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電磁波工学

柴田幸司

伝送線路とは

伝送線路とは光速で進む電磁波を構造体の中に閉じ込めて低損失に て伝送させるための線路であり、 伝搬方向、断面方向に電磁波を閉じ込めるためには金属条件や誘 電体の境界条件を利用する必要がある。 開放型 ・・・TEM型 ・・・平行2線 誘電体型 ・・・誘電体線路、光ファイバ 閉鎖型 ・・・TEM型 ・・・同軸線路 導波路型 ・・・導波管

おのおのの伝送線路の形状に対する管内断面の

電磁波の姿体の導出

以下に各伝送線路の構造に対する電磁波の姿体の例を示す。 電界 磁界 x y 導波管 H E 同軸線路 電界 磁界 マイクロストリップ線路 この様に、伝送線路内の電磁界は構造により固有 の形となるが、これは金属境界の条件の違いや伝 搬する周波数の違いによるものである。そこで、 金属境界の構造と内部電磁界の姿体との関係を求 めてみる。 x y

周波数領域におけるマクスウェルの方程式











j

z

,









j

t

と定義することにより得られる その周波数におけるマクスウェ ルの方程式はα=0の場合 x y z

H

j

E

j

y

E

_

_

_

_

_





x y z

E

j

H

j

y

H

_

_

_

_





y z x

j

H

x

E

E

j

















z _y x

j

E

x

H

H

j















z x y

H

j

y

E

x

E

















z x y

E

j

y

H

x

H















・・・ (1) ・・・ (2) ・・・ (3) ・・・ (4) ・・・ (5) ・・・ (6) 直交座標におけるスカラでの6つのマクスウェル方程式対について断面における 電磁界成分を調べる為に











j

また、時間 の変化を ここで 伝搬方向の電磁界 の変化をその性質 より伝搬定数とし てこの様に定義 ここでαは減衰定数、 βは伝搬定数     2 より波長と関連（波の1周期 [rad]を波長で規格化した値）  j L

e

E

E



₀



   eγLが虚数だと伝搬し実数だと減衰する     2 , となる。 アンペア マクスウェル ファラデー

これら6つの式より、伝搬方向のみの電磁界のZ（伝搬）方向成分であるE_zおよ びH_zだけで伝送線路の他の断面方向の電磁界成E_x ,E_y ,H_x ,H_yが記述できる。 すなわち、たとえばH_x を求めるために(1)式と(5)式からE_y を消去することを考え れば、まず(5)式は y z x

E

x

H

H

j

j



























1

の様に変形できて、これを(1)式に 代入すれば x z x z

H

j

x

H

H

j

j

j

y

E





































1

となり、これをH_x に 着目して整理すると x z x z

_j

_H

x

H

j

j

j

H

j

j

y

E





























1

x z x z

H

j

x

H

H

j

y

E

_

_

_





















1

2

周波数領域における電磁界分布の統一表現

x x z z

H

j

H

j

x

H

y

E

_

_





















2 となる。よって、 両辺にωεを掛けると x x z z

H

j

H

j

x

H

y

E

























2 2





H

x

j











2 2 となる。ここで





H

x

j

2 2

1

_

_

_

_



2 2 2 0 2 2 c

k

k

















と置けば、与式は





























x

H

y

E

k

j

H

z z c x ₂ ・・・ (7) である。同様にE_x , E_y , H_yも計算できて となる。但し、 2 2 0





 k

k

_c





























x

H

y

E

k

j

H

z z c x ₂ ・・・ (7)































y

H

x

E

k

j

H

z z c y ₂ ・・・ (8)































y

H

x

E

k

j

E

z z c x ₂ ・・・ (9)































x

H

y

E

k

j

E

z z c y ₂ ・・・ (10) となる。







 2 _μ 0 =4π10-7 x _z y

TEモードとTMモード

E_z =0 すなわち、伝送方向の電界が存在しない場合の姿態をTEモードと呼び、 この場合について(7)～(10)式は次式の様に簡略化される。

y

H

k

j

E

z c x











₂

x

H

k

j

H

z c x











₂

y

H

k

j

H

z c y











₂

x

H

k

j

E

z c y









₂ ・・・ (11) ・・・ (12) ・・・ (13) ・・・ (14) つまり、xy平面における電磁界はH_z のみで表現（計算）できる。この時、 ヘルムホルツ方程式は伝搬定数βを用いてあらためて

0

2 2 2









E

E

c

k

z

または 2

₀

2 2









H

H

c

k

z

ここで 2 2 0





 k

k

_{c ,}

k

o







0





0 と置くことができる。

境界条件について

異なる媒質の境界（不連続部）では、マクスウェルの方程式はそのまま適用 出来ない。 →境界面に境界条件を適用 媒質内における 電磁波の伝搬 Boundary Plane Medium （ガラスなど） Region1 Region2 Region1 Region2 ε₁ , μ₁ , σ₁ ε₂ , μ₂ , σ₂ n t τ ⊿ C S 小さな面Sとこれを囲む閉路C（⊿C=0）につ いて拡張されたマクスウェルアンペア(1.4) 式を適用



H

H



K

n



₁



₂



・・・ (1.16) K ・・・ 境界面を面電流が流れて いる時の電流密度 ［A/m］ (1.16)式 ・・・ 境界面に面電流が流れている場合、その分の不連続が生ずる。 ・・・ _(1.4) 変位電流 線積分





         S C _dt dS d ds J D n H

同様に小さな面Sとこれを囲む閉路C（⊿_C=0） についてファラデー(1.7)式を適用

n





E

1



E

2





0

・・・ (1.17) → 電界の接線成分は連続 領域1および2共に完全導体でなければ、面電流＝０となる。









0



H

₁

H

₂

n









0



E

₁

E

₂

n

・・・ _(1.20) 不連続部における 一般的な境界条件 (1.20)式を変形すれば 2 1

n

H

H

n







(1.20)式の意味

x y z n H_x H_y となる。これは、領域1および2の単位法線ベクトルnに垂 直な磁界の2成分（H_xおよびH_y）が、境界面では等しいと いうことを意味している。



















S C

_dt

dS

d

dt

d

d

s

B

n

E

・・・ (1.7)

誘電体の境界条件

境界面 媒質２ （ガラスなど） 領域1 領域2 z y 媒質１ （空気）

入射波

透過波

媒質の誘電率に関連して透過



H

H



K

n



₁



₂



K ・・・ 境界面を面電流が流れて いる時の密度 ［A/m］ 境界において、磁界はKの不連続が生じ る。但し、完全金属以外ではK=0となり









0



E

₁

E

₂

n

となる。すなわち、電界の接線成分は連 続（境界での電界の接線成分は等しい） 2 1

n

E

E

n







2 1

n

H

H

n







が成り立つ。また、電界は アンペアマクスウェルの積分形より ファラデーの積分形より

n z y x E_y E_x 1

E

n



とは n…単位法線ベクトル （境界面と垂直なベクトル） 1

E

n



とは nに垂直なE_yおよびE_x成分の 電界のこと 2 1

n

E

E

n







について つまり、境界において 2 1 y y

E

E



2 1 x x

E

E



領域名 が成り立つ 領域１ 領域２

n z y x E_y E_x n…単位法線ベクトル （境界面と垂直なベクトル） 1

E

n



とは nに垂直なE_yおよびE_x成分の 電界のことだから

0





E

₁

n

金属の境界条件

0

1 1





y x

E

E

入射波 反射波 金属に電磁波が入射すると、表面の電界強度は 零となり（ショート）、すべて反射する。

平行金属板におけるＴＥモードの伝搬定数と界分布

平行平板

y x

0

2 2 2









z c z

h

k

z

h

なるヘルムホルツ方程式を考えると、一般解は



k

y



B

cos



k

y



sin

A

H

_z



_c





_c



となることが知られている（現時点では、A ,Bは未知数）。 ここで、平行金属板については先のマクスウェルの方程式においてE_x =0 on (y=0 , y=d) なる境界条件が適用される。なお、E_zはTEモードの伝送方向に電 界が存在しない性質より常に零である。よって、Exに対して実際に金属境界 条件を適用するためにｚ方向の磁界として(15b)式を(15a)式に代入した z j z z

h

e

H





  2 0 0 2 2













c

k

_,













j z c c z

A

sin

k

y

B

cos

k

y

e

H











  _{を用いれば} y=d y=0 z 今、z方向の磁界が ・・・ (15) ・・・ (15a) ・・・ (15b)

y

dH

k

j

E

z c x









₂ となる。ここで、金属面の境界条件より

0



x

E

on y=0, y=d _{だから、まず(16)式にy=0を代入すれば}

となり、これを満足する条件として A=0を得る。 TEモードにおいては電界 のｘ成分は(13)式より であるから













j z c c c c c x

A

k

cos

k

y

B

k

sin

k

y

e

k

j

E







₂













 

 

 





j z c c c

e

k

sin

B

k

cos

A

k

j



_{ }









0

0

0





j z c

e

A

k

j



_{ }











1

0

0

1 ₀ であり、sin(0)=0、cos(0)=1であるから ・・・ (16) これにH_z を代入してyに関する微分を実行すれば













j z c c c

e

y

k

sin

B

y

k

cos

A

k

j



_

_

_

_

_

_

_{ }





なお、BはTEモードでの電界の振幅係数でありB=1の場合には これより、TE波において(15b)式は単に



k

y



cos

B

h

_z



_c



・・・ (17) と表される。



k

y



cos

h

_z



_c



となるから、それに対応してEx はあらためて A=1および B=0を代入して













j z c c c z c x

A

cos

k

y

B

sin

k

y

e

k

j

dy

dH

k

j

E







₂















 

 

 





 

j z c c z j c c c

e

y

k

sin

k

j

e

y

k

sin

y

k

cos

k

j



_

_

_

_

_{ }

_



_

_{ }





0

1

となり、他の電磁界成分も先に定義したE_y 、E_z などにH_z を代入することにより 決定される。 ・・・ (17a)

さらに、 _{・・・ (17a) についてy=dにおいて} E_xがゼロになるためには





 n

d

k

_c なる関係を得る。これより

d

n

k

_c







_{と変形すれば、(17)式にk} c を代入して











 



y

d

n

cos

B

h

_z



を得るので、これを用いてTE モードの界分布が表せる。 である必要がある。さらに sin(x)=0となるためには、x=n・πである必要があり、x=k_c ・dなので n=0,1,2 ・・・ ・・・ (18)

 

j z c c x

sin

k

y

e

k

j

E







 

 

_c



 zj



0

c

e

d

k

sin

k

j



_

k

_c

（固有値）および界分布の決定

2 0 0 2 2













c

k

について考えると、各ｎに対するβは 2 0 0 2 2 c n











k



とおけて 2 0 0 2 c n











k



となる。ここで、

d

n

k

_c







だから、 ・・・ (19) であり 0 0 0 0

2















k

となり、(19)式の両辺を波数k_oで割ると 2 2 0











 









d

n

k

n 2 0 2 0 2 2 0 2 0

2

1

2

1

1

1











 

































 

















 









d

n

d

n

k

d

n

k

n を得る。 β_nはあらためて伝搬定数と呼ばれ、電磁波の伝搬を 表す定数である。なお、真空中の波数は n=0,1,2 ・・・ ・・・ (20)

伝搬定数βの決定

0 0











o

k

である。

伝搬定数β

_n

の性質

2 0 0

2

1











 









d

n

k

n はn=0の時

1

0

1

0 0







k



すなわち



₀



k

₀ となり、自由空間における波数と一致する（平面波またはTEMモード）。 ・・・ (20) n=1の時、(20)式は 2 0 0 1

2

1

















d

k





となる。ここで、 0 1

k



0 0 0

f

c





であって、 が実数となる状態を伝搬モードといい、虚数に なる状態を減衰モードという。

0 1

k



が実数になる為には 2 0

2

1











 



d

である必要がある。 たとえば、d=15mmの場合には、

 



 



2 0 2 3 2 3 2

10

30

10

15

2

2

d



















となる。 つまり、n=1の 時には 0 3

10

30









となり、自由空間波長λ0 が30mm以下 である必要がある。すなわち 9 10 3 8 3 8 0 0

₁

₁₀

₁₀

₁₀

10

10

10

1

10

30

10

0

.

3

























c

_{ }

f

［Hz］以上でなければ TE₁ モードの電磁波は伝 搬しない。 ｎの変化に対して、β_n /k_o と周波数には左図の様な 関係がある。 k0 n  1 n=0 n=1 n=2 0 f [Hz] カットオフ

また、各nに対して平行金属板間 のz方向の磁界分布H_zはy方向の 変化に対して











 



y

d

n

cos

B

h

_z



_{・・・ (18)} z j z z

h

e

H





  について、B=1, z=0とすれば n=0の場合にはcos(0)=1より、いかなるyにおいてもH_z =1となる。これに対し て、n=1, 2には、y=0およびdの場合にH_z =0となり、その間では単振動となる ので、それらを図で示すと下図のような姿態となる。 および y x z n=0の場合 TEMモード （静電磁界） y x z n=1の場合 TE₁ モード y x z n=2の場合 TE₂ モード y=d y=0 E_x（sin分布） TE₁ モード H_z（cos分布）

誘電体スラブ線路の伝搬モード

0

2 2 2









x c x

_k

_E

z

E

において、各領域のx方向の電界を y x z 0 d 領域1 領域2 領域3 y x

C

e

E

1 1 















C

cos

y

E

_{x 2 2} 領域1 領域2 領域3



y d



x

C

e

E



 3  3  2 1 2 1



k

o

n

eff



n



2 2 2 2



k

o

n



n

eff



2 3 2 3



k

o

n

eff



n



・・・ (21) ・・・ (22) ・・・ (23) とおく。ここで、(21)および(23)式は領域1,3より外側においてはE_x が指数関数 的に減衰することを意味している。また n_i 



_{ri ここでi=1,2および3である。} (23a)

さらに、C₁ , C₂ , C₃ は未知の定数である。したがって、未知数はn_effを含める と4つになるので、連立方程式も4つ必要となる。4つの連立方程式を得るた めに電界の接線成分であるE_xと次式で表される磁界の接線成分H_zとの関係 である

y

E

j

H

_z x











1

を用いる。すなわち、E_x を代入してyに関する 偏微分を実行すれば 領域1 領域2 領域3 y z

C

e

j

H

1 1 1 





_

















_



C

sin

y

j

H

_z 2 _{2 2}



y d



z

C

e

j

H





 3  3 3 





を得る。 ・・・ (24) ・・・ (25) ・・・ (26)

これらのE_x およびH_z に関する6つの方程式に対して以下の境界条件を適用 する。すなわち y=0における電磁界の接線成分の連続性より 0 2 0 1 _y



x _y x

E

E

y=dにおける電磁界の接線成分の連続性より の合計4つの方程式が出来る。よって、これらの方程式を実際に計算すれば ・・・ (27) ・・・ (28) ・・・ (29) ・・・ (30) 0 2 0 1 _y



z _y z

H

H

d y x d y x

E

E

_{2 }



_{4 } d y z d y z

H

H

_{2 }



_{3 }











_

_

0

2 2 0 1 1

C

cos

e

C

C

₁

 C

₂

cos(



)

















_

_

_

_



1 ₁ 10 2

C

₂

sin

₂

0

j

e

C

j

)

sin(

2 2 1 1











C

C





( d d )

e

C

d

cos

C







 3  3 2 2 





3 2 2

cos(

d

)

C

C













( d d )

e

C

j

d

sin

C

j

 







3 3 3 2 2 2 













→ → → →



₂

C

₂

sin(



₂

d





)





₃

C

₃ ・・・ (31) ・・・ ₍₃₂₎ ・・・ ₍₃₃₎ ・・・ (34) となる。

よって、(32)式/(31)式を実行すれば

)

cos(

)

sin(

2 2 2 1 1 1













C

C

C

C

→

)

cos(

)

sin(

2 1













2 1

)

tan(

)

cos(

)

sin(

















→

_

























 1 2 1 1

tan

n

これより n₁πごとに繰り返し条件が合う

























 2 1 1 1

tan

n

・・・ (35) となる。 を得る。

また、(34)式/(33)式を実行すれば 3 3 3 2 2 2 2 2

)

cos(

)

sin(

C

C

d

C

d

C

_

















3 2 2 2

)

cos(

)

sin(

_

_















d

d

2 3 2 2 2

_tan(

₎

)

cos(

)

sin(



























d

d

d

→





























 2 2 2 3 1

tan

d

n

n₂πごとに繰り返し条件が合う ・・・ (36) を得る。

また、(36)式に(35)式を代入すれば















































_  2 2 1 1 1 2 2 3 1

tan

tan

d

n

n

d

n

n

_{2 1 2} 2 1 1 2 3 1

tan

tan

_













































_  α 改めてnπとおく

d

n

₂ 2 1 1 2 3 1

tan

tan

_









































_  ・・・ ₍₃₆₎

0

tan

tan

₂ 2 1 1 2 3 1













































_ 

d

n

として、この式が成り立つ ようなある周波数における n_effが計算できる。そして、 この値から線路の伝搬定数 βが求まる。 となる。そこで、

そこで、具体的に、f=10GHz、n=0、n₁ =1、n₂ =10、n₃ =1の場合について、 f(1 2 3) atan 3 neff( ) 2 neff( ) atan 1 neff( ) 2 neff( ) n 2 neff( ) d 但し、β_１～β_３は(23a)式を計算したところ 5 5 f(1 2 3) 11 1 neff 2 4 6 8 10 5 0 5 となるので、neffは8.6程度となった。

FDTD法とは

無線機器内や空間の電磁波を

コンピュータ

により

シミュレーション

_{する“電磁界解析手法”の1つ}

→伝搬特性の解明

電磁界解析と伝送線路理論

電磁波の計算

マクスウェル方程式の計算（電磁界解析）

伝送線路理論

（三角関数）による計算

容易, しかし複雑なモデルは不可能

・有限要素法

・モーメント法

・モード整合法

・FDTD法

ヘルムホルツ方程式 固有関数に境界条件を適用 マクスウェル方程式の 直接差分 利点 ・アルゴリズムがシンプル ・時間領域解析が可能

t











H



₀

E

t













E



₀

H

コンピュータによる時間領域解析

~FDTD（時間領域差分）法~

マクスウェルの方程式

t

H

x

E

z

E

_{x z} y



















0



t

H

y

E

x

E

_{y x z}



















0



t

H

z

E

y

E

_z y _x



















0



偏微分方程式

を差分化

(Finite difference time domain)

t

E

x

H

z

H

_{x z} y

















0



t

E

z

H

y

H

_z y _x

















0



t

E

y

H

x

H

z x y

















0



偏微分方程式の差分化とは

z

E

y

E

t

H

_{x z} y





















₀

_





























y

E

z

E

t

H

_x y _z 0

1

偏微分→微小変化 →空間中の微小変化に置き換え

)

2

1

,

2

1

,

(

)

2

1

,

2

1

,

(

2 1 2 1











 

k

j

i

H

k

j

i

H

_xn _xn













































z

k

j

i

E

k

j

i

E

k

j

i

t

n y n y

,

)

2

1

,

(

)

1

,

2

1

,

(

)

2

1

,

2

1

,

(





































y

)

k

,

j

,

i

(

E

)

k

,

j

,

i

(

E

_zn _zn

2

1

1

2

1

他の5式も

同様に差分化

時間を表している

(i, j, k) _{E (i+1, j, k)} x

3次元空間への電磁界の配置

(i+ , j, k) 2 1 E_y E_z Ez E_y E_y E_x E_x 単位セル H_ｚ H_y E_z H_ｘ

y

z

x

(i, j+ , k) 2 1 (i, j+1, k) (i, j+1, k+ ) (i, j+1, k+1 ) 2 1

) 2 1 , 2 1 , ( ) 2 1 , 2 1 , ( 2 1 2 1        k j i H k j i H_xn _xn                       z k j i E k j i E k j i t n y n y , ) 2 1 , ( ) 1 , 2 1 , ( ) 2 1 , 2 1 , (                   y k j i E k j i E_zn _zn ) 2 1 , 1 , ( ) 2 1 , , ( 時間

時間との関係

2 1  n

H

_x

H

_x 2 1  n 1  n n

E

_y

E

_y

H

_z

H

_z 1  n

E

_y

E

_z

E

_z

E

z 時間

n+1/2のH

_x

はn+1/2のH

_x

とn

のE

_y

およびE

_z

により求まる

n+1のE

_y

はnのE

_y

とn+1/2の

H

_x

およびH

_z

により求まる

金属,誘電体の境界条件

金属の表現法

誘電体・・・誘電体部分のε

₀

をε

_0・

ε

_r

とする

PEC・・・接線成分の電界0

中空

4面金属

接線成分の導電率を大きくする

誘電体板 金属 or 誘電体 0 ) , 2 1 , ( 2 1    k j i E_xn

吸収境界条件

Mur1・・ある波長の電磁波を打ち消すような差分表現

PML（Perfect matched layer）・・ある空間インピーダンスを持つ

電磁波を磁性損失により減衰

導波管端面の

無限を表現

(電磁波の全吸

収)

導波管 解析空間周囲の無限を表現 (電磁波の全吸収)

電磁界の励振

TE

₁₀

モード励振・・導波管を伝搬する

モード電界の励振

ギャップ給電

・・アンテナやストリップ線路

のギャップに電界を励振

CW ・・

時間的に連続な信号

(Continuous wave)

パルス

・・時間的に不連続な信号

励振とは？ ・・電磁界シミュレーションのための

仮想的な電力供給(電界, 磁界の供給)

TE₁₀モード



f t



En_y sin 2 _n



f t



E_yn sin 2 _n ギャップ給電 矩形パルス ガウシャンパルス                  2 29 . 0 exp T T t E_yn n T 0.646/ f₀

コーラント条件

セル寸法と単位時間（Δt）との関係

1  n n n1 Δt

x

y

z

Δx Δy 2 2 2

1

1

1

1



















































ｚ

ｙ

x

c

t

c=2.99792・10

8

[m/s]

・・・（1）

Δtは(1)式を満足する必要がある （これより大きいと計算結果が不安定になる）

解析の流れ（導波管の場合）

1. 解析モデルのプログラム化

2. プログラムの実行（電磁界の計算）

3. 計算結果の表示（プロットソフト）

金属

吸収境界

励振

電磁界の計算例

(Gnuplotによる)

サンプルプログラムの解析モデル

4面金属

（PEC）

吸収境界 (Mur1)

励振(TE

₁₀

)

17 57

x

y

z

31 51 200 0

Δt = 5・10

-13

_[s]

22.9mm

Δx=0.5725 [mm]

Δy=0.5100 [mm]

Δz=0.5000 [mm]

セル幅 セル数 吸収境界 (Mur1)

40

20

200

100mm 10.2mm タイムステップ 10000

f = 10.0[GHz]

50

・

セル幅が小さいほど

解析精度が向上

解析時の注意点

・しかし、計算時間およびメモリが増大

・吸収境界の端部から反射が発生

FDTD法の応用

～伝送線路特性の解析～

マイクロストリップ

フィルタ 導波管フィルタ