静電容量の導出
1 v1.9 Feb.2021
1st. 2016/04/01 Lst. 2021/02/04
キャパシタンス
Q CV
キャパシタンス C の定義・・・
単位電圧 1V を加えたときの蓄積電荷量 Q [C/V] = [F]
電荷
比例定数
電圧
キャパシタンスと呼ぶ
※加える電圧 V が大きいほど蓄積電荷 Q は大きくなる V
Q
Q D
2
[C] = [C/V] × [V]
キャパシタンスの導出手順
3キャパシタンス C の値が与えられていたときは，直列接続，
並列接続，回路の電圧・電流特性を計算することができた。
今度はキャパシタンス C そのものを導出することを考える。
1. 正負電極に電荷±Q を与える 2. ガウスの法則より電界 E を導出 3. V=-∫E dl より電位差Vを導出 4. Q=CV から C を導出
ガウスの法則の適用手順（復習）
1. 電荷を積分路内部に含むように積分面Sを決める。この 際、電気力線をイメージして、閉面を電気力線が垂直に 貫くように、外向き方向を正として積分面を決める。積分 面の形は、電極形状に合わせて、手計算できる円筒形、
球形、直方体形の閉空間を考える。
2. ベクトル積分方程式をスカラー積分方程式にして難易度 を１ランク下げる。さらに，電場が積分面上で一定である
（ように積分面を１．で決定している）ことを利用して，未知 数を積分の外に出す。これで積分を単なる積に置き換え て難易度をさらに１ランク下げる。
3. 方程式を解いて電界Eを求める。
4
z
x y
ガウス閉面の取り方
c ab
a b c z
x y
z
x y
z
x y
d
l r
a b
a b
r L
L
5
z
x y
z
x y
4 2
S r
2 2 2
S ab al bl S 2rL2(2 )r
ds ds
ds
直方体 円筒 球
平板電極 円筒電極 球電極
孤立導体球のキャパシタンス
62 0
1 4
a a
r r
V E dr Q dr
r
0
0
4 [F]
1 4
Q Q
C a
V Q
a
0 0 0
1 1 1 1
4 4 4
Q a Q Q
r a a
ガウスの法則より
無限遠に負電荷が誘導されると考えた場合、
導体間の電位差は
静電容量は
0
0
0 2
0
2 0
4
4 1
S
S
S
E d s Q Eds Q E ds Q E r Q E Q
r
a z
x y
r
【例題】 半径a [m]の孤立導体球の静電容量を求めよ。
【解答】
即ち、容量（キャパシティ）は半径aに比例する。
同心導体球のキャパシタンス
72 0
ˆ 1 4
a a
r b r b
V E dr Q dr
r
0 0
0
4 4
1 1 [F]
1 1 4
ab
Q Q
C V Q b a
a b a b
0 0
1 1 1
4 4
a
b
Q Q
r a b
ガウスの法則より
導体間の電位差は
静電容量は
0
0
0 2
0
2 0
4
4 1
S
S
S
E d s Q Eds Q E ds Q E r Q E Q
r
a b c z
x y
r
【例題】 半径a [m]の内球と，内半径b [m]で外半径c [m]の外球の同心導体球の静 電容量を求めよ。
【解答】
同軸線路のキャパシタンス
0
0
0
0
0
2
2 1
S
S
S
E d s Q Eds Q E ds Q E rL Q E Q
rL
2 0 F
ln
C Q L
V b a
L c b a
z r
,
E
a b r
ln V a b a
ln V b b a
0
0 0
0
0
0 0
2
ln ln ln
2 2
2 2
ln
Substitute (2) to (1) produces 2 1
2 2 ln
a a
b b
a b
V Edr Q dr
rL
Q Q
r b a
L L
Q LV b a
LV E Q
rL rL b a
z方向に単位長さLの
線路を考えるとガウス の法則より
導体間の電位差は
静電容量は(2)より
2 0
F/m ln
C Q V b
a
単位長さあたりの静電容量は
【例題】 半径a [m]の内導体と，内半径b [m]で外半径c [m]の 外導体の同軸線路の単位長さあたりの静電容量を求めよ。
1 ln
In the case of and 0
V b r a
r a b r E
【解答】
8
平行平板のキャパシタンス
9鈴木, ``デジタル回路のＥＭＣ設計技術入門,’’ pp. 26-29, 日刊工業新聞社, 2011
L
S d Z
ZL
W z y x
1 2
0
0 0
S
E d s WL
EWL WL E
0
0
Q Q WL [F]
C V Qd d
WL
z方向に単位長さLの線路を考えると ガウスの法則より
0
0
0 0 0
ˆ
d y d y
V E d l E dy y
d WLd Qd
V WL WL
導体間の電位差は
単位長さあたりの静電容量は
これは、面積S=WLの平行平板コンデン サの静電容量に等しい。単位長さあた りでは、
0W [F/m]
C d
【例題】 幅w [m]で間隔d [m]の平行平板の単位長さあたりの静電容量を求めよ。
【解答】
[C/m ]2
x
y C1
W C2
平行線路のキャパシタンス
10l d
ZS
ZL
z y
x 1
2
2a
1 2
EE E
0 0
ˆ ˆ
( ) ( )
2 ( ) 2
E y y
d y y
0
1 1
ˆ 2
d a d a
y a y a
V E dyy dy
d y y
0 0
ln ln ln
2
a d a d a
d a a a
ad
0
lnd
V a
0 [F/m]
ln C Q
V d a
0
ln( ) ln
2
d a d a
a a
d y y
z方向に単位長さあたりで考えると ならば ガウスの法則より
導体間の電位差は
単位長さあたりの静電容量は
【例題】 中心間隔d [m]で半径a [m]の平行線の単位長さあたりの静電容量を求めよ。
【解答】
[C/m]
x y C1
C2
dy 0
接地線路のキャパシタンス
111 2
EE E
0 0
ˆ ˆ
( ) ( )
2 ( ) 2 ( )
E y y
d y d y
0 0
0
1 1
ˆ 2
d a d a
y y
V E dyy dy
d y d y
0 0
2 2
ln ln ln
2 2
a d a d a
d d a
2
a d
0
ln2 2 V d
a
2 0
2 [F]
ln C Q
V d a
0 0
0
ln( ) ln( )
2
d a d a
d y d y
l 2d
ZS
ZL
z y
x 1
2
2a
(Image)GND
ならば z方向に単位長さあたりで考えると
ガウスの法則より
導体間の電位差は
単位長さあたりの静電容量は
【例題】 接地された半径a [m]の線路の単位長さあたりの静電容量を求めよ。
[C/m]
x
y C1
C2
dy 0
d
0
0 0 0
0
0 0 0
If C is charged in the inner conductor, in the case of
2
2 1
Then the potential difference is,
2 2 ln 2
S
S S
a a a
b b b
Q a r b
E dr Q
Q Q Q
Edr E dr E rL
E Q rL
V
Q Q Q
V Edr dr r
rL L
0
0
0 0
ln ln
2 2
ln
Substitute (2) to (1) produces 2
1 1
2 2 ln ln
In the case of and 0
b a
L Q LV
b a
LV
Q V
E rL rL b br
a a
r a b r
E
2 2 2 2
1 2
2
2 2
2 2
2
(i) In the case of
2
2 (ii) In the case of
2 2 3 (iii) In the case of
2
C C
C C
C C
r a H dl Hdl rI
a H r r I
a H Ir
a a r b H dl Hdl I H r I H I
r b r c
r b
H dl Hdl I I
c b
c r H r
2
2 2
2 2
3 2 2
4
2 (iv) In the case of
0
2 0
0
C C
c bI I c r
H r c b
r c H dl Hdl I I H r H
0
From equation (2)
2 F
ln
C Q L
V b a
0 0
0 2 0
0
0
From equation (3)
2 2 ln
ln Wb
2
ln H
2
Lb Lb b
a a a
I IL
B drdz drdz r
r IL b
a L b
L I a
0 0
0
0 0
0 0
0
ln 1
ln ln
2 2 2
1 ln
2
b L
L b a b
Z C a L a
Z b
a
ガウスの法則より アンペアの法則より
特性インピーダンス
12
電磁気Ⅰの メインテーマ
電磁気Ⅱの メインテーマ
電磁波の 導入テーマ
L bc a
z r
0, 0
E
a b r
ln V a b a
ln V b b a
H
a b r
2 I
a
c 2
I
b
