失 業,循 環,成 長 の 集 計 的 マ ク ロ モ デ ル

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失 業,循 環,成 長 の 集 計 的 マ ク ロ モ デ ル

堀 ^兀

1..イ ン ト ロ ダ ク シ ョ ン

本 稿 は,.経 済 成 長 の過 程 で生 ず る景 気 循 環 を,資 本 蓄 積,賃 金 調 整,お よ び将 来 予 測 め相 互 作 用 に よ って 生 み 出 さ れ る もの と して,分 析 す る.基 本 とな る考 え方 はHori[1998]に お い てHicks

[1937]の2部 門 モ デ ル を用 い て 展 開 した もの と同 じで あ る が,本 稿 は そ れ を集 計 的 マ ク ロ ・モ デ ル を用 いて 展 開 す る.こ の 方 が 動 学 の 基 本 的 特 性 を よ り よ く表 す と思 わ れ る た め で あ る.

本 稿 の主 た る特 徴 は 次 の通 りで あ る.第 一 に本 稿 は,資 本 蓄 積 を,景 気 循 環 の不 可 欠 の構 成 要 素 とみ なす.景 気 循 環 が 短 期 的 な現 象 で は な く,数 年 に わ た る過 程 で あ る ため で あ る.第 二 に 本 稿 は,景 気 循 環 中 の 非 自発 的 失 業 の変 動 を分 析 す る.観 察 され る失 業 が 非 自発 的 な も の か そ う で な い か につ い て は 考 え 方 が 色 々 あ る が,本 稿 は,名 目賃 金 の 硬 直 性 を 原 因 と した 非 自発 的 失 業 が 存 在 す る との 前 提 か ら出 発 す る.第 三 に 本 稿 は,フ ァ ン ダ メ ン タル ズ に 基 づ く完 全 予 測 を仮 定 し て,そ の時 々 の 経 済状 態 と将 来 予 測 との 相 互 作 用 を考 慮 す る.

第 一 の特 徴 は,い わ ゆ る実 質 賃 金 バ ズ ル に 関係 して い る.伝 統 的 な ケ イ ン ズ理 論 は実 質 賃 金 が 反 循 環 的 な動 き を示 す こ と を含 意 す る..し か し,Dunlop[1938]とTarshis[1938]に よ つて 開 始 さ れ,そ の 後 のGearyandKennan[1982]やBils[1985]の 仕 事 を含 む 一 連 の 実 証 研 究 に よ れ ば,実 質 賃 金 の 動 きは 非循 環 的 で あ るか あ る い は穏 や か な循 環 同調 性 を示 して い る.こ の パ ズ ル は,マ ク ロ経 済 の研 究 手 法 と して の 伝 統 的 な ケ イ ン ズ 理 論 の有 効 性 を疑 わせ る上 で大 きな 役 割 を果 た した.し か し他 面 で は,い くつ か の実 証 研 究 で 報 告 さ れ て い る実 質 賃 金 の循 環 同調 性 は, 景 気 循 環 の 過 程 で の 労 働 雇 用 の 動 きが 右 上 が りの 労 働 供 給 曲 線 に 沿 っ て い る とのKydlandand Prescott[1982],LongandPlosser[1983],BarroandKing[1984]な どの 均 衡 景 気循 環 理 論 の 主 張 を支 持 す るほ ど強 い もの で は な い.こ の 点 に つ い て はBlanchardandFischer[1989,

Chs.1,7],Mankiw[1990],Stadler[1994]等 を参 照 され た い.資 本 蓄 積 の 明 示 的 導 入 は この パ ズ ル を解決 す る も う一 つ の 方 法 を与 え る.実 際,循 環 の 過 程 で の 資本 量 の 変 動 の 結 果 労 働 需 要 曲 線 は 体 系 的 な シ フ トを示 す こ とに な り,報 告 さ れ て い る実 質 賃 金 の 非循 環 性 あ る い は循 環 同 調 性

は パ ズ ルで は な い こ とに な る の で あ る.

以 上 か ら わ か る よ う に,本 稿 は,Tobin[1955,1965],Rose[1966,1967,1969],Stein

[1966],Uzawa[1973],Turnovski[1977]等 に よ って 展 開 され た 貨 幣 的 経 済 成 長 諦 の 流 れ を 直 接 に 汲 む もの で あ る.こ れ らの ペ ー パ ー の 多 くに お け る と同様 に,本 稿 は失 業 を,名 目賃 金 の 硬

2季 刊 創 価 経 済 論 集VoLXLI ,No。1・2・3・4 直 性 に よ っ て ひ きお こ され だ労 働 市 場 不 均 衡 とみ な すrこ の 点 に 焦 点 を あ て る た め,本 稿 は,完 全 競 争(自 由 参 入 を含 む),賃 金 以 外 の 価 格 の伸 縮 性,労 働 市 場 以 外 の全 て の 市 場 で の 需 給 一 致 を 仮 定 す る.さ らに 集 計 的 消 費 関 数 と集 計 的 貨 幣 需要 関 数 の 存 在 も仮 定 す る.

先 行 の 貨 幣 的 成 長 モ デ ル と本 稿 の違 い は,集 計 的 投 資 関数 と期 待 の 扱 い方 に あ る.第 三 に 本 稿 は,Tobin[1969]流 の 集 計 的 投 資 関 数 を仮 定 して,投 資 需 要 を財 価 格 お よ び 株 価 に 関 係 付 け る.

株 価 は 将 来 に つ い て の期 待 を表 す か ら,こ の 定 式化 は,そ の 時 々 の 経 済 活 動 の 将 来 期 待 へ の 動 学 的 依 存 関 係 を表 現 す る こ と を可 能 に す る.さ らに,自 由参 入 お よび 企 業 の 同一 性 の 仮 定 の も と で, 代 表 的 企 業 の 投 資 関 数 と は 区別 さ れ た 意 味 で の 集 計 的 投 資 関 数 は,非 常 に 便 利 な 形 を と る:つ ま

りそ れ は,投 資 の 損 得 が 丁 度 ゼ ロ とな る トー ビン のqの 値 に お い て,無 限 に 弾 力 的 とな るの で あ る..こ れ は,本 質 的 な 点 で はな い の だ が 動 学分 析 を大 幅 に 単 純 化 す るの に役 立 つ.第 二 に 本 稿 は,完 全 予 見 を仮 定 す る.も う少 し正 確 に 言 うと,本 稿 は,SargentandWallace[1973]に 従 い,人 々 が 長 期 的 な フ ァ ン ダ メ ン タ ル ズ に 基づ い て期 待 を形 成 し,将 来 の 時 間 経 路 を正 確 に 予 測 す る と仮 定 す る.こ の仮 定 の実 証 面 で の 正 当 性 に は 疑 問 が残 る が,本 稿 で は そ れ を,フ ァ ン ダ メ ン タル ズ に 基づ く動 き を,楽 観 主 義 や 悲 観 主 義 期 待 形 成 に お け る誤 りや 学 習 とい っ た 心 理 的 要 因 の 影 響 か ら切 り離 して分 析 す る た め の 分 析 装 置 と して,採 用 す る.

モ デ ル の静 学 面 で の構 造 は 次 の 通 りで あ る.資 本 ス トッ ク と名 目賃 金 が 与 え ら れ る と,将 来 の 資本 の 取 益 性 を正 確 に表 す 株 価 が 投 資 需 要 関 数 の位 置 を決 定 し,そ の結 果 市 場 均 衡 財 価 格 が 決 ・ま る.こ の 財 価 格 は,実 質 賃 金 率,企 業 の 最 適 雇 用水 準 と最 適 産 出 高,投 資 の水 準 を決 め る.こ れ か ら見 て取 れ る よ うに,モ デ ル の 静 学 的 構 造 はKeynes[1936]お よ びHicks[1937]のIS‑LM

モ デ ル と多 くの 特 徴 を共 有 す る.

モ デ ル の動 学 面 で の 主 な特 徴 は 次 の 通 りで あ る.第 一 に,こ の モ デ ル が 示 す こ との で き る循 環 運 動 は 減 衰 振 動 だ け で あ る.第 二 に,Goodwin[1951]の 加 速 度 モ デ ル とは対 照 的 に,こ こ で の 循 環 運 動 は価 格 メ カ ニ ズ ム に よ っ て 引 き起 こ さ れ る.第 三 に,循 環 の な か で生 起 す る 出 来 事 の 定 性 的 なパ タ ー ンはRose[1967,1968]お よ びAkerlofandStiglitz[1969]に よ っ て 分 析 され た 循 環 と多 くの 共 通 性 を有 して お り,ま た ケ イ ンズ 以 前 の 景 気 循 環 研 究,特 にHaberler[1939]が

「過 剰 投 資 理 論 」と名 付 け た一 群 の 研 究 と も類 似 性 を有 す る.つ ま り,循 環 のひ とつの局 面 か ら次 の局 面 へ の推 移 が,実 質 賃 金 率,貯 蓄 に 比 して の 資 本 ス トッ ク の水 準,お よび 労 働 市 場 の 状 態 に

よ って 律 さ れ るの で あ る...

本 稿 の 構 成 は 次 の 通 りで あ る.2節 と3節 は モ デ ル の 静 学 的 構 造 と動 学 的構 造 を提 示 す る.4 節 は 長 期 均 衡 の 存 在,効 率 性,お よ び安 定 性 に 関 す る二 つ の 定 理 を与 え る.5節 は,循 環 の 存 在 の た め の 必要 十分 条 件 に 関 す る定 理 を与 え る.6節 は,雇 用 率,一 人 当 た り産 出 量,実 質 賃 金 率 等 の 変 数 の転 換 点 の 到 着順 位 に 関 す る定 理 を与 え る.定 理 の 証 明 の 大 部 分 は補 遺 に ま とめ て あ る.

2.モ デ ル の 静 学 的 構 造

この 経 済 に は 四 っ の 市 場 が あ る.財 市 場,労 働 市 場,貨 幣 市 場,お よ び 株 式 市 場 で あ る.

March2012堀 元:失 業,循 環,成 長 の 集 計 的 マ ク ロ モ デ ル3 2.1財 市 場

財 は 一 種 類 とす る.s,1,お よ びGで 実 質 貯 蓄,実 質 投 資 需 要,実 質 政 府 支 出 を 表 す こ と に し よ う.財 市 場 の 均 衡 の た め に は

S・=1十G'.'(1)

が 成 立 しな け れ ば な ら な い.AndoandModigliani[1957]に な ら っ て,貯 蓄 は 所 得 と 富 に 依i存 す る と す る.Y,K,M,P,お よ びVで,実 質 産 出 高,実 質 資 本,名 目貨 幣 残 高,'財 価 格,お

よ び 株 価 を 表 す と し よ う.名 目 額 で 測 っ た 富 はM+VKに 等 し い か ら,簡 単 化 の た め に 貯 蓄 関 数 は 線 形 だ と す る と,実 質 貯 蓄 は

5‑sY‐b(M+VKP>・ 〈 ・<1,・<b・(2)

で与 え られ る.

Yは 同一 の 技 術 を有 す る 多数 の 企 業 に よ っ て労 働 と資 本 を用 い て 生 産 され る.Nお よびF(N, K)で 労働 雇 用 量 と集 計 的 生 産 関 数 を表 す こ とに し よ う.つ ま り

Y=。F(.〈1,K). .・(3)

こ の.Fは 標 準 的 な 新 古 典 派 的 生 産 関数 で あ る.

投 資 の た め の 資 金 調 達 は新 株 発 行 に よ って行 わ れ る.Tobin[1969]に お け る よ うに,各 企 業 の 投 資 需 要 は財 価 格 と株 価 の 関 数 と して 表 現 され る.こ の アプ ロー チ の 利 点 は,将 来 に つ い て の期 待 を現 在 の 株 価 で代 表 させ る こ とが で き,そ の 結 果 各 企 業 の 投 資 活 動 を各 時 点 で の 利 潤 最 大 化 行 動 と して叙 述 す る こ とが 可 能 に な る点 に あ る.

自由参 入 と全 企 業 の 同 一 性 を仮 定 し,す べ て の 企 業 に 共 通 の 株 価 をVで 表 そ う.株 を発 行 して 新 規 の 資本 を設 置 す る とい う活 動 か らの 単 位 あ た りの 利 潤 は γ 一1)で あ る か ら,総 投 資 需 要 は

1(V,P)一{3認(4)

とな り,そ れ ゆ え財 市 場 の均 衡 の も とで は,正 の 投 資 が あ る 限 り, P=V(5)

が 成 り立つ.簡 単 化 の ため 資 本 減 耗 を無 視 して, K=1(6)

とす る.

2.2労 働市場

労働 需要 は,Wを 名 目賃 金率 として,完 全 競争下 での利潤最大 化 の条 件 W

P一 響'(7)

に よ って決 ま る..以下 で は,た と え完 全 雇 用 水 準 をこ えて い て も,(7)に よ っ て与 え ら れ るNが 常 に 雇 用 され る と仮 定 す る.労 働 需 要 が 強 い と き に は よ り集 中的 な 求 人努 力 が な き れ,そ の 結 果 摩.

4季 刊 創 価 経 済 論 集 擦 的 失 業 が 減 る だ ろ う とい うの が ζ の仮 定 の一 つ の根 拠 で あ る.

Vol.XLI,No.1.2.3.4

2.3資 産 市 場

この モ デ ル に は 貨 幣 と株 と い う二 種 類 の 資 産 が あ る が,資 産 に 関 す る ワ ル ラ ス 法 則 に よ っ て そ あ うち の ひ とつ の 市 場 を考 え れ ば 十 分 で あ る.以 下 で は 貨 幣 市 場 を考 え る.・

名 目貨 幣 残 高 た対 す る需 要 は,名 目利 子 率Z,名 目所 得X=PY,お よ び 名 目資 産 総 額Z=M +VKの 関数 で あ る.こ の モ デ ル で は株 が 唯 一 の 利 子 生 み 資 産 で あ る た め,利 子 率 は

i=PrVVe(8)

で 与 え ら れ る.こ こ でYは1単 位 の 資 本 財 の 実 質 収 益 率,Veは キ ャ ピ タ ル ゲ イ ン の 期 待 値 で あ る.名 目貨 幣 需 要 関 数 は!(2,X,Z)と 表 記 す る が,こ の 関 数 は 連 続 微 分 可 能 でXとZに 関 し て 一 次 同 次 で あ り,さ ら に,全 て の(Z,X,Z)》0に お い て 次 の 条 件 を 満 足 す る も の と す る ・:

.ei(i,x,z)<o,.ez(Z,x,z)>o,.e3(Z,x,z)>o, 0<!(i,X,Z)〈Z,(

9) limf.o1(2,X,Z)=Z,lima̲。 。/(2,X,Z)=0,

li晦.。!(Z,X,Z)=0,lima‑...!(Z,X,Z)=Z.

こ れ ら の 仮 定 に つ い て の 説 明 は 不 要 で あ ろ う.こ れ ら あ 仮 定 を 満 た す 関 数 と し て は, ..た と え ば

Q(i,X,Z)‑ZXX+/3iZ・ β 〉 ・

な ど が あ る.

貨 幣 市 場 均 衡 は Q(i,PY,M+VK)=M(10)

で表 され る.PY>0,M>0,お よびVK>0を 与 え ら れ る と,仮 定(9)に よ っ て,(10)を 満 足 す る正 のZが ユ ニ ー ク に決 ま る.

モ デ ル の 静 学 的構 造 の 叙 述 は 以 上 で 完 結 す る.K,'W,V,M,お よ びGを 所 与 とす る と, (1),(5),(7),お よび(10)に よ っ てP,N,Y,1,お よ びZが 決 ま る.モ デ ル の 動 学 構 造 の 叙 述 に 移 る前 に 二 つ の リマ ー ク を加 え て お く.

リマ ー ク2‑1.(4)の 無 限 に 弾 力 的 な投 資 関数 は,い くつ か の 非 現 実 的 な含 意 を有 して い る.

ひ とつ は,(5)に み る よ う に,ト ー ビ ンの4が1と い う値 を とる こ とで あ る.も うひ とつ は政 府 支 出が,期 待 に 影 響 を与 え る の で な い 限 り,産 出 お よび 雇 用 に 影 響 を与 え 得 な い こ と で あ る:Vが 変 わ らな い 限 り,Gの 増 加 は 投 資 を ク ラ ウ ドア ウ トす る だ け に 終 わ る.'

トー ビ ン の4に 関 し て 連 続 的 で そ れ ゆ え 有 限 の 弾 力 性 を 有 す る 投 資 関 数 を採 用 す る こ と に よ っ て,こ れ ら の 非 現 実 的 な 含 意 を除 去 し,か っ 現 在 の 定 式 化 の 基 本 的 な 特徴 を保 つ こ とは 可 能 で あ る.し か し本 稿 で は無 限 に 弾 力 的 な投 資 関 数 を採 用 す る.そ の理 由 は,(1)自 由 参 入 と全 企 業

r

March2012.堀 元:失 業,循 環,成 長 の集 計的 マ ク ロモデ ル5

の 同一 性の 仮 定 は 中期 お よ び 長 期 の分 析 の た め に1ま正 当 な仮 定 だ と思 え る こ と,お よ び(2に の 仮 定 に よ って動 学 分 析 が 大 幅 に 単 純 化 で き る こ と,に あ る.特 に,ト 「一ビ ンの4が 常 に1と い う値 を と る こ とは,期 待 と各 時 点 の 経 済 活 動 との 関 連 を明 快 に 浮 か び 上 が らせ る こ とに な る.

リマ ー ク2‑2.イ ン トロ ダ ク シ ョン で述 べ た よ うに,本 稿 は 完 全 予 測 を仮 定 す る.各 時 点 の 状 況 は 明 ら か に 将 来 に 影 響 をお よ ぼ す か ら,そ れ は ま た将 来 の 予 測 に も影 響 を 与 え,従 っ てVに 影 響 を与 え る.そ れ ゆ え,上 で 示Lた 短 期 均 衡 り分 析 は,VをKやWか ら独 立 の 状 態変 数 と し て扱 っ て い る とい う点 で,不 完 全 で あ る.K,WとVの 間 の 関 係 は根 本 的 に動 学 的 で あ り,そ の 意 味 で 短期 の 完 全 な分 析 は動 学 的 分 析 を前 提 とす る こ とに な る.

3.動 学 方 程 式 3.1動 学 上 の仮 定

労 働 人 口 をLで 表 す が,こ れ は一 定 率nZOで 成 長 す る.し た が っ て i=nL.・'.(11)

本 稿 は ハ ロ ッ ド中 立 的 な 技術 進 歩 の 存 在 を排 除 しな い が そ の場 合 に はLと1>は い ず れ も効 率 単 位 で 測 られ る もの とす る.

名 目貨幣 残 高M「 も一 定 率mzOで 成 長 す る.簡 単 化 の た め,新 貨 幣 は 財 と交 換 に 発 行 され る と す る.し た が っ て

PG=NI=mM.(12)

将 来 に関 す る期 待 は,株 価 とい う変 数 を通 じて現 在 に 影 響 を及 ぼ す.向 時 に 現 在 もま た 将 来 に 関 す る期待 に 影 響 を及 ぼ す.こ の た め 以 下 で は,SargentandWallace[1973〕 に 従 っ て,長 期 的 な フ ァン ダ メ ン タ ル ズ に 基 づ く完 全 予 測 を仮 定 す る.こ の仮 定 は,な か ん ず く,

Ve=「v.'(13)

とい う関係 を含 意 す る.ま た こ の仮 定 は,人 々 が,株 価 は長 期 的 な フ ァ ン ダ メ ン タ ル ズ に よ っ て 決 定 され る と信 ず る こ と も含 意 す るが,こ の 点 につ い て は後 に ま た 立 ち返 る二 この 仮 定 の 下 で は

Vは ジ ャ ン プ変 数(前 向 き変 数 と もい う)と な る.

賃 金 調整 に 関す る基 本 的 な仮 定 は,名 目賃 金 は硬 直 的 で労 働 市 場 の 状 態 に徐 々 に 反 応 す る とい う もの であ る.こ の 仮 定 の 妥 当性 を示 す根 拠 と して しば しば あ げ られ る の は,賃 金 契 約 は 名 目額 で 結 ば れ て い て あ る一 定 期 間 変 更 が きか な い とい う事 実 で あ る.

名 目賃 金 の 硬 直 性 に つ い て採 用 さ れ る標 準 的 な定 式 化 は,名 目賃 金 の 変 化 率 を労 働 市 場 の 状 態 に 関 係 させ るフ ィ リ ップ ス 曲 線 で あ る.し か しな が ら こ の定 式 化 は,そ の も と も との 形 で は,持 続 的 な イ ン フ レー シ ョ ンが 存 在 す る場 合 の 定 常 状 態 に お い て 不 合 理 性 を示 す.こ の た め ケ イ ン ズ 流 の マ ク ロ ・モ デ ル に は,実 質 賃 金 が 労 働 市 場 の状 態 に 反 応 す る ≒い う定 式 化 を採 用 す る もの も 多 い.し か し この 定 式化 で は,名 目賃 金 が そ の 時 々 の イ ン フ レ率 を正 確 に 反 映 して 調 整 され る こ とに な る とい う問 題 が 生 ず る.名 目賃 金 の 調 整 に 時 間 が か か り,イ ン フ レ率 そ の もの も変 化 す る と い う時 に は,た とえ 将 来 の イ7フ レが 正 確 に予 測 さ れ る と して も,名 目賃 金 の変 化 率 は,あ る

6・ 季 刊 創 価 経 済 論 集Vol .XLI,No.1・2・3・4 期 間 に わ た っ て 予 想 さ れ る平 均 的 な イ ン フ レ率 を反 映 す る と仮 定 す るの が 自然 で あ ろ う.

そ れ ゆ え以 下 で は,平 均 的 な イ ン フ レ率 を定常 状 態 で の イ ン フ レ率 で 近 似 し,フ ィ リ ップ ス 曲 線 を,定 常 状 態 で の イ ン フ レの効 果 を反 映 で き る もの に修 正 す る こ と とす る1つ ま り,Lを 完 全 雇 用 時 の 雇 用 水 準 と解 釈 して((7)式 の 直後 の リマ ー ク を参 照 の こ と),

LV

W‑m‑n+a(N‐LIL'a>・(・4) と仮 定 す る.

3.2変 数 変 換

こ の モ デ ル は 成 長 と イ ン フ レ ー シ ョ ン を 扱 う の で 変 数 の 変 換 が 必 要 で あ る.第 一 に,資 本1単 位 あ た りの 雇 用 量 をxと し,つ ま りx=N/Kと し,

ノC(x)≡F(x,1)・'(15)

と お く.資 本1単 位 あ た り の 産 出 を 現 す 関 数fは 二 階 連 続 微 分 可 能 で 稲 田 の 条 件 を 満 足 す る も の とす る:"

f(x)>0,f'(x)>0,f"(x)<0∀x>0, f(0)=0,1im劣 一。。f(x)=OQ, lim。.。f'(x)=∞,lima...f'(x)=0.・

生 産 的 資 本 の 実 質 収 益 率 をrと お く が,こ れ は Y=y(x)≡f(x)‑xf'(x)・

(16)

(17>

で与 え られ る.第 二 に,労 働 人 口1単 位 あ た りの資 本 をkで 表 す,つ ま りk=K/'L.第 三 に,名 目 賃 金 と労働 人 口1単 位 あ た りの名 目貨 幣 残 高 ≧ の 比 率 をwと す る,つ ま りw=肌/M.最 後 に, 名 目株 価 と労 働 人 口1単 位 あ た りの 名 目貨 幣 残 高 との 比率 をvと す る,つ ま りv=VL/M.

以 上 で新 し く定 義 し た変 数 の う ち,kとz〃 は 既決 状 態 変 数,vは ジ ャ ン プ 状 態 変 数 で あ り,xは これ らの状 態 変 数 に よ っ て その 値 を決 定 され る 内生 変 数 で あ る.以 下 で は 常 に正 の 投 資 が 実 行 さ れ る と仮 定 す る.こ の 条 件 は 長期 均 衡 の 近 傍 で は満 足 さ れ る.こ の 場 合,w,v,お よ びxの 間 に

は

ノ'(x)=‑w (is>

と い う 関 係 が 成 り 立 つ.こ の 等 式 は,wを 所 与 と す る とvとxの 間 に 一 対 一 対 応 を 作 り 出 す か ら,xを ジ ャ ン プ 変 数 と み な す こ とが 可 能 と な り,ま た そ の 方 が 便 利 で あ る.こ う す れ ばvを 省 く こ と が で き,ま た,関 数.e(i,X,Z)のXとZに 関 す る 一 次 同 次 性 に 注 目 し て,モ デ ル の 静 学 ・ 面 を

1=

) 捲

計

ω ■

fつ(1

(19)

に ま と め る こ と が 可 能 と な る.前 に も ふ れ た よ うに,(19)式 は,非 負 の2をk,w,お よ びxの 関

March2012堀 元:失 業,循 環,成 長 の 集 計 的 マ ク ロ モ デ ル7

数 と し てユ ニ ー ク に 決 定 す る.こ の 関 数 をZ(k,w,x)と 表 記 し よ う.そ う す る と ∂〃∂k>0,ai/∂w

>0,お よ び ∂ゴ1∂x>0が 成 り立 つ.こ れ ら 偏 導 関 数 の 正 確 な 表 現 に つ い て は 補 遺Aを 参 照 さ れ た い.そ の符 号 は(9)式 お よ び(16)式 に よ る.

3.3微 分 方 程 式

状 態変 数k,w,お よ びxに 関 す る微 分 方 程 式 は 次 の通 りで あ る

k‑hl(k,w,x)≡(Sf(x)‑n)k‑b(ギ+k)‑mf'(x)w,

w=hZ(k,w,x)=a(xk‑1)w, ⁽²⁰⁾

x‑h・(k,w,x)≡ タ 釜a(xk‑1)+m… ゴ(々,ω・x)+γ ω)・

kに つ い て の 方 程 式 の右 辺 の う ち,第 一 項 は 周 知 の 通 りで あ る.第 二 項 は 資 産 効 果 に 当 た る.第 三 項 は新 発 行 貨幣 の一 人 当 た り実 質 値 で あ り,こ れ が 差 し引 か れ て い るの は,貯 蓄 の 一 部 が 貨 幣 の 蓄 積 に吸 収 され る た め で あ る.

4.長 期 均 衡 4.↑ 存 在 と 一 意 性

ノ=1,2,3に つ い て ガ(k*,w*,x*)=0を 成 り 立 た せ る(k*,w*,x*)》0を 長 娚 均 衡 と 呼 ぽ う.

定 理1.長 期 均 衡 は一 意 に存 在 す る.ま たmが 小 さめ な ら;長 期 均 衡 は,r(x*)znを 満 足 す る.

と い う意味 で,黄 金 律 の 基 準 か ら見 て 効 率 的 で あ る.

証 明.存 在 と一 意 性 の 証 明 は 補 遺 を見 られ た い.

次 に,h'(k*,w*,x*)=0,ノ ニ2,3か ら Z(k*,w・,x・)‑m=r(x*)‑n(21)

が 成 り 立 つ.(k・,w・,x*)≫OG・ よ っ てZ(k・,w・,x・)>oで あ つ,ま た2(k*,w*,x*)はm6こ 連 続 に 依 存 す る か ら,効 率 性 に つ い て の 結 論 が 成 り 立 つ.■

リ マ ー ク4‑1.長 期 均 衡 は明 ち か に 賃 金 調 整 の 速 度 か ら独 立 で あ り,ま た 完 全 雇 用 を含 意 す る.

リ マ ー ク4‑2.効 率 性 に 関 す る 結 論 は,Solow[1956]お よ びSwan[1956]の 貨 幣 の 無 い 成.

長 モ デ ル と は 対 照 的 で あ り,Samuelson[1958]の 「貨 幣 と い う社 会 的 な 工 夫 」 の 結 論 と類 似 の 性 質 の もの で あ る.異 時 点 間 の 最 適 化 を 仮 定 せ ず に こ の 結 論 が 得 ら れ て い る 点 に 注 意 さ れ た い.

こ の 結 論 に 関 係 す る 唯 一 の 最 適 化 行 動 はTobin[1965]が 強 調 し た 行 動,つ ま り,ポ ー トフ ォ リ

8.季 刊 創'価 経 済 論 集Vol .XLI,No.1・2・3・4

オ保 有 者 は,非 流 動 的 な 資 産(抹 式)の 収 益(利 子率)が 貨 幣 の 収 益(ゼ ロ)よ り大 き くな い 限.

り,非 流 動 的 な 資 産 を保 有 しな い とい う行 動,で あ る.

'

4.2鞍 点 安 定 性

フ ァ ン ダ メン タル ズ に 基 礎 を置 く完 全 予 測 の仮 定 に つ い て は 前 節 の は じめ で 簡 単 に 説 明 した が, 時 点tの 株 価 をv(t)と お い て これ を も う一 度 正確 に 述 べ て お く と次 の 通 りで あ る:人 々 は 株 価 が 長 期 的 に は そ の 長 期 均 衡 値v*=w*/f'(x*)に 落 ち着 く と期 待 し,そ こ に 至 る株 価 の 時 間 経 路

v(t)を 性 格 に 予 測 す る.

こ の仮 定 は二 つ の 問 題 を提 起 す る.第 一 に,過 去 の 活 動 の 結 果 と して 既 決 の 任 意 のkどZUを 与 え られ た 時,limt̲・ ・v(t;k,w,v)=v*を 満 足 す るvは 存 在 す る で あ ろ うか.第 二 に,こ の よ う な vは,少 な く と も局 所 的 な 一 意 性 を有 す る で あ ろ うか.こ れ ら二 つ の 問 題 の 重 要 性 に つ い て は Laitner[1982]を 参 照 さ れ た い.

こ こ で,xを 先 見 変 数 と し て扱 う方 法 に戻 る こ とに す る と,フ ァ ン ダ メ ン タル ズ を基 礎 とす る完 全 予 見 の仮 定 を採 用 し うる た め に はち 動 学体 系(20)の 長 期 均 衡 は 鞍 点安 定 性 を有 さ ね ば な ら な い.

つ ま り,xをk,wの 関 数 と して 決 め る よ うな 安 定 多 様 体 が 存 在 せ ね ば な らな い.次 に述べ る定理 は 現 在 の モ デ ル が こ の 要 件 を満 足 す る こ ど を示 し,同 時 に こ の安 定 多様 体 の い くつ か の 特 性 を 明

らか にす る.

定 理2.動 学 体 系(20)の 長 期 均 衡 は 鞍 点 安 定 で あ る.安 定 多 様 体 をx=9(k,w)と す る と 91(k*,w*)ぐ0お よ び9z(k*,w*)<0(22)

と な る.

証 明.補 遺Bを 見 よ.■

リ マ ー ク4‑3.完 全 予 見 の 仮 定 の も と で は,x=9(k,w)は,各(k,w)に 対 応 す る 短 期 均 衡 の 雇 用 一 資 本 比 率 を 与 え る.リ マ ー ク2‑3を 参 照 の こ と.所 与 のkとwの も と で,人 々 は 経 済 の 安 定 経 路 に 沿 っ て 将 来 の 資 本 の 収 益 性 を 予 測 し,資 本 市 場 の 競 争 に よ っ て 株 価vが 決 ま る.こ れ に 応 じ て 財 市 場 は 財 価 格pをvに 等 値 し,利 潤 最 大 化 に よ っ てx=g(k,w)が 決 ま る .

(18)式 を 考 慮 す る と;(22)の9、 〈0は,kの 増 加 が 財 価 格p=vを 引 き 下 げ,そ れ ゆ え 実 質 賃 金 率w/vを 引 き 上 げ る こ と を 意 味 す る こ と が わ か る.同 様 に9a〈0は,wの 上 昇 が 実 質 賃 金 率 を 引 き 上 げ る こ と を 意 味 す る.

リ マ ー ク4‑4.e(k,w)≡kg(k,w)と お こ う.こ れ は そ れ ぞ れ の(k,w)の も と で の 短 期 均 衡 労 働 雇 用 率 を 与 え る.(22)式 か ら

e2(k*,w*)<0'(23)

と な る がel(k*,w*)は 正 で も 負 で も あ り う る.こ れ は,実 質 賃 金 を 所 与 と す る とkの 増 加 は 雇

March2012堀 元:失 業,循 環,成 長 の集 計 的マ クロモデ ルg

用 率 を高 め るが,し か しkの 増 加 は 同 時 に実 質 賃 金 率 を 引 き上 げ,そ の 結 果 資 本1単 位 当 た りの 雇 用 を引 き下 げ る効 果 も もつ た め で あ る.(22)式 を参 照 さ れ た い.後 に 見 る よ う に,aの 符 号 は,経 済 の動 学 的 行 動 に 重 要 な影 響 を与 え る.e、 とe,の 式 に つ い て は 補 遺Cを 参 照 さ れ た い.

5.安 定 多 様 体 上 で の 動 き

フ ァ ン ダ メiタ ル ズ に 基 礎 を 置 く完 全 予 見 の 仮 定 の も と で は,動 学 体 系(20)は, k=η1(k,w)≡h'(k,w,9(k,Z〃)),(2

4) w=η2(k,w)≡h2(k,w,9(k,w)),

と な り,長 期 均 衡 は(k*,w*)で 与 え ら れ,安 定 で あ る.以 下 で 体 系(24)の 表 す 景 気 変 動 の 伝 播 メ カ ニ ズ ム,特 に 景 気 循 環 が 発 生 す る た め の 条 件 を考 察 す る.し か し,こ の 点 で の 主 た る 結 論 を 述 べ る 前 に,動 学 体 系(24)の い く つ か の 一 般 的 な 特 徴 に 触 れ て お くの が 有 益 で あ る.

k=(sゾ(x)‑n‑b)k‑(b+m)f'(x)/wで あ る か ら,kの 動 き は,部 分 的 に は,現 存 資 本 ス トッ ク 量 に 比 して の 貯 蓄,つ ま りSf(x)‑n‑b=(s‑(n+b)K)/Kに よ っ て 決 定 さ れ る.ま たw=a(e

‑1)wで あ る か ら ,wの 動 き は 雇 用 率 に よ っ て 決 定 さ れ る.xは 実 質 賃 金 率 と 負 の 関 係 に あ る か ら,資 本 に 比 し て の 貯 蓄 の 不 足(潤 沢 さ),つ ま りSf(x)‑n‑∂ ρ 値 の 小 さ さ(大 き さ)は,高 い (低 い)実 質 賃 金 率 と 同 じ で あ り,ま た 後 者 は 低 い(高 い)利 潤 率 と 同 じ で あ る こ と に 注 意 さ れ た

い.

こ の た め,本 モ デ ル に お い て 生 じ る循 環 運 動 は,Rose[1966,1967],AkerlofandStiglitz[1969]

に よ っ て 叙 述 さ れ て い る 循 環 運 動 や,Spiethof[1923],Cassel[1923],Hayek[1935]等 の 「過 剰 投 資 理 論 」 の 循 環 運 動 と 多 く の 共 通 性 を も っ て い る.し か し な が ら本 モ デ ル は,過 剰 投 資 理 論 が 同 時 に強 調 し た,過 度 の 楽 観 論 や 悲 観 論,生 産 の 先 行 段 階 と 後 続 段 階 の 間 の 不 調 整,銀 行 制 度 の 存 在 に よ っ て 引 き 起 こ さ れ る 強 制 貯 蓄 や 激 し い 信 用 不 足 等 は,取 り扱 う こ と は で き な い.

さ て,動 学 体 系(24)を,長 期 均 衡 点(k*,w*)が 渦 状 点 で あ る か 結 節 点 で あ る 牟 に 応 じ ズ, 循 環 的 あ る い は 革 調 と呼 ぷ こ とに しよ う.次 の 定 理 に 示 す よ う に循 環 運 動 の 可 能 性 は,∂e%∂kの 符 号 お よび 賃 金 調 整 の 速 度aに 決 定 的 に依 存 す る.

定 理3.el(k*,w*)>0な ら ば,0<a、<azな るalとazが あ っ て,a、<a<a2な ら 体 系(24)は 循 環 的 で あ り,a<a、 あ る い はQz<aな ら 単 調 で あ る.el(k*,w*)<0な ら(24)は 単 調 で あ る.

証 明.補 遺Dを 見 よ.■

若 干 の リマ ー ク を 述 べ て お く.

リマ ーク5‑11elは,貯 蓄 行 動,生 産 関数,貨 幣 需 要 関数 の 諸 特 徴 が 入 り混 じっ た複 雑 な 式 と な っ てお り,ど うい う要 因 が そ の 値 を正 にす る傾 向 を もつ か を確 定 す るの は 困 難 で あ る.と は

・o季 刊 創 価 経 済 論 集Vol .XLI,No.1・2・3・4 い え そ の 経 済 学 的 意 味 は 明 らか で あ る:資 本 増加 の株 価 へ の 悪 影 響 が 雇 用 を引 き下 げ るほ ど強 い 場合 に は そ れ は 負 の 値 を と り,そ うで なけ れ ば正 の 値 を と る.循 環 運 動 の た め に はel>0が 必 要 で あ る こ との 直 観 的 な 説 明 は 次 の よ うな もの で あ ろ う.

k>0で か つw<0と い う状 況 を考 え よ う.体 系 が 循 環 的 で あ る な ら,kが ま ず 負 に な る か,あ るい はwが まず 正 に な る.k=w=0は 定 常 状 態 を意 味 す るか ら,kとwの 両 者 が 同 時 に 符 合 を変 え る こ と は あ りえ な い.さ ら に実 は,.wが 負 の ま ま でkが ま ず 負 に な る こ とは あ り え な い.実 際,wが 負 の ま ま でkが 正 か らゼ ロ に近 づ くな らw減 少 の 影 響 が 支 配 的 と な る が,補 遺Dに 示 さ れ て い る よ うに ∂η1/∂w〈0で あ るか ら,こ の 場合kは 正 とな っ て し ま うの で あ る.こ うい うわけ で,体 系 が 循 環 的 で あ る ため に は,kが まだ 正 で あ りそ れ ゆ えkが 増 え て い る 間 に,wが 負 → ゼ ロ→ 正 と符 号 を変 え な け れ ば な らな い .w=a(e(k,w)‑1)wで あ る か ら,こ の ため に はe、 は 正 で な け れ ば な らな い.

リマ ー ク5‑2.循 環 運 動 が 生 ず る ため に は,賃 金 調 整 速 度 は 速 す ぎず 遅 す ぎな い こ とが 必 要 で あ る.こ の 理 由 は,aが 無 限大 に 近 い か ゼ ロに近 い 限 界 状 況 を考 察 す る こ とで 理 解 で き る .

aが 無 限 大 に近 い 場 合 に は雇 用 は ほ ぼ完 全 雇 用 に 近 い 状 態 に 維 持 さ れ,勧 彩1と な る.そ こで, w(k)をky(k,w(k))=1で 定 義 す る な ら(24)式 はk=η1(k,w(k))で 近 似 で き る こ とに な る が,一 変 数 の 微 分 方 程 式 は 振 動 を生 じさせ る こ とは で き な い か ら,kは 単 調 にkに 収 束 す る こ と に な

る.

他 方aが ゼ ロ に近 い な ら,wは,kが 変 化 し続 け て い て も長 期 に わ た っ て ほ とん ど コ ン ス タ ン トに と ど ま る.・そ れ ゆ え,k(w)を η1(k(w),w)=0に よ っ て定 義 す る な ら,kは まず,wの 目立 っ た 変 化 が 無 い ま ま に,k=η1(k,w)

.に従 っ てk(w)に 近 づ く.つ い で,wが 徐 々 に 変 化 す る に 従 っ て,kも また,k=k(w)と い う関 係 を近 似 的 に維 持 しつ つ,変 化 す る こ と に な る.こ の第 二 の段 階 で は 体 系(24)はw=η2(k(w),w)に よ っ て近 似 で き る が,こ の 動 学 も単 調 な 収 束 しか 示 し え な

い .

リ マ ー ク5‑3.定 理3で カ バ ー さ れ て い な い 可 能 性 は(i)el>0でa=α1あ る い はa=azの 場 合 と(ii)θ1=0の 場 合 で あ る が,こ れ ら の 可 能 性 の 測 度 は 明 ら か に ゼ ロ で あ る.従 っ て 定 理3で 与 え た 循 環 運 動 の 条 件 は,生 成 的 な 意 味 で は 必 要 十 分 で あ る.

リ マ ー ク5‑4.体 系(24)の 解 が 示 す こ と の で き る循 環 運 動 は,定 理2に よ っ て,減 衰 振 動 で あ る.

6.循 環 運 動

イ ン トロ ダ ク シ ョ ン で述 べ た よ うに,本 稿 の 目的 の ひ とつ は,景 気 循 環 の過 程 を通 じて実 質 賃 金,資 本 ス トッ ク,雇 用,産 出 高 とい っ た 変 数 が どの よ う に動 くか を分 析 す る こ と に あ る.本 節 は,数 量 変 数 と して 一 木 当 た りの 変 数 を用 い て,こ れ らの 変 数 の 転 換 点 が ど うい う順 序 で生 起 す るか を 明 らか に す る.主 た る結 論 は 次 の 通 りで あ る.

March2012堀 元:失 業,循 環,成 長 の集 計的 マ クロモデ ル ・・ 定 理4.循 環 が 生 ず る とす る と,・諸 変 数 の 転 換 点 の 生 起 順 位 は 次 の 通 りで あ る.

数 量 変 数 の 上 方 転 換 点 つ ま りピー クは 雇 用 率,一 人 当 た り産 出 高,一 人 当 た り資 本 量 の 順 序 で 到 来 す る.こ れ に 続 い て これ らの 数 量 変 数 の下 方 転 換 点 つ ま り谷 が 同 じ順 序 で到 来 す る.

数 量 変 数 の上 方 転 換 点 に 続 い て,価 格 変 数 の 上 方 転 換 点 が,実 質 賃 金 率 と名 目賃 金 率 の 順 で到 来 す る.続 い て これ らの 変 数 の 下 方 転 換 点 が 同 じ順 序 で 到 来 す る.'

実 質 賃 金 率 お よ び名 目賃 金 率 の 上 方 転 換 点 は 一 人 当 た り資 本 量 の上 方 転 換 点 に 続 き,ま た 雇 用 率 の 下 方転 換 点 に 先 行 す る.

証 明.補 遺Eを 見 よ.i

下 の 図 はel>0で か つa,<a<Qzの 場 合 の 位 相 図 で あ る.実 質 賃 金 率z,雇 用 率e,お よ び 一 人 当 た り産 出 高y=Y/Lが 循 環 を 通 し て ど う動 くか を 示 す た め に,三 本 の 追 加 の 軌 跡4=0,e=0, お よ びy・=0を 描 き 入 れ て あ る.A点 か らE点(お よ びA"点)は 上 方 転 換 点 で あ り,A'点 か らE'

w

IV

司皿2

k=0

k O

微 分 方 程 式体 系(24)の 位 相 図

A,B,C,D,Eは 上 方 転 換 点 A',B',C',D',E'は 下 方 転 換 点

12'季 刊 創 価 経 済 論 集Vol .XLI,No.1・2・3・4 点 ま で は 下 方 転 換 点 で あ る.

循 環 過 程 で の 出 来 事 を 言 葉 で 表 現 す る と,次 の よ う な こ と に な ろ う.

局 面II.資 本 ろ ト ッ ク に 比 し て 貯 蓄 は 潤 沢 で あ っ て 一 人 当 た り 資 本 が 増 加 しづ ま た 過 剰 雇 用 が 支 配 的 で あ って 名 目賃 金 率 が 上 昇 す る..そ の た め 定 理2に 見 る よ うに労 働 ・資本 比 率 記=9(k,w) が低 下 し,実 質 賃 金 率 が 上 昇 して 利 潤 率 は 下 落 す る.結 果 と して資本 に比 しての貯 蓄が少 な くな っ . て い き,C点 に い た っ て 「 人 当 た り資 本 の 拡 大 は停 止 す る.こ の局面 の初期 の段階 で は,一 人 当 た

り資本 の 上 昇 率 が 急 速 な ため,雇 用 率 は上 昇 す る.(仮 定 に よ っ てe、>0で あ る.)し か しなが ら雇 用 率 は,貯 蓄 の潤 沢 さ が低 下 し,名 目賃 金 率 の上 昇 の影 響 が 支 配 的 と な る に と も な い ,A点 で下 落 し始 め る.

局 面IIL貯 蓄 が 少 な い た め 一 人 当 た り資 本 は低 下 す る.過 剰 雇 用 の 状 態 は まだ 続 い て お り,名 目賃 金 は上 昇 を続 け る.そ れ ゆ え(23)とa>0の 仮 定 に よ り雇 用 率 は 低 下 し,E点 にい た って過 剰 雇 用 は終 了 す る.こ の 局 面 の 初 期 の 段 階 で は,名 目賃 金 率 が 急 速 に上 昇 し続 け る た め,実 質 賃 金 率 は 上 昇 を続 け る.し か しな が ら,雇 用 率 の 低 下 に 伴 っ て,名 目賃 金 率 の 上 昇 速 度 は鈍 化 す る.

一 人 当 た り資本 の 減 少 の 影 響 が 支 配 的 とな り

,91<0で あ る た め 実 質 賃 金 率 はD点 で 下 落 し始 め る.

局 面IVお よ び1で の 出 来 事 は 以 上 の 逆 とな るが,・そ の 叙 述 は省 略 す る.

リマ ー ク6‑1.実 質 賃 金 率 の 反 循 環 的 な動 きは生 じ て い な い が,こ れ は 資本 ス トッ クの 動 き に よ っ て 説 明 で き る.弧DD'に 即 し て の 雇 用 率,実 質 賃 金 率 ,一 人当 た り資本 の動 きを考 え よ う.

この 間実 質 賃 金 率 は 下 落 し続 け て い る.D点 とA'点 の 間 で は,実 質 賃 金 率 低 下 の 影 響 は 一 人 当 た り資 本 の減 少 の 効 果 を打 ち 消 す ほ ど強 くは な く,こ の ため 雇 用 率 は 低 下 す る.点A'と 点C'の 間 で は,実 質 賃 金 率 下 落 の 速 度 は 速 く,他 方 一 人 当た り資 本 の 減 少 速 度 は 鈍 化 す る た め ,雇 用率 は上 昇 し始 め る・ 点C'と 点D'の 間 で は,実 質 貫 金 が 下 落 し,一 人 当 た り資 本 は 増加 す る た め,雇 用 率 は上 昇 す る.

7.結 論

本 稿 は,貨 幣 が 存 在 す る経 済 で の 失 業 と資 本 蓄積 の動 学 を分 析 した .基 本 とな る考 え方 は ケ イ ン ジ ア ン で あ る:っ ま り,唯 一 り 市 場 不 完 全 性 は名 目賃 金 の 硬 直 性 で あ り,こ れ が 非 自発 的 失 業 をひ きお こ す と い う もの で あ る.本 モ デ ル と伝 統 的 な ケ イ ン ズ 流 マ ク ロ モ デ ル との 主 た る違 い は, 資 本 翻 の 明示 的 な考 察 ト ビ ン 流 の 投 資 関 数 の 採 弔 そ れ に 完 全 予 見 の仮 定 に あ る .

本 稿 は,こ の よ うな枠 組 み を用 い て,実 質 賃 金率,資 本 ス トッ ク,投 資,お よび雇用率 が事 柄 の 因 果 関 係 に お い て 決 定 的 な役 割 を 溝 ず る,景 気循 環 の 具 体 的 な像 を描 くこ とが で き た.特 に 本 稿 は,循 環 が 生 ず る ため の 条 件 と,循 環 中の 転 換点 の生 起 順 序 に 関 して,い くつ か の 実 証 可 能 な 命 題 を証 明 した.本 稿 は また,貨 幣 の成 長率 が 小 さ い な ら長 期 均 衡 は 黄 金 率 の 意 味 で効 率 的TMあ

る こ と・ お よ び・ い わ ゆ る実 質 賃 金 パ ズ ル は 資 本 蓄 積 の考 票 に よ っ て 解 決 され る こ と を明 らか に

March2012堀 元:失 業,循 環,成 長 の 集 計 的 マ ク ロ モ デ ル し た.

z3

補遺

A.定 理1の 証 明

xl>0をf(xl)=(n+b)/Sに よ っ て 定 義 し,ま たx>朗 に 関 レ て 関 数 砂(x)を

殉 一Z(1m+bxf'xx"sfx‐n‐b・x)一 ・(x)‑m+n

で 定 義 し よ う.容 易 に 見 る こ と が で き る よ っ に, 璽ア(x*)=0'.(25)

を 満 足 す るx*〉 銑 に 対 し,k*=1/x*お よ びw*=(m+b)♂ ∫'(x*)/(Sf(♂)‑n‑b)で 与 え ら れ る 長 期 均 衡 が 存 在 し,か つ こ れ が 唯 一 の 長 期 均 衡 で あ る.

さ て,(9)お よ び(16)か ら,limヱ1S、 璽「(x)=o。 お よ びlimか 。。璽「(x)=一 ∞ が 成 り立 つ.さ ら に, ai ̲幽

∂k .f'ム' ai ̲」 幽

∂w∫'ム'

ai

ax‑一 器(f・ る一券 協+ム))

を用いて,

殉 一弩 鍔 響+xf"〈 ・(26)

と な る こ と を 示 す こ と が で き るtea7Jこ の(26)式 の 右 辺 は ・(9嘩(16)式 に よ っ て ・ す べ て のx>

x,に つ い て 負 で あ る.従 っ て(25)は ユ ニ ー ク な 解x*〉 諾1'を も つ.以 上 で 定 理1の 証 明 は 終 わ る.

B;定 理2の 証 明

h;{i,ノ=1,2,3)で,h̀の 第 ノ変 数 に 関 す る長 期 均 衡 で 評 価 し た偏 微 係 数 を表 し,H=(h;)と お こ ケ.動 学体 系(20)の 線 形 近 似 は

鯉il)⑳

で 与 え られ る.

定 理2の 証 明 は 三 つ の ス テ ッ プ に 分 け て な さ れ る.ス テ ッ プ1は,Hの 特 性 根 り 一 つ は 正 で, 残 り の 二 つ は 負 め 実 部 を も つ こ と を 示 す.ス テ ッ プ2は,安 定 多 様 体 の 接 平 面 はx‑x*=91(k

k*)+9z(w‑w*)と 表 す こ と が で き る こ と を 示 す.ス テ ッ プ3はi=1,2に つ い て9=〈0で あ る こ と を示 す.い6た ん こ れ ら が 成 う 立 つ こ とが 示 さ れ れ ば,定 理2は 微 分 方 程 式 の 周 知 の 定 理(た と え ばCoddingtonandLevinson[1955],Theorem4.1,Chapter13を 見 よ)か ら 結 果 す る.

・4 .季 刊 創 価 経 済 論 集,.Vo1・XLI,No.1・2・3・4 ス テ ッ プ1.Hの 特 性 方 程 式 は".

ψ(λ)一λ3一側 λ2+の λ一 薦 .'.(28) で 与 え ら れ る.た だ し

ω 一Sf…b+f'f (a̲xf ̲ai/.xax'

aa=f Cxsf‐n‐b‐sxf'+

xak/‑A)'(29) s=f af'aA,

A=(sf‐n‐b)Ψ'.

r%V/式 は(26)に 与 え ら れ て い る が,げ 一n‑b>0で あ る か らA〈0と な る .Hの 特 性 根 を λ痘=

1,2,3)と お く と,λ と α の 間 に は 次 の 関 係 式 が 成 り 立 つ.

λ・+λ2+λ3=α1, λ2λ3+〃3+λ ・λ2=偽,

..(30)

λ1λ2λ3=α3.『 ←

長 期 均 衡(k*,w*,x*)は 賃 金 嗣 整 津 度aか ら独 立 で あ る カ㍉ ん と αflさaに 導 続 的 に依 存 す る.必 要 な と き に は λ(a),a=(a)と 書 い て,こ の 依 存 関 係 を 明 示 的 に 示 す こ と に す る.

偽>0で あ る か ら,(30)に よ り,一 つ の λiと 他 め 二 つ の λiの 積 と は,全 て のa>0に つ い て 正 で あ る.正 の 根 を λ1と し よ う.w*とx*はaか ら独 立 で あ る か ら,(29)か らaが 小 さ い な らa2(a) .

〈0で あ る ・ 全 て のa>0に つ い て λ1(a)>0お よび λ2(のλ3(a)>0が 成 り立 つ か ら ,(30)か らa 小 さ い な ら λ2(a)十 λ3(a)〈0と な る.

次 に,実 は 全 て のa>0に つ い て λ2(a)+λ3(a)〈0'と な る こ と を 示 そ う.全 て のa>0に つ い て λ・ω λ・(a)>0で あ る か ら ・ こ の こ と は ・ 全 て のa>Pに つ ・・てR・(λ ・(a))〈α

.・ゴー2,3,と な る こ と を 意 味 し よ う.

こ れ が 成 り立 た な い と し よ う..そ う す る と λ2(a')+あ(a')=0と な るa'>0が あ る .こ のa'に つ い て は,(30)か ら,

.az(a')=λ ・(の λ・(a')>0'・ 『'

.1(31)

お よ び

偽(a')‐a,(a')a2(a')=0'(32)

が 成 り立 つ.ま た,A<0で あ る か ら,(31)と α2の定 義 か ら

s}'‑n‑b‑sxf'+xak〈0(33)

および

a'〉㌻

̲誌+1ai

xak>・(34)

March2012堀 元:失 業,循 環,成 長 の 集 計 的 マ ク ロ モ デ ルIS が 成 り 立 つ.

1「(d)≡o勾(a)一 αi(a)az(a)と お こ う.定 常 状 態 がaか ら 独 立 で あ る た め,(29)か らr(a)=γ1α2 +y2LZ+γ3と 書 け る が,こ の う ち 特 に γ1は,(33)か ら,・

γ1‑一(f,.xf")2(sf‐n+sxf'+1aixak)〉 ・

と.な る.こ のrに つ い て はr(a")>0お よ びr'(d")>0と な る こ とが 示 せ る.(1「'(a")>0の 証 明 に は(33)軸 う 一 度 用 い る 必 要 ヵ・あ る.)そ れ ゆ え 全 て のaza"に つ い て1'(a)〉 ・ と な る カ㍉ こ れ は(32)と(34)に 矛 盾 す る.従 っ て(32)が 成 り'立つ よ う なa'>0は 存 在 し な い.以 上 で,全 て のd>

0に つ い て λぎ(a)>0お よ びRe(λf(a))〈0,2=2,3,と な る こ と が 証 明 さ れ た.

ス テ ッ プ2.こ こ で は λ2≠λ3の 場 合 だ け を 扱 う.λ2=あ の 場 合 も ま っ た く 同 じ結 論 が 成 り立 つ の で あ るが,証 明 が 長 く な 乙 の で 省 略 す る.

μL(μ 嘱 μξ)Tを λ・に 対 応 す る 雛 ベ ク トル と し よ?・ そ う す る と線 形 体 系(27)の マ 般 解 は

難 一 一 一 蝋 の(35)

と な る ・ 解 が!々*・w*,x*)に 収 束 す る た め に は ・ λ1>・ で あ る か ら ・C1‑・ で な け れ ば な ら な い ・ k=k(0)k*,ZU=w(0)‑w*,x̀=x(6)‑x*と お こ う.そ うす る と,C1=0と な る た め に は,

/>岡(36)

が 成 り立 た ね ば な ら な い.所 与 のkとZUに 対 し て(36)式 が ユ ニ ー ク なxを 与 え る た め の 必 要 十

分 条 件 は 昌 ・

μ子 μ1

=≠=0' .(37)

μ霧 μ書

で あ り,こ の 条 件 が 成 り立 て ばxは,

x‑(2..3μ3,μ3)(鑑;プ(1)

で 与 え られ る.・ 一

表 現 を簡 単 にす る ため,

B=f C+af'sf ‐'n‐b・A一 ぎ+Sf̲n̲b)‑sf‐n‐b)

および

,r C=sxf'‐(sf‐n‐b)(1+f,

とす る.こ こ でB>0お よ びC+sf‐n‑b>0で あ る.そ う す る と ん に 対 応 す る 特 性 根 は

r6 季 刊 創 価 経 済 論 集 .

μ{=ユ,

μ≦‑c+awxsf‐n ‐b×

(・+(C+Sf‑  ろ)‑1D‑17"7Ujl#li(λ・+a(sf‐n‐b)C+sf‐n‐b)),

C+sF‑n‐b

(・+(c+Sf…b)‑181黒(ん+a(sf‐n‐b)C+.sf=n‐b))

Vol.XLI,No.1.2.3.4

(38)

と 表 す ご と が で き る.

(38)を 用 い る こ と に よ っ て,(37)が 成 り 立 ち,従 っ て ま た x=glk+gzw(39)

.と 書 く こ と が で き る こ と が わ か る.た だ しg1とgゴ は, f'a2/ ̲.f'AD=C1‑

x2f"sf‐n‐bak/.f'.:.sf‐n‐b と お い て,

xz(1)二 λrC) gl=λ 1+C

お よ び

9z‑x.aw〈(c+sf‐n‐b)(λ+a(sf‐n‐b)C+sf‐n ‐b)‑1B+a(sf‐n‐b)C+sf‐n‐b)・

で 与 え ちれ る.(36)の 直 接 の 解 に は λ・と λ・が 現れ るが,'こ れ らは,

‑3

i=1(λ汁 課)一 ψ(‑a(sf‐n‐b)C+sf‐n‐b),(4。)

=(a(sf‐n‑b)‑C(C十sf‐n‑b))8

お よ び 3

i=1(ん 十C)一 ψ(‑C)一(a(Sf‑n‑b)‑C(C+sf…b))D(4・)

を 用 ・・て ・ λ1で 置 きzる こ と が で き る ・(40)お よ び(4・)ρ 最 初 あ 等 号 は'恒等 式 ￠ω 一TT3i‑1(λ 一 λ∂ か ら得 ら れ る.第 二 の 等 号 は 単 純 な 計 算 の結 果 で あ る..

ス テ ッ プ3.

92は 明 ら か に 魚 で あ る.

9、が 負 で あ る こ と を 示 す に は, λ1一トC>0'(421)

お よ び

λ1+C‑D>0・(43)

を示 せ ば 十 分 で あ る.CzOな ら(42)は 明 ら か に 成 り 立 つ.C〈0の 場 合 を 扱 う た め に,こ の 場 合

March2012堀 元:失 業,循 環,成 長 の 集 計 的 マ ク ロ モ デ ル'.・7

に はDの 定 義 か らD<0で あ り,従 っ て(41)式 か ら ψ(‑C)〈0で あ る こ と に 準 意 さ れ た い.ψ(λ) は 三 次 方 程 式 で あ っ て λ1が た だ ひ と つ の 正 の 根 で あ る こ と が わ か っ て い る か ら,(42)が 得 ら れ る.(43)はD‑C≦0な ら λ1>0か ら得 ら れ る.ま たDSOな ら(43)は(42)か ら 得 ら れ る.D‑C

>0か つD>0と し よ う.こ の 場 合 に は

x2f"ム

と な 砂 ら,ψ(=C)<0か ら(42)が そ尋 ら れ た の と 同 様 に,

ψ(D‑c)一 一D((D‑c)w(服) ^一af'xf"〈xf'+wxZf".2i(f‑xf')編)))<・

(43)が 得 ら れ る.

C.e,お よ びe2

(39)式 お よ び 長 期 均 衡 で はxk=1が 成 り 立 つ こ と か ら, θ1=x十kgl=x(λ1十C)‑ID,

ez=kgz と な る.

(44)

D.定 理3の 証 明

微 分 方程 式 体 系(24)の 線 形 近 似 を

(1)一(;;;;)(k‑k*w‑w*)

で 表 そ う..η ∫は

η1̲勿1(c+sf‐n‑b)+Sf‑n‑∂,

Lky2(C十sf‐n‐b) η2一 w

ηぞ=aw(x十 ノlzgl),, η多={zaりkgz(<0)

+々(Sf‑n‑∂)(<o)ゴ

(45)

で 与 え られ る.η 邊く0は;補 遺Bで 与 え た92の 式 か ら見 る こ と が で き る.

こ の 線 形 微 分 方 程 式 体 系 が 循 環 を 示 す た め の 必 要 十 分 条 件 は(1̲2η1一η2)2+鰯 η子〈0で あ る が,こ の た め に は ηぞ>0が 成 り 立 た な け れ ば な ら な い.'従 っ てe、 に 関 す る 主 張 は(44)か ら証 明 さ れ る 三

こ こ で体 系(27)1ご 戻 っ て,e、>0と い う 前 提 の も と に,λ,と λ3が 実 数 で あ る か 複 素 数 で あ る か を 考 え よ う.a>0は(42)と(44)に よ っ てD>0を 含 意 し,そ れ ゆ えC>0を 含 意 す る こ とに 注 意 さ れ た い.さ ら に,λ2と λ3は 体 系(45)の 特 性 根 で も あ る こ と に 注 意 さ れ た い.定 理 の 証 明 は 以 下 四 つ の ス テ ッ プ に 分 け て な さ れ る.

ス テ ップ1.Z=1,2に つ い て,ψ ご(λ)を

ψf(λ)≦=λ2一βf1λ+a2' .,(46)

で 定 義 し よ う.た だ し

・8"季 刊 創 価 経 済 論 集'Vol .XLI,No.1.2・3・4'

aiQ 11=sf‐n‐b‐xf‐f.・ax'

β12‑f'f・ ・A,

/3ai=sf‐n‐b‐sxf'+xak'

Qzz=xA で あ る.そ うす る と

r

が 成 り立 つ.審 易 に 確 か め る こ と が で き る よ うに,'

ψ・(‑C)一 」 粥 デ η一 ∂D・(48)

で あ る.

ス デ ッ プ ￠ ・v=を ・ψ̀(vt)=0,v=<・ で 定 義 し よ う ・'w1(・)‑Q:zC・ 聯 か ら ・こ の よ う 躯 は ユ ニ ー ク に 存 在 す る.容 易 に 見 る こ と が で き る よ う に,

7'̲(λ)co

>o:灘1￠(49)

が成り立つ.以 下で

ψ1(vz)>0お よ び ψ・(vi)〈0・ ・,圏.'.・,一(50) を 示 す1

'

ψ(λ)のaへ の 依 存 を 示 す た め,ψ(λ;a)と 表 記 す る こ と に し よ う.B>0か っsf‐n‑b>0で あ る か ら,(40)式 よ り

嬬睾訓1陸

であるが,『これは

鵜 響))‑C(51)

と 同 値 で あ る.し か しSf‑n‑b>0の た め,'(48)式 とD>0(こ れ はe、>0に よ る)か ら ψ2(‑C)

〉 ・ で あ り・ 従 碇C>0カ}らva>‑Cで あ る・Yz〈0で あ る か ら ・(50)の 第 一 の 不 等 式 は(47) と(51)か ら 結 果 す る.こ の 不 等 式 はYz<Yi<0を 含 意 す る か ら,第 二 の 不 等 式 も成 り 立 っ.

ス テ ッ プ3.(49)と(50)ゑ ら,

vi〈 λ<0な ら ψ1(λ)〈0か つ ψ2(λ)<0,'"・(52) vi<λ 〈viな ら ψ'ω>0か つ ψ2(λ)〈0・ .:(53)