第２２章　電気的ポテンシャルエネルギーと電位　(11/13)

(1)

第２２章電気的ポテンシャ

ルエネルギーと電位

(2)

場と力

風：面積が大きいほど受ける力が大きい。 ex. 1[m2_{]あたりの力[N/m}2_{]を風の場と定義できる。} 重力：質量が大きいほど受ける力が大きい。 ex. 1[kg]あたりの力[N/kg = m/s2_{]を重力場と定義できる。}

F = mg

力

=

質量

×

重力加速度

重力の場

_力

(3)

重力とポテンシャルエネルギー

高さ

_h

位置エネルギー

mgh

力

質量２倍

ポテンシャル

エネルギー

２倍

電界（電場）に

おける電荷に

相当する

(4)

位置エネルギーと電気エネルギー

力学の重力（重力場）と電磁気学の電界（電場）は似ている。では、位置エネルギーと電気エネルギーは？重力加速度（重力場） g 電界（電場） E 質量 _m 電荷 q 高さ h 距離 _d 位置エネルギー mgh 電気エネルギー qEd 1[C]の電荷に対する電気ポテンシャルエネルギーを電位という。電位 V は基準点_{Sから任意の点Pまで移動} するときの、仕事で表され、一般にE とsは逆方向なので、 と定義される。電位ゼロの基準点はどこにとってもいいが、理論的には無限遠、実用的には地面（グランド）にとる。 P P S d S d V 

_

E s  

_

E s

(5)

1[C]の点電荷に対する電位ポテンシャル

電場の中で_{+1の点電荷が点Aから} 点_{Bに移るときの電界のなす仕事} V は、 すなわち、電位の差になる。これを電位差、または電圧という。点電荷 _{q から距離 r の点Pの電位} V は無限遠からの電位差を求めれ ばよいので、 q 電荷 q 2 0 1 4 q E r    1 r 2 0 0 0 1 4 1 1 4 4 d d r r r q V E s s s q q s r                  



B B S A S A B A S S B A d d d d d V E s E s E s E s E s V V                 



(6)

電気の傾斜の中で電荷を運ぶ

正電荷_qが、一様な電場_Eの中でする運動は、図のように摩擦のない斜面上にある物体の運動に置き換えることができる。AとBを結んだ直線は一様な電界の方向と平行で、その距離を_d、また電場が電荷におよぼす力の大きさと、外からの力_F を等しいものすると、力_{FがAB間で電} 荷_{q にした}仕事_W、すなわち_AB間の位置エネルギーの差は W = Fd = qEd となる。また、_AB間の電位差を_Vとすると、 W = qV ゆえ、次式が成立する。 V = Ed E = V / d F f A B d E

(7)

２枚の平行板による電位

１枚の平面板による電界は、ガウスの法則より、２枚の平面板による電界は、 + + + + + + + + + 電荷_Q 面積_S + + + + + + + + + 電荷_Q 面積_S 電荷Q 面積_S          0 2Q E S



 板の外側では打ち消しあい０になる。板の内側ではとなる、このような電気部品をコンデンサーという。 0 Q E S





(8)

コンデンサーへの充電

(a) 結線直後（充電前） + + + + + + A       B A B + + + + + + A       B S V S V S V +Q Q   電位差_V (b) スイッチを閉じて充電中誘電により電池の_-極から_{Bに、Aから電池の+} 極に向かって電子が流れる。 (c) 充電後にスイッチを開く２つの平行板に電荷が蓄積され、その間の電位差は電池と同じ _{V に} なる。

(9)

電気容量（静電容量）

電荷と電位差の関係は？電荷と電界は比例電界と電位差は比例電荷と電位差は比例関係

Q CV



C：電気容量（静電容量）という電気のためやすさを示す 1[V]の電圧で1[C]の電荷をためられる電気容量を 1[F （ファラド）] と定義する。

(10)

コンデンサーの電気容量

A B d +  S 平板コンデンサーの構造と電界 A、B：極板 S：極板の面積 d：極板間の距離 ：電荷の面密度 0 S 0 S Q S C V V d d



 



      0 0 0 Q S E S

 

S



   V Ed

(11)

誘電体のある平板コンデンサー

₀：真空中の誘電率 _s：比誘電率 S：電極の面積 d：電極間の距離  + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ・・・・・・・・・・  + + + + + + + + + +           A B d +  S +Q Q _s 0 s S C d

 

 

(12)

物質の比誘電率

材質比誘電率 _s 絶縁破壊電界[106_V/m] 真空 1 空気 0.00059 3.55 パラフィン 2.0～3.5 0.7～1.2 テフロン 2.1 60 紙 2.0～2.6 16 ポリスチレン 2.5～2.7 30～32 天然ゴム 2.7～4.0 2.0～2.5 ガラス 5～10 8～13 石英 2.8 80 雲母（20～100℃） 6～8 5～15 ダイヤモンド 16.5 100 水 81  チタン酸バリウム（セラミック） 2500以上 

(13)

コンデンサの種類と容量の表示

ここに示すコンデンサの他にバリアブル･コンデンサ(バリコン)や特殊コンデンサもある。電解コンデンサは一般に有極、また他のコンデンサは無極アルミ電解タンタル（タンタル電解）セラミック積層（積層セラミック）マイラーコーン（マイラーフィルム）ポリコン（ポリエステルフィルム）ポリスチレン（ポリスチレンフィルム）スチロン（ポリスチレンフィルム） 102 224 （３桁目は乗数を示す） 10×102_=1000[pF] 22×104=220000[pF] =0.22[F]

(14)

コンデンサーの直列接続

C₁と_C₂のコンデンサーが直列に接続され、外から電圧_{Vを加えるとき、} 、の関係式と、_{V = V}₁ _{+ V}₂ の関係式より、となり、直列接続の電気容量_Cは、 V₁ +Q Q V2 +Q Q C1 C₂ V Q +Q C V 1 2 1 1 1 1 n C C C  C 1 2 1 1 ( ) Q V Q C C C    1 1 Q V C  ₂ 2 Q V C 

(15)

コンデンサーの並列接続

並列接続時には、コンデンサーに加えられる電圧_{Vが一定となり、それぞれに} 蓄えられる電荷は_Q₁と_Q₂に分けられる。したがって、から、並列接続時の電気容量_{Cは、接続した全電気容量を加算し、} +Q₁ Q₁ C₁ C₂ V Q +Q C V +Q₂ Q₂ 1 1 Q C V  2 2 Q C V  1 2 1 2 Q Q Q C C C V V      1 2 n C C C  C

(16)

コンデンサに蓄えられるエネルギー

平行板コンデンサで、電荷のない状態から_{dqだけ電荷を移動してみ} る。電荷が移動し終わると、このコンデンサーには電位差が生じる。これを繰り返し、電荷を_{Qだけ蓄えるとき} の仕事を考える。電荷が_{qだけ溜まった状態でdqだ} け移動するのに必要な仕事は、電位差が_{V = q / Cであるので、} となる。したがって、電荷がゼロの状態から電荷が_{Qの状態までする仕事} Wは、 となる。これがコンデンサーに蓄えられたエネルギーとなる。 2 ₂ 0 d 12 12 Q_q _Q W q CV C C 

_

  dW V qd q dq C   _+q q +  +  +  +  +  dq

(17)

マイクロフォンの種類

ダイナミック式コンデンサー式

(18)

コンデンサーマイクの原理

電荷の

流れ

(19)

例題

例題１図のような球面コンデンサの内側の極に電荷_{Qを与えた} とき、両極間の電位差_{V、および電気容} 量_{Cを求めよ。} 例題２図のような共通の軸を持った円筒コンデンサに単位長さあたり_{Qの電荷を与え} たとき、両極間の電位差_{V、および電気} 容量_{Cを求めよ。} a b +Q Q a b +Q Q ２つの球面の間の中心から_rの点の 電界はなので、軸から距離 _x の電界電位差電気容量 2 0 0 0 1 4 1 1 1 4 4 d d a a b b a b Q V E r r r Q Q r _{a b}                 _ _         



0 4 Q ab C V  b a    0 2 Q E x   0 0 2 d 2 ln a b Q x Q b V 

_

_ _x  _ _a 0 2 ln Q b C _a V    2 0 1 4 Q E r   

(20)

例題

例題３並行板コンデンサの極板（面積S）の 間に、極板に平行に２枚の誘電体の板（厚さd₁、d₂、比誘電率₁、₂）をきっちり詰めたものの電気容量を求めよ。 S ₁ ₂ d₁ d₂ 1 0 1 Q E S    2 0 2 Q E S    1 1 1 1 0 1 Qd V E d S     2 2 2 2 0 2 Qd V E d S     1 2 0 1 2 1 2 d d Q C S V V                    

第２２章 電気的ポテンシャルエネルギーと電位 (11/13)