解答例＋引用題 文系数学 過去問

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１ 解答解説のページへ 定数DEFSTを整数とし次の[と\のつの多項式

[ D F \ E

3 _{4 [ [\\}

_{S T [\ ST\ [ S T \}

[

5

を考える。以下の問いに答えよ。 多項式345を因数分解せよ。

2006 東北大学（文系）前期日程 問題

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２ 解答解説のページへ

袋の中に から までの番号が書かれた球が 個入っている。ここから同時に

個の球を取り出す。取り出された個の球に書かれている数を大きいものから順に;

<=とする。;<=それぞれの期待値を求めよ。ただし個の球にはそれぞれ互い

に異なる 個の番号が書かれていてどの球も取り出される確率は皆等しいものとす

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３ 解答解説のページへ 図 のような$% %& &' '$ $& である四

角形$%&'を考える。この四角形$%&'を$&で折り 図のように点 % & 'が平面3にのるように置く。 図 に 現 れ る 辺 &% と 辺 &' と が な す 角 をD

（D ‘%&'）とし q＜D＜qとする。以下の問い に答えよ。

図において$から平面3に下ろした垂線が3と 交わる点を + とする。$+を&$ &% &'とDと で表せ。

$+の長さをDを用いて表せ。

+が図における△%&' の重心となるときの角度

Dを求めよ。

$

%

&

'

図

$

%

& '

+

3 D

2006 東北大学（文系）前期日程 問題

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４ 解答解説のページへ 連立不等式≦[≦\≦が表す[\平面内の領域を'とする。またDを定数とし 不等式_{\≧[D[Dが表す [\ 平面内の領域を ( とする。以下の問いに答えよ。}

'と(とが共有点をもつような実数Dの範囲を求めよ。

の範囲のDに対して'と(との共通部分の面積6Dを求めよ。 で求めた6Dの最大値を求めよ。

‹電送数学舎 2006

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１ 問題のページへ 多項式345を因数分解すると

^

`^

`

_{[ D F \ E [ D F \ E [ D F \ E}

3

[F\DEF[F\DEF

[ [ \ \

4 [\[\ [\[\

_{S T [\ ST\ [ S T \} [

5

_{[S\T\[ST\ST\ [S\T\[S\T\}

[S\[T\

まず3と4が次式を共通因数としてもちしかもFが整数より L F DEF のとき F DE

LL F DEF のとき F DE LLLより F r DE ………①

また4と5が次式を共通因数としてもちしかもTが整数より

T T ………②

①②より 3 [\[\DE 5 [S\[\ さらに5と3が次式を共通因数としてもちしかもSが整数より

S DE ………③

①③より D E

［解 説］

因数分解を題材とした基本問題です。ただ注意を怠ると でLとLLの場合があ

2006 東北大学（文系）前期日程 解答解説

‹電送数学舎 2006

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２ 問題のページへ まず異なる個の球から個を取り出す& 通りが同様に確からしい。 さて ; N≦N≦となるのは N以下の番号が書かれている球から 個

取り出す場合よりその確率は

&& N N N

よってその期待値(;は

; u u u u u

(

次に< N ≦N≦となるのはN以下の番号が書かれている球から 個

N 以上の番号が書かれている球から 個

取り出す場合よりその確率は

& & &

N N N

N u

よってその期待値(<は

< u u u u u

(

さらに = N ≦N≦となるのは N以上の番号が書かれている球から

個取り出す場合よりその確率は

&&

N N N

よってその期待値(=は

= u u u u u

(

［解 説］

期待値に関する基本的な問題です。各変数のとりうる場合が少ないので直接的に

計算をしました。

;

確率

<

確率

=

‹電送数学舎 2006

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３ 問題のページへ [\を実数として&+ [&%\&'とおくと $+ [&%\&'&$となる。

ここで条件より &$ &% &'

FRV &% &$ &'

&$˜ ˜ ˜ ˜ q

D D FRV FRV &'

&%˜ ˜ ˜

まず $+˜&% より[&%\&'&$˜&%

&% &$ &% &'

&% \ ˜ ˜

[ FRV \ D [ ………①

また $+˜&' より[&%\&'&$˜&'

&' &$ &'

&'

&%_{˜ \ ˜}

[ [FRVD \ ………②

①②より ¸

¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § FRV FRV \ [

D D となり

¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § FRV FRV FRV FRV _{D D} D D \ [

よって $+ _FRVD&%_FRVD&'&$

より[ \ _FRVDなので

_{&% &' &$}

$+ [ [ _{[[ [}FRV_{D [˜[˜} FRV_{D[ [}

FRV FRV

D ˜ D

_FRVFRV_DD

よって $+ _FRVFRV_DD となる。

より&+ _FRVD&%_FRVD&'

+が△%&'の重心となるとき &+ &%&'なので

FRV

D FRVD よって q＜D＜qからD q

［解 説］

冒頭の&+ [&%\&'がポイントとなります。なお連立方程式は係数に文字

が入っていたので行列を用いて解いています。

$

%

& '

2006 東北大学（文系）前期日程 解答解説

‹電送数学舎 2006

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４ 問題のページへ '≦[≦ \≧ _{( \≧[ D[Dに対して領域(の境界線は}

_{D[ D [ D [ D}

[

\ ………＊

まずD≦のときは領域'と(は明らかに共有点をも たない。

そこでD＞ のとき' と ( とが共有点をもつ条件は

＊と[ 軸の交点が[ D DよりD≦ かつD≧ であ る。よって ≦D≦となる。

L D≦

³

D

6

>

@

_{DDD DD}

D D D

LL ≦D ≦D≦のとき

³

D _D [ D[ D G[

6

>

@

D [ D [ D [ _˜

_DDDDD

_{D D D}

L ≦D≦のとき

c D D D

6 DD 右表より 6Dは単調に増加する。

LL ≦D≦のとき c D D D

6

DD

D

6 の増減は右表のようになる。

LLLより 6Dの最大値は

6

［解 説］

頻出の放物線と面積の問題です。領域で味付けがしてありますが。

D …

D

6c _＋

D

6

D … …

D

6c _{＋ −}