整 p 進 Hodge 理論入門

整 p 進 Hodge 理論入門

望月哲史

概 要

本ノートの目的は、[Bible] Mark Kisin,Crystalline representations and F-crystalの解 説である。尚、定理等の番号付けは全て原論文に合わせた。

序  [Bible] のテーマ

Mark Kisin,Crystalline representations andF-crystal(以後[Bible]と呼ぶ。)では、(φ,N_∇)- 加群なる“p進微分方程式”の特別なクラスを確立し、Kedlayaのslope filtrationの理論等を駆使 して、Fontaine予想(weakly admissibleはadmissible)の再証明やBreuil予想[Bre99, p.202]の 解決をしている。又、更にGrothendieck-Messing理論を用いて、Fontaine予想[Fon79, 5.2.5]、

Breuil予想[Bre98, 2.2.1]をも解決している。この様に、(φ,N_∇)-加群の概念の導入によって、予 想と呼ばれていた諸問題が非常に見通しよく取り扱えるようになったと言っていいだろう。本拙 筆では、

semistabe表現は(φ,N_∇)-加群を用いて分類出来る

というスローガンを基軸にして整p進Hodge理論の入門を与えたい。さらに詳しく説明する為に

次の様にnotationを設定しよう。(この設定は本拙筆で一貫して用いる。)

設定

• k: 標数p >0の完全体

• W :=W(k)

• K0:=W[¹_p]

• K/K0: 有限次完全分岐拡大

• OK: Kの整数環

• K∋π: 素元

• {πn}n=0: π0=π,π^p_n+1=πnなるsystem

• Kn+1:=K(πn)

• K_∞= ∪

n=1

Kn

• S:=W[[u]]

• (Mod/S): p-nilpotent射影的次元1有限S-φ-加群Mで、Coker(φ^∗ : M→ M)がE(u)- nilpotentなるもののなす圏

• (p-Gr/OK): OK上の有限平坦群schemeのなす圏 さて、冒頭で述べた4つの予想とは次の事を指していた。

定理(2.1.5) (Fontaine予想)

Weakly admissible effective filtered (φ,N)-加群Dはadmissible。（より詳しいstatementは後述。）

定理(2.1.14) (Breuil予想 [Bre99, p.202]) 制限射Rep^cris_G

K →Rep_G

K∞ は充満忠実。

定理(2.2.6) (Fontaine予想[Fon79, 5.2.5])

凡てのHodge-Tate weightが0か1に等しいGK のcrystalline表現V に対して或るp-divisible 群Gが存在して、V →^∼T_p(G)⊗ZpQpとなる。

定理(2.3.5) (Breuil予想¹[Bre98, 2.2.1])

p >2に対して、(Mod/S)と(p-Gr/OK)は反変圏同値。

何故これらの予想が見通しよく解決されるのかをこの序に於いて簡素に説明する為に、(φ,N_∇)- 加群が次の二つの特筆的な性質を持つ“p-進微分方程式”のクラスである事に着目しておく。

性質A (有限 heightな) (φ,N_∇)-加群のパラメーターu = 0の近傍での振る舞いは、filtered

(φ,N)-加群の様な線形代数的データーと等価である。

性質B (有限 heightな) (φ,N_∇)-加群は、パラメーターu = 0の近傍での情報で大域的なデー ターを復元出来る。

結果的に、(φ,N_∇)-加群のこの二つの性質を併せて、前述した「semi-stable表現を(φ,N_∇)-加 群を用いて分類する」という結果を得る事が出来るのである。更に、性質Aは

性質A+αFiltered (φ,N)-加群のweakly admissibilityやHodge-Tate weightのような性質や情 報は、対応する(φ,N_∇)-加群のslopeやheightといったデーターと等価である。

と精密化する事が出来る。性質A+αは、二つのFontaine予想(2.1.5),(2.2.6)の証明の鍵とな る。又、性質Bは、Galois表現側の言葉に翻訳すると、

性質B’GKのcrystalline表現(の間の射)はGK_∞ 作用の情報で、復元出来る。

1Breuilが予想したのはこの特別な場合であるがこれをBreuil予想と呼ぶ事にする。尚この定理はBeilinsonによっ て証明されたらしい。

なる事を意味し、つまりはBreuil予想(2.1.14)に対応している。以上を踏まえると、本ノート の主目的は、上述性質A、性質B及びそのvariantの仕組みの解説に焦点を置いた整p進Hodge 理論の入門であると謂う事が出来るであろう。さて、序の最後の最後に、本ノートの構成を述べ ておこう。概要にも述べたように定理等の番号付けは全て原論文[Bible]に合わせた。混同しない ように本ノート自体の節の番号付けは、漢字を採用した。具体的には次のようになっている。

目 次

一、整でない場合 3

二、(φ,N_∇)-加群 5

三、Slope filtration 7

四、函手MとDの構成 9

五、函手M、Dが互いに擬逆函手である事 11

六、Weakly admissibilityとslope0条件の対応 14

七、“整”p-進Hodge理論と呼ばれる所以 14

八、Galois表現への応用 16

九、p-可除群への応用 19

本ノートのメインは、四,五,六であり、八,九に応用が纏めてある。残念ながら、有限平坦群

schemeの分類については序文で紹介した以上に述べる余裕がなかったのが残念に思う。

謝辞 このノートを執筆するにあたり、中村健太郎氏の数えきれない程の助言が役に立った事を 有難く思っている。又2008年2月に広島大学で開かれたworkshop「最近の変形理論の現状に ついて」で学んだ事が非常に活用された。そもそも、本ノートは、そのworkshopの筆者の講演 レジュメが叩き台になっている。講演の際に、戴いた様々なコメントを本ノートでは反映させた つもりである。Workshopに参加された方々に、この場を借りて感謝の意を表したいと思う。最 後に本ノートの大半はMarco Porta氏宅で執筆された。執筆に都合のよい環境を提供してくれた

Marco Porta氏に敬愛の念を表したい。又、著者が体調を崩して締め切りに大幅に遅れて編集の

方々に著しく迷惑をかけたことをこの場でお詫びしたい。

一、整でない場合

この節で、[Bible]に言及されている“整”でない場合の理論を簡単に復習、説明しておこう。

φ-S-加群の理論が所謂“整”p-進Hodge理論と呼ばれる所以の説明は、本ノートの構成の都合上、

第七節まで御預けとなる。

設定その二

• OEをS[_u¹]のp-進完備化、Eをその商体とする。Eは離散的付値環となり、k((u))が剰余体と なる。

• Kの代数的閉包K¯ の整数環O_K^¯ を考えて、射影的極限R := lim

← OK^¯/pを取ろう。ここで、

translation mapはFrobeniusで与えられている。Rの商体はFRRで表される。FRRは代数閉 体である事が知られている。([Fon91, A.3.1.6])

• π:= (π_n)_n=0∈Rと書いて、[π]∈W(R)をTeichm¨uller representativeとする。対応W[u]∋ u7→[π]∈W(R)から、S,→W(R)及びE,→W(FRR)が引き起こされる。

• E^ur,→W(FRR)[¹_p]に於けるEの最大不分岐拡大拡大として、O_E^urはその整数環とする。O_E^ur の剰余体はk((u))^sepである。

• Ec^urをE^urのp-進完備化とする。或いは、W(FRR)に於けるE^urの閉包と言ってもよい。O_dEur

をEc^urの整数環とする。

• S^ur:=O_E^ur∩W(R)⊂W(FRR)と置く。

さて、愈々、Mod^φ/OE、Mod^φ/Sの定義を述べる時が来た。

定義(2.1.11) (φ-OE-加群)

• φ-OE-加群とは有限生成自由OE-加群Mと同型φ^∗M → Mの組とする。

• Mod^φ_/OEでφ-OE-加群の圏を表し、Mod^φ/OE⊗ZpQpで対応するisogeny圏を表す。

定義(1.3.12) ((φ,N)-S-加群)

• (φ,N)-S-加群とはFrobenius有限自由 S-加群 Mと、線形写像 N : M/uM⊗_ZpQp → M/uM⊗ZpQpで、N φ=pφNを満たす物を組である。

• (φ,N)-S-加群Mが有限E-heightであるとは、Coker(φ^∗M→ M)がE(u)の或る冪で消え る事である。有限E-height (φ,N)-S-加群の圏をMod^φ,N_/S と書く。又、対応するisogeny圏を Mod^φ,N_/S⊗ZpQpと表す。

• (2.1.3) Mod^φ,N/Sの充満部分圏で、N = 0で与えられているものをMod^φ/S 2

と書いて φ-S-加群の圏と呼ぶ事にする。

まず、Mod^φ/OEとMod^φ_/Sは次の命題に示されるように結びついている。

命題(2.1.12) 函手

Mod^φ_/S→Mod^φ_/OE; M7→M⊗SO_E

2[Bible]のIntroductionには次のような興味深い記述がある。

The characteristicpanalogues of modules inMod^φ_/Sare sort of local version of a “shtuka” in the sense of Drinfeld. (中略) Lafforgue pointed out to us that the modules in our theory could be regarded as analogues of local shtukas in the case of mixed characteristic.

は充満忠実。

次の定理は、序文で述べた性質Bを性質B’に翻訳する作業に於いて(Breuil予想(2.1.14)の 証明に於いて）鍵となる。

定理([Fon91, A.1.2.7]) 圏同値

Mod^φ_/OE⊗_ZpQp→∼ Rep_GK

∞; M 7→Hom_OE(M,Ec^ur) が存在する。

この定理の謂わば、integral版(2.1.15)がφ-S-加群とG_K∞-安定latticeの対応として後に stateされる。

二、 (φ, N

)- 加群

この節では、(φ,N_∇)-加群なる概念を導入する。この概念を用いて、crystalline表現にとどま らず、semistable表現を分類しようというのが、[Bible]の第一章のテーマである。まずKisinの 理論に於いては、微分方程式の解空間（(φ,N_∇)-加群の係数環）として、Sよりも大きなB´ezout 整域³Oを採用する。Oとその上のFrobeniusやN_∇を紹介する所から話を始めよう。

設定その三

• I⊂[0,1)に対して、D(I)を座標u、半径1のrigid analytic開円板D[0,1)のadmissible open として、OIをD(I)上の関数環とする。つまりは、

OI :={f(u) = ^∞Σ

n=0anuⁿ|an∈K0, f(x) converge for anyx∈K¯ such that|x| ∈I} と置く。O[0,1)はOと略記する。

• O上には二種類のFrobeniusが存在する。

φ:O → O φ(Σanuⁿ) = Σφ(an)u^pn φW :O → O φ(Σanuⁿ) = Σφ(an)uⁿ

• E(u)∈K0[u]: πのEisenstein多項式、c0=E(0)∈K0とする。

• λ:= ^∞Π

n=0φⁿ(^E(u)_c

0 )と定めると、この無限積はOのFr´echet位相⁴で収束する。

3単位的可換環がB´ezoutであるとは、任意の有限生成idealが単項になる事であった。つまり、B´ezout整域という 単位的可換環のクラスを考える事はPIDからNoether性の条件を取り除いたクラスを考える事を意味している。

4可算個のsemi-normの定義された線形位相空間でsemi-normに関する分離公理（ここでは復習しない）を満たす

ものをFr´echet空間と呼んだ。T1分離公理を満たす位相の事ではない。尚原論文でOのFr´echet位相について言及し ている個所は、(1.2.6)の証明の中だけである。各r∈(0,1)に対して、norm| · |rは、|f|r:= sup

x∈D[0,r)|f(x)|で定義 されている。Fr´echet空間と呼びたいのなら有理数rについてだけ| · |^rを考えておけばよい。

• N_∇:O → OをN_∇:=−uλ_du^d と定める。

重要な関係式

λ= E(u) c₀ φ(λ) pE(u)

c0

φN_∇=N_∇φ

さて、[Bible]の主役である(φ,N_∇)-加群の定義を述べよう。

定義(1.1.3) ((φ,N_∇)-加群)

• (φ,N_∇)-加群とは三つ組(M, φ, N_∇^M)の事である。ここで、Mは、有限自由O-加群、φ : M,→ Mはφ-半線形単射で、N_∇^M:M → Mは次の二条件を満たす写像である。(N_∇^Mは以後、

N_∇と略記される。)

N_∇(f(u)m) =N_∇(f(u))m+f(u)N_∇(m) pE(u)

c₀ φN_∇=N_∇φ

• (1.2.4)(φ,N_∇)-加群Mが有限E-heightであるとは、あるkが存在して、

E(u)^kCoker(1⊗φ:φ^∗M,→ M) = 0

となる事である。有限E-heightな(φ,N_∇)-加群の圏をMod^φ,N_/O^∇とかく。

序文でも述べたように、

(有限heightな)(φ,N_∇)-加群は、filtered (φ,N)-加群の様な線形代数的なdataと等価である

というのが[Bible]の最初の目標である。(精密な定式化は後程。) 詳しく説明する為にfiltered

(φ,N)-加群の定義を復習しよう。

定義(1.1.2) (Filtered (φ,N)-加群)

• [Fon94]に倣って、Frobenius (K0)-加群 (或いはφ-加群)Dとは、有限次元K₀線形空間と、

Frobenius半線形全単射φ:D →Dの組(D, φ) (といってもいつもの様にφはnotationから省 略することが多い。以下同様)の事である。

• 更に、(φ,N)-加群であるとは、この他に、nilpotent線形写像N :D→Dで条件N φ=pφN を満たすものとの3つ組である。

• Filtered (φ,N)-加群(resp. φ-加群)とは、(φ,N)-加群(resp.φ-加群)Dが更にDK :=D⊗K₀K 上に減少、分離的、exhaustiveなfiltrationを持つ事である。本拙筆では効果的つまりFil⁰D=D なものしか扱わないので、以下filtered....と言ったら効果的である事を仮定する。Filtered (φ,N)- 加群の圏をMF^φ,N_/K と書く事にする。これは⊗-完全圏である。⁵

5KisinはTannakian categoryという言葉が好きなようで至る所で使っているが、その多くは別にAbel圏ではない ので誤用だし、淡中双対も考える訳でもない。だから、⊗が定義できてそれと両立する完全列も自然に考えられる圏ぐら いの意味にとっておいたらよいと思われる。

• Filtered (φ,N)-加群Dがweakly admissibleであるとは、

⋆tH(D) =tN(D)が成立し、尚且つ

⋆ 凡ての部分(φ,N)-加群D^′ ⊂ D に対して、(D^′_K にはDK からの誘導filtrationを考えて) t_H(D^′)5t_N(D^′)

が成立する事であった。ここで、tN(D),tH(D)を復習しておこう。

tN(D) :=





αのp進付値 if dimD= 1かつφがα倍写像 tN(∧^dD) if dimD=d

tH(D) :=





grⁱDK ̸= 0なるi if dimD= 1 tH(∧^dD) if dimD=d

Weakly admissibleなfiltered (φ,N)-加群の圏なす充満部分圏をMF^φ,N_{wa /K}と書く事にする。

さて、いよいよ精密なstatementを述べる事が出来る。

定理(1.2.15)

• 互いに、quasi-inverse equivalenceを与える⊗完全函手M :MF^φ,N_/K →Mod^φ,N_/O^∇及びD: Mod^φ,N_/O^∇→MF^φ,N_/K が存在する。

• (1.3.8) 更にこの対応は、部分圏に制限して圏同値MF^φ,N_{wa /K}→^∼ Mod^φ,N_/O^∇,0を引き起こす。

但し、Mod^φ,N_/O^∇,0とはMod^φ,N_/O^∇のslope 0（定義は後述）な(φ,N_∇)-加群のなす充満部分圏で ある。

三、Slope filtration

という訳で、上で宣言したように、slopeの定義を復習しておく必要が生じた。まずは、Robba 環の復習から始める事にする。

復習(1.3.1) ((Bounded) Robba環とR-加群のslope集合)

• (Bounded) Robba環R(resp. R^b)はそれぞれ、

R:= lim

r↑1O(r,1)

R^b:= lim

r↑1O^b(r,1)

で定義される。ここで、O^b(r,1)⊂ O(r,1)とは、有界な函数の為す部分環である。

Rはφ :O(r,1) → O

(r^p1,1)から誘導されるFrobeniusを持ち、更にR^b にもRから誘導されて Frobenius構造を持つ。従って、FrobeniusR-加群、R^b-加群(或いは、φ-R-加群等)というのが 意味をなす。

• 正確には、Frobenius R-加群 (resp. R^b-加群) とは二つ組 (M, φ)で、Mは有限自由 R (resp.R^b)-加群、φ : φ^∗M→ M^∼ なる同型の組である。φ-R (resp.R^b)-加群の圏は、Mod^φ/R

(resp. Mod^φ_/Rb)と書かれる。

• 実はR^bは離散的付値体で、その付値v_Rbは次で与えられる。

v_Rb(f) =−log_plim

r↑1 sup

x∈D(r,1)

|f(x)|

• [Ked04, 4.16]に倣って、φ-R-加群Mのslope集合とは、φの固有値のp-進付値の集合であ る。正確に言うとまず、Kedlayaはまず、次の性質をもつR-algebra R^algを定義した。

⋆R^algはW(¯k)を含む。

⋆R^algはRのFrobeniusのliftを持つ。

⋆任意のφ-R-加群Mに対して、或るW(¯k)[1/p]の有限次拡大Eが存在して、M ⊗_RR^alg⊗W(¯k)[1/p]E は、固有vector基底v1,· · · , vnを持つ。

上で、ψ(vi) =αivi (αi∈E)とすると、αiのp-進付値の集合は、Eの取り方に依らず、Mにの み依存して決まる。この集合をMのslope集合という。

• slopeがすべて一定の値sとなるφ-R(reps. R^b)-加群をpure of slopesと呼び、そのような 加群からなるMod^φ_/R (resp. Mod^φ_/Rb)の充満部分圏をMod^φ,s_/R (resp. Mod^φ,s_/Rb)と書く。

slopeに関しては次のslope filtration定理が著しく重要である。

定理(1.3.2) ([Ked04, 6.10], [Ked05, 6.3.3])

• 函手 M 7→ M ⊗_R^bRは圏同値

Mod^φ,s_/Rb

→∼ Mod^φ,s_/R

を誘導する。

• 任意のφ-R-加群Mに対して、slope filtrationと呼ばれるcanonicalなφ-安定なR-部分加群 のfiltration

0 =M0,→ M1,→ · · ·,→ Mr=M

で各Mi/Mi−1が有限自由R-加群でpure of slopesiとなり、更にs1< s2 <· · ·< sr となる ものが存在する。

(φ,N_∇)-加群のslope filtrationは次の命題によって考える事が出来る。

命題(1.3.7)

Mを(φ,N_∇)-加群としてMR:=M ⊗ORと置く。MRのslope filtrationを 0 =M0,R⊂ M1,R⊂ M2,R⊂ · · · ⊂ Mr,R=M_R とすると、各iについて、有限自由O-部分加群Mi⊂ Mで、

• M/Miも自由O-加群⁶

• MiはφとN_∇で安定

• Mi,R=Mi⊗OR なるものが存在する。

四、函手 M と D の構成

それでは、(1.2.15)の証明の粗筋を順に追って行こう。まずは、函手Mの構成から説明する。

Filtered (φ,N)-加群Dに対して、M(D)は、Oに“形式的”なloguである所のluとλの可逆元 を添加した環O[lu,¹_λ]を係数拡大して得られる加群O[lu,_λ¹]⊗K₀Dの部分加群として得られる。

厳密な定義を与える為に幾らかのnotationの準備を要する。

設定その四(1.1.1)

• ScnをKn+1⊗W Sの極大ideal(u−πn)による完備化とする。Scn及びその商体Scn

[ 1 u−π_n

] には、(u−π_n)-進filtrationが定まっている。又、ここには、O →Sc_n =K_n[[u−π_n]]という自 然な射がある。

• luをloguに見立てた不定元として、O[lu]を考える。N_∇やφを次のように定義して、O[lu] に拡張する。

N_∇(lu) :=−λ⁷ ψ(lu) =−plu8

• O[lu]→Scnを

lu7→ ^∞Σ

i=1(−1)ⁱ⁻¹1 i

(u−πn

π_n )i

9

と定める。

• O[l_u]にはl_uを不定元と見做したO-微分Nもある。(つまり、N(l_u) = 1)

• (1.2) Dをfiltered (φ,N)-加群として、ιn :O[lu]→Scn⊗KDKを ιn:O[lu]⊗K₀D^φ

−n⊗φ⁻ⁿ

→ O[lu]⊗K₀D→Scn⊗K₀D=Scn⊗KDK

と定める。ιn(λ)が可逆元とu−π_nの積である事が判り、この射は、

ιn:O [

lu,1 λ ]

→Scn

[ 1 u−π_n

]

⊗KDK

6(1.3.3)に依るとこの様な部分加群を飽和的であるという。詳しい定義を述べると、R(resp. OI)-加群Mの部分 加群N ⊂ Mが飽和的(saturated)であるとは、NかつM/Nが有限自由R(resp.OI)-加群となる事である。

7−uλ_du^d logu=−λという計算を意識している。

8ψ(logu) = logu^p=ploguという計算を意識している。

9logu= logh_u−π

n π_n + 1i

= ^∞Σ

i=1(−1)^{i−1 1}_i“_u−π

n π_n

”i

という計算を意識している。

にまで拡張される。この様にして、O[lu,¹_λ]⊗K₀Dの函数は、各ιnを通してScn

[ 1 u−π_n

]⊗KDK

の中で、u−πn展開されて実現される。

• O[lu,1/λ]⊗K₀Dには、N =N⊗1+1⊗Nで定まる微分がある。さて、M(D)は(O[lu,1/λ]⊗K₀D)^N=0 の各ιnを通して、Scn

[ 1 u−π_n

]⊗KDKのfiltrationで記述される制約を課された函数のなす部分 加群として次のように定められる。

M(D) :={x∈(O[lu,1/λ]⊗K₀D)^N=0:ιn(x)∈Fil⁰(Scn[1/(u−πn)]⊗KDK), n=0}

次の補題が、M(D)が(φ,N_∇)-加群である事を保証する。更に、更にDのHodge-Tate weight とM(D)のE-heightの関係も言及されている。

補題(1.2.2)

(O[lu,1/λ]⊗K₀D)^N=0上のφとN_∇が、M(D)に(φ,N_∇)-加群の構造を与える。(つまり、M(D) は、有限自由O-加群である事も判る。¹⁰) 更に、hi= dim_KgrⁱD_Kとすると、

Coker(1⊗φ:φ^∗M(D)→ M(D))→^∼ ⊕

i=0

(O/E(u)ⁱ)^hi

なるO-加群同型がある。

次に函手Dの定義を述べる。当面Mは(φ,N_∇)-加群とする。(1.2.5)に依ると、K0-線形空 間D(M)は、

D(M) :=M/uM

で定義され、(つまり、u= 0への制限)M上のφとN_∇から誘導されるoperatorで、D(M)は (φ,N)-加群になる。D(M)Kにfiltrationを定めるには幾らかの準備が必要である。

記法(1.2.5)

J ⊂I⊂[0,1)としてξ:M → M^′をOI-加群の間の準同型とする。この時に、MJ :=M ⊗OIOJ

ξJ :=ξ⊗id_OJ :MJ→ M^′J の様な記法を以後よく用いる。

第一段(1.2.7)

まず、φ^∗Mのfiltrationは(1.2.2)を鑑みると

Filⁱφ^∗M:={x∈φ^∗M: 1⊗φ(x)∈E(u)ⁱM}

と定めるのが自然である。ここから、(1⊗φ)(φ^∗M)更には、(1⊗φ)(φ^∗M)_[0,r)等にfiltration が誘導される。ここで、(1⊗φ)(φ^∗M)_[0,r)のfiltrationとD(M)_Kのfiltrationを結び付ける為 に次の補題が重要になってくる。

補題(1.2.6)¹¹

10この部分は、B´ezout環の一般論、(1.1.4)「有限自由OI-加群Mの部分OI-加群Nについて、閉である事、有限 生成である事、有限自由である事が同値である」という補題と、M(D)がλ^−r(O[lu,1/λ]⊗K₀D)^N=0という有限自 由O-加群の閉部分加群であるという事実を用いて示される。ここにrはFil^rD_K ̸= 0, Fil^r+1D_K= 0となる自然数。

11この補題では、N_∇は全く使わない。原論文では、FrobeniusO-加群の補題として書かれている。実際、ξはまず、

K0-線形切断s0:D(M) =M/uM → Mを適当に選び、それをφ-半線形になる様に次のように加工して s=s0+ ^∞Σ

i=1(φⁱ◦s0◦φ⁻ⁱ−φⁱ⁻¹◦s0◦φ¹⁻ⁱ) s:D(M)→ Mを作り、それを係数拡大して得られる。

次の条件を満たすO-線形、φ-equivalentな射

ξ:D(M)⊗K₀O → M が一意的に存在する。

• ξ moduはD(M)上の恒等射

• ξは単射で、Cokerξはλ-nilpotent

• 任意のr∈(|π|,|π|^1/p)に対して、

Im(ξ_[0,r): (D(M)⊗K₀O)_[0,r)→ M[0,r)) = Im((1⊗φ)_[0,r): (φ^∗M)_[0,r)→ M[0,r))

第二段(1.2.7)

(1.2.6)を用いて、r∈(|π|,|π|^1/p)なるrについて、(D(M)⊗K₀O)_[0,r)にfiltrationが定まる。

これから自然な射

(D(M)⊗K0O)_[0,r)→ D(M)⊗K0O/E(u)O→ D^∼ (M)⊗K0K=D(M)_K を通じて、D(M)Kに所望のfiltrationが備わる。

五、函手 M、D が互いに擬逆函手である事

この節では、表題通り函手M、Dが互いに擬逆函手である事を検証する。

第一段(1.2.8)

まず、Dをfiltered (φ,N)-加群として、D(M(D))→^∼ Dである事を考察しよう。これは序文で、性 質 Aと呼んでいた事柄で、Dから得られた(φ,N_∇)-加群M(D)をu= 0に制限すると(filtered

(φ,N)-加群として）元のDと同型であるという事を意味している。基本的には、“luを無視する

射”で同型が得られる。正確に言うと、

η:D(M(D)) =M(D)⊗OO/uO→^∼(K₀[l_u]⊗K0D)^N=0lu→^7→0D

という対応で得られる。線形空間として同型である事はまず単射である事を示して、両辺の次元 比較という常套手段で分かる。さて、ηとNの両立性であるが、まず左辺はN_∇⊗1のu= 0への 制限で定まっていたことを思い出そう。d∈(K0[lu]⊗K₀D)^N=0をluの多項式としてd= Σ

j=0

djl^j_u と表すと、N(d) = 0という制約から、N(d0) +d1= 0が判る。一方で定義に立ち返った計算で、

η(N_∇⊗1(d)) =−d₁が判るので、

η(N_∇⊗1(d)) =N(d0) =N(η(d))

を得る。ηがfiltered moduleとしての同型を見るには、次の補題を用いる。

補題(1.2.1)

Scnをφ⁻_WⁿでO-加群と見做すと次の同型が存在する。

• Scn⊗_O(O[lu]⊗K₀D)^N=0→^∼Scn⊗KDK (ιnから誘導される射)

• Scn⊗_OM(D)→^∼ Σ

j=0

(u−πn)Scn⊗KFilDK = Σ

j=0

φⁿ_S/W(E(u))^−jScn⊗KFilDK

再び議論を続けよう。記述を簡単にする為に、D0 := (O[lu]⊗K₀D)^N=0と置くと、u= 0で D0⊂ M(D)は同型である。次の３点に注意しよう。

• (1.2.1)からι0によって誘導される同型(これもι0と書く。) D(M(D))K =D0/E(u)D0

ι₀

→Sc0⊗KDK/(u−π)Sc0⊗KDK=DK

が存在する。

• M(D)のfiltrationの定義から、d∈ D0について、

d∈E(u)ⁱM(D)⇔ι0(d)∈Filⁱ(Sc0⊗KDK)

• 合成

D^η→ D⁻¹ (M(D)),→ D(M(D))_K→^ι0 D_K は包含射。

最初の二つの主張から、ι0を通じて、D(M(D))とDのfiltrationは両立する事が分かり最後 の主張からηを通じて両立する事も判る。

第二段

話の流れからいうと、M D→^∼ idの証明を解説する事になる。これは、序文で述べた性質Bに対 応している。つまり、与えられた(有限E-height) (φ,N_∇)-加群をu= 0に制限しても、filtered

(φ,N)-加群構造のdataを覚えておけば、それを利用すると、元の(φ,N_∇)-加群が復元出来ると

いう事を意味している。まず、N_∇が復元出来るのは何故かを説明しよう。それにはfiltered-加 群としての構造は全く用いない。Statementとして端的に示されているのは、(1.3.10)であるか らその解説の為のnotationの準備から始める。

定義(1.3.9) ((φ,N)-O-加群)

• (φ,N)-O-加群とはFrobeniusO-加群Mと、K0-線形写像N:M/uM → M/uMで関係式 N φ=pφN を満たす物の組である。

• Mがslope 0であるとか、有限E-heightであるなどの言い回しは以前と同様である。(slope

0)有限E-heightな(φ,N)-O-加群の圏をMod^φ,N_/O (resp. Mod^φ,N,0_/O )と書く。

• 自然な函手

Mod^φ,N_/O^∇→Mod^φ,N_/O; (M, φ, N_∇)7→(M, φ, N_∇ modu)

がある。

次の補題が示すように、有限E-height (φ,N)-O-加群M上のNはM[¹_λ]上には何時でもN_∇ として拡張出来る。

補題(1.3.10)

• 任意の有限E-height (φ,N)-O-加群Mに対して、M[_λ¹]は次の２条件を満たすN_∇を持つ。

⋆N_∇φ=^pE(u)_c

0 φN_∇

⋆N_∇|u=0=N

• 函手Mod^φ,N_/O^∇→Mod^φ,N_/O は充満忠実であり、(φ,N)-O-加群Mが像に含まれる為の必要十 分条件はM[¹_λ]上のN_∇に関して安定な事である。

• 特にO-rank 1の(φ,N)-O-加群は、Mod^φ,N_/O^∇→Mod^φ,N_/O の像である。

(1.3.10)の一つ目の主張の証明の核心は、(1.2.12)(3)(の証明)に於いて与えられている。これ が性質Bの仕組みの鍵の一つであるから詳しく復習しよう。まず、(φ,N)-O-加群Mに対しても (φ,N_∇)-加群と同様にD(M)が定義出来る。表記を簡単にする為にD0:= (O[lu]⊗K₀D(M))^N=0 と置こう。D0はO[lu]から誘導されたN_∇を持つ。この時に、合成射

D0= (K₀[l_u]⊗K0D(M))^N=0⊗K0O^η→ D^⊗1 (M)⊗K0O→ M^ξ

を考える。ここで、ηは(1.2.8)の証明(第一段の議論)、ξは(1.2.6)で登場したξである。つま り、この合成から同型D0[_λ¹]→ M^∼ [¹_λ]が誘導される。そこで問題は、上の合成射がφや modu したらNと両立するかという問題になるが、(1.2.8)の証明で見た様にηはNと両立するし、ξ modu= idであった。¹²

第三段(1.2.13)

有限E-height (φ,N_∇)-加群Mに対して、M(D(M))→ M^∼ という自然な同型がある事を示そう。

付加構造の両立性については第二段で検討したので、問題は、M^′:=M(D(M))と置いた時に、

O-加群として、M^′ =Mであるかという事になる。これは、この分野では常套手段の謂わば

Frobeniusを使って“解析接続”する。

という議論によってなされる。(例えば、(1.2.2)の証明参照。)冗長にならない程度にもう少し だけ詳しく述べると、次の二つのステップを踏む事になる。

壱r∈(|π|,|π|^1p)に対して、M^′[0,r)=M[0,r)を示す。

12上の状況で、Mが有限E-height (φ,N_∇)-加群であった場合に上述の合成射ξ◦η⊗1はMの元々のN_∇と両立 する事を検証しよう。つまり、σ=N_∇◦(ξ◦η⊗1)−(ξ◦η⊗1)◦N_∇と置いた時に、σ= 0を示したい。上の議論か らσ(D0)⊂uMは判っているのだが、

• σφ=^pE(u)_c

0 φσ

• 全ての正整数iに対して、σ(D0) =σφⁱ(D0)

である事に注意すると、全ての正整数iについて、σ(D⁰)⊂u^piMが判るので所望の結果を得る。

すると、凡ての正整数iに対して、Frobeniusのi回引き戻しを考える事によって（ここで、M 及びM^′が有限E-heightである事を用いる。）

弐M^′_[0,r1/pi)=M_[0,r1/pi)が従う。

これによって、結論を得るという仕組みになっている。肝心の壱であるが、ideal (E(u))∈ O に対応する点x0∈[0, r)以外では明らかに成立している。x0に於いての一致は、

Sc0⊗_O(1⊗φ)φ^∗M=Sc0⊗_O(1⊗φ)φ^∗M^′

を意味するが、これは基本的には(1.2.1)から従う。

六、 Weakly admissibility と slope 0 条件の対応

この節では、weakly admissible filtered (φ,N)-加群とslope 0の(φ,N_∇)-加群が対応している 事(1.3.8)を見よう。これは、序文で、性質A+αと呼んでいた性質の一部である。要となるの は、Dをfiltered (φ,N)-加群として、M:=M(D)と置くと、Mはφ, N_∇で安定な飽和的O- 部分加群のfiltration

0 =M0⊂ M1⊂ · · · ⊂ Mr=M

で、Rにbase changeすると、slope filtrationになっているものがとれた事である。（(1.3.7)参 照）ここで、各iについて、Mi,R/Mi+1,Rのslopeをsi、R-rankをdiとする。この時次の２ 点に注意しよう。

• ^d∧ M¹ 1のslopeはd₁s₁になる。（[Ked04, 5.13]参照）

• Dのrankが1の場合定義に立ち戻った計算で、Mのslopeは、tN(D)−t_H(D)である事が 判る。

これから次の公式を得る。

r

i=1Σdisi =tN(D)−tH(D)

この公式を用いると、Dがweakly admissibleならばMのslopeが0である事が分かる。逆に、

Mのslopeが0の時、任意の部分(φ,N_∇)-加群M^′⊂ Mのslopeは正である。([Ked04, 4.4]参 照)。これを言い換えると、任意の部分(φ,N)-加群D^′ ⊂Dについて、tN(D^′)−t_H(D^′)=0が 判る。

七、“整”p-進 Hodge 理論と呼ばれる所以

この節では、φ-S-加群の理論が何故“整”p-進Hodge理論と呼ばれるのかを象徴したstatement を集めてみた。まずは、φ-S-加群のisogeny圏とslope 0の(φ,N)-O-加群の圏の関係を述べよう。

補題(1.3.13)

⊗-完全圏としての圏同値

Θ :Mod^φ,N_/S ⊗_ZpQp→∼ Mod^φ,N,0_/O ; M7→M⊗SO が存在する。

ここまでの事柄を総括すると次のような図式で表わされる。

MF^φ,N_/K ^∼

(1.2.15)

//

MF^φ,N_{wa /K}

OO OO

∼ (1.3.8)

//

OO OO

(1.3.10)

Mod^φ,N_/S ⊗_ZpQp

∼ (1.3.13)

//

つまり次の命題を得る。

命題(1.3.15) ¹³

⊗-完全充満忠実函手

MF^φ,N_{wa /K},→Mod^φ,N_/S⊗ZpQp

が存在する。

次に、まさに、“整構造”について取り扱った函手V_Sの定義と基本性質を述べよう。

記法(2.1.4)

• 任意のM∈Mod^φ/Sに対して、VS(M) := HomS,φ(M,S^ur) と定める。この時、VSは次 のような性質を持つ。(c.f. [Fon91, A.1.2, B.1.3.8.4] [Bible, 2.1.2, 2.2.2])

⋆V_S(M)は階数rk_SMの自由Zp-加群。

⋆M7→V_S(M)はMについて完全。

⋆自然な射

VS(M)→Hom_OE,φ(O_E⊗SM,O_dEur) は全単射。

⋆(2.1.15)V := V_S(M)⊗ZpQp,M:=E ⊗SMと置くとN7→Hom_S,φ(N,S^ur)によって次の 二つの集合の間に全単射対応が得られる。

13[Bible, 1.3.15]では、更に函手の像も決定しているがその部分は省略した。

¤有限自由φ-安定S-部分加群N⊂ Mで、E ⊗SN→ M^∼ かつN/φ^∗NがE-nilpotentな物の 集合。

¤G_K∞-安定Zp-latticeL⊂V の集合。

八、 Galois 表現への応用

この節では、今までの理論がGalois表現の問題に如何に応用されるかを見る。その為には、ど うしても周期環の復習は避けて通れないので、速やかにそれを行う事から始めよう。

設定その五

• C:=Kb¯ をK¯ のp-進完備化、OCをその整数環とする。

• 次の全射W(¯k)-準同型θを考える。¹⁴

θ:W(R)³OC; (a0, a1,· · ·)7→ lim

m→∞

m

Σ

k=0p^k˜a^p_k,m^m−k

ここで、R∋an= (an,m)_m=0に対して、˜an,m∈ OKをan,mのliftとしている。

• B⁺_dRをW(R)のkerθ-進完備化とすると、次の基本的な性質を持つ。

⋆B⁺_dRは完備離散的付値環でCを剰余体に持つ。

⋆又自然にGKが作用している。

• BdRをB⁺_dRの商体とすると、次の基本的な性質を持つ。

⋆FilⁱBdR:={x∈BdR;vB_dR(x)=i}でBdRには自然なfiltrationが定まる。

⋆又、GK も自然に作用している。

• W^PD(R)をkerθに関するW(R)のdivided power envelopeとする。

• A_crisをW^PD(R)のp-進完備化とする。

• B⁺_cris:= Acris[1/p]とおくと次の性質を持つ。

⋆包含射S,→B⁺_crisは一意的に連続拡張されて、B⁺_crisはO-algebraと見做せる。更にこの包含射 O,→B⁺_crisはE(u)7→E([π])∈Fil¹B⁺_dRである事に注意すると、Sc₀→B⁺_dRにまで拡張される。

⋆B⁺_cris⊗K0Kは包含射でB⁺_dRから誘導されるfiltrationを持つ。

• B⁺_st (resp. Bst)はB⁺_cris (resp. Bcris)に形式的にlog[π]を添加して得られる。従って次の同型

14¯k ,→R;a7→(a, a^p−1, a^p−2,· · ·)から誘導される射W(¯k),→W(R)によって、W(R)はW(¯k)-algebraと見做し ている。