電位（静電ポテンシャル）

電位（静電ポテンシャル）

電位

（単位：

ボルト[V]）

電場 E（電界）＝電位/距離 [V/m]

雲（帯電によ り電位発生）

大地（電位ゼロ）

＋Φ 0

電位差があると電 流が流れる

z z y y

x x z

y x

E

ˆ ˆ , ˆ

, 





















 

































問題： 電位がΦ = 𝑥² + 𝑦² + 𝑧²で与えられ るとき、電場𝐸を求めよ。

電気力線と等電位面（線）

• 電位の等しい点を結んだ面（線）を等電位面（線）という

• 電気力線と等電位面（線）は直交する。

異種等量の２電荷 同種等量の２電荷

一様な電場

• 十分広い２つの平面（極板）に電位差を与えたとき、その間にはほぼ 一様な電場が形成される。

• 例：コンデンサ

• このとき、２枚の平面（極板）の間の距離をd[m]、電位差をΦ[V]と すると、電場の大きさ（強さ）ＥはＥ=Φ/ｄ[V/m]として与えられる。

• 電場の向きは、電位が高い方から低い方に向かう向き（正の電荷には たらく力が、高電位側から低電位側）

例： 0.1[m]の距離で100[V]の電位差なら、電場の強さは 1[kV/m]

問題： 距離が0.50mの２つの極板の間に25Vの電位差を与え た。極板間の電場の強さを求めよ。

d

+Φ

0 E

点電荷の周りの電位

|

| ) 4

(

) 0 ) ( ) 4

( ˆ,

) 4 (

] [ )

( )

(

0 0

0 0 2

0

r r r Q

r

r r

r r Q

r r r Q

E

C Q r d E r

r ^b

a

r a r

b



 



 



 ^



 





































にあるときは、

一般に、点電荷が位置

のとき、

準とする（

ただし、無限遠点を基

標系を用いて、

）の周りの電位は極座 原点の点電荷（電気量

 

確かめなさい。

となっていることを より、

問題：

) ( )

ˆ (

ˆ ˆ 1 ˆ

1

2 3

2 3 2 2 2

2 2

r r

r E r r

r

z y x

z z y y x x z

y r x





















 

 

 





静電エネルギー

•

静電気力ｘ距離＝電位ｘ電荷＝静電エネルギー

E F=qE 一様な電場Ｅ

d

Φ=Ed 電位

W=qΦ(=Fd)=qEd 静電エネルギー 電場 静電気力

電荷q

距離d 距離d

電荷q

例題： 一様な強さE=50V/mの電場中にq=+1.0x10^-10Cの点電荷 Ａを置いた。

（１）Ａが受ける静電気力の向きと大きさを求めよ。

（２）Ａを電場の向きと逆向きに、0.20m動かした。Ａのもつ静電エネル ギーはいくら増えたか（または減ったか）

電場（電位）の重ね合わせ

•

2つ以上の電荷A,Bが存在する場合、任意の位置

における 電位は両者のつくる電位の和になる。電場も同様。

) ( )

( )

(

) ( )

( )

(

r E r

E r

E

r r

r

B A

B A















２つ以上の電荷i(i=1,2,3,…)が存在する場合は、同様に、

















n

i

i n

i

i

r E r

E

r r

1 1

) ( )

(

) ( )

(

問題：ｘ軸上のx=－1の位置に点電荷Ｑ_１がある。x=1の位置に絶対値が同じ 電気量の点電荷Ｑ_２を加えたとき、原点x=0における電位Φは、どうなるか？

（１）Ｑ_１とＱ_２が同符号の場合（２）異符号の場合のそれぞれを考えよ。

また、原点における電場𝐸はどうなるか？

とびとびの電荷分布の静電エネルギー

• 係数1/2は重複した 数えを考慮（例えば、

i=2,j=3とi=3,j=2）



 











  

































N

j

i ij

j N i

i

N

i j

j ij

j N i

i

i

N

i j

j ij

j i i

i i

i i

N

i j

j ij

N j i j

j ij

j i

i i i

ij j

i

i i

R q q R

q U q

U

U R

q q q

U

U Q

R q R

q

Q Q

j i R Q

Q

Q N

N i

q

1 1, 0 1 0

, 0 1

, 0 1 ,

1 0

8 1 8

1 2

1

4 1

4 1 4

) (

) ,..., 2 , 1 (











は、

エネルギー すべての点電荷の静電

Φ

は、

の静電エネルギー より、

Φ

とすると、

ポテンシャルをΦ

の場所につくる静電 以外の点電荷が

とする。

の距離を と

があり、

個の点電荷 を持つ

電気量

問題： 一辺の長さがaの正三角形の各頂点に、電気量＋Ｑの点電荷を

置いたとき、静電エネルギーの和Ｕを求めなさい。

連続の電荷分布の静電エネルギー

  ^{ }

 

0 2 0 2

2 1 2 1

2 2 0 0

0 0

0 0

0 '

2 2

0 4

,

2 2

2 2

2

) ( ) 2 (

1

|'

|

' ) ' ( 4

) 1 ( )

( ) ( ) (

E u

dV E U

r r r S

d E r

r E

r

E S d E dV

E

dV E dV

E

E dV

E

dV r r U

U

r r

dV r r

dV r r q

r

S S V

V V

V V

V V

N

i i i

















 





 











































































 

















 







 









また、エネルギー密度 よって、

より、

とすると、

第２項の積分要素を

および発散定理より）

（

）

（部分微分の公式より より

は、

ー このとき静電エネルギ

ただし、

き換える。

を用いて和を積分に置 電荷密度

える。

連続的な電荷分布を考

全空間











 







問：距離d、面積Ｓの2枚の極板間に一様な電場Eができた。極板間の

（１）エネルギー密度u（２）全エネルギーＵ

をそれぞれ求めなさい。ただし、極板間は真空とする。

問題解答

•

電位： E=(-2x, -2y, -2z)

•

一様な電場： 25[V]/0.50[m] = 50[V/m]

•

点電荷の周りの電位： 省略

•

静電エネルギー： (1) 5.0x10 ^-9 [N]、電場と同じ向き (2)1.0x10 ^-9 [J]増加した。

•

電場（電位）の重ね合わせ： (1)２倍になる。(2)0に なる。電場は、(1)0になる。(2)同じ向きで強さが２倍 になる。

•

とびとびの電荷分布の静電エネルギー：

4𝜋𝜀₀𝑎

•

連続の電荷分布の静電エネルギー：

2 𝜀₀𝐸², 𝑈 =

1

2 𝜀₀𝑑𝑆𝐸²