NDC 549．92
マイクロコンピューターによる物理乱数の発生皿 一等確率性に対する改良一
字 本 俊 祐＊
（昭和60年9月13日受理）
Physical Random Number Generator by the Use of Microcomputer皿 一 lmprovent for Equiprobability 一
Shunsuke KismMoTo
（Received September 13， 1985）
For increasing uniformity of occurence probabilities oi random digits， irnprovements of a circuit which generated randon dig玉ts were made Qn a few points；use of up／down counter， addition of the counter initial circuit and 2−10 MHz clock generator．
．A皿athe坦atical analysis fqr uniformlty of the new genaration method suggested that the occurrence probability of each random digit was practically equall． fhe maximum deviation from its mean probability，
1／10，was estimated at less than 3×10−8．
As a result of tests for randomness， the generated random number sequence had good statistical qualities．
1．ま え が き
最も原理的な乱数発生方法の1つである無作為抽出法 を，電子回路を用いて近似的に実現し，物理乱数を発生さ せる新しい手順を第1報で提案した1）。無作為の根拠とな るttでたらめさ は，放射性元素から放出されるγ線を検出 することによって得た。雑音源として放射性崩壊現象を選 んだ理由は，現象のエネルギーが高く，他の源と比べS／N 比が格段に良いこと，周囲の環境条件に左右されず，まっ たく独立に生ずること，経年変化は半減期のみで決まり，
その十分長いものを選べば，最も安定していること，等に よる。しかも，自然崩壊のメカニズムは十分調べられてい て，そこで発生する放射線の頻度分布は，ポアソン分布に なる事が知られている。
回報で提案した乱数発生の手順を要約すると，i）10進 1桁の電子カウンタに高周波クロックを入力し，0から9 までの計数をくりかえさせる，ii）放射線の発生に対応した
＊専門共通科目（応用物理）
ランダムパルスを作る，iii）ランダムパルスが発生するた びに，カウンタの出力を1つ読み取り記憶していく，とい うごく単純なものであった。
カウンタの計数動作と放射線発生はまったく独立な事象 であり，また，放射線の検出頻度をカウンタのくりかえし 回数に比べて十分低くおさえておけば，近似的に無作為抽 出を実現したことになり，記憶された数列は10進の整数型 一様乱数列になる。
この発生手順を数学的にモデル化し，各乱tWi（i＝＝O，
1，…9）の出現確率を見積ったら，その率確の1／10からのず れとして，（9−2i）Nr／20が得られた2）。ここで， Nはラン ダムパルスの平均発生頻度，Tはクロックの周期である。
例えば，1粉＝10一4とすると，この値の最大値は4．5×10−5 程度となる。この値が小さいほど発生乱数列の等確率性が 保障されるが，今回は，発生の基本原理とそれを実現する 電子回路も前回とほぼ同様の構成のままで，カウンタの計 数動作を制御することによって，その値を桁ちがいに小さ
くする工夫を行った。
津山高専紀要第23号（1985）
2．発生方法の改良と等確率性の改善度
前回の発生方法は，原理的にはポアソン分布で発生する 現象の生起間隔を，最初0にリセットしたカウンタを用い て計時している事に相当する。その生起間隔の分布は，母 数がNの指数分布であり3）t，計時の遠聞のきざみはクロッ
クの周期であるから，各乱数が発生する確率は，Fig．1に
N
・d（i）端（・＋2 芽9N・＋ 2一努一38N…）．
カウンタを0にリセットしアップカウント状態で計数，
9にプリセットしダウンカウント状態で計数，を交互にく りかえすと，結局，10進1桁乱va iが発生する確率Pσ）
は，
P （i） ＝＝ 一；i一 Pu （i） ＋ 一il＝ Pd （i）
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蕊234 89 重9 2223
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Fig．1 Probability density curve of a radioactive decay phenomena．
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示す指数分布の確率密度曲tw Ne−Ntの下の面積を，時間 幅丁ごとに寄せ集めて得られる。例えば，乱数 o が出現 する確率は，この図の斜線をほどこした部分の面積の和 となる。したがって，乱tw iが出現する確率Pκ（りは，
ノ ぬ ロノ コでヘケ し リロ ウ ロ ムノ ロ
P・（り一如。∫（1。。＋i汁甑勘
（1 一 e−Nr）θ一酬↑
1 一 e−101VT
o
となる。各乱数の出現確率の1／10からのずれは，
・・一1・（i）一養H 2蕩一38N…［。
前回と同様，NT ＝： lo−4の条件で乱数発生を行ったとす ると，このずれの最大値は，
8m ＝ 2．9 × 10 8
NT《1のときはL
Pu（ ）≒k（・一2縁9酬・ 2一讐一38脚）
となる。
Fig．1から明らかなように，確率密度 曲線は時間tとともに，指数関数的に減 少していく。このため，カウントのくり かえし1回分でいえば，常にカウント0 の面積が最大で，カウント9の面積が最 小となる。そこで，逆に，カウンタを9 にプリセットして，ダウンカウント状態 で計数させる。これは，今までのカウソ トーを9−iと読みかえて考えればよい から，今度は，9の面積が最大で，0が 最小となる。この場合の乱数の発生確率．
Pd（i）は，
となり，前回の，4．5×10−5とくらべて，およそ3。5桁の改 善となる。
3。乱数発生回路とその動作
改良方法の乱数発生回路をFig．2に示す。基本論理の部 分は，第1報で報告した構成とほぼ同じであるが，クロッ
クを2MH：zから10MHgまで萢応できるようにした点，カウ ンタに同期型アップ・ダウンカウンタを用いた点，および，
カウンタの初期化回路を加えた点等が改良されている。
Fig．3に，この回路の信号タイミング図を示す。カウン タは，クロックφの立上がりエッジで計数動作をし，続く 立下がりエッジでは安定している。図の7−Pulseは放射
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Fig．2 A circuit of randorn digit generator．
一48一
マイクロコンピュータによる物理乱数の発生皿 岸本
Clock lip mm．
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Fig．3 Signal ti皿ing chart of the generator．
線を検出した時に生ずるランダムパルスである。G信号は，
放射線が検出されたかどうかを示すフラグで，γ一Pulseに よりt H レベルにセットされる。S信号は，カウンタの出 力をバッファにラッチするストローブ信号で，GがHレベ ルのとき，クロックの立下がりエッジに同期して出力され
る。ちょうどその時，カウンタは安定しており，状態遷 移途中の不定出力をバックファに取り込む心配はない。G 信号，S信号ともにクロックの半周期前後にリセットされ る。続いて，カウンタのアップ／ダウンの切り替え，プリ セット／リセット信号S／R，割り込み信号IR等が出力さ れる。
カウンタは，ランダムパルス発生のタイミングで，時 折，数クロック間計数を停止し，その間，初期状態，つま
り，0にリセット→アップカウント状態，又は，9にプリ セット→ダウンカウント状態に設定される以外は，独立し てクロックを計数し続ける。ランダムパルスによるS信号 でバッファにラッチされた乱数は，次のS信号までは更新 されない。したがって，マイコンでIR信号を監視してい て，又は，割り込み信号として用いて，それをバッファか ら読み取り記憶していけばよい。IR信号の出力幅は，後に 続くマイコン等の応答速度に合わせて調節する。
実際に乱数を発生させている時の回路の動作状態を，16 チャンネルのロジックアナライザで調べた。その表示画面 をFig．4に示す。 G信号でトリガーをかけ，二信号のサン プリングは50n秒で行った。ほぼFig．3に示した順で信号 を並べてある。下半分のQO〜Q3はカウンタ出力， OO〜OS はバッファ出力である。図のTはトリガー点で，ちょうど この時，ランダムパルスが発生し，G信号がHレベルに変 化している。CはカーソルでS信号出力のタイミングに合 わせてある。Rはリファレンスカーソルで， Cよりほぼ2
クロック後を示している。C点でのカウンタ出力がR点で バッファに取り込まれているのがよくわかる。
Fig．4 Signal timing chart displayed on CRT screen of a logic analizer．
実際の乱数発生は，クロックを最もゆるい動作条件であ る2MH。に設定して行った。放射線源は前報と同じく，半 減期が30年の137Csを用い，その平均検出頻度を約200珪に 設定した。Fig．5に，乱数発生時とまったく同じ条件にし ておいて，0。1秒間隔で104回測定した時の，放射線の発生 度数分布を示す。平均値が20．03のポアソン分布にほぼ一 致している。
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Poissen
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（mm2e．e3）
e 5 le 15 2e 25 3e 35 4e
COUvrS／e．tsec
Fig．5 A histogram of the counts （per O． 1 second）
caused by the radioactive source 137 Cs．
乱数発生回路で次々発生される10進1桁乱数を読み取り 記憶するため，今回は，16ビットパソコンでは最も普及し ている機種＊を用い，8インチのフロッピーディスクへ収 録した。同時に，リアルタイムで各乱数の発生個数を集計
して，検定に用いた。
＊PC−9801シリーズ
4．置数乱数列の検定
一様分布の乱数列に必須な性質として，各乱数の出現に 対する等確率性（一様性）と独立性（無規則性）がある。
物理乱数はその発生原理から，独立性に関しては有利であ るが，等確率性については，発生原理が完全であっても，
ハードウェアの特性の偏りとか不完全動作が直接発生乱数
津山高専紀要．第23号（1985）
の系統的偏りに結びつく。そこで，今回は主に等確率性に ついての検定を中心に行った。
なお，算術乱数は等確率性に関する検定はほとんどパス するが，独立性に薄しては問題があると言われている。そ こで，2つの算術乱数列について物理乱数と同様の検定を 行ない，物理乱数の結果を判断する比較材料にした。算術 乱数の1つは，現在かなり本格的なシミュレーションを行
う能力を持つようになった16ビットパソコンの中から，最 も普及している機種＊に内蔵されている乱数ルーチンで発 生した乱数列4）（PC乱数と略記）を，他の1つは，本校の 電子計算機室に設置されている小型汎用コンピュータ＊＊
のFORTRAN科学計算ライブラリに含まれている一様乱数 ルーチンで発生した乱数列5）．（32乱数と略記）をとりあげ
た。
4．1全体の一様性
今回発生した全乱数2×107個について，各乱数ごとに出 現個数を集計した。その度数分布をFig・6に示す。各乱数 の平均出現度数は，全体の1／10で2×106である。実際の度 数は，その平均値からのずれで示せば，最大は 6 の2614 個，最少は 3 の一2004個口あった。この図・の2つの点線
は95％の信頼区間をあらわし，全部の度数がこの区間にお さまっている。この実現度数分布について，一様分布であ るという仮定のもどで，適合度検定を行った。得られた X2値は11．40で，自由度9のX2分布における95％の信頼区 間（X2＜16．9）に入っており，また，度数分布に系統的
Fpequency
3 Xl臼 2魯臼5
Chi−sq．＝ 1 i．4e
なかたよりも見られない。したがって，実現度数は確率 1／10の一様分布をしているとしてよい。
各乱数の出現確率の1／10からのずれは，6が最大で，1．3
×10−4となった。
4．2部分列の一様性のゆらぎ
発生した2×107個の乱数列を4000薫ずつ5000の部分列に 分け，それぞれの部分列で，乱数の出現個数を集計した。
そして，出現確率1／10の一様分布を仮定し，適・合度をX2検 定した。Fig．7に5000組のx2値の分布を示す。点線で示し た曲線は，自由度9のx2分布から期待される理論度数で，
各乱数の出現が等確率で，しかも，互いに独立な理想乱 数列が，統計的ゆらぎで示す分布である。X2値を0〜2，2
〜4，…，22以上の12の階級に分け，集計度数と理論度数 との適合度をX2検定した。得られたX2値は10．51で，自由 度11のX2分布の95％信頼区間内（X2＜19．7）に十分入っ ている。したがって，発生乱数列は，理想乱数列と同じゆ
らぎを持ち，各乱数は理想乱数列と同程度の等確率性，独 立性を持っていると考えてよい。
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Fig．7 A histogram of X2−values of a frequency test．
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ei2 3，4・5 67S9
Digit
Fig．6 A histogram of the total of each random digit．
＊PC−9801シリーズ
＊＊NEAC−3200シリーズ
4．3二次元分布と算術乱数との比較
一様分布をする実数型乱数2個を，それぞれx座標，y 座標に対応させ，xy平面にプロットする。そして，その 点のバラツキを見ることによって，直観的に各乱数間の相 関（独立性）を調べる検定を行った。算術乱数では，独立 性が保障されないため，平面上の点がある構造を持って並 ぶと言われている6）。
物珪乱数は，続く6桁をまとめて実数型一様乱数に変換 し，x座標とした。 dを任意の整数とし，それから6d桁後
．の続く6桁を同様にy座標に対応させ，x Pt XP面にプロッ
トした。
Fig・8（a）は， dを4から128まで変化させ，100点ず つ順に6つのxy面にプロットしたものである。次に，
Fig．8（b）は， dを64に固定しておいて，前から100点ずつ を続けて5つの面にプロットし，最後にそれらの同じ点を
一50一
マイクロコンピュータによる物理乱数の発生 血 岸 本
500点まとめて，T面にプロットしたもので． ?驕B
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（a） d is delay between x and y for （xy） dot．
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d臼蓼aソ茎？ （s4 Phソ喜icel Random Number （b） Distribution of dots on T p1ane is sum of dots on 1−5 planes．
津山高専紀要第．23号（1985）
算術乱数の方は，実数型乱数を1つ発生させてx座標と．
し，それからd嘱目の発生乱数をy座標とした。そして，
物理乱数の場合と同じ手順でプロットしたものを，Fig・9
d置 4 d＝ 8
とFig・10に示す6 である。
前者がPC乱数，後者が32乱数について
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（a） d is delay between x and y for （xy） dot．
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delaソ諺？ 4輔一128 Ar・ユthmeti仁 NEAC−32e6 Fig．10 Distribution of random dots on xy−p！anes for the arithmetic random number sequence （NEAC−3200）．
（a） d is delay between x and y for xy dot．
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（b） Distribution of dots on T plane is sum of dots on 1−5 planes．
NEAC−32ee
津山高専紀要第23号（1985）
物理乱数の点の平面分布は，どの面を見てもかなりのゆ らぎはあるものの，系統的なかたよりは見られず，点を構 成する2つの乱数同志や，各点間の有意な相関は見られな い。つまり，各乱数は独立であると見てよい。
算術乱数の場合は，どちらもd値が大きくなるにつれ，
点はy ＝ax＋bの直線群上に並ぶ構造が強く現れる。特に，
dが2のべキ呼値をとるところで，この傾向は顕著にな る。CPσが2進演算を行っていることの反映であろうか。
Fig．9（b）において， PC乱数のT面は一見ランダムで一様 に点が分布しているようた見えるが，実は，1〜5面まで の直線群上に並ぶ構造を持った分布の寄せ集めにすぎな い。逆に，32乱数の方は，Fig．10（b）に見られるように，
点の少ない5面までは一様分布に見えるが1これらをまと めると，T面のようにはっきりと直線上に並んでしまう。
いずれにしても，点を構成する2つの乱数同志や各点が強 い相関を持っており，それが，d値によっても微妙に変化
する。
以上，算術乱数を何個かまとめて使用するようなシミュ レーションでは，あらかじめ，使用するすべての場合につ いて，入念に調べておかないと安心できない。その点，物 理乱数は，独立性がよいので，乱数同志でどの組合わせを
しても，また，どの順序で取り出しても安全である。
5．等確率性のゆらぎに対する検討
完全な正6面体でできたサイコロの1の目が出る確率は
％である。しかし，そのサイコロを多数回振ったとき，1 の目が出る実際の度数は，きっちりと試行回数の％になる とはかぎらない。
今回の発生方法では，各乱数の出現確率はほぼ1／10で，
その値からのずれは，εm＝3×10 8程度にすぎない。しか し，実際の度数の1／10からのずれは，前述したように，
1．3×10−4もあり，εmと比べてあまり大きい値である。
10進整数型乱数列において，全個数の1／10が各乱数の平 均出現度数なので，実現度数の統計的なゆらぎの程度は，
全個数のみに依存するはずである。
各乱数が発生するという事象は互いにまったく独立であ り，発生の全回数（〜107）に比べ，個々の事象発生は散発 的であるから，各乱数の出現度数はポアソン分布になると 考えてよい7）。事実，Fig．11に示すように，実測度数はポ アソン分布と一致している。これは，発生乱数列を始めか ら40個ずつのブロックに区切っていき，それぞれのブロッ クで各乱数の出現個数を集計したものの1部である。600 ブロック分の乱数1の度数分布を示す。平均出現個数は4 であるが，実際の平均個数は4．03であった。点線で示した 曲線は平均値が4．0のポアソン分布から期待される度数分 布で，実測度数分布は適合度検定を容易にパスする。
Frequency
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se
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！， v． Pei sson くr鞠＝489臼）
e
g 2 4 6 S le 12 14
couNTs／eLecK
Fig．11 Frequency distribution of the digit tl in 40 random digits of the physical random sequence．
確率論によれば，平均値がmのポアソン分布の分散は，
やはりmである。そのとき，実現値はm±3Vmの範囲に ほぼ90％以上入るから8），各乱数の発生度数に対しても，
平均値のまわりで±3V「iil程度が純粋に統計的ゆらぎめ範 囲と考えられる。発生乱数の全個数をnとすると，
m±3Vm
1 ＝ i一 十 10 一L
3v／石 1＝−． 十a
10 ＝ vo
これより，me率 i／iOからのずれσが，前述のεm程度となる nの値は1015となる。したがって，発生個数が107〜1010程 度の範囲では，Emはσの中に完全に埋もれてしまうことに なりεmの出現確率変動への影響は無視できる。つまり，
今回の方法では，実際上，出現確率は1／10で一様であると 考えてよい。
ちなみに，n・＝2×107とした場合のσ値は2．1x10−4と なり，今回の出現度数で最大のずれを示す乱数6の1．3×
10−4と同じオーダーになる。
6．む す び
乱数発生回路の中心となるカウンタを，乱数発生時に，
アップ計数状態とダウン計数状態に交互に切り替えて動作 させる工夫により，発生乱数の出現確率の等確率性を飛躍 的に向上させた。全発生個数が〜1010個程度では，統計的 ゆらぎによる等確率性への影響の方が格段に大きく，事実 上，今回の発生方法による10進乱数の出現確率は1／10で まったく一様であると考えてよいという結果になった。物 理乱数は，もともとその発生原理から，各乱数の独立性に は問題がないので，実際，発生乱数列に対する統計的検定 も，それぞれが良好な結果を示し，各乱数の分布が一様 で，互いに独立であるという結論を得た。
最後に，本研究に助言，協力をいただいた岡山大学教養 部平松惇教授，本校一般科目杉山琢也助教授，本校専門共
一54一
マイクロコンピュータによる物理乱数の発生 皿 岸 本
通科目美土路隆治助教授に感謝致します。
文 献
1）岸本俊祐；津山高専紀要豆9（1981）13−15
2 ） S． Kishimoto， T． lkegami， M． Hiramatsu；
J． Japan Statist． Soc． 11 （1981） 169−173．
3）国沢清典，鈴木良夫，山内慎二；
工業統計学（朝倉書店：1972）79．
4）日本電気；PC−9801 BASIC REFERRENCE MANUAI，
（日本電気：1982）257．
5）日本電気；NEAC一シリーズ3200科学計算用
FORTRANライブラリ説明書（日本電気：1970）115．
6）吉沢康和，井上光，宮武修；
日本物理学会誌36（1981）885−892．
7）上田稔，岡田泰榮，芳谷大和；
確率と統計（大日本図書：1980）80．
8）同上；p．13
