テンソルくりこみ群を用いた相関関数の評価

テンソルくりこみ群を用いた相関関数の評価

著者 中本 智洋

著者別表示 Nakamoto Norihiro

雑誌名 博士論文本文Full

学位授与番号 13301甲第4474号

学位名 博士（理学）

学位授与年月日 2016‑09‑26

URL http://hdl.handle.net/2297/46573

博  士  論  文  

テンソルくりこみ群を用いた相関関数の評価

金沢大学大学院自然科学研究科 数物科学専攻

学籍番号

1223102003

氏名 中本 智洋

主任指導教員名 末松 大二郎 提出年月

2016

7

1

目 次

第

1

4

第

2

6

2.1

. . . . 6

2.2

. . . . 8

2.2.1

. . . . 10

第

3

(TRG) 12 3.1

. . . . 12

3.1.1

. . . . . 13

3.1.2

. . . . 14

3.2

. . . . 15

3.2.1

. . . . 16

3.3

. . . . 17

3.4

. . . . 17

3.5

(ブルートフォース) . . . . 18

第

4

19 4.1

. . . . 19

4.2

. . . . 20

4.3

. . . . 21

4.4

. . . . 22

第

5

25 5.1

ξ

η,

m

. . . 25

5.2

ξ

T c

ν

. . . . 27

5.3

m

T _c

β

. . . . 27

5.4

. . . . 28

第

6

33

A

38 A.1

2

Ising

. . . . 38

A.2 2

XY

. . . . 38

A.2.1

XY

. . . . . 39

A.2.2

XY

. . . . . 39

A.2.3

XY

(エネルギー計算) . . . . 40

付 録

B

(TNR)

43 B.1

(TNR) . . . . 43

B.1.1

(TNR) . . . . 43

B.1.2

B, C

. . . . 44

B.1.3

B, C

. . . . 44

B.1.4

. . . . 44

B.1.5

B, C

. . . . 45

B.2 TNR

. . . . 45

B.3

(P

46 B.3.1 Ising

. . . . 47

B.3.2 XY

. . . . 47

付 録

C

50 C.1 Landau

. . . . 50

C.2

. . . . 52

付 録

D 2

Ising

56 D.1

. . . . 56

D.1.1

. . . . 57

D.2

(Onsager)

. . . . 59

D.2.1 2

Ising

. . . . 59

D.2.2 1

Ising

. . . . 60

D.3 2

. . . . 61

付 録

E TRG

TNR

63 E.1 2

Ising

. . . . 63

E.1.1

. . . . 63

E.1.2

. . . . 64

E.1.3

. . . . 64

E.1.4 TRG

TNR

. . . . 64

E.2

. . . . 71

第

1

テンソルくりこみ群

(TRG)

2007

Levin

Nave

[1]

Ising

2

系の

ϕ ⁴

[2]、Schwinger

[3, 4]、有限フェルミオン密度系 [5]

TRG

[6]

2

上の

Ising

ν

た。しかし、この手法は

2

[7]

TRG

TRG

(higher order singular value decomposition)

高次テンソルくりこみ群

(HOTRG)

3

Ising

[8]。さ

2

XY

[9]

O(3)

[10]

CP(1)

[11]

TRG

(SVD)

bond dimension (D cut )

TRG

TRG

HOTRG

D _cut

Tensor network renormalization (TNR)[12]

Loop optimization for tensor network renormalization (Loop-TNR)[13]

法は

entanglement

よりも情報の損失が小さいくりこみを実行することができる。それはくりこみを実 行しても

SVD

D _cut

次に、どのように正確に力学的な情報を得ることができるかという重要な問題が ある。比熱や帯磁率から力学的な情報である臨界指数や臨界温度を抽出する従来の 方法では、比熱や帯磁率を算出するためには分配関数を温度や外部磁場で二階数値 微分が要求される。しかし、数値微分を実行するごとに有効桁を損失し、正確な比熱 や帯磁率を得るためには大きい

D _cut

D _cut

きる

TRG

TRG

この方法は

2008

Gu

[14]

2

Ising

TRG

本論文の構成は次に示す。2章ではくりこみ群とスケーリング則を説明する。3章

では

Ising

を求めるための基本的なテンソルくりこみ群の手順を説明する。5章では相関関数 を求めるための不純物テンソルを含むテンソルくりこみ群

(IMTRG)

5

IMTRG

XY

TNR

第

2

この章ではくりこみ群とスケーリング則を説明する

[19]。くりこみ群とは系を粗視

2

P

µ

P ∝ t ^µ (2.1)

ここでの

t = | T − T _c | /T _c

1

2.1

くりこみ群の例として、図

2.1

s

H

Z

H = − β ∑

⟨ a,b ⟩

s _a s _b − h ∑

i

s _i (2.2)

Z(H) = ∑

{ s }

e ^{− H} (2.3)

ここでのスピン

s

そのため、図

2.1

Z _N (H) = ∑

{ s 1 }

∑

{ s 2 }

e ^{− H} = ∑

{ s 1 }

e ^{− H ′} = Z _N ′ (H ^′ ) (2.4)

図

2.1:

ここでの

s ₁ , s ₂

N ^′ , H ^′

Ising

H ^′

H ^′ = g ⁽²⁾ ∑

⟨ a,b ⟩

s _a s _b + g ⁽³⁾ ∑

K ⁽²⁾

s _i s _j + g ⁽⁴⁾ ∑

K ⁽⁴⁾

s _x s _y s _z s _w (2.5)

ここでの

K ⁽²⁾

⁽⁴⁾

4

このハミルトニアンは次のように導出できる。まず、赤丸のスピン

s _a , s _b , s _c , s _d

s _x

s ² _a = 1

J ⁽²⁾ , J ⁽⁴⁾

∑

s x = ± 1

e ^{βs x (s a +s b +s c +s d )} = Ae ^{J (2) (s a s b +s b s c +s c s d +s d s a +s a s c +s b s d )+J (4) s a s b s c s d} (2.6) J ⁽²⁾ = 1

8 ln cosh(4β) (2.7)

J ⁽⁴⁾ = 1

8 ln cosh(4β) − 1

2 ln cosh(2β) (2.8)

A = 2 (cosh(4β)) ^1/8 (cosh(2β)) ^1/2 (2.9)

これらを用いて、相互作用

g ⁽²⁾ , g ⁽³⁾ , g ⁽⁴⁾

g ⁽²⁾ = 2 1

8 ln cosh(4β) (2.10)

g ⁽³⁾ = 1

8 ln cosh(4β) (2.11)

g ⁽⁴⁾ = 1

8 ln cosh(4β) − 1

2 ln cosh(2β) (2.12)

変換後の格子間隔

a ⁽¹⁾

a ⁽⁰⁾ = 1

a ⁽¹⁾ = √

2

規格化し、格子間隔

a ^{′ (1)} = a ⁽¹⁾ /b = 1, b = √

2

a ⁽ⁿ⁾ = b ⁿ

長いスケールでのスピン変数のゆらぎの効果を顕著になる。これにより、臨界現象 でのゆらぎの役割を定量的に明らかにすることができる。なお、臨界点直上では、

非常に長いスケールでのスピン変数のゆらぎの効果が大きいため、何度くりこみを 実行しても系には影響を与えない。このくりこみを実行した末に行き着く点を固定 点という。

2.2

くりこみ変換と臨界指数の関係づけるスケーリング則についてを説明する。

まず、一回のくりこみ変換での各量のスケールの変化を考える。分配関数のくり こみ変換では次のように分配関数が表される。

Z _N ′ (H ^′ ) = Z _N (H) (2.13)

ハミルトニアンは複雑な非線形変換

R

H ^′ = R(H) (2.14)

ここで固定点でのハミルトニアン

H _f

H _c

H _f = R(H _f ) (2.15)

H f = lim

n→∞ R ⁿ (H c ) (2.16)

次に、長さ

r,

q,

N

r ^′ = b ^{− 1} r , q ^′ = bq , N ^′ = b ^{− d} N (2.17)

ln(Z _N ′ (H ^′ )) = ln(Z _N (H)) (2.18) f(H ^′ ) = ln(Z N ^′ (H ^′ ))/N ^′ (2.19)

f (H) = ln(Z N (H))/N (2.20)

f(H ^′ ) = b ^d f (H) (2.21)

なお、式

(2.21)

b

ハミルトニアン

H

(2.5)

H ^′

H ^′

H = u · O , H ^′ = u ^′ · O ^′ (2.22)

u, u ^′

^′

s _a s _b · · ·

O

^′

u ^′ = R(u) (2.23)

そして、臨界点近傍での変換を特に見るために、次のように固定点

u ^∗

u, u ^′

u = u ^∗ + δu , u ^′ = u ^∗ + δu ^′ , u ^∗ = R(u ^∗ ) (2.24)

(2.23)

u ^∗ + δu ^′ = R(u ^∗ ) + δu (2.25)

= u ^∗ + T (u ^∗ )δu + O(δu ² ) (2.26)

δu ^′ ≃ T (u ^∗ )δu (2.27)

ここでの

T

T

λ

^′

T

ϕ _i

u = u ^∗ + ∑

i

g _i ϕ _i , u ^′ = u ^∗ + ∑

i

g _i ^′ ϕ _i (2.28)

ここでの

g _i ^′ = b ^{y i} g _i , λ _i = b ^{y i}

i

u

T

y _i

g _i

i < 0

その

y _i

g _i

i > 0

i = 0

これらのパラメーターが臨界指数との関係を説明する。まず、式

(2.21)

f(t, h) = b ^{− d} f (b ^{y t} t, b ^{y h} h) (2.29)

ここで、臨界点からのずれ

t

h

g _i

n

f (t, h) = b ^{− nd} f(b ^{ny t} t, b ^{ny h} h) (2.30)

^{ny t} t = 1

n

f (t, h) = t ^{d/y t} f(1, ht ^{− y h /y t} ) = t ^{d/y t} B(ht ^{− y h /y t} ) (2.31)

B

ht ^{− y h /y t}

この自由エネルギーから比熱

C、磁化 m、帯磁率 χ

y _t , y _h

C

α = d/y t − 2

C(t, 0) ∝ ∂ ²

∂t ² f (t, 0) ∝ t ^{d/y t − 2} = t ^α (2.32)

m

β = (d − y _h )/y _t

m(t, 0) ∝ ∂

∂h f(t, h) | h=0 ∝ t ^{(d − y h )/y t} = t ^β (2.33)

χ

γ = (d − 2y _h )/y _t

χ(t, 0) ∝ ∂ ²

∂h ² f (t, h) | h=0 ∝ t ^{(d − 2y h )/y t} = t ^γ (2.34)

t = 0

δ

^{ny h} h = 1

^{ny t} t = 1

δ = d/y _h − 1

m(0, h) ∝ ∂

∂h f(0, h) = b ^{− n(d − y h )} B ^′ (b ^{ny h} h) ∝ h ^{d/y h − 1} = h ^δ (2.35)

4

α + 2β + γ = 2 , γ = β(δ − 1) (2.36)

2.2.1

これまで自由エネルギーから臨界指数

α, β, γ, δ

y _t , y _h

G s

ν, η

y t , y h

まず、スピン変数

s

1

(2.29)

m(b ^{y t} t) = b ^{d−y h} m(t) (2.37)

磁化

m = ⟨ s ⟩

G s (r) = ⟨ s r s 0 ⟩ − ⟨ s ⟩ ²

G(b ^{− 1} r, b ^{y t} t) = b ^{2(d − y h )} G(r, t) (2.38)

n

^{ny t} = 1

G(r, t) = t ^{2(d − y h )/y t} B ⁽²⁾ (rt ^{1/y t} ) , T ̸ = T _c (2.39)

B ⁽²⁾

rt ^{1/y t}

G _s (r)

e ^−r/ξ

ξ = t ^ν

(2.39)

r/ξ = rt ^ν

rt ^{1/y t}

t ^ν , t ^{1/y t}

B ⁽²⁾ (x)

exp( − x)

ν = 1/y _t

次に臨界点直上

t = 0

G s (r)

r ^{− d+2 − η}

(2.38)

n

^{− n} r = 1

G(r, 0) = b ^{− 2n(d − y h )} G(b ^{− n} r, 0) (2.40) G(r, 0) = r ^{− 2(d − y h )} G(1, 0) (2.41)

G(r, 0) ∝ r ^{− 2(d − y h )} (2.42)

よって、η

= d − 2y _h + 2

以上の相関関数から得た臨界指数

ν, η

α = 2 − dν (2.43)

β = ν(d − 2 + η)/2 (2.44)

γ = ν(2 − η) (2.45)

δ = d + 2 − η

d − 2 + η (2.46)

この関係式を用いることで、複数の臨界指数を求めるだけで他の臨界指数を求め ることができ、臨界点近傍の振る舞いを調べることができる。

第

3

(TRG)

この章では、2次元

Ising

TRG

くりこみを開始する初期テンソルは分配関数に基づき書き換えられたテンソルであ り、異なる模型ごとにテンソルのサイズや中身が異なる。このようにテンソルで分 配関数を表現することをテンソルネットワーク表示という。このテンソルを基にテ ンソルの分解と自由度の縮約を行い、複数のテンソルを一つの新しいテンソルにま とめる。このテンソルの分解は特異値分解

(SVD)

テンソルネットワーク表示に基づきテンソルの自由度の足しあげを行うことで分配 関数を求めることができる。さらにくりこみの回数を増やすことによって、大きな 体積の分配関数を求めることができる。

1

Ising

(SVD)

3.1

2

Ising model

Z

H

Z = ∑

{ s }

e ^{− βH} (3.1)

H = − ∑

⟨ a,b ⟩

s _a s _b (3.2)

ここで、βは温度の逆数、s

a ∈ {− 1, +1 }

a

合わせ

(a, b)

方法でテンソルネットワーク表示に書き換えることを考える。

3.1.1

図

3.1:

3.1-1

3.1-2

Spin

45

3.1-3

s a , s b , s c , s d

T _s ^p _{a s}

b s c s d

3.1-4

1

A ^p _ijkl

1

このテンソルネットワーク表示は図

3.1

45

4

[15]

a − b − c − d

4

1

bond

Z = ∑

{s}

e ^{∑ ⟨a,b⟩ βs a s b} (3.3)

= ∑

{ s }

∏

⟨ a,b ⟩

e ^{βs a s b} (3.4)

= ∑

{ s }

∏

p(a,b,c,d)

e ^{β(s a s b +s b s c +s c s d +s d s a )} (3.5)

= ∑

{ s }

∏

p(i,j,k,l)

T _s ^p _{a s}

b s c s _d (3.6)

T _s ^p _{a s b s c s d} = e ^{β(s a s b +s b s c +s c s d +s d s a )} (3.7)

T _s ^p

a s b s c s d

s _a

i

A _ijkl ^p

_s ^p _{a s b s c s d}

a, b, c, d

^p _ijkl

i, j, k, l

0, 1

S _n = { +1, − 1 } → n = { 0, 1 } , T _s ^p

i s j s k s l ≡ A ^p _ijkl (3.8) Z = ∑

{ s }

∏

p(a,b,c,d)

T _s ^p _{a s}

b s c s d ≡ ∑

{ i,j,k,l }

∏

p

A ^p _ijkl (3.9)

テンソル

A

A =



 

 

A ₀₀₀₀ A ₀₀₁₀ A ₀₁₀₀ A ₀₁₁₀ A ₀₀₀₁ A ₀₁₀₁ A ₀₀₁₁ A ₀₁₁₁ A ₁₀₀₀ A ₁₁₀₀ A ₁₀₁₀ A ₁₁₁₀ A ₁₀₀₁ A ₁₀₁₁ A ₁₁₀₁ A ₁₁₁₁



 

  =



 

 

e ^4β 1 1 1

1 e ^{− 4β} 1 1 1 1 e ^{− 4β} 1

1 1 1 e ^4β



 

 

3.1.2

このテンソルネットワーク表示

[16]

Z = ∑

{ s }

∏

⟨ a,b ⟩

e ^{βs a s b} (3.10)

= ∑

{ s }

∏

⟨ a,b ⟩

(cosh(β) + sinh(β)s _a s _b ) (3.11)

s _a

exp

次にスピン和を実行すことができて、テンソルネットワーク表示が得られる。

Z = ∑

{s}

∏

⟨a,b⟩

e ^{βs a s b} (3.12)

= ∑

{ s }

∏

⟨ a,b ⟩

cosh(β) (1 + tanh(β)s _a s _b ) (3.13)

= ∑

{ s }

∏

⟨ a,b ⟩

cosh(β) ∑

n ab =0,1

(tanh(β)s _a s _b ) ^{n ab} (3.14)

= cosh(β) ^2V ∑

{ s }

∏

⟨ a,b ⟩

∑

n ab =0,1

(tanh(β)s _a s _b ) ^{n ab} (3.15)

= cosh(β) ^2V ∑

{ s }

×



 ∑

n pi =0,1

(tanh(β)s p s i ) ^{n pi}







 ∑

n pj =0,1

(tanh(β)s p s j ) ^{n pj}





×



 ∑

n pk =0,1

(tanh(β)s _p s _k ) ^{n pk}







 ∑

n pl =0,1

(tanh(β)s _p s _l ) ^{n pl}



 · · · (3.16)

ある点

p

S _p

S _a , S _b , S _c , S _d

Z = cosh(β) ^2V ∑

{ s }

∑

{ n }

∏

p

tanh(β) ^{1 2 (n pi +n pj +n pk +n pl )} s p n pi +n pj +n pk +n pl (3.17)

= cosh(β) ^2V ∑

{ n }

∏

p

∑

s p = ± 1

tanh(β) ^{1 2 (n pi +n pj +n pk +n pl )} s _p ^{n pi +n pj +n pk +n pl} (3.18)

= cosh(β) ^2V ∑

{ n }

∏

p

tanh(β) ^{1 2 (n pi +n pj +n pk +n pl )} (

1 + ( − 1) ^{n pi +n pj +n pk +n pl} ) (3.19)

= 2 ^V cosh(β) ^2V ∑

{ n }

∏

p

tanh(β) ^{1 2 (n pi +n pj +n pk +n pl )} δ _{mod (n pi +n pj +n pk +n pl ,2),0}

= 2 ^V cosh(β) ^2V ∑

{ n }

∏

p

A ^p _n

pi n pj n pk n pl (3.20)

A ^p _ijkl = tanh(β) ^{1 2 (i+j+k+l)} δ mod (i+j+k+l,2),0 (3.21)

A

A =



 

 

A 0000 A 0010 A 0100 A 0110

A ₀₀₀₁ A ₀₁₀₁ A ₀₀₁₁ A ₀₁₁₁ A ₁₀₀₀ A ₁₁₀₀ A ₁₀₁₀ A ₁₁₁₀ A 1001 A 1011 A 1101 A 1111



 

  =



 

 

1 0 0 tanh(β)

0 tanh(β) tanh(β) 0 0 tanh(β) tanh(β) 0

tanh(β) 0 0 tanh ² (β)



 

 

3.2

図

(3.2)-a

(3.3)-1to2

A _ijkl

2

A _ijkl

2

M _ab

M _ab

M _ab = U _ac Σ _c V _cb ^† (3.22)

ただし、U, V はユニタリ行列であり、Σは対角成分以外は

0

Σ _c

(3.2)-a

S

A ijkl = M (i ⊗ j)(k ⊗ l) = U (i ⊗ j)n Σ n V n(k ⊗ l) † = S _ijn ¹ S _kln ³ (3.23) S _ijn ¹ = U _{(i ⊗ j)n} √

Σ _n , S _kln ³ = √

Σ _n V _n(k ^† _{⊗ l)} (3.24) A ijkl = M ˜ _{(j ⊗ k)(l ⊗ i)} = ˜ U _{(j ⊗ k)n} Σ n V ˜ _n(l ^† _{⊗ i)} = S _jkn ² S _lin ⁴ (3.25)

S _jkn ³ = ˜ U _{(j ⊗ k)n} √

Σ _n , S _lin ⁴ = √

Σ _n V ˜ _n(l ^† _{⊗ i)} (3.26)

図

3.2: TRG

3.2.1

ある行列

M

まず、行列

M

M _mn = U _mk Σ _k V _kn ^† (3.27)

V _kn ^† V _np = V _kn V _np ^† = δ _kp (3.28) U _kn ^† U _np = U _kn U _np ^† = δ _kp (3.29)

U, V

Σ

Σ

M

U _{mk 1} , V _{mk 2}

Σ

M _mn V _np = Σ _p U _mp (3.30)

M _mn ^† U _np = Σ _p V _mp (3.31)

上式の一つを満たすことを次のように証明することができる。

M mn = U mk Σ k V _kn ^† (3.32)

M mn V np = U mk Σ k V _kn ^† V np (3.33)

M _mn V _np = U _mk Σ _k δ _kp (3.34)

M _mn V _np = Σ _p U _mp (3.35)

同様に二つ目を次のように証明することができる。

M _mn = U _mk Σ _k V _kn ^† (3.36)

U _pm ^† M _mn = U _pm ^† U _mk Σ _k V _kn ^† (3.37) U _pm ^† M mn = δ pk Σ k V _kn ^† (3.38)

U _pm ^† M _mn = Σ _p V _pn ^† (3.39)

M _nm ^T U _mp ^∗ = Σ _p V _np ^∗ (3.40)

M _mn ^† U _np = Σ _p V _mp (3.41)

Σ

U _m1 , U _m2 , U _m3 , · · · (3.42) V _m1 , V _m2 , V _m3 , · · · (3.43)

3.3

図

(3.2)-b、図 (3.3)-4to5

4

S

1

A

(3.2)-b

4

S

bond

a, b, c, d

bond

i, j, k, l

A ^new _ijkl

A ^new _ijkl = ∑

a,b,c,d

S _adk ¹ S _bal ² S _cbi ³ S _dcl ⁴ (3.44)

3.4

図

3.3: TRG

図

3.3-1

A

3.3-2

テンソルの分解

(図 3.2-a

bond

2

3.3-3

bond

すべて総和し、4点を

1

(図 3.2-b

1

TRG

TRG

3.3-4

3.3-2

bond

3.3-5

2-3

bond

1

A ^new

2

TRG

A ^new

3.5

(

)

テンソル

A

1

4

A

Z ^one = ∑

i,j

A _ijij , (3.45)

4

Z ^four = ∑

i,j,k,l,o,p,q,r

A _ijkl A _kopi A _qkjr A _rpoq (3.46)

1

Z ^one

4

Z ^four

^one

Z ^four

Z ^four

4

D _cut

Z ^one

O(D _cut ² )、Z ^four

O(D _cut ⁶ )

第

4

この章では、TRGの手法を用い、2次元

Ising

TRG

さらに、一点関数を求めるためにくりこみを何度も行われたテンソルネットワーク を用いて、二点関数を求めるために必要なテンソルネットワークを得ることができ る。最終的に、これらのテンソルネットワークを足しあげることで一点関数と二点 関数を求めることができる。くりこみの回数により、大きな体積でのそれぞれの関 数を求めれることができ、二点関数の引数である二点の距離を決めることができる。

1

Ising

4

6

4

4.1

2

Ising

今度は分配関数の代わりに格子点上の

x

s _x

Z ₁

1

⟨ s _x ⟩ = ^Z _Z ¹

⟨ s _x ⟩ =

∑

{s} s _x e ^{β ∑ ⟨ a,b ⟩ s a s b}

Z (4.1)

Z ₁ ≡ ∑

{ s }

s _x e ^{β ∑ ⟨a,b⟩ s a s b} → ∑

{ n }

A ˇ ^x _ijkl ∏

p ̸ =x

A ^p _ijkl (4.2)