講義ノート(法政2017年度) 福川賢治のホームページ

2017/11/16 ^{入門物理学 B}

入門物理学 B

第 8 回 (11/16) 光速について・相対性理論 (1)

・光の粒子説と波動説

・光速の測定

・相対性理論の登場 (エーテルの風、マイケルソン・モーリーの実験) 次回 (11/23) 相対性理論 (2)

・アインシュタインの相対性原理

・ローレンツ変換

・ニュートン力学の変更 (E=mc²)

法政大学 市ヶ谷リベラルアーツセンター兼任講師 福川 賢治 (https://sites.google.com/site/kfukukawa00/hosei2017)

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入門物理学 B 2017/11/16

光の粒子説

ニュートンが主著である「プリンキピア」や「光学」で唱える。 ホイヘンスによる波動説(1690 年) ほぼ同年代

以降、両者は 100 年以上対立。

18 世紀は光の粒子説が主流だったが、

1801 年ヤングの実験により波動説が復活した。

光の粒子モデルは、光の持つ幾つかの性質をうまく説明出来る。

・光の直進

光の粒子は非常に速く飛ぶので、ほぼ重力の影響を受けずに直進できる。

・光と光が相互作用しないこと

光の粒子が非常に小さいと考えることで、光同士の衝突は確率的に ほとんど起こりえないと考えることができる。

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・光の吸収と加熱

粒子が反射もせず、透過もしないとすると、粒子は静止する。

→ 摩擦により、熱が発生。

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入射角 反射角

床

光の粒子説 (2)

・粒子説による光の反射

ボールと床の衝突では、よくボールが弾む (弾性的な)場合、ボールの反射角と入射角 はほぼ等しくなる。

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・粒子説による光の屈折

急な崖 (境界面) 入射角 i

屈折角 r 空気

(屈折率 1)速さ v¹

物質 (屈折率 n > 1) 速さvⁿ

粒子が急な崖に差し掛かることで、

境界面に垂直な面に加速されることにより、 屈折が起きる。したがって、

(物質中での速さ vⁿ) > (空気中での速さ v¹)

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境界面

空気

(屈折率 1) 速さ v¹

波長λ

波長λ ＝λ/n 物質 (n=屈折率 > 1)

波動説による光の屈折

空気から他の物質に入る時、 波の速度が遅くなると、

(物質中で波長が短くなることによる) 屈折が起こる。

v¹/vⁿ = sin i/sin r = n したがって、vⁿ = v¹/n

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物質中での光速は空気中より速い (粒子説)か遅い (波動説)か？ 水中での光速の測定が必要。

1850 年 フーコーにより水中での光速が空気中より遅くなることが実証 (光の波動説の確立)

1864 年 Maxwell が電磁気学の基本方程式を発表 (Maxwell 方程式)。 電磁場が光速で真空中を伝わることを示し、光が電磁波であることを示唆。

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光速の測定

1. 真空中での光速 c (= 29.9792458 万 km/秒 = 地球 7 周半)は   物理の基本定数の一つ。

2. 光 (電磁波)や、重力波 (2016 年 2 月発見) は光速 c で真空中を伝わる 

・現在ではレーザーを用いて、波長λと周波数 f を精密に測ることにより、  c=fλからより精密に測定できるようになっている。

・その結果、現在の光速は単位 m [メートル]を定義するのに用いられる。 (1975年 第15回国際度量衡総会 (CGPM) の決議2,

1983年 第17回国際度量衡総会の決議1)

1 m = (光が 1/299792458 秒間に進む距離) と定義されている。

・光速が有限かどうかは、17世紀中頃には答えが得られていなかった。  ケプラーやデカルトなどは光速が無限であると主張していた。

 次回、光速の測定について、幾つかの歴史的に重要な実験を述べる。

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レーマー

_{による光速測定}

木星の衛星イオが木星に隠れる周期の変化を発見

木星の軌道

木星

太陽 ^地球 衛星イオ

半年後

地球 太陽

衛星イオ

当時知られていた値

D = 2 億 8300万km から

c = D/t = 21.4 万km/秒 を算出。

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距離 L 直径 D

(上図)

地球がずっと止まっているとすると、 木星はそれほど速く動かないので、 地球から、衛星イオが木星の周りを 回る公転周期はほぼ一定に見える はずである。

距離 L+D

(下図)

実際には、地球は公転しているので、 木星イオの公転周期は、半年後には

地球の周回軌道の直径 D の分ずれる。 そのズレは t = D/c = 約 22 分

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ブラッドリーによる光速測定

光行差現象:

観測者の移動によって、天体の位置が移動方向にずれて見える現象

例え. 雨が降る中を走ると、雨が前から降ってくるように感じられる。

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天体 (光源)

地球 (速度 v)

光の経路

天体から見た 光と地球の運動

地球から見た 天体と光の運動

地上の人にとって、あたかも天体は B にあったかのように見える。 AB : BC = c : v なので、sinθ=BC/AB = v/c となり、

θと v を測れば、c が求まる。

光は、地球 - 太陽間を 8分12秒間 (現代の値は 8分19秒)で動くと推定 地球

天体

A C B

θ ^光の経路

画像はWiipedia より引用

James Bradley (英、1693-1762) グリニッジ天文台長

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フィゾーによる地上初の光速測定

画像はWikimedia commons から引用し改変, (16th March 2007), CC-BY-SA 3.0 ライセンス

距離 L

歯車 G

反射鏡 M

光源からの光が、ハーフミラー(半透明の鏡) から歯車 G (歯の数 n) の 間を通り、

反射鏡 M で反射され、

歯車の歯に当たって暗くなる時を調べる。 歯車は光が距離 L を往復する間に

1/2n 回転すれば、

光を妨げることができる。

歯車の 1 秒間の回転数を f とすると、 かかる時間は 1/(2nf) 秒である。

これは光が GM を往復する時間 2L/c に等しい。 したがって、1/(2nf)=2L/c

c = 4nLf と求められる。

フィゾーは f =12.6 Hz, n = 720 個, L = 8633 m から c = 31.3 万km/秒 を得た。

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Hippolyte Fizeau (仏、1819-1896)

画像はWiipedia より引用

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フーコーによる光速測定

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Leon Foucault (仏、1819 - 1868) フーコーの振り子 (1851 年) で有名

画像はWikipedia より引用

(左図) 平面鏡 R は静止している。

   S から出た光は R の平面鏡及び球面鏡 Mで反射し、光は Sに戻る。

(右図) 平面鏡は R は回転している。R→M→R を走る時間 2h/c の間に鏡 R が θ回転すると、反射光の角度は 2θずれる。

   この角度を測定し、光速を計算する。

RM 間を水の管で満たせば、水中での光速が測定できる。

水中での光速は空気中の約 3/4 倍 であることを測定 (1850 年)。   

原理

画像はWikimedia Commons から引用、Photo by

Stigmatelda aurantiaca, (1st August 2015), CC-BY-SA 4.0 ライセンス

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相対性理論 (1)

相対論以前の (そして、おそらく大部分の人の) 常識

静止

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1. ２つの座標系で、時刻は同じになる。 (絶対時間、古典力学における仮定) 2. 速度 v で運動する箱の中で、

 さらに速度 v で運動する物体は、 静止している人からは、

  速度 _{V = v +v} で運動するように見える _{(速度の足し算)}

v

速度 v で運動する箱

箱の中で速度 v で運動する物体は ^{• • • •}

静止している人からは 速度 V = v ＋ v で運動するように見える。

v

3. 等速度で運動する全ての人にとって、加速度 (速度の時間変化)は同じ。  力学の基本法則であるニュートンの運動方程式

F = ma「(力)=(質量) (加速度)」

はどのような等速度で運動する人にとっても成り立つ。 (ガリレオの相対性原理)

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エーテルの風

19世紀の物理学者達は、地球は光を伝える媒質である「エーテル」 の中を運動していると考えていた。

光の進行方向が地球の進行方向と一致するか逆向きかで、光速 c が 変わるのではないか？と考えた (エーテルの風)。

※ 有線LAN の規格である Ethernet の語源は Ether (エーテル) である。

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地球から見た光速は c-v ? ^{• • • • • • • •} (地球は光と同方向に

[エーテルの追い風の中を] 運動) 地球から見た光速は c+v ? ^{• • • • • • • •}

(地球は光と逆方向で

[エーテルの向かい風の中を]運動)

地球 速度 v

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マックスウェル

_の苦悩

マックスウェルは自身の電磁気学の基本方程式 (Maxwell 方程式)から、 電磁波が光速 c で伝わることを導き出し、電磁波は光であると考えた。 c というのは何か物理で基本的な量であるように思える。

しかし、地球がエーテルに対して運動すると光の速度が変わる。 Maxwell 方程式は厳密には成り立たないのだろうか？

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マイケルソン・モーリーの実験

マイケルソンは光速 c に対する地球の速さ v の比 (v/c)

を検出できるような装置 (マイケルソン干渉計、次頁)を考え (1881年)、 地球がエーテルを突き抜け走っているかどうか調べられると考えた。

1887 年に装置を改良し、モーリーと共に十分な精度で実験を行った。

James Clerk Maxwell (英、1831- 1879)

電磁気学、熱・統計力学に業績

Albert A. Michelson (米、1852 - 1931)

1907 年ノーベル物理学賞 (科学部門では米国初)

画像はともに Wikipedia より

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画像はWikipedia Michelson-Morley experiment (英語版) から改変、Picture by Stigmatella aurantiaca

(4th November 2013), CC-BY-SA 3.0 ライセンス

左の図: エーテルに対し静止

半メッキ鏡 a から ab と

ac に進む光は、鏡 b と c で それぞれ反射し、

2 光線 baとca は d で同位相で 干渉する。

右の図: エーテルに対し運動 (等速度 v) a→c→a と移動する距離は、 a→b→a と移動する距離より、 わずかに長い。

(距離の差 は Dv²/c² となる)。 従って、光の干渉による縞模様 が移動して現れるはず。

d a

b

c ^c

b

a

d 実験の原理図

ac = ab = ad = D

実際には、縞模様は移動しなかった。

1. エーテルの影響は検出できなかった。 2. 光の速さは動いている人から見ても 一定の光速 c

 (速度の素朴な足し算 ^{[10ページ]} が成り立たない)

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