拡大に おける岩澤

ある種の実

次体の円分

拡大に おける岩澤

不変量について

田中 修平

平成22年1月29日

目 次

1 はじめに 2

1.1 本修士論文の目的 . . . . 2

1.2 記号の約束と一般的な定理の紹介 . . . . 2

2 Zp-拡大の岩澤理論 7 2.1 岩澤類数公式 . . . . 7

2.2 Λ-加群の構造 . . . . 8

2.3 岩澤類数公式の証明 . . . . 13

3 Q(√ p)の円分Z2-拡大における岩澤λ-不変量 22 3.1 主定理1の紹介と証明の指針 . . . . 22

3.2 pの上の素イデアルについて . . . . 25

3.3 具体的な元から求める2-rank . . . . 28

3.4 主定理の証明 . . . . 31

1 はじめに

1.1 本修士論文の目的

本修士論文は福田氏，小松氏による共著論文[2]の解説論文である．この論文では pをp ≡ 1 (mod 16)を満たす素数としたときの，実2次体Q(√

p)の円分Z2-拡大に おける岩澤λ-不変量について述べている．

岩澤健吉氏が1959年に証明した岩澤類数公式とは，Zp-拡大K/kにおける中間体k_n のイデアル類群の位数のp-部分について記述した公式である．このp-部分を表わす際 に用いられる不変量µ,λ,νについて，それらがどのような整数になるかを調べること は長らく研究されてきた．しかし一般にλ-不変量はµ-不変量に比べて調べることが難 しく，一般的な結果はまだほとんど得られていない．λ-不変量についてはGreenberg 予想と呼ばれる重要な予想が立てられており，Greenberg予想の解決を目標として研 究が進められている．

予想 1.1 (Greenberg予想). 有限次代数体kが総実であるとは，kのQ上の共役体が 全て実数体Rに含まれることをいう．任意の総実代数体kと任意の素数pに対して，

µ_p(k) = λ_p(k) = 0である．

Greenberg予想に関しては任意の素数pについてµ_p(Q) = λ_p(Q) = 0となることが 証明されているが，他には一般に証明された事実がない．しかし，以下の2つの方法

がGreenberg予想の解決に有効であると考えられる：

(1) λに対してできるだけ小さい上限を求める，

(2) λ= 0となる具体的な場合を求める．

福田-小松[2]ではこの(1),(2)の方法どちらに対しても新しい結果を与えている．

先ほどµ-不変量がλ-不変量よりも多くの結果が得られていると述べたが，µ-不変

量については岩澤の予想と呼ばれる予想が立てられており，それが部分的に解決され ているのである．

予想 1.2 (岩澤の予想). 任意の有限次代数体kと任意の素数pに対して，µp(k) = 0 である．

岩澤氏はこの予想がkがGalois p-拡大の場合に成り立つことを示した．今回は2次

体の円分Z2-拡大に対してλ-不変量を調べており，µ-不変量に対する岩澤氏の方法の

類似となっている．

1.2 記号の約束と一般的な定理の紹介

ここでは本論文内で用いる記号と定理の紹介をする．

定義 1.3 (Euler関数). mをm ≥ 2なる整数とする．環(Z/mZ)の乗法群(Z/mZ)^× の位数](Z/mZ)^×を，φ(m)で表わす．このφをEuler関数と呼ぶ．ただし，φ(1) = 1 と約束し，Euler関数φは自然数全体に対して定義されていると考えることにする．

簡単に言えば，φ(m)とは1≤a < mを満たす整数aの内，mと互いに素となるも のの個数を表わしている．Euler関数の例としては，φ(10) = 4，φ(20) = 8，また，素 数pに対しφ(p) =p−1等が考えられる．

代数体Kに対し，その整数環をO_Kと表わすことにする．

定義 1.4 (整数基). Kをn次の代数体とするとき，その整数環O_Kは階数nの自由加

群である．よって，あるO_Kの元w₁, . . . , w_nが存在して，

O_K =Zw₁+· · ·+Zw_n

であって，かつO_Kの任意の元αに対して有理整数a₁, . . . , a_nが一意的に存在して，

α=a₁w₁ +· · ·+a_nw_n,

と表わせる．このような{w₁, . . . , w_n}を代数体Kの整数基という．

上で定義した整数基より代数体の判別式が定義される．

定義 1.5 (代数体の判別式). Kを代数体，{w₁, . . . , w_n}をKの整数基とする．さら に，wiのn個の共役元をw_i⁽¹⁾, . . . , w⁽ⁿ⁾_i と表わすことにする．このとき

D_K =

w⁽¹⁾₁ · · · w⁽¹⁾n

... ... w⁽ⁿ⁾₁ · · · wn⁽ⁿ⁾

2

と定義し，DKを代数体Kの判別式と呼ぶ．判別式D_KはKの整数基のとり方によ らずKのみにより定まり，また，0でない有理整数になる．

例 1.6. 2次の代数体Q(√

−1)の整数環O_Q(^√₋₁₎はZ[√

−1]で，整数基は{1,√

−1}と なる．また，√

−1の共役元は√

−1と−√

−1である．よってQ(√

−1)の判別式は，

D_Q(^√₋₁₎ =

1 √

−1 1 −√

−1

2

= (−2√

−1)² =−4

となる．

本論文では代数体Kの単数群をO^×_Kと表わすことにする．

次に代数体の整数環における素イデアル分解について説明する．一般に代数体の整 数環では素元分解は成立しない．しかし，そのかわりに素イデアル分解が成立するの である．代数体Kの有限個の元α₁, . . . , α_nに対し，

O_Kα₁ +· · ·+O_Kα_n={a₁α₁+· · ·+a_nα_n| a₁, . . . , a_n ∈O_K}

をα₁, . . . , α_nで生成されるKの分数イデアルといい，(α1, . . . , α_n)と書く．分数イデ アルと区別するため，OKのイデアルを整イデアルとよび，以降Kの分数イデアルを 単にKのイデアルとよぶことにする．また，OKの素イデアルをKの素イデアルとよ ぶ．IKを0でないKの分数イデアル全体とする．このときI_Kの元A = (α₁, . . . , α_n), B = (β₁, . . . , β_m)に対し，AとBの積を

AB= (α₁β₁, α₁β₂, . . . , α₁β_m, α₂β₁, . . . , α_nβ_m)

と定義することにより，IKはAbel 群となる．IKをKのイデアル群という．代数体 の整数環はDedekind環なので，素イデアル分解の一意性が成り立っている．

定理 1.7 (素イデアル分解の一意性). Kを代数体，AをO_Kの0でないイデアルとす

る．このとき，Aに対してO_Kの素イデアルP₁, . . . , P_g，整数e₁, . . . , e_gが存在して，

A =P₁^e1· · ·P_g^eg

と分解できる．この分解は素イデアルの順序を除いて一意的である．

特にAが整イデアルであることと，e1, . . . , e_gが全て非負整数であることは同値で ある．

次に代数体の類数を紹介する．

定義 1.8. K を代数体，IKをK のイデアル群とする．このとき，K の0でない単 項イデアル全体P_K = {αO_k| α ∈ K^×}はI_Kの部分群となり，IKのP_Kによる剰余 群Cl(K) = I_K/P_KをKのイデアル類群，各剰余類をKのイデアル類とよぶ．また，

Cl(K)の位数h_K =]Cl(K)をKの類数という．

類数とは素元分解がどれだけ成り立たないかを表わす数であり，hkが1であること とO_Kが単項イデアル整域であることは同値である．

次に代数体の整数環における素数pの分解の様子を説明する．Aを素数pの単項イ デアル(p) =pO_Kとしたとき，その分解を

(1.1) (p) = P₁^e1(P1/p)· · ·P_g^eg(Pg/p)

と表わし，Piをpの上の素イデアル，ei(Pi/p)を素イデアルPiの分岐指数とよぶ．ま た，素イデアル分解(1.1)を考えたとき，OK/P_iはFpの有限次拡大となっており，そ の拡大次数f_i = [O_K/P_i :Fp]を素イデアルP_iの次数という．

定理 1.9. Kをn次の代数体とし，素数pで生成される単項イデアル(p) = pO_Kの素 イデアル分解が(1.1)で与えられているとする．各P_iの次数をf_iとすると，

(1.2)

∑g i=1

e_i(P_i/p)f_i =n

が成立する．特に，K/QがGalois拡大のとき，e1(P₁/p) = · · · = e_g(P_g/p)，f1 =

· · · =fgが成立している．このとき1 ≤i ≤ gなる任意のiに対して全て一致してい るe_i(P_i/p)，fiをそれぞれe，fとおくと，(1.2)よりef g =nが成り立つ．

定義 1.10. 素イデアル分解(1.1)において，ei(P_i/p) = 1となるP_iは不分岐であると いう．1 ≤ i ≤ gなる任意のiについて不分岐であるとき，素数pはK/Qで不分岐 であるという．Piが不分岐でないとき，つまりe_i(P_i/p) > 1が成り立つとき，Piは K/Qで不分岐であるという．

K/Qでpが分岐するかどうかを判定するには，次のDedekindの判別定理が有用で ある．

定理 1.11 (Dedekindの判別定理). 代数体Kの判別式をDKとする．pがK/Qで分 岐することと，p|D_Kであることは同値である．したがってK/Qで分岐する素数は 有限個である．

例 1.12. 例1.4より，D_Q(^√₋₁₎ =−4なので，Q(√

−1)/Qで分岐する素数は2のみで あることが分かる．

次に2次体における素数pの単項イデアル(p)の分解を判定できるKronecker記号 を紹介する．

定理 1.13 (藤崎-山本-森田[15]). mを平方因子を持たない整数，K = Q(√

m)，DK

をKの判別式とする．このとき素数pに対し，Kronecker記号(_D

K

p

)を以下のように 定義する．

(1) pが奇素数のとき，(_D

K

p

)は通常のLegendre記号と見なす．

(2) p = 2のとき，p ≡ 1 (mod 8)ならば(_D

K

2

) = 1，p ≡ 5 (mod 8)ならば(_D

K

2

) =

−1，2|DKならば(_DK

2

)= 0と定義する．

Kronecker記号の値により，(p) =pO_Kの素イデアル分解は以下のように定まる．

(A) (_D

K

p

) = 1であることと(p)が完全分解すること，すなわち相異なるO_Kの素イ デアルP, P⁰が存在して(p) = P P⁰となることは同値である．

(B) (_D

K

p

) =−1であることと(p)が素イデアルでf = [O_K/(p) : Fp] = 2であること は同値である．

(C) (_D

K

p

) = 0であることと(p)が完全分岐すること，すなわちO_Kの素イデアルP が存在して(p) =P²となることは同値である．

次に有限Abel p-群のp-rankを紹介する．

定義 1.14. pを素数，Aを有限Abel p-群とする．このときAに対しある正の整数a_i が存在して，

A'⊕

ai

Z/p^aiZ

と表わせる．ai ≥1を満たすiの個数，すなわち右辺の直和因子の個数をp-rankAと 表わす．

最後にp-進単数基準について述べる．Kを代数体，QpをQpの代数的閉包，Cpを

p-進絶対付値に関してのQp の完備化とする．CpからCへの埋め込みを一つ固定す

ると，KからCpへの埋め込みを考えることはKからCへの埋め込みを考えること になる．r1, r₂をそれぞれKのQ上の共役体で実共役体であるものの個数，複素共役 体の組の個数とし，r =r₁ +r₂−1とおく．KからCpへの埋め込みで実共役なもの をσ₁, . . . , σ_r1，複素共役なものをσ_r1+1, σ_r1+1, . . . , σ_r1+r2, σ_r1+r2 とする．δiをσ_iが実 ならばδ_i = 1，σiが複素ならばδ_i = 2と定義する．ε1, . . . , ε_rをKの単数として，

R_K,p(ε₁, . . . , ε_r) = det(δ_ilog_p(σ_iε_j))_1≤i,j≤r と定義する．

定義 1.15 (p-進単数基準). {ε₁, . . . , ε_r}をK の単数基とする．このとき，Rp(K) = RK,p(ε1, . . . , εr)と定義し，Rp(K)をKのp-進単数基準と呼ぶ．

謝辞

末筆になりましたが，2年間に渡り御指導下さいました雪江明彦教授に心から感謝 申し上げます．また，セミナー等でお世話になりました田嶋和明先輩，奈良忠央先輩，

五十嵐健太君，小島聡史君，佐々木万喜夫君，山田洋輔君，キン ショウヒ君，吉田 宏大君にも感謝します．

2 Z^p-拡大の岩澤理論

この章ではZp-拡大の岩澤理論を紹介する．詳しい内容については[12]の13節を参 照されたい．

2.1 岩澤類数公式

まず初めに代数体のZp-拡大を定義する．

定義2.1(Zp-拡大). pを素数，Zpをp進整数環とする．有限次代数体kに対し，その拡 大K/kがZp-拡大であるとは，K/kがGalois拡大で，かつ位相群としてGal(K/k)' Zpが成り立つことをいう．

Zpの閉部分群は{0}とpⁿZp (n≥0)のみである．よってK/kをZp-拡大とし，kn

をpⁿZpに対応するK/kの中間体とすると，

k =k₀ ⊆k₁ ⊆ · · · ⊆k_n ⊆ · · · ⊆ ∪

n≥0

k_n=K， Gal(k_n/k)'Z/pⁿZ

となっている．

任意の代数体kは少なくとも一つのZp-拡大を持つことが知られている．それは以 下に紹介する円分Zp-拡大と呼ばれる拡大である．

例 2.2 (円分Zp-拡大). pが奇素数であるとき，n ≥ 0に対してQ上pⁿ次である Q(ζ_pⁿ⁺¹)/Qの唯一の中間体をQ⁽ⁿ⁾とおく．p = 2の場合はQ⁽ⁿ⁾ =Q(cos(₂^2πn+2))とお く．このとき，

Q=Q⁽⁰⁾ ⊆Q⁽¹⁾⊆ · · · ⊆Q⁽ⁿ⁾ ⊆ · · · ⊆Q_∞ = ∪

n≥0

Q⁽ⁿ⁾，

Gal(Q∞/Q) = lim←−Z/pⁿZ'Zp

が成り立っている．この拡大Q_∞/Qを有理数体Qの円分Zp-拡大という．

任意の有限次代数体kに対しては，k_∞ = kQ∞とおくと，Galois拡大の推進定理 より，

Gal(k_∞/k) = Gal(kQ_∞/k) = Gal(Q_∞/k∩Q_∞)'Zp

が成立し，k_∞はkの円分Zp-拡大となる．ただし，中間体knに関してはkn=kQ⁽ⁿ⁾ となるとは限らない．あるnに対してQ⁽ⁿ⁾ ⊆ kとなる場合があり，このときは番号 がずれてしまう．

次に岩澤類数公式を紹介する．knのイデアル類群の唯一のp-Sylow部分群をA_nと おく．AnはGal(k_n/k)が作用するのでZp[Gal(k_n/k)]-加群となる．岩澤理論ではA_n を個別に考えるのではなく，各nに対してのAnを一つのまとまりとして考えること にその特徴がある．

定理 2.3 (岩澤類数公式[12]，1959). A_nの位数をp^enとするとき，nに依存しない非 負整数µ_p(K/k)，λp(K/k)および整数ν_p(K/k)が存在して，十分大きなnに対して

e_n=µ_p(K/k)pⁿ+λ_p(K/k)n+ν_p(K/k) が成り立つ．

整数µp(K/k)，λp(K/k)，νp(K/k)は素数pとZp-拡大K/kによってのみ定まる定 数で，それぞれ岩澤µ-不変量，岩澤λ-不変量，岩澤ν-不変量と呼ぶ．3つの岩澤不変 量の内，µ-不変量とλ-不変量の2つは岩澤加群と呼ばれる加群の構造に深く関係して いる．

2.2 Λ-_{加群の構造}

Λを形式的冪級数環Zp[[T]]とおく．岩澤類数公式の証明は岩澤加群の構造を調べ ることによってなされるが，後に示すように岩澤加群はΛ-加群とみなせる．そこで この節ではΛ-加群の構造について説明することにする．

まず初めにΛの性質について述べる．ΛはNoether 環であるがEuclid環ではな い．したがって一般にΛの任意の元同士での割り算はできないが，以下に紹介する distinguished多項式による割り算は可能である．

定義2.4(distinguished多項式). P(T) =Tⁿ+a_n−1Tⁿ⁻¹+· · ·+a₀ ∈Λがdistinguished 多項式であるというのは，p|a_i (0≤i≤n−1)が成り立つことである．

例 2.5. p= 2のとき，任意のn∈Z_≥1に対し(T + 2)ⁿはdistinguished多項式である．

また，pが奇素数のとき，(T + 1)^p+p−1はdistinguished多項式となる．

定理 2.6 (割り算定理). P(T) ∈ Λをdistinguished多項式とする．このとき任意の f(T)∈Λに対し，q(T) ∈Λ，deg(r(T))<deg(P(T))なるr(T)∈Zp[T]が存在して，

f(T) = q(T)P(T) +r(T)の形に一意的に表わせる．

証明. [12]のProposition 7.2を参照せよ．

定理 2.7 (Weierstrassのp-進準備定理). 任意のf(T)∈Λ\{0}は，distinguished多項 式P(T)∈Λ，U(T)∈Λ^×，µ∈Z≥0を用いてf(T) =p^µP(T)U(T)の形に一意的に表 わせる．この分解においてµ(f) =µ，λ(f) = degP(T)とおき，それぞれf(T)のµ- 不変量，λ-不変量とよぶ．

証明. [12]のTheorem 7.3を参照せよ．

定理2.7の系として以下のことがわかる．

系 2.8. Λは一意分解整域であり，その素元はpと既約distinguished多項式に限る．

distinguished多項式はmonicであるためpでは割り切れない．したがって任意の distinguished多項式は既約distinguished多項式のみによって分解されることが分か る．すなわち定理2.7において．f(T)がdistinguishedならば，µ= 0．

次にΛのイデアルについて説明する．ここで紹介する補題は岩澤類数公式の証明に 用いられる．

補題 2.9. (f(T), g(T)) = 1，すなわち f(T)と g(T) が共通因子を持たないとき，

]Λ/(f(T), g(T))<∞．

証明. [12]のLemma 13.7を参照せよ．

Λの素イデアルについては，以下の通り．

補題2.10. Λの素イデアルは0，(p, T)，(p)，(P(T))（ただしP(T)は既約distinguished 多項式）に限る．また，(p, T)はΛの唯一の極大イデアルである．

証明. [12]のProposition 13.9を参照せよ．

(p, T)は単項イデアルでないのでΛは単項イデアル整域ではない．よってEuclid環

でないことが分かる．節冒頭でΛはEuclid環でないと述べた根拠は補題2.10にある．

補題 2.11. f(T)∈Λ，f(T)∈/Λ^×ならば]Λ/(f(T)) =∞．

証明. [12]のLemma 13.10を参照せよ．

Λの性質を一通り紹介したので，次にΛ-加群の間に成り立つ擬同型の概念を紹介 する．

定義 2.12 (擬同型). M, M⁰をΛ-加群とする．MがM⁰に擬同型であるとは，Λ-準同 型M −→M⁰が存在し，かつそのkernelとcokernelが共に有限であることをいう．こ の条件は有限Λ-加群A, Bが存在し，さらにΛ-加群の完全系列

0−→A−→M −→M⁰ −→B −→0

が成り立つこと，と言い換えることができる．MがM⁰に擬同型であることをM ∼M⁰ と表わすことにする．

注 2.13. 擬同型は反射律と推移律については成り立っているが，対称律は成り立た

ない．すなわち，M ∼M⁰が成立してもM⁰ ∼Mとは限らない．

例 2.14. (p, T)∼Λは成り立つが，Λ ∼(p, T)は成立しない．

証明. 自然な写像(p, T),→Λを考えれば，(p, T)∼Λが成立することは明らか．Λ∼ (p, T)が成立するかどうかを考える．Λ∼(p, T)と仮定し，Λ-準同型ϕ：Λ−→(p, T) がϕ(1) =f(T)∈(p, T)を満たすとする．このときϕ(Λ) = (f(T))⊆(p, T)．(p, T)は 極大イデアルなのでf(T)∈/ Λ⁰である．よって補題2.11より]Λ/(f(T)) = ∞なので，

](p, T)/(f(T)) =∞となる．したがってcokernelが無限となり矛盾する．以上により Λ∼(p, T)は成立しないことが示された．

次に有限生成Λ-加群の構造定理を紹介する．

定理 2.15 (Cohen). M を有限生成Λ-加群とする．このとき，

M ∼Λ^r⊕ (⊕s

i=0

Λ/(pⁿⁱ) )

⊕ (⊕t

j=0

Λ/(P_j(T)^mj) )

が成り立つ．ここで，r, s, t, ni, m_j ∈ Z_≥0であり，P(T)は既約distinguished多項式 である．この直和分解はM によりP_j(T)の単元倍を除いて一意的に定まる．

ここでは証明の概略を述べる．詳細については[23]のTheorem 13.12を参照された い．Mは有限生成なので有限個の生成元u₁,· · · , u_nが存在する．λi ∈Λに対し，

R = {

(λ₁,· · · , λ_n)∈Λⁿ ∑ⁿ

i=1

λ_iu_i = 0 }

とおくと，R はΛⁿの部分加群であり，Λ はNoether環より有限生成である．した がって，

Λ^m−−−→^φ Λⁿ−−−→M −−−→0

が完全系列となる準同型写像φが存在する．このφを標準基底に関して行列表示して，

T =





λ1,1 · · · λ1,n

... ... λ_m,1 · · · λ_m,n





とおく．T をMの生成系{u_i}に関する行列という．T を基本変形を用いて対角化す ることにより定理2.15.が証明できる．以下にここで用いる基本変形を紹介する．

定義 2.16 (行列の基本変形). 行列T に対し，以下の変形を基本変形とよぶ：

(A) 行同士，列同士は交換できる．

(B) ある行のスカラー倍を別の行に加える．列についても同様．

(C) ある行を単元倍する．列についても同様．

(1) T が行(λ₁, pλ₂,· · · , pλ_n)を含むとき，この(λ₁, pλ₂,· · · , pλ_n)を(λ₁,· · · , λ_n)と し，その行を除く全ての行の第一成分をp倍する．つまり，

T =











α₁ α₂ · · · α_n ... ... ... λ₁ pλ₂ · · · pλ_n

... ... ... β₁ β₂ · · · β_n











−→T⁰ =











pα₁ α₂ · · · α_n ... ... ... λ₁ λ₂ · · · λ_n

... ... ... pβ₁ β₂ · · · β_n









 と変形する．