ベクトル解析

v4.6 Sep.2021 1

ベクトル解析

-ベクトルの代数-

1^st 2011/04/01 L^st 2021/09/20

ベクトル解析が必要な理由

²

1. 電磁場（電界と磁界）がベクトル量（大きさだけでなく 方向を有する物理量）であるため。

2. 電磁界は自然法則＝マクスウェルの方程式で記述さ れ、方程式を解くための過程で、重ね合わせ（和と 差）や微分積分が出てくる。これをベクトル量のまま 扱うのがベクトルの和（差）、ベクトルの積（商）、ベク トルの微分（積分）である。（）内は逆操作という意味 で同じことである。

3. ベクトルの積には、内積と外積がある。

4. ベクトルの微分には、勾配、発散と回転がある。

5. ベクトルの積分には、線積分と面積分がある。

D 

  

0

  B

D 

  

0

  B

E B t

     H J D t

    

電場・磁場・電磁場はベクトル場

電場 （

または

電界） 磁場 （

または

磁界） 電磁場 （

または

電磁界）



静電場のルール

 静電荷

 時間変化なし

 保存場の性質

 ガウスの法則



観測マナー



静磁場のルール

 磁石（ループ電流）

 時間変化なし

 アンペアの法則

 磁場ガウスの法則



観測マナー



電磁場のルール

 変動電荷

 交流電流

 時間変化あり

 マクスウェル方程式



観測マナー

 D

Q S E

C

 S B0

 D

Q S

I C

 S D0

I H

C S

 D

S E

 B B

S B

S 3

0

 E

H J



場と界 (Field) とは？

野球場 サッカー場

問：ルールを知らなかったり，破ったりしたらどうなりますか？

TPO (Time, Place, Occasion) : 時と場所と場合(条件)を弁える，郷に入れば郷に従え，とは？



サッカールール

 サッカーボール

 11人制

 前後半制

 ハンド

 オフサイド

 PK

 CK

 ゴールポスト



観戦マナー



野球ルール

 野球ボール

 9人制

 9回表裏制

 デッドボール

 フォアボール

 スリーアウト



観戦マナー

芸能界 場 (Field)

特定のルール＝

秩序・法則が適用 される時空

2次元 3次元

海 山

畑・陸

交通 学校 社会 空

4

ベクトルとは？

速度 力

ベクトル

スカラー

電界（電場） 磁界（磁場）

ダニエル・フライシュ，河辺哲次 訳， ``物理のためのベクトルとテンソル,’’ p.1, 岩波書店, 2013

速さ 温度 質量 エネルギー 電荷

① スカラーとは，大きさによって特徴づけられる物理量

の数学的な表現

② ベクトルとは，大きさと向きによって特徴づけられる物

理量の数学的な表現

③ テンソルとは，１つの大きさと複数の向きによって特徴

づけられる物理量の数学的な表現

テンソル

誘電率 透磁率

5

 

ˆ ˆ ˆ

, ,

x y z

x y z

A A x A y A z A A A A

  







１階のテンソル場

（ランク１のテンソル）

２階のテンソル場

（ランク２のテンソル）

本間，五十嵐，川口， 数値電磁力学 –基礎と応用-, p.49, 森北出版, 2002

A

（ランク０のテンソル） ^{０階のテンソル場}

スカラー

ベクトル

テンソル

(大学院 レベル)

x y y

A A A A

 

 

  

 

 



成分表記

成分表記

大きさと複数の向きによって特徴 づけられる物理量の数学的表現

（例）誘電率・透磁率

大きさ（あるいは，強さ）と向きに よって特徴づけられる物理量の 数学的な表現 （例）速度 大きさ（あるいは，強さ）によって特

徴づけられる物理量の数学的表現

ダニエル・フライシュ，河辺哲次 訳，

物理のためのベクトルとテンソル, p.1, 岩波書店, 2013

（例）速さ，質量・・・

スカラー・ベクトル・テンソル

6

ˆˆ ˆˆ ˆˆ

ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆˆ

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

A A xx A xy A xz A yx A yy A yz A zx A zy A zz

  

  

  



xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

A A A

A A A A

A A A

 

 

  

 

 



D E B H









 

  

ベクトル場の表示例

⁷

湧き出し（発散） 渦（回転）

電荷が作る電場 電流が作る磁場

0, 0

E E

     

0, 0

B B

     

ベクトル場とスカラー場の表示例

⁸

https://www.tbs.co.jp/weather/forecast/rainwind/wind/

風の予想（全国）｜TBSテレビ：お天気ガイド

https://tenki.jp/guide/chart/

アメダス実況(風向・風速) - 日本気象協会 tenki.jp - 天気予報

〇ベクトル 矢印の向き＝方向

矢印の長さ、太さ、強調色＝強さ

〇スカラー 等高線＝強さ 強調色＝強さ

風（ベクトル）

雨（スカラー）

気圧（スカラー）

単位ベクトルの表記方法

1 2 3

1 2 3

, , , , ˆ ˆ ˆ , ,

, , , , , , , ,

x y z x y z

i j k

x y z e e e e e e i j k

e e e e e e

  

  

   電気系では、交流の電流や電圧と混 同して間違う可能性があるため使用を 避ける傾向がある。

（リスクは避ける）

xハット, yハット, zハットと読む

9

単位ベクトルとは，大きさ１で方向だけ を有するベクトル

電磁気学で最もよく使われるタイプ

ベクトルの表記方法（２次元の例）

ˆ ˆ

x y

A A x A y    ( ,

_{x y}

) A   A A

, , A A  Α

成分表記 ベクトル表記 ベクトルAの記号

2 2

x y

A    A A  A

ベクトルＡの大きさ

10

ベクトルと大きさ（２次元の例）

x y

A

x

A

y

x ˆ

y ˆ | | A   A

_x²

 A

_y²

| | 1 x ˆ 

| | 1 y ˆ 

2次元x,y平面上の任意ベクトルAの様子

11

ˆ ˆ

x y

A A x A y   

AxはベクトルAのx成分(x方向の大きさ)を表し，Ayはベクトル Aのy成分(y方向の大きさ)を表す。さらに，xハットはx方向の 単位ベクトルを表しyハットはy方向の単位ベクトルを表す。

ベクトルの和と差（２次元の例）

A  B 

x y

A

x

A

y

B

x

B

y

A B   



2次元x,y平面上の任意ベクトルAとベクトルBの和と差

ベクトルAの x軸への投影 ベクトルAの

y軸への投影

12

ˆ ˆ

(

_{x x}

) (

_{y y}

) A B     A  B x  A  B y

ˆ ˆ

(

_{x x}

) (

_{y y}

) A B     A  B x  A  B y

A B   