M の単純A-部分加群の族 {Nλ}λ∈Λ があってM =∑
λ∈Λ
Nλ， 3) M の単純A-部分加群の族 {Nλ}λ∈Λ があってM =⊕
λ∈Λ
Nλ.
[証明] 1)⇒2)M の単純A-部分加群の全体をΛとすると，補題A.1.4 より Λ̸=∅ である．L= ∑
N∈Λ
N ⊂M とおく．L M とるすると，M は半単純 だから，M =L⊕L′ なるA-部分加群0̸=L′⊂M がある．再び補題A.1.4 からL′ は単純A-加群 N を含む．するとN ∈Λだから N ⊂L∩L′，よっ てL∩L′̸= 0となり矛盾する．
2) ⇒3) 部分集合F ⊂Λ で ∑
λ∈F
Nλ =⊕
λ∈F
Nλ となるもの全体をF とす ると，F は包含関係に関して帰納的半順序集合となるから，Zornの補題か ら極大元Γ∈ F がある．ここで ⊕
λ∈Γ
Nλ M とするとNλ0 ̸⊂⊕
λ∈Γ
Nλ なる λ0∈Λ がある．このときNλ0∩⊕
λ∈Γ
Nλ= 0となるから
Nλ0+∑
λ∈Γ
Nλ=Nλ0
⊕
λ∈Γ
Nλ
となり，Γ の極大性に反する．
3)⇒1)A-部分加群N M に対して，部分集合F ⊂ΛでN∩⊕
λ∈F
Nλ= 0 なるもの全体をF とおくと，F は包含関係に関して帰納的半順序集合とな るから，Zornの補題より極大元 Γ ∈ F がある．このときΓ の極大性から M =N⊕⊕
λ∈Γ
Nλを得る．
A-加群M に対して，D= EndA(M)は1をもつ環となり，M は自然に D-加群となる．a∈Aに対してfa(x) =ax (x∈M)とおくとfa ∈EndD(M) で
A∋a7→fa∈EndD(M)
は環準同型写像となる．このとき次のJacobson-Chevalleyの稠密性定理が基 本的である；
定理A.1.6 半単純A-加群M に対してD= EndA(M)とおく．
1) 任意のf ∈EndD(M)と有限部分集合S ⊂M に対して， 全てのx∈S に対してf(x) =axとなるa∈Aが存在する．
2) M がD-加群として有限生成ならば
A∋a7→fa ∈EndD(M) は全射である．
[証明] 1)まずS ={x} は一個の元からなるとする．M =N ⊕Axなる A-部分加群N ⊂M がある．この直和分解に関するM からAxへの射影をπ とすると，π∈EndA(M) =D だから
f(x) =f(πx) =π·f(x)∈Ax となる．次に，一般にS ={x1,· · ·, xn} とする．N =
⊕n
M は半単純 A-加群で
x=
x1
... xn
∈N
とおく．∆ = EndA(N)は自然にMn(D)と同一視されるからg∈End∆(M) が
g
y1
... yn
=
f(y1)
... f(yn)
により定義される．上に示したとおりg(x) = ax なるa∈A がある．即ち f(xi) =axi (i= 1,· · ·, n)となる．
2)D-加群としてのM の生成元を{x1,· · ·, xn} とすると，定理の前半から f(xi) =axi (i= 1,· · ·, n)なるa∈Aがある．よってf =fa である．