Non-SUSY Minimal SO(10) GUT

Non-SUSY Minimal SO(10) GUT

fermions

藤本 侑貴

首都大学東京 理工学研究科 物理学専攻 素粒子理論研究室

2018

1

目次

第

1

3

第

2

5

2.1

. . . . 5

2.2

. . . . 6

2.3 Higgs

. . . . 7

2.4

fermions

. . . . 9

2.5

. . . . 11

2.6

. . . . 12

第

3

Grand Unification Theory 14 3.1 Grand Unification Theory . . . . 14

3.2 The Georgi-Glashow SU (5) model . . . . 14

3.3

fermions

. . . . 16

3.4 SU(5)GUT

. . . . 19

第

4

SO(10)GUT 20 4.1 SU(4) _C × SU (2) _L × SU (2) _R . . . . 20

4.2 SO(10)

. . . . 21

4.3 SO(10)

SM

. . . . 22

4.4 SO(10)GUT

fermions

. . . . 24

第

5

Minimal Non-Supersymmetric SO(10)GUT 26 5.1 Economic Yukawa Sector in SO(10) . . . . 26

5.2 RGEs for Gauge Coupling Constants . . . . 27

5.3 RGEs from M GU T to M I . . . . 27

5.4 RGEs from M I to M Z . . . . 29

5.5

. . . . 30

第

6

32 6.1

neutrino

. . . . 32

6.2 Best fit

. . . . 33

6.3 NOvA

T2K

. . . . 39

第

7

41

Apendix 42

謝辞

44

参考文献

45

第 1 ^章

はじめに

素粒子物理学の目的は、自然界に存在する最も基本となる粒子を発見し、その性質や相互作用を解明、そし てそれを数学的に記述することである。素粒子物理学において現在のところ最も多くの実験結果を理解再現 することが出来ている模型は標準模型

(the Standard Model,SM)

2012

Higgs

(CERN)

(Large Hadron

Collider,LHC)

は理論的または実験的観点から解決すべき問題をいくつか抱えている。理論的な問題点としては「重力が量子 化できていない」、「調整可能なパラメータを数多く含む」、「繰り込み不可能なものがある」等が存在する。実 験的観点による問題点は「

neutrino

(Beyond the Standard

Model)

く支持されている。統一理論とは、自然界にある相互作用は宇宙初期は元々

1

(Quantum Electrodynamics (QED))

QED

1961

Sheldon Lee Glashow

SU (2) × U (1)

(Left-Right

Symmetriy)

B-L

bose

fermi

(Super Symmetriy)

(Grand Unification Theory,GUT)

GUT

(coupling constants)

GUT

本論文の構成を以下に示す。まず第

2

3

GUT

SU(5)GUT

GUT

4

SO(10)

GUT

5

6

7

第 2 ^章

標準模型

2.1

Dirac fermion

ψ(x)

(local)

ψ(x) → ψ ^′ = exp( − iα(x))ψ(x) (2.1)

ここで

α(x)

x = (t, x)

1

次元

unitary

U (1)

ψ ^′ (x)

Dirac

(iγ ^µ ∂ _µ − m)ψ(x) = 0 (2.2)

を満たさない。そこで、ゲージ場

A µ

∂ _µ → D _µ = ∂ _µ + ieA _µ (2.3)

このとき、

fermion

ψ(x)

A µ

(iγ ^µ D _µ − m)ψ(x) = 0 (2.4)

を満たすためには、場の変換に対してゲージ場が

A µ (x) → A ^′ _µ (x) = A µ (x) + 1

e ∂ µ α(x) (2.5)

と変換すればよい。また、

Lagranjian

L = ψ(iγ ^µ D µ − m)ψ − 1

4 F µν F ^µν (2.6)

F _µν = ∂ _µ A _ν − ∂ _ν A _µ (2.7)

となり、これは

e

fermion

ψ(x)

A µ

場

ψ(x)

local

U (1)

A µ

一般にゲージ対称性が

SU(N )

SU (N )

1

N

unitary

N

ψ(x) =



 

  ψ ₁ ψ 2

.. . ψ N



 

  (2.8)

の

SU (N )

U(x)

ψ(x) → ψ ^′ (x) = U (x)ψ(x) = exp(igθ ^a (x)T ^a )ψ(x) (2.9)

g

θ ^a (x)

T ^a

SU (N )

a = 1, ..., (N ² − 1)

N × N

ψ

Lagrangian

∂ µ → D µ = ∂ µ + igA ^a _µ (x)T ^a (2.10)

であり、

Lagrangian

A ^a _µ (x) → A ^′ _µ ^a (x) = A ^a _µ (x) + f ^abc A ^b _µ (x)θ ^c (x) − 1

g ∂ µ θ ^a (x) (2.11)

f ^abc

SU (N)

[ T ^a , T ^b ]

= if ^abc T ^c (2.12)

で表される完全反対称な定数である。従って

SU (N)

Lagranjian

L = ψ(iγ ^µ D µ − m)ψ − 1

2 tr(F _µν ^a F ^aµν ) (2.13)

F _µν ^a = ∂ _µ A ^a _ν − ∂ _ν A ^a _µ − gf ^abc A ^b _µ A ^c _ν (2.14)

A µ

0

2.2

電磁相互作用は

U (1)

1

SU (2)

U (1)

SU (2) × U(1)

ゲージ対称性として表される。そして、この対称性が自発的に破れ、その結果、破れのない部分群

U (1)(SU (2) × U (1)

U (1)

)

U (1) QED

SU (2) L × U(1) Y

弱い相互作用は左巻きの

fermions

neutrino

fermions

SU (2)

fermions

leptons

leptons

L = ( ν eL

e L

)

となり、右巻きの電子は

e R

と表す。ここで

fermion

ψ

ψ R , ψ L

P R = 1 + γ ₅

2 , P L = 1 − γ ₅ 2

を用いて、

ψ R = P R ψ , ψ L = P L ψ

leptons

SU(2) L

U (1) Y

ゲージ変換を考えると、

Lagrangian

L = iLγ ^µ D _µ L + ie _R γ ^µ D _µ e _R − 1

2 tr(B _µν B ^µν ) − 1

2 tr(W _µν ⁱ W ^iµν ) (2.15) D µ L =

(

∂ µ + ig Y B µ

Y

2 + ig L W _µ ⁱ T ⁱ )

L (2.16)

D µ e R = (

∂ µ + ig Y B µ

Y 2

)

e R (2.17)

B _µν = ∂ _µ B _ν − ∂ _ν B _µ (2.18)

W _µν ⁱ = ∂ µ W _ν ⁱ − ∂ ν W _µ ⁱ − g Y ε ijk W _µ ^j W _ν ^k (2.19) ε(i = 1, 2, 3)

Y /2

U (1) _Y

T ⁱ

SU (2) _L

T ⁱ

Pauli

σ ⁱ /2

(Appendix)

Y

weak hypercharge

Q

weak isospin

T ³

Q = T ³ + Y

2 (2.20)

という関係にある。それぞれの

leptons

1

fermion ψ

ψ = ψ ^† γ ⁰

−L m = mψψ = mψ _L ψ R + mψ _R ψ L (2.21)

と書かれるはず。従って電弱相互作用の場合、左巻きは

SU (2) _L

SU (2) _L

2.3 Higgs

ゲージ場

B _µ , W _µ

0

しかしながら、弱い相互作用が無限遠方まで働かず、高エネルギーでのみ観測されることから、媒介するボ ソンの質量は極めて大きいと考えられる。そこで導入されたのが、物理系を表す

Lagrangian

Higgs

Higgs

0

0

Lagranjian

Higgs

ϕ

L H = (D ^µ ϕ) ^† (D µ ϕ) − V (ϕ) (2.22)

を加えてもゲージ変換不変のままである。このとき真空として選ばれるのは、

Higgs

V (ϕ)

実際に

SU (2) L × U (1) Y

ϕ

SU (2) L

二重項として

ϕ = ( ϕ ⁺

ϕ ⁰

)

として表す。さらに

ϕ ⁺

Q = 1

ϕ ⁰

Q = 0

T ³ ( ϕ ⁺

ϕ ⁰ )

= 1 2

( ϕ ⁺

− ϕ ⁰ )

(2.23)

ϕ ⁺

ϕ ⁰

weak hypercharge Y = 1

ϕ

leptons

D µ ϕ = (

∂ µ + ig Y B µ

Y

2 + ig L W _µ ⁱ T ⁱ )

ϕ (2.24)

となる。一方、ゲージ変換不変なポテンシャル項は、繰り込み可能なことから

ϕ

4

V (ϕ) = µ ² ϕ ^† ϕ + λ(ϕ ^† ϕ) ² (2.25)

となる。ポテンシャルが極小値を持つためには

λ > 0

µ ² > 0

ϕ = 0

µ ² < 0

ϕ ^† ϕ = − µ ²

λ (2.26)

のとき。この段階では

ϕ

4

⟨ 0 | ϕ | 0 ⟩ = ( 0

√ ν 2

) , ν =

√ − µ ²

λ (2.27)

に選ぶことによって、真空が

SU (2) _L × U (1) _Y

Q ⟨ 0 | ϕ | 0 ⟩ =

( T ³ + Y

2 )

⟨ 0 | ϕ | 0 ⟩ = 0 (2.28)

より、

U (1) QED

Higgs

ϕ

SU (2) _L × U (1) _Y → U(1) _QED

と自発的に破れる。ここで

ϕ

D _µ ϕ → i

√ 2 ( g Y

2 B _µ + g L

2 W _µ ⁱ σ ⁱ ) ( 0

√ ν 2

)

= iν 2 √ 2

( g L W _µ ¹ − ig L W _µ ² g Y B µ − g L W _µ ³

)

(2.29)

L kin = 1 2

( g L ν 2

) 2 (

W ^1µ W _µ ¹ + W ^2µ W _µ ² ) + 1

2

(√ g ² _L + g _Y ² ν 2

) 2

( cos θ W W ^3µ − sin θ W B ^µ ) (

cos θ W W _µ ³ − sin θ W B µ

) (2.30)

となる。ここで

θ _W

Weinberg

cos θ W = g L

√ g _L ² + g _Y ² , sin θ W = g Y

√ g _L ² + g ² _Y (2.31)

と置く。さらに

W _µ ^± = 1

√ (

W _µ ¹ ± iW _µ ² )

, Z _µ = cos θ _W W _µ ³ − sin θ _W B _µ (2.32)

と置けば、

L kin = ( g L ν

2 ) 2

W ^+µ W _µ ⁻ + 1 2

(√ g ² _L + g _Y ² ν 2

) 2

Z ^µ Z µ (2.33)

となる。よって

SU (2) L × U(1) Y

0

B µ , W µ

M _W = g L ν

2 , M _Z =

√ g ² _L + g _Y ² ν 2

を持った

W ^±

Z

Higgs

ϕ

4

1

が

Higgs

3

Z _µ

A _µ

Z _µ

A _µ

( Z _µ

A _µ )

=

( cos θ _W − sin θ _W sin θ _W cos θ _W

) ( W _µ ³ B _µ

)

(2.34)

SU (2) L × U(1) Y

Weinberg

U (1) Q ED

leptons

A µ

D µ → ∂ µ + i √ g L g Y

g ² _L + g ² _Y ( Y

2 + T ³ )

A µ = ∂ µ + i √ g L g Y

g ² _L + g _Y ² QA µ (2.35)

U (1) QED

e

e = g L g Y

√ g ² _L + g ² _Y

2.4

fermions

Higgs

Higgs

fermions

用も

SU (2) _L × U (1) _Y

SU(2) _L

2

fermion

SU (2) L 1

fermion

SU (2) L 2

Higs

1

U (1) Y

leptons

それぞれの

U (1) Y

L ^′ = exp

(

− iα Y L

2 )

L , e ^′ _R = exp (

− iα Y e

2 )

e _R , ϕ ^′ = exp (

− iα Y H

2 )

ϕ

( Lϕe _R ) _′

= exp ( − i α

2 ( − Y _L + Y _H + Y _e

) )

U (1) Y

− Y L + Y H + Y e

= 0

であり、成り立っている。よって、

SU (2) L × U (1) Y

Lagrangian

L yukawa = − y e Lϕe R + h.c. (2.36)

となり、これを湯川相互作用

(Yukawa Coupling)

y e

Higgs

L yukawa = − y e L ( 0

√ ν 2

)

e R + h.c. = − y e ν

√ 2 (e L e R + e R e L ) = − y e ν

√ 2 ee (2.37)

となる。よって電子は自発的対称性の破れによって、湯川相互作用より質量

m e = y e ν

√ 2

今まで第一世代の

leptons

quarks

3

quarks

SU (2) L

quarks

SU (2) L

u type quarks, d type quarks

3

Q = ( u L

d L

)

, u R , d R

が存在し、湯川相互作用は

L yukawa = − y u Qϕu R − y d Qϕd R + h.c. (2.38)

quarks

3

quarks

L yukawa = − u L M u u R − d L M d d R (2.39) u L =



 u L

c L

t _L



 , u R =



 u R

c R

t _R



 , d L =



 d L

s L

b _L



 , d R =



 d R

s R

b _R





となるが、

leptons

quarks

u type quarks

d type quarks

M

3 × 3

d

quarks

Cabbibo-

-

CKM

行列）



 d ^′ s ^′ b ^′



 = V CKM



 d s b



 (2.40)

を用いて、特に区別するときは



 d ^′ s ^′ b ^′





を

SU (2) L



 d s b





2.5

標準模型における強い相互作用は

quarks

SU(3) _C

leptons

quarks

q f =



 q _f ¹ q _f ² q _f ²





で表される。ここで

f

quarks

f = 1, 2, ..., 6 = u, d, c, s, t, b

Lagrangian

L QCD =

N

∑

f=1

q _f (iγ ^µ D _µ − m _f ) q _f − 1

2 tr(G ^a _µν G ^aµν ) (2.41) D µ q f = (

∂ µ + ig 3 T ^a G ^a _µ )

(2.42) G ^a _µν = ∂ µ G ^a _ν − ∂ ν G ^a _µ − g 3 f abc G ^b _µ G ^c _ν (2.43) T ^a

SU (3) _C

(a = 1, 2, ..., 8)

Gell-Mann

λ ^a /2

(Appendix)

以上より標準模型を対称性の観点から見ると、高エネルギーでは

SU (3) _C × [SU (2) _L × U(1) _Y ]

という対称性を持っていて、エネルギーが下がると

Higgs

SU(3) C × U (1) QED

に破れる。

表

2.1 SM

fermions

SU (3) T ³ Y /2 Q

( u L

d L

)

3 (

+1/2

− 1/2 )

+1/6 (

+2/3

− 1/3 )

u R 3 0 +2/3 +2/3

d R 3 0 − 1/3 − 1/3

( ν eL

e ⁻ _L )

1

( +1/2

− 1/2 )

− 1/2

( 0

− 1 )

e ⁻ _R 1 0 − 1 − 1

ϕ = (

ϕ ⁺ ϕ ⁰

) 1

( +1/2

− 1/2 )

+1/2 (

+1 0

)

2.6

標準模型にはいくつかの問題点がある。その内の二つに注目してみる。一つは

neutrino

neutrino

SU (2)

0

1998

neutrino

(ν 1 , ν 2 , ν 3 )

e, µ, τ

ν e , ν µ , ν τ

quarks

(Pontecorvo)-

-

-

（

MNS



 ν e

ν µ

ν τ



 = V M N S



 ν 1

ν 2

ν 3



 (2.44)

と表される。

二つ目の問題はアノマリーによるものである。経路積分で対称性について考えると、パラメータ

ϵ ^a

Local

δψ = ψ ^′ (x) − ψ(x) = ϵ ^a (x)G ^a (x) (2.45)

Dψ = Πdψ(x)

Dψ ^′ = Dψ exp (

i

∫

d ⁴ xϵ ^a (x)A ^a (x) )

(2.46)

S[ψ] =

∫

d ⁴ L (x)

を用いて経路積分

∫

Dψe ^iS[ψ]

が不変となるものが対称である。計算してみると、

∫

Dψ ^′ e ^iS[ψ

^] =

∫

Dψ exp (

i

∫

d ⁴ xϵ ^a (x)A ^a (x) )

exp (

iS[ψ] + i

∫

d ⁴ x δS[ψ]

δψ(x) ϵ ^a (x)G ^a (x) )

=

∫

Dψ exp (

i

∫

d ⁴ xϵ ^a (x) (

A ^a (x) + δS[ψ]

δψ(x) G ^a (x) ))

e ^iS[ψ] (2.47)

となるので、

∫

d ⁴ xϵ ^a (x) (

A ^a (x) + δS[ψ]

δψ(x) G ^a (x) )

= 0 (2.48)

さらに任意のパラメータ

ϵ ^a (x)

⟨ A ^a (x) + δS[ψ]

δψ(x) G ^a (x) ⟩ = 0 (2.49)

という恒等式を得る。

Local

δS[ψ] =

∫

d ⁴ x δS[ψ]

δψ(x) ϵ ^a (x)G ^a (x) = 0 (2.50)

であり、任意のパラメータ

ϵ ^a (x)

⟨ A ^a (x) ⟩ = 0

⟨ A ^a (x) ⟩ ̸ = 0

のような場合をアノマリーがあると呼ぶ。ここで

SU (N)

ψ(x)

N

P _R ^† = P _L , P _L ^† = P _R

となるので、微小変換は

δψ R = igθ ^a T ^a P R ψ , δψ R = − ψigθ ^a T ^a P L (2.51) δψ L = igθ ^a T ^a P L ψ , δψ L = − ψigθ ^a T ^a P R (2.52)

Dψ ^′ _R Dψ _R ^′ = DψDet(1 − igθ ^a T ^a P L )DψDet(1 + igθ ^a T ^a P R )

= DψDψDet(1 + igθ ^a T ^a γ ₅ )

= DψDψ exp (∫

d ⁴ xigθ ^a tr (

T ^a γ 5 δ ⁴ (0) ))

(2.53) Dψ _L ^′ Dψ ^′ _L = DψDψ exp

(

−

∫

d ⁴ xigθ ^a tr (

T ^a γ 5 δ ⁴ (0) ))

(2.54)

⟨ T ^a γ 5 δ ⁴ (0) ⟩ = 0

なら無い。もし

δ ⁴ (0)

SU (N )

T ^a

γ ₅

0

leptons

quarks

weak hypercharge

quarks

leptons

第 3 ^章

Grand Unification Theory

3.1 Grand Unification Theory

QCD

local SU (3)

Weinberg-Salam

localSU(2) L × U (1) Y

SM

1

quarks

leptons

Grand Unification Theory(GUT)

quarks

leptons

SU (3) C × [SU (2) L × U (1) Y ]

SU (3) × [SU (2) × U (1)]

SU (5)

Georgi-Glashow SU (5)

model

にも、

GUT

SM

3.2 The Georgi-Glashow SU (5) model

SU (5)

Georgi-Glashow

SM

SU (5)

traceless

hermitian

5 × 5

SU (3)

λ ^a (a = 1, ..., 8)

3 × 3 block

SU (2)

T ^a (a = 1, ..., 3)

2 × 2block

Weak hypercharge

Y

traceless

SU(3)

SU (2)

(Apendix)

SU (5)

5

5

2

5

A ⁱ , A ˜ ⁱ

2nd

2nd

antisymmetric

A ^ij

A ^ij = A ⁱ A ˜ ^j − A ^j A ˜ ⁱ

であらわせる。これは

10

SU (5)

5

5

2nd

symmetric

S ^ij = A ⁱ A ˜ ^j + A ^j A ˜ ⁱ

は

5 × 5 = 25

antisymmetric

15

quarks

15

15

15

5, 5, 10, 10, 15, 15

生成子の関係性から、

SM

5 + 10

5

SU (3)

SU (2)

(3, 1) + (1, 2)

5

(3, 1) + (1, 2)

(1, 2)

(e ⁻ _L , ν eL ) ^T

(3, 1)

u R

d R

SU(5)

traceless

Q = T 3 + Y /2

5

0

(3, 1)

d

d

3

(e ⁻ _L , ν eL ) ^T

Q = 1 3 + 1

3 + 1

3 − 1 + 0 = 0

となる。

10

5 × 5

antisymmetric

5 = (3, 1) + (1, 2)

10

SU (3)

SU (2)

10 = [ { (3, 1) + (1, 2) } × { (3, 1) + (1, 2) } ] A

= [(3, 1) × (3, 1)] A + (3, 1) × (1, 2) + [(1, 2) × (1, 2)] A

= (3, 1) + (3, 2) + (1, 1) (3.1)

となる。

(3, 1)

u _R

(3, 2)

(u _L , d _L ) ^T

(1, 1)

e ⁺ _R

以上より同じ表現に

quarks

leptons

SU(5)GUT

SU (5)

24

SU (3) C × [SU (2) L × U(1) C ]

24 = (8, 1) + (1, 3) + (1, 1) + (3, 2) + (3, 2) (3.2)

quarks

leptons

X,Y

(3, 2), (3, 2)

SU (5)GUT

SU (3) C × [SU (2) L × U(1) C ]

SM

SU(5)

Higgs

Σ ^ij

られる。

Higgs

V (ϕ, Σ) = V ϕ (ϕ) + V Σ (Σ) + λ 4 (trΣ ² )h ^† ϕ + λ 5 ϕ ^dag Σ ² ϕ (3.3) V _Σ = − m ² ₁ (trΣ ² ) + λ ₁ (trΣ ² ) ² + λ ₂ (trΣ ⁴ ) (3.4)

V _ϕ = − m ² ₂ (ϕ ^† ϕ) + λ ₃ (ϕ ^† ϕ) ² (3.5)

となる。このとき、

ϕ

SM

Higgs

ϕ ^T = (ϕ ¹ , ϕ ² , ϕ ³ , ϕ ⁺ , ϕ ⁰ )

であり、

SM

Higgs

2

SU (3) _C ×

[SU (2) _L × U (1) _C ]

⟨ Σ ⟩ = M diag(2, 2, 2, − 3, − 3) (3.6) M ² = m ² ₁

2(30λ 1 + 7λ 2 )

となる。この破れは

X,Y

M

M ⁴

τ ∼ M ⁴

g ₅ ² m ⁵ _p

となる。ここで

g 5

SU (5)GUT

m p

3.3

fermions

相対論的な場の量子論において摂動展開しようとしても発散してしまうことがある。これはループの運動量 積分の範囲がに

0

cut-off

例えば、スカラー場

ϕ

4

ϕ ⁴ theory

2-loop

Σ(p ² )

4

µ ²

Tatlor

2

Σ(p ² ) = Σ(µ ² ) + (p ² − µ ² )Σ ^′ (µ ² ) + ˜ Σ(p ² ) (3.7)

Σ(µ ² )

4

Σ ^′ (µ ² )

log

Σ(p ˜ ² )

Σ(µ ˜ ² ) = 0 , Σ ˜ ^′ (µ ² ) = 0

2

i∆(p)

i∆(p) = i

p ² − m ² − Σ(p ² ) + iε = i

p ² − m ² − Σ(µ ² ) − (p ² − µ ² )Σ ^′ (µ ² ) − Σ(p ˜ ² ) + iε (3.8)

µ ²

m ² + Σ(µ ² ) = µ ²

i∆(p) = i

(p ² − µ ² )[1 − Σ ^′ (µ ² )] − Σ(p ˜ ² ) + iε (3.9)

∆(p ² )

p ² = µ ²

pole

µ ²

physical mass

m ²

Σ(µ ² )

Σ ^′ (µ ² )

Σ ^′ (µ ² )

Σ(p ˜ ² )

λ 0

Z _ϕ = [1 − Σ ^′ (µ ² )] ^{− 1} = 1 + Σ ^′ (µ ² ) + O (λ ² ₀ ) (3.10)

i∆(p) = iZ ϕ

p ² − µ ² − Σ(p ˜ ² ) + iε (3.11)

とすることが出来る。よって、繰り込まれた場

ϕ

ϕ 0

ϕ = √

Z _ϕ ϕ ₀ (3.12)

とすれば、繰り込まれた

2

i∆ R (p)

i∆ _R (p) = i

p ² − µ ² − Σ(p ˜ ² ) + iε = Z _ϕ ^{− 1} i∆(p) (3.13)

n

n

G ⁽ⁿ⁾ ₀

µ

µ ∂

∂µ G ⁽ⁿ⁾ ₀ = 0 (3.14)

これに対して、繰り込まれた

n

G ⁽ⁿ⁾

Z(ϕ 0 = √

Zϕ)

G ⁽ⁿ⁾ = Z ^{− n/2} G 0

と書けるので、

Z ^{− n/2} µ ∂

∂µ (Z ^n/2 G ⁽ⁿ⁾ ) = 0 (3.15)

である。さらに、

n

µ

λ

Z ^{− n/2} µ ∂

∂µ (Z ^n/2 G ⁽ⁿ⁾ ) = Z ^{− n/2} (

µ ∂Z ^n/2

∂µ + Z ^n/2 µ ∂

∂µ )

G ⁽ⁿ⁾

= Z ^{− n/2} ( n

2 µZ ^{n/2 − 1} ∂Z

∂µ + Z ^n/2 µ ∂

∂µ + Z ^n/2 µ ∂λ

∂µ

∂

∂λ )

G ⁽ⁿ⁾

= (

− nµ ∂

∂µ ln Z ^{− 1/2} + µ ∂

∂µ + µ ∂λ

∂µ

∂

∂λ )

G ⁽ⁿ⁾ (3.16)

となるので、

β(λ) = µ ∂λ

∂µ , γ(λ) = − µ ∂

∂µ ln Z ^{− 1/2} (3.17)

と置くと、

(

µ ∂

∂µ + β(λ) ∂

∂λ + nγ(λ) )

G ⁽ⁿ⁾ = 0 (3.18)

となる。このとき、

β

γ

µ

λ

λ

physical mass µ

µ

(Renormalization Group Equation)(RGE)

β

特に、非可換群によるゲージ場の場合、結合定数

g

1-loop

β(g)

β = − g ³

16π ² [ 11

3 t 2 (V ) − 4

3 t 2 (F) + 1 3 t 2 (S)

]

(3.19)

t 2 (F)δ ^ab = tr (

T ^a (F )T ^b (F ) ) t 2 (S)δ ^ab = tr (

T ^a (S)T ^b (S) )

となる。ここで

T ^a (F )

T ^a (V )

fermions,scalars

t 2 (V )

2

Casimir

f ^abc

t ₂ (V )δ ^ab = f ^acd f ^bcd

µ ∂g

∂µ = β(g) = − a

16π ² g ³ (3.20)

と置きこの方程式を解くと

g ^{− 2} (µ) = g ^{− 2} (µ 0 ) − a 8π ² ln

( µ µ ₀

)

(3.21)