数論幾何における Galois 表現

数論幾何における Galois ^表現

斎藤 毅

有理数体上定義された代数多様体のエタール・コホモロジーは, 有理数体の絶対

Galois

p

してどんなことがまだわからないか解説する. 多様体がよい還元をもたないような素 数

p

[1]

1

1.1

Jacobi

B (s, t) =

₁

0

x ^s−1 (1 − x) ^t−1 dx

J(a, b) =

x=0,1∈Fp

χ ^a (x)χ ^b (1 − x)

というものがある. この類似は, 形式的には次のようなものである. ベータ関数の方で は,

x

R ^×

1

χ

F ^× _p

1

Jacobi

この類似は, じつはもっと幾何的なところからきている.

C _n

X ⁿ + Y ⁿ = 1

C _n

Fermat

B (s, t)

Jacobi

J (a, b)

Fermat

C _n

まずベータ関数

B(s, t)

Q

X

,

H ^q (X(C), Q)

de Rham

H _dR ^q (X/Q)

H ^q (X(C), Q) ⊗ Q C → H _dR ^q (X/Q) ⊗ Q C

s, t

n

B (s, t)

Fermat

H ¹ (C _n )

一方

n

p

C _n

F _p

Jacobi

J(a, b)

[2].

Weil

Grothendieck

[3],

Weil

[4]

F _p

有理点の個数の母関数として定義される. これがコホモロジーへの

Frobenius

固有多項式として表わされるというのがこの証明の基本なのだった. このような意味 で, Jacobi和

J(a, b)

Fermat

C _n

このように

Fermat

C _n

p

Jacobi

Fermat

C _n ⇒ H ¹ (C _n ) (大域)

C p

ベータ関数

Jacobi

(

)

このようなみかたが, 現代の数論における局所と大域の考え方の原形なのである.

1.2 Galois

S = {

} {∞} = { 2, 3, 5, 7, . . . , ∞}

S

∞

Q

R = Q _∞

p

Q

p

Q _p

S(正確にはその開集合)

Q

Galois

G _Q

位相幾何では, 位相空間

S

π ₁ (S)

π ₁ (S)

S

S = { 2, 3, 5, 7, . . . , ∞} (の

Galois

G _Q

G _Q

S

Q

Galois

G _Q = Gal( ¯ Q/Q)

Q

Q ¯

Aut( ¯ Q)

G _Q

Q

(n)

V

G _Q → GL _Q

(V )( GL _n (Q ))

S

p

S

進表現だけでは,無限素点の扱いかたが不十分なので, さらにこれと対応する

Hodge

[5].

有理数体上定義された代数多様体や, 保型形式などに対し, Galois群

G _Q

(と Hodge

代数多様体, 保型形式

⇒

(+ Hodge

このような対応により, 有理数体上の代数幾何的あるいは表現論的対象を, より線型代 数的な対象である

Fermat

実際に

Galois

にも基本群を用いるもの, 合同性を用いるものなどがあるが, ここではふれない.

X

H ^q (X _{Q ¯} , Q )

G _Q

H ^q (X _{Q ¯} , Q )

Q

Q

C

大

H ^q (X(C), Q) ⊗ _Q Q

Hodge

de Rham

H ^q (X(C), Q) ⊗ Q C → H _dR ^q (X/Q) ⊗ Q C

例

1. E

Q

T E = lim ←− ⁿ Ker( ⁿ : E( ¯ Q) → E( ¯ Q))

2

Z -加群であり,

Galois

Gal( ¯ Q/Q)

E

H ¹ (E Q ¯ , Q )

Hom(T E, Q )

E(C)

C

T

C/T

T E T ⊗ Z Z

H ¹ (E _{Q ¯} , Q ) Hom(T, Q )

2. f = _∞

q=1 a _n q ⁿ

Hecke

T _n

Gal( ¯ Q/Q)

2

V _f

p

Tr(F r _p : V _f ) = a _p

[6].

f

Fermat

Galois

証明された

[7]

1

2

, Fermat

([8]

).

1.3

Galois

S = { 2, 3, 5, 7, . . . , ∞}

S

S

S ¹

S

p

F _p

Galois

G _F

Galois

G _F

= Gal( ¯ F _p /F _p )

F _p

F ¯ _p

Aut( ¯ F _p )

p

ϕ _p : ¯ F _p → F ¯ _p

Galois

G _F

F r _p

Frobenius

Galois

G _F

Z ˆ → G _F

: 1 → F r _p

Z

pro

Z ˆ

S

Z

S ¹

S

S

S

S

X

Q

n

X

G _Q

p

X

p

X mod p

p

X mod p

X

p

X

p

F _p

X mod p

F _p

X

p

たとえば

E

y ² = 4x ³ − g ₂ x − g ₃

Q

₂ ³ − 27g ₃ ² )

E

C _n

n

N

X ₀ (N )

N

X

p

p

H ^q (X _{Q ¯} , Q )

p

X mod p

[9]. 2.1

,

, p

Frobenius F r _p

H ^q (X _{Q ¯} , Q )

P _q (t) = det(1 − F r _p t : H ^q (X _{Q ¯} , Q ))

について, 次の等式がなりたつ

P ₁ (t) · · · · · P _2n−1 (t)

P ₀ (t) · P ₂ (t) · · · · · P _2n (t) = exp

∞

m=1

(X mod p

F _p

m t ^m .

右辺が有限体上の多様体

X mod p

Z (X mod p, t)

Weil

P _q (t)

P _q (t) = det(1 − F r _p t : H ^q (X _{Q ¯} , Q ))

X mod p

(X mod p

F _p

⇒

Z(X mod p, t)

⇒

H ^q (X _{Q ¯} , Q )

p

E

Q

p

E

a _p (E)

(E mod p

F _p

p + 1 − a _p (E)

P ₁ (t) = 1 − a _p (E)t + pt ²

X

Fermat

C _n

n

F _p

χ

P ₁ (t) =

a,b,a+b≡0modn

(1 − J (a, b)t)

となる. このように

Jacobi

H ¹ (C _{n, Q ¯} , Q )

p

p

N

N

X ₀ (N ) mod p

P ₁ (t)

2

N

f _i = _∞

n=1 a _n (f _i )q ⁿ

1 − a _p (f _i )t + pt ²

[10].

このように合同ゼータ関数を使うと

Galois

p

.

p

p

0. X

p

= p.

いま

X

1

S = { 2, 3, 5, 7, . . . , ∞}

3

1.

∞ . 2. p = .

3. X

p

p = .

S

4

S = {

} {∞} { } {

}

S

S

.

, 1

Hodge

,

. 2

p

Hodge

Fontaine, Messing, Faltings,

[12].

. 3

. 3

,

くに個々の多様体の個性があらわれる. ここからは, おもに分岐理論の最近の進歩につ いて解説する.

2

Galois

2.1

Galois

局所系が退化する点でのようすを調べるには,その点のまわりのモノドロミーの作 用をみるのがふつうの方法である. 同じように,

X

p

p

G _Q

H ^q (X _{Q ¯} , Q )

p

Galois

G _Q

= Gal( ¯ Q _p /Q _p ) ⊂ G _Q

Galois

G _Q

[11].

Q _p

1

p

1

Q _p (ζ _m , p | m)

Q _p

Q ^ur _p

Q _p

p

p

Q ^ur _p (p ^1/m , p | m)

Q _p

(tamely ramified)

Q ^tr _p

G _Q

= Gal( ¯ Q _p /Q _p )

Q _p ⊂ Q ^ur _p = Q _p (ζ _m , p | m) ⊂ Q ^tr _p = Q ^ur _p (p ^1/m , p | m) ⊂ Q ¯ _p

G _Q

⊃ I ⊃ P ⊃ 1

と書く習慣である.

I

P

(wild)

商群

G _Q

/I

F _p

Galois

G _F

= Gal( ¯ F _p /F _p )

F _p

Galois

G _F

Z

pro

Z ˆ = lim ←− ⁿ Z/nZ

1 → F r _p (=幾何的 Frobenius)

I/P

F ¯ _p

1

m

μ _m = { ζ ∈ F ¯ _p | ζ ^m = 1 }

lim ←− ^p|m μ _m

Z ˆ

p

Z ˆ

P

pro-p

F ¯ _p

Pontryagin

G _Q

/I = Gal( ¯ F _p /F _p ) = ˆ Z Frobenius

I/P = lim ←− ^p|m μ _m Z ˆ

P

pro-p

絶対

Galois

G _Q

V

I

G _Q

/I → G _F

G _Q

G _F

F r _p

X

p =

H ^q (X _{Q ¯} , Q )

p

G _Q

F r _p

F r _p

ここからは多様体

X

p

G _Q

V

2

A. G _Q

V

B.

V

以下では, A,Bそれぞれについて, 問題の定式化と, それらについての最近の進歩につ いて紹介する.

G _Q

V

2.2

問題

A

weight-monodromy

G _Q

ρ : G _Q

→ GL(V )

ρ

N

[13].

Weil

W _Q

G _Q

G _F

F r _p

W _Q

⊂ G _Q

↓ ↓

F r _p (= Z) ⊂ G _F

(= ˆ Z).

幾何的

FrobeniusF r _p

W _Q

F

1

W _Q

ρ : W _Q

→ GL _Q

(V )

V

N

ρ(F ⁿ σ) = ρ (F ⁿ σ) exp(t (σ)N )

n ∈ Z, σ ∈ I

1

t : I → I/P → Z

I/P → Z ˆ

Z ˆ → Z

ρ

I ⊂ W _Q

Kerρ ∩ I

I

F ⁿ σ ∈ W _Q

(n ∈ Z, σ ∈ I)

ⁿ σ) = Trρ (F ⁿ σ)

W _Q

Galois

G _Q

G _Q

ρ

W _Q

ρ

V

N

ρ

ρ

N

(W _Q

ρ +

N ) ⇔ G _Q

ρ.

2.3

Galois

ρ : G _Q

→ V

X

H ^q (X _{Q ¯} , Q )

ρ

N

ρ

Tate

V

q

V (q)

Tate

. [14], [15] F

し,

X

F

q ≥ 0

F

Galois

G _F = Gal( ¯ F /F )

V = H ^2q (X F ¯ , Q (q))

1.

V ^G

2.

{ v ∈ V |

σ ∈ G _F

(σ − 1) ^{dim V} v = 0 }

V ^G

H ^2q (X _{F ¯} , Q (q))

X

q

Z

[Z]

· X

Abel

q = 1

Tate

2

Weil

W _Q

ρ

ρ

(F ⁿ σ), (n ∈ Z, σ ∈ I)

n ≥ 0

K¨ unneth

X × X

n = dim X

(Q

Γ

Γ

H ^q (X F ¯ , Q )

G _F -

Γ ^∗

unneth

q ≥ 0

Γ _q

H ^q

(X _{F ¯} , Q )

Γ ^∗ _q

q = q

q = q

0

したがって,

ρ

Γ

2 dimX

q=0

( − 1) ^q Tr(Γ ^∗ ◦ F ⁿ σ : H ^q (X Q ¯

, Q ))

がわかればよい. この交代和について次のことが期待される.

予想

1. X

p

Q _p

X

F

Frobenius

n ≥ 0, σ ∈ I

F ¯ _p

W

W

Γ

= p

2 dim X

q=0

( − 1) ^q Tr(Γ ^∗ ◦ F ⁿ σ : H ^q (X _{Q ¯}

, Q )) = (Γ , Δ _W )

をみたすものが定まる. 右辺は

Γ

Δ _W

W × W

予想のこころは

,

p

Galois

Γ = Δ, n = 1

W

X mod p

Γ

Frobenius

W → W

1.3

G _F

予想

1

weight-monodromy

[18]

p

Hodge

= p

1

[19]

[20]

X

W

れらの共通部分の無縁

(disjoint)

1

· X

· Γ

Δ

· σ

P

· X

Hecke

[24], [25]

モジュラー曲線上の普遍楕円曲線のファイバー積のコンパクト化を久賀-佐藤多様体と よぶ. この最後の場合の応用として, 楕円保型形式や

Hilbert

p

G _Q

p

Hodge

Langlands

2.4 weight-monodromy

ρ

Tate

N

Weil

定理

(=Weil

) [4] X

F _p

= p

q ≥ 0

FrobeniusF r _p

H ^q (X _{F ¯}

, Q )

p

.

Weil

p

q

Weil

P _q (t) = det(1 − F r _p t : H ^q (X _{F ¯}

, Q ))

P _q (t) =

i (1 − α _i t)

α _i

q

Weil

局所体上の多様体へ

Weil

V

N

V

W _i

(1)-(3)

1

(1)

i

W _i = V, W _−i = 0.

(2) N W _i ⊂ W _i−2 .

(3) i > 0

N ⁱ

N ⁱ : Gr ^W _i V = W _i /W _i−1 → Gr _−i ^W V

たとえば

N ² = 0

W ₋₂ = 0, W ₋₁ = Im N, W ₀ = Ker N, W ₁ = V

V

局所体の

Galois

N

2.2

V

N

き, この部分空間の増大列

W = (W _i ) _i

V

W _i

weight-monodromy

[26] X

p

Q _p

= p

q ≥ 0

F ∈ W _Q

FrobeniusF r _p

W

V = H ^q (X Q ¯

, Q )

F

Gr ^W _i V

q + i

Weil

weight-monodromy

· q ≤ 2

· X

·

weight-monodromy

[20]

H ^q (X _{Q ¯}

, Q )

半単純性予想と

weight-monodromy

(ρ , N )

ρ

Trρ

1

H ^q (X _{Q ¯}

, Q )

3

予想

1 ⇒ (ρ , N ) ⇒

H ^q (X _{Q ¯}

, Q )

(=

)

+ weight-monodromy

3

.

問題

B

p

Hodge

de Rham

p =

de Rham

それなのに,

de Rham

3.1

局所体の

P ⊂ G _Q

G ^v ⊂ P, v ∈ Q, v > 0

[11]. G _Q

V

,

Swan

SwV =

v∈Q,v>0

v · dim V ^G

/V ^G

G ^v+ =

v

>v G ^v

V ^G

, V ^G

SwV

0

= 0

P

V

X

p

Q _p

[29]

Sw(X/Q _p ) = _{2 dim X}

q=0 ( − 1) ^q SwH ^q (X _{Q ¯}

, Q )

X _Z

X

p

Z _p

n = dim X _Z

= dim X+1

X _Z

Ω ¹ _X

Zp

/Z

Chern

0-

c _n (Ω ¹ _X

Zp

/Z

) ∈ CH ₀ (X _F

)

予想

[29](Bloch

χ(X _{Q ¯}

) − χ(X _{F ¯}

) + Sw(X/Q _p ) = − deg( − 1) ⁿ c _n (Ω ¹ _X

p

/Z

)

χ =

q ( − 1) ^q dim H ^q

Euler

0-サ

この公式は

X

p

Q _p

E

[30]

[31].

Bloch

[29]

X

X

進コホモロジーの分岐から生じる不変量が,微分形式を使って幾何的に計算できるという ことである. またこの公式は, Lefschetz跡公式

χ(V _{F ¯} ) = (Δ _V , Δ _V ) = ( − 1) ⁿ deg c _n (Ω ¹ _{V /F} )

V

F

n