スカラー積（内積）の定義

電磁波工学

柴田幸司

第4回 変位電流の導入とマクスウェルの方程式 と波動方程式の性質

～ 電磁波の伝搬と波動インピーダンス ～

光（電磁波）が電界・磁界が直交して時間と共に変化し 空間・媒質中を進むためには変位電流を定義する必要

z x y

xz面

磁界

yz面

電界

xz面

磁界

yz面

電界

マクスウェルの方程式

t

 





 D

J Η

t

 





 B

E







 D

 0



 B

ベクトルの回転

（ベクトル積）

これを数式で表したのが

ファラデーの法則

アンペア・マクス ウェルの法則

磁束密度に関する ガウスの法則

ベクトルの発散

（スカラー積）

電束密度に関する ガウスの法則

アンペア

I ^{ファラデー アンペア}_{マウスウェル} ^{ファラデー}

磁界の変化を妨げる回転方向に電界が発生

E D ₀

電界の変化の回転方向に磁界が発生

マクスウェルの方程式を構成する3つの電磁法則（SI単位系）

クーロンの法則 ガウスの法則

アンペアの法則

ファラデーの法則

 変位電流





 D

 0



 B

t

 





 D

J H

アンペア・マクス ウェルの法則

J H 





t

D

t

 





 B

E

t

 





 D

J H

t

 





 B

E







 D

 0



 B

マクスウェルの方程式

E D  

H B  

E J  

構成方程式

静電界の計算に利用 微小面積中の電束密度

＝電荷体積密度[c/m³]

F r

0

2 1

4

q

 q

q₁ q₂

r^．

電流の回転方向に磁界

J

磁界の時間変化 の回転方向を妨 げる向きに電界

B E

変位電流の時間変化 の回転方向に磁界が 発生

H

t

D

? [c/m²]

[T]

[A/m2]

ベクトル解析によるマクスウェル方程式 の変形に必要な知識

1. ベクトルの定義 内積（スカラー積）、外積（ベクトル積）

2. ベクトルの微積分

3. 微分演算子 勾配∇・A、発散∇・A、回転∇×A 4. 関連事項 ガウスの発散定理、ストークスの定理

5. ベクトル解析の公式

面積分←→体積積分 面積分←→線積分

ベクトル形式でのマクスウェルの方程式の計算の意味 ある1点での電磁界に対して式の通り作用するのだか ら、面あるいは3次元で分布する電磁界の次の時間で の進む方向が計算できる。

∇は を表す

a z a y

a_x x _{y z}



 



 



 

   

単位ベクトル

ベクトル解析の基礎

z z y

y x

xa A a A a

A     

 A

太字はx,y,z方向の成分 が含まれることを示す

単位ベクトル（その方向の成分で大きさが1となる値）

∇とは ^偏微分

（その成分だけ微分）

各成分の大きさ x

z

y A

その方向の成分の微小変化

x a_x





y

x

a_x

a_y x

a_x



 y

a_y





x,y,zの方向 を持つので こっちもベク トル

スカラー積（内積）の定義

２つのベクトルA、Bのなす角をθとし、そのおのおのの大きさをA,Bとすれば

y y

x

x B A B

A   











 B A cos B ABcos

A

A, Bの大きさ

をベクトルA,Bのスカラー積または内積と定義すると、これは一方のベクトル の大きさに他方のベクトルの正射影（せいしゃえい）を掛けたものと解釈できる。

結果はスカラーになる

A

cos  B より

A

B

θ

A・ｃｏｓθ

B

A A・B

スカラー積

スカラー積

スカラー（大きさ）でありベクトルではない





z y

x a A a A a A

a z a y

a x        



 







 



 



 



 A

y a A

y a a A

x a a A

x a a A

x a a A

a_{x x} ^x _{x y} ^y _{x z} ^z _{y x} ^x _{y y} ^y



 

 

 

 

 

 

 

 

 

          

z a A

z a a A

z a a A

y a a A

a_{y z} ^z _{z x} ^x _{z x} ^y _{z z} ^z



 

 

 

 

 

 

 

        

さらに a_x a_x  a_y a_y  a_z a_z 1

x y

z x

y

x a a a a a

a          

より 与式は

z A y

A x

Ax y _z



 



 



  _となる。

について

ベクトルの発散の計算

y

x

a_x a_y

x x a x A 





y y a y A 





となる。

および

 0











 a_y a_z a_z a_x a_z a_y

A_x

A y A

y A x

Ax y



 



 



 Α

つまり、その方向の微小成分であり スカラー量（方向を持たない）

発散するのと同じ方 向に進む微小成分

ρ

A

ベクトル積の定義

2つのベクトルA、Bが与えられた時、大きさがA・Bsinθで、方向がA、Bいずれ にも垂直で、向きはAからBに（180°より小さい角度で）回す場合、右手が右ね じの進む向きのベクトルをA, Bのベクトル積と定義してA×Bと表せば



sin







 B C A B A

A, Bの大きさ B

θ A B A C  

Ｃ の方向を示す単位ベクトル(x,z面に垂直)

となる。つまり、Ａ からＢ へネジを回す方向に大きさはAB・sinθつまり線分A,Bを 2辺とする平行四辺形の面積と、なす角の正弧との積としてＣ が作用する。

A・B・sinθ

（平行四辺形の面積）

Cの大きさ x

z y

B

A



sin B

 B sin

x  より

z x

y

右手が右回転するとy方向に進む

 0









 _{x y y z z}

x a a a a a

a     

z y

x a a

a     a_y a_z  a_x a_z a_x  a_y

z x

y a a

a     ^a_z ^a_y  ^a_x a_x a_z  a_y

ナブラとAベクトルとのベクトル積の計算

 _{x x y y z z} 

z y

x A a A a A a

a z a y

a x        



 







 



 



 



 A

x a A

x a a A

x a a A

a_{x x} ^x _{x y} ^y _{x z} ^z



 

 

 

 

 

      

y a A

y a a A

y a a A

a_{y x} ^x _{y y} ^y _{y z} ^z



 

 

 

 

 

      

z a A

z a a A

z a a A

a_{z x} ^x _{z y} ^y _{z z} ^z



 

 

 

 

 

       となる。

ここで

より これらの基礎を基に∇とAのベクトル積を計算してみると



 







 



 



 







 



 



 







 



 

y A x

a A x

A z

a A z

A y

a_x A^{z y} _y ^{x z} _z ^{y x} x

a A x a

a A x a

a A

a_{x x} ^x _{x y} ^y _{x z} ^z



 

 

 

 

 

      

y a A

y a a A

y a a A

a_{y x} ^x _{y y} ^y _{y z} ^z



 

 

 

 

 

      

z a A

z a a A

z a a A

a_{z x} ^x _{z y} ^y _{z z} ^z



 

 

 

 

 

      

az a_^y

a_z

 ax

a_y a_x

となるので、以上を整理すれば与式は

となる。

x

A z

A_x y

x z

z

A z

x

y

右回転するとy方向に進むが



 







 





x A z

a_y A^{x z}

回転時に進む方向 回転時に遅れる方向 ここで右ねじとの対応を考えてみると、x,zが右回転することによりy方向に進むが その際、回転時にA_x は進む（増加する）方向、A_z は遅れる（減少する）方向となるた め、

x A_z



 にはマイナス符号がつく。

ベクトル公式について







 A ^{←後で使う}

ベクトル演算子を計算していくと、以下の関係が導き出される。

























 ( ) ( )





















 A

^の証明例

より、これの発散をとれば



 







 



 



 







 



 



 







 



 



 y

A x

a A x

A z

a A z

A y

a_x A^{z y} _y ^{x z} _z ^{y x} A



 







 



 



 



 a z

a y

a_x x _y _z A



 



 



 







 



 



 







 



 



 







 



 

y A x

a A x

A z

a A z

A y

a_x A^{z y} _y ^{x z} _z ^{y x}



 







 



 



 



 







 



 



 



 







 



 



 

y A x

a A a x

x A z

a A a x

z A y

a A

a_x x _x ^{z y} _x _y ^{x z} _x _z ^{y x}



 







 



 



 



 







 



 



 



 







 



 



 

y A x

a A a y

x A z

a A a y

z A y

a A

a_y y _x ^{z y} _y _y ^{x z} _y _z ^{y x}



 







 



 



 



 







 



 



 



 







 



 



 

y A x

a A a z

x A z

a A a z

z A y

a A

a_z z _x ^{z y} _z _y ^{x z} _z _z ^{y x}



 







 







 



 







 







 



 







 







 

y A x

A z

x A z

A y

z A y

A x

y x z

y x z

 0 ^となる。

電磁法則の微分および積分表現

法則 積分形 微分形







 D

 0



 B

J H 





dt E   dB





電束密度に関するガウスの法則

磁束密度に関するガウスの法則 アンペアの法則

ファラデーの法則

 ^{ } 

 ndS q

0

1

 _ 

sE

 0





dt dl d

u 











どちらも同じ意味

＊電磁波の計算の仕方によって、積分形と微分形とを使い分ける

微小面積中の電気力線 の密度（電束密度）

dt

 dB

電束密度

φの周方向に発生

マクスウェル方程式（微分形）の導出過程

拡張されたアンペアの法則 ストークスの定理

アンペアの法則の微分形

ファラデーの法則の微分形 アンペアの法則の微分形

連続の式

*1

ガウスの法則の微分形 *3

ファラデーの法則

ストークスの定理

ファラデーの法則の微分形 *2

電荷保存の法則

ガウスの定理 連続の式

または ガウス積分形

ガウス微分形 発散定理

ファラデーの法則＋アンペアの法則＋変位電流

＝マクスウェルの法則（電磁波）

ここからは“マクスウェル方程式”が波動の特性を示すことを証明

t

 





 H

E ₀

2 0

2 0 2 0

2 



 





t z

E E  

2 0

2 0

2  



 E E

z k

なるヘルムホルツ方程式（その 周波数での電界の分布）ここで

は波数であり、これらの方程式の解が波動としての振る舞いを示す。

0 0

0     k

E J

H 



 



 ⁰ t

すなわち ,

の組み合わせにおいて、２つの式を連立させてHを消去させれば なる波動方程式（電界の時

間変化）となりさらに

2 2

2  





t ^とおけば

ファラデー アンペールマクスウェル

 0 J

ここで、電流源が 0の場合

H

Β  _{0 ,} D  ₀E

ここで

電磁波の源が存在しない場合の真空中のマクスウェルの方程式は

t

 



 E

H ₀

t

 





 H

E ₀  E  0

 0



 H

・・・ (1.74a)

ベクトル波動方程式の性質

・・・ (1.74b)

・・・ (1.74b)

・・・ (1.74d)

ナブラ

と表すことができる。ここで、∇×EとはHの時間変化の右ネジ方向にEの微小 変化が発生することを示す。

B

θ A

B A C  

これらの関係が成り立つことを確かめるため、まず電界・磁界強度をそれぞれ

（ガウスの法則でρ=0の場合）

右回転するとy方向に進む

z x

y

z z y

y x

xa E a E a

E     

 Ε

であることを確認すれば、（1.74a）式の 右辺は





t

t     



 

 

 ₀ ^Η ₀

z z y

y x

xa H a H a

H     

 Η

である。また となり、3次元の座標において

∇は

a z a y

a_x x _{y z}



 



 



 

   

単位ベクトル（その方向の成分を持ち大きさが1）

磁界のｘ、ｙ、ｚ成分の合成





z y

x E a E a E a

a z a y

a x        



 







 



 



 



 Ε

x a E

x a a E

x a a E

a_{x x} ^x _{x y} ^y _{x z} ^z



 

 

 

 

 

      

y a E

y a a E

y a a E

a_{y x} ^x _{y y} ^y _{y z} ^z



 

 

 

 

 

      

z a E

z a a E

z a a E

a_{z x} ^x _{z y} ^y _{z z} ^z



 

 

 

 

 

       _となる。

ここで、 a_x a_x  a_y a_y  a_z a_z  0

z y

x a a

a     a_y a_z  a_x a_z a_x  a_y

z x

y a a

a     a_z a_y  a_x a_x a_z  a_y ^より



 







 



 



 







 



 



 







 



 

y E x

a E x

E z

a E z

E y

a_x E^{z y} _y ^{x z} _z ^{y x} x

a E x a

a E x a

a E

a_{x x} ^x _{x y} ^y _{x z} ^z



 

 

 

 

 

      

y a E

y a a E

y a a E

a_{y x} ^x _{y y} ^y _{y z} ^z



 

 

 

 

 

      

z a E

z a a E

z a a E

a_{z x} ^x _{z y} ^y _{z z} ^z



 

 

 

 

 

      

az a^y

az

 ax

ay a_x

となるので、以上を整理すれば与式は（１．７４）式の左辺として

となる。

右ネジの方向に回転時に進む方向 回転時に遅れる方向