A-加群M に対して，A-部分加群V ⊂W ⊂M をとってA-加群W/V を M のA-部分商と呼ぶ．簡単な性質として
命題A.6.1 単純A-加群E とA-加群の完全列 0→L−→α M −→β N→0
に対して，M がEと同型なA-部分商をもつならば，L又はN がE と同型 なA-部分商をもつ．
[証明] A-部分加群 W ⊂M と全射 A-加群準同型写像 f : W → E がある．
f(Im(α)∩W)̸= 0ならばf◦α:α−1(W)→E は全射となり，L がE と同 型なA-部分商をもつ．f(Im(α)∩W) = 0 ならば
Ker(β)∩W = Im(α)∩W ⊂Ker(f) となるからA-加群の全射準同型写像
(∗) :W/Ker(β)∩W ∋x˙ 7→x˙ ∈W/Ker(f) が定義され，これはA-加群の同型
W/Ker(β)∩W→˜ β(W)⊂N, W/Ker(f) ˜→E
よりA-加群の全射準同型写像(∗) :β(W)→E を与えるから，N がE と同 型なA-部分商をもつ．
A-加群M のA-部分加群の列
(∗) :M =M0M1· · ·Mr−1Mr= 0
でMi/Mi+1 が全て単純A-加群のとき，(∗)を M の組成列と呼び，
{M0/M1,· · · , Mr−1/Mr}
を組成列(∗)の組成因子，rを組成列(∗)の長さと呼ぶ．単純A-加群Mi/Mi+1
の同型類を[Mi/Mi+1] と書いて
JH0(M) ={[M0/M1],[M1/M2],· · ·,[Mr−1/Mr]}
とおき，JH0(M)の相異なるもの全体をJH(M)と書く．命題A.6.1から次 の系を得る；
系 A.6.2 組成列をもつA-加群M が単純A-加群E と同型なA-部分商をも つならば，Eは M の組成因子の一員と同型である．
命題A.6.3 A-加群M に対して，M が組成列をもつ必要十分条件はM が ArtinかつNoether A-加群なることである．
[証明]M が組成列
M =M0M1· · ·Mr−1Mr= 0
をもつとする．Mi/Mi+1 は単純A-加群だからArtinかつNoetherA-加群 である．よってMi+1 が ArtinかつNoetherA-加群ならば Mi も Artinか つ Noether A-加群となる．Mr = 0は Artin かつ Noether A-加群だから，
M =M0 はArtinかつNoetherA-加群である．逆にM がNoetherA-加群 とすると，M のA-部分加群の列
M =M0M1· · ·
でMi/Mi+1 は全て単純A-加群になるものがとれる．更に，M がArtin A-加群とすると，Mr= 0なる番号rがある．
A-加群M が組成列をもつとき，組成列の長さは一定であり，組成因子は順 序と同型を除くと一意的である（Jordan-H¨older の定理[4,定理7.42]）．そ こでA-加群M に対して，
lA(M) =
M の組成列の長さ :M が組成列をもつとき
∞ :M が組成列をもたないとき とおき，lA(M)をA-加群M の長さと呼ぶ．
基本的なことは次の二つの定理（Artin-Weddeburnの定理）である；
定理A.6.4 半単純環A と単純A-加群M に対してD= EndA(M)は斜体 で（命題A.1.2），M は自然にD-加群となる．このときdimDM <∞であ る．更にAが単純環ならば
1) dimDM =lA(A)<∞,
2) a ∈ A に対して fa(x) = ax (x∈ M) とおくと，a 7→ fa は A から EndD(M)の上への環同型写像である．
[証明]まずdimDM <∞である．実際，部分集合 S⊂M に対してa(S) = {a∈A|aS= 0} はAに左イデアルとなる．命題A.5.4よりAはArtin環 だから
F={a(S)|S⊂M :有限部分集合} ̸=∅
は極小元a(S0)∈ F をもつ．S0 ⊂M で生成されたD-部分加群を N ⊂M とする．N M として x0 ∈ M は N に含まれないとすると，f|N = 0, f(x0)̸= 0 なる f ∈ EndD(M) がある．Jacobson-Chevalley の稠密性定理
（定理A.1.6）より任意のx∈S1={x0} ∪S0に対してf(x) =axなるa∈A がある．このときa∈a(S0)かつa̸∈a(S1)だからa(S1)∈ F,a(S1) a(S0) となりa(S0) の極小性に反する．よって M =N となりdimDM < ∞ で ある．
更に A が単純環ならば，定理 A.1.6 から a 7→ fa は A からEndD(M) への環の同型写像である．そこで M の D-基底を{x1,· · ·, xn} とすると，
a7→(ax1,· · · , axn)は Aから直和Mn の上へのA-加群同型を与える．よっ てlA(A) =n= dimDM となる．
定理A.6.5 D を斜体として，有限次元D-加群M ̸= 0をとる．このとき 1) A= EndD(M)は単純環かつ半単純環でlA(A) = dimDM <∞, 2) M は単純A-加群，
3) a ∈D に対して fa(x) = ax (x∈ M) とおくと，a7→ fa は D から EndA(M)の上への環同型写像である．
[証明] 0̸=x∈M とすると
Ax={α(x)|α∈EndD(M)}=M
となるから，M は単純A-加群である．ここでM のD-基底{x1,· · · , xn}に 対して，a7→(ax1,· · · , axn)は A から直和 Mn の上へのA-加群同型を与 える．よってAは半単純でlA(A) =n= dimDM となる．更に，
Z(A) =Z(EndD(M)) =Z(Mn(D)) =Z(D)
は体だから，命題A.5.5 よりAは単純環である．3)は定理A.1.6よりよい．
命題A.6.6 有限生成半単純A-加群M に対してB= EndA(M)は半単純環 である．更にAが半単純環ならばM は有限生成B-加群となり
A∋a7→[x7→ax]∈EndB(M) は全射である（定理A.1.6）．
[証明]命題 A.4.2 と命題A.6.3 からlA(M)<∞だから，M は有限個の単 純 A-加群の直和である．まず M =
⊕r
N なる単純A-加群 N があるとす る．このときD= EndA(N)は斜体で
B= EndA(M) ˜→Mr(D)
は単純環かつ半単純環である（定理 A.6.5）．更に A が半単純環ならば dimDN <∞（定理A.6.4）だから，M =
⊕r
N は有限生成B-加群となる．
次にM =M1⊕ · · · ⊕Mn なるA-部分加群Mi ⊂M は同型な単純 A-加 群の直和であるとする．このときBi = EndA(Mi)は単純環かつ半単純環で あって，b∈Bi を
[M −−−−−−→projection Mi−→b Mi−−−−−→inclusion M]∈EndA(M) =B
と同一視して部分環Bi,→Bとみると，i̸=jならばBi◦Bj= 0である．また b∈B に対して，bMi ⊂Miだからbi=b|Mi∈Biとおけばb=b1+· · ·+bn
となるから，B=B1+· · ·+Bnである．よってB =B1⊕ · · · ⊕Bn となり，
B = EndA(M)は半単純環である．更に Aが半単純環ならばMi は有限生
成Bi-加群だからM =M1⊕ · · · ⊕Mn は有限生成B-加群となる．
A.7 加群の指標
以下，K は標数0の体として，Aは有限次元K-代数（1をもつ）とする．
有限生成A-加群M をとったとき，a∈A に対してfa(x) =ax(x∈M)と おくとfa ∈EndK(M)だから，fa のK 上の跡をχM(a) = trfa∈K と書 き，χM をM の指標と呼ぶ．
補題A.7.1 有限生成半単純A-加群M に対してD= EndA(M)とおくと EndD(M) ={fa∈EndK(M)|a∈A}
であって，EndD(M)は半単純K-代数である．
[証明] dimKM <∞よりM は有限生成D-加群だから，Jacobson-Chevalley の稠密性定理（定理A.1.6）を用いれば，補題の前半は明らかである．後半 を示すために，まずdimKEndD(M)<∞だから EndD(M)はArtin環で ある．よって定理 A.5.3 より J(EndD(M))r = 0 なる 0 < r ∈ Z がある．
M =M1⊕· · ·⊕Mrなる単純A-部分加群Mi⊂Mをとって，Di= EndA(Mi) とおく．補題の前半からMi は M のEndD(M)-部分加群で，f 7→f|Mi は EndD(M)からEndDi(Mi)の上への環準同型写像となる．よって命題A.2.5 から f ∈ J(EndD(M)) ならばf|Mi ∈ EndDi(Mi))となる．ところが定理
A.6.5よりEndDi(Mi)は半単純環だから，命題A.5.4よりJ(EndDi(Mi)) = 0.
よってJ(EndD(M)) = 0 となる．よって命題A.5.4 よりEndD(M)は半単 純環である．
定理A.7.2 互いに同型でない単純A-加群M1,· · · , Mrに対して，χM1,· · ·, χMr
はK 上一次独立である．
[証明]M =M1⊕ · · · ⊕Mrは有限生成半単純 A-加群だから，補題A.7.1 よ り，D= EndA(M)とおくと，EndD(M)は半単純K-代数で，Mi⊂M は
単純EndD(M)-加群であって互いに同型でない．よって A は半単純である
と仮定して証明すればよい．するとA=A1⊕ · · · ⊕ArをAの単純分解とし て1 =e1+· · ·+er (ei∈Ai)とおき，ai⊂Ai なる単純左イデアルai ⊂A をとってMi=ai であるとしてよい．Ai·Aj= 0 (i̸=j)だから
χai(ej) =
dimKai :i=j 0 :i̸=j
である．よってχ=λ1χa1+· · ·+λrχar = 0 (λi ∈K)とすると 0 =χ(ei) =λidimKai
からλi= 0を得る．
定理A.7.3 有限生成半単純A-加群M, N に対して，M と N が A-加群と して同型である必要十分条件はχM =χN なることである．
[証明]十分性のみが問題である．互いに同型でない単純 A-加群M1,· · · , Mr
を用いて
M ≃
⊕r i=1
Mimi
, N ≃
⊕r i=1
Mini
(0≤mi, ni∈Z)なるA-加群同型がある．このとき
χM =m1χM1+· · ·+mrχMr, χN =n1χM1+· · ·+nrχMr
だから，χM =χN とすると定理A.7.2 より mi =ni，よってM と N は A-加群として同型である．
応用上の便利のために上の定理A.7.3 をもう少し一般化しておく．A を 可換とも 1 を持つとも有限次元とも限らない K-代数とする（K は標数 0
の体）．A-加群の単純性や半単純性は，定義A.1.1 や定義A.1.3と同様に定
義される．A-加群 M と a ∈ A に対してfa ∈ EndK(M) を fa(x) = ax (x ∈M) により定義する．更に dimKM < ∞ のとき，A-加群 M の指標 χM をχM(a) = tr(fa)∈K (a∈ A)により定義する．このとき
系 A.7.4 K上有限次元なる半単純A-加群M, N に対して，M とN がA-加 群として同型なるための必要十分条件はχM =χN かつdimKM = dimKN なることである．
[証明]必要であることは明らかだから，十分条件であることを示す．L=M⊕N として，{fa ∈EndK(L)|a∈ A}と1∈EndK(L)で生成されたEndK(L) のK-部分代数を Aとすると，Aは有限次元 K-代数で， Lは半単純A-加 群となる．そこでA-加群M の指標をχM と書くと
χM(fa) =χM(a) (a∈ A), χM(1) = dimKM
である．よってχM =χN かつdimKM = dimKN ならばχM =χN とな
り，定理A.7.3よりM とN はA-加群として同型，従ってA-加群として同
型となる．
A.8 K- 代数の Jacobson 根基
以下，Aを K-代数（Kは体でA は1をもつ）とする．a∈Aに対して (∗) :K[X]∋f(X)7→f(a)∈A:K-algebra hom.
はK-代数準同型写像で
Im(∗) =K[a] ={λ0+λ1a+λ2a2+· · ·+λnan |λi∈K}
は A の K-部分代数となり，Ker(∗) = (φa(X)) (φa(X) ∈ K[X]）とおく．
φa(X)̸= 0のとき a∈A はK 上代数的といい，monic なφa(X)を K 上 のaの最小多項式と呼ぶ．このとき{1, a, a2,· · · , an−1}(n= degφa(X))が K[a] のK 上の基底となる．特にdimKK[a] = degφa(X)である．又
1) K[a]×={f(a)|f(X)∈K[X] s.t. (f(X), φa(X)) = 1}=K[a]∩A×, 2) λ∈K に対してa−λ∈A× ⇔ φa(λ)̸= 0.
[証明] 1)f(X)∈K[X] に対してf(a)∈A× として，f(a)c=cf(a) = 1な るc∈Aをとる．
(f(X), φa(X)) =d(X), φa(X) =d(X)h(X) (h(X)∈K[X]) とするとf(a)h(a) = 0 より0 =cf(a)h(a) =h(a)，よってφa(X)|h(X)だ からdegd(X) = 0となる．
2)a−λ̸∈A×⇔(X−λ, φa(X))̸= 1⇔X−λ|φa(X)．
命題A.8.1 a ∈A と相異なる{λ1,· · · , λr} ⊂ K とって，a−λi ∈A× か つ{(a−λi)−1}i=1,···,r か K 上一次従属ならば，a ∈ A は K 上代数的で degφa(X)< r．
[証明]まず
∑r i=1
ci·(a−λi)−1= 0, (c1,· · ·, cr)̸= (0,· · · ,0) なるci∈K をとって
f(X) =
∑r i=1
cc(X−λi)−1·
∏r i=1
(X−λi) =
∑r i=1
ci
∏
j̸=i
(X−λj)∈K[X]
とおく．c1̸= 0とするとf(λ1) =c1·∏
j̸=1
(λ1−λj)̸= 0より，f(X)̸= 0．更に
f(a)·
∏r i=1
(a−λi)−1=
∑r i=1
ci(a−λi)−1= 0
よりf(a) = 0．よってa∈AはK 上代数的でdegφa(X)≤degf(X)< r.
命題A.8.2 a∈J(A)がK 上代数的ならばar= 0 for some 0< r∈Z. [証明]まずK[a]⊃a·K[a]⊃a2·K[a]⊃ · · · でdimKK[a] = degφa(X)<∞ だからam·K[a] =am+1·K[a]なる0< m∈Zがある．そこでam=am+1b (b∈K[a])とおくと，a∈J(A)より1−ba∈A× かつam(1−ab) = 0，従っ てam= 0 となる．
定理A.8.3 ♯K×>dimKAならば
J(A)⊂ {a∈A|ar= 0 for some 0< r∈Z}.
[証明] a∈ J(A) とすると，任意の λ∈ K× に対して1−λa∈ A× だから a−λ∈A× となる．よってaがK 上代数的でないとすると命題A.8.1より {(a−λ)−1}λ∈K× はK上一次独立となり，dimKA≥♯K× となって矛盾す る．よってaは K 上代数的で，命題A.8.2 より上の通り．