【論 文】
UDC ：624
．
042 ：519．
6日本 建 築 学 会 構造 系論 文 報 告 集 第417号
・
1990年li月 Journal of Struct．
Constr．
Engng，
A工J，
No．
417，
Nov．
，
1990基 礎
微
分 方 程 式
を
考
慮
し た
一
次
関数
変位
場
を も
つ有
限 要
素
の
剛
性 評価
に
関
す
る
研
究
AN
ANALYTICAL
METHOD
FOR
EVALUATING
STIFFNESS
OF
↑
HE
FINITE
’
ELEMENT
WITH
LINEAR
FUNCTION
BASED
ON
DIFFERENTIAL
EgUATION
IN
ITS
DISPLACEMENT
FIELD
末 岡 禎
佑
＊ ，花
井 正
実
＊＊ ，白 浜 敏
行
＊ ＊＊ ，竹 尾 勝 哉
＊ ＊ ＊ ＊Teisuke
SUEOKA
，
Masami
UAIVAI
，
Toshioruki
SfflRAHIAMA
andKatsuya
T4KEO
Anew method
for
evaluating the stiffness of thefinite
ele皿 ent withbninear
and tri−1inear
dis−
placement
functions
is
proposed．
In
this method，
an approximate solu 口on of thedifferential
equa−
tion in the displacement
field
of thefinite
e且ement is used to obtain the圏
stiffness matrix of theelement
．
Several
numerical examples of plates and shells are sQlvedfQr
investigating
the effectivness of the analysisby
the present method．
The
results show the「
method
is
better
than thoseby
the mini．
mum potential energy methodin
the precision of analysis，
』
「
It
is also clarified that the reduced integration method proposedby
Zienkiewicz andhis
co．
workers and the methodby
usingWilson’
s nonconforming element are 止e same as the presentmethod
in
the concept．
Therfore these methods should be used with hybrid displacement rnethod．
Kegwonis
：dtfferentinl
e4uation，
α渺rα伽 鷹 50加 加，
strain 覦 θ y，．
disPlacenent
methed，
eunc−
tionat， sttffness 1
．
は じめに．
変位型有限 要素法は，
簡 便な解 析 法と して各 種 構 造 物 の解 析に使用 さ れてい る が，
解析 結果の精 度を確 保し よ う と す る な らば， 次に示す 三つ の条 件 式 を満足 す る よ う な正 解に近い 変 位 を 使 用する必 要が あ る。 1） 変位で表された微小 要素の力の釣合 条 件式2
） 変位で表さ れ た要 素 境 界にお け る力 学 的 連 続 条 件 式 3）』
要 素 境 界にお ける幾 何 学 的 連 続 条 件 式 1｝は変 位に関する微 分 方 程 式 （以 後，
基 礎 微 分 方 程 式 とい うこ とにす る）であり，
2＞および3）は要 素の 境 界に おける連 続 条 件 式であるが，
変 位 型 有 限 要 素 法で は，
変 位と し て正 解，
すな わ ち，
1）、
2）お よ び3）を す べ て満 足す る よ う な変 位 を使 用す ることが で き るの は極 めてま れ なこ とで ある。
し た がっ て，
現 実に は，
3）の み を満 足する変 位 （以 後，
適 合 変 位とい うことにする。｝，
場 合によっ て は 3）も完 全に は満足 し ない よ う な変 位 （以 後，
非 適 合変位とい うこ と に す る。
〉を使用 し て解析が 行わ れる こともあ る。 最 小ボテ ン シャルエ ネルギー
の原理 に基 礎を お く有限 要 素法で は，
変位と して，3
）を満足 す る適 合 変 位が使 用 さ れ る が，1
）お よ び2 ）， す な わ ち， 要 素の 内部お よ び境 界に おける力 学 的 条 件は緩め ら れ，
代わ り に等 価 節 点 力の釣合 条 件が使 用さ れる。一
方，
ハ イブ リッ ド型ポ テンシャ ル エ ネルギー
の原 理に基 礎を お く有 限 要 素 法で は，
変位と し て3
）も満足 し ない非 適 合変位が使 用さ れ てお り，
1 ），2
）お よび3
）のすべ てが緩め られて い る こ とに な る。 変位 型有限 要素法 は簡 便な解 析 法で あ る が，
こ の解 析 法の難点は，
使用 す る変位が基礎微分 方 程 式の解と み な せ る か否か の検 討が事 前に行わ れて いない ため，
梁の問 題 を双一
次の関 数で近 似さ れ た変 位を使 用して，
二 次 元 の平 面 応 力 問 題とし て解 析す る場 合に経 験す る よ うに，
解 析 結 果を通さ ない限り要 素の剛 性が 適 正 に評 価さ れて いる か否か の判定がで き ない場 合が あ ること で あ る。
本 報 告の一
部を昭 和60年3月の中国支 部研究発表会，
同 年 10月の 日本 建 築学会の大 会お よび昭和 63 年 3月の中 国 支 部 研 究 発 表 会に おいて蝦 告し た1】ト13）。
i長 崎 大 学 教授
・
工博 Prof．
o「Nagasaki Unlv．
，
Dr．
Eng．
＊ ＊ 広 島 大 学 教 授
■
t
工博 Prof．
of Hi［oshirna Univ．
，
Dr．
Eng．
＊ ＊ ＊ 長 崎 大 学 技 官 Technica且OfficiaL of Nagasakl Univ
．
＊＊ ＊ ＊ ス ズキ株式会社 Suzuki MotQr Co
、
，
Ltd．
変 位の近 似に使用す る基 底 関 数と要 素の 形状に関係す る従来の 変位 型 有 限要 素 法の難点を取り除き
，
こ の解 析 法を よ り実用的な解 析 法にす る た めに は，
要 素の剛 性 を 求め る際に， 1＞， すな わ ち，
基礎微分方程式 を考 慮す る ことに よっ て，
事 前に要素の剛 性の精 度 を確 保し てお く 必要が ある。
変 位 型 有 限要素法におい て事前に要素の剛 性の精 度を 確 保 すること を意図 し た研 究 として は，Zienkiewicz
らS｝・
eに よる， 仮 定し た変位よ り求めた ひずみ の一
部を 省略して要 素の ひず みエネル ギー
を計 算する， 次 数 低 減 積 分 法 を使用 し た研究，Wilson2
）に よる，
長 方形 要 素 を対 象に し た適合変位場に， 節点に おけ る変位が零とな る よ う な内 的な自由 度 を有 する非 適 合 変 位モー
ドを導入 した研 究が代 表 的で あ る。
こ れ ら の研 究は，
い ずれ も要素の内 部におい て ひずみ 場の計算を改良す ることに よっ て，
要 素の剛 性を よ り適 正に評 価す るこ と を意 図した ものと思わ れ る が，Zienk−
iewiczらの研 究に おけ る 適 正 なひずみ 場の計 算の難し さ， Wilson の研 究にお け る要 素の 幾何学的 形 状に対 す る制 約 等 を考え る な らば，
これ らの研 究 成 果 をそのま ま一
般の構造 要 素の解 析に使用 す ることは無 理 な よ うに思 わ れ る。
本 報 告は，
三次 元 理論に基 礎をお く変位型有限要 素法 に おい て， 要素の変 位が，
各座標曲線上で は，
当 該 座 標 の一
次式で表され るよ うな関 数 （以 後，
三重一
次の関数 とい うこ と に す る。
11
式参照）に よっ て近 似さ れ る場 合 を対 象に して， 汎 関 数に含まれ る ひずみ を求め る際に 基 礎 微 分 方 程 式の近 似 解 を使 用 する剛 性の一
評 価 方 法 （以 後，
本 方 法とい うこ とにす る）を提 案し，Zienk−
iewiczらによ る次 数低 減積分 を使用 す る方 法，Wilson
に よ る非適合関数を使用する方 法との関 係を述べ ると と もに，
その妥 当 性 を検 討する ために行っ た数 値 解 析 結 果 の報 告 を行う もの で ある。
2．
解析法の概 要 図一
1に示す よ うな座 標 曲 線によっ て構 成さ れ る六面 体要 素の変位が， 三重一
次の関 数に よっ て近 似さ れる場 合を対象に し て，
本方 法の概 要 を説 明 することにする。 図一
1 六 面体 要素一
88
一
本 方法で は， 変位は 三重一
次の関 数に よっ て近似さ れ る もの と し てい るが， 汎 関 数に含 まれ るひずみ を算定す る際に基 礎 微 分 方 程 式の近 似 解が使 用さ れ る た め，
変位 は一
般に要 素の境 界にお け る幾 何 学的 な 連 続 条件を満足 し ない非適 合 変 位であると考え な け ればな ら ない。
し た がっ て，
汎 関数と してハ イ ブリッ ド型 ポテン シャ ルエ ネ ルギー
の原理の た めの汎 関 数 を使用 する必要が ある。
文 献 6）によ る と， 物体力が ない場 合， 図一
2に示す 直六面体要 素に対す るハ イ ブ リッ ド型 ポテン シャ ルエ ネ ルギー
の原理の た めの汎 関 数は，
式 （1）の よ うに表さ れ る。n
… 一∬
L
，1
．
A（ωd
γ一Hmn・
…・
…・
……・
…・
（1）A
（・、）−
kaWkt
（Uw ＋・・i）（Ulti＋・“）……一
（2
）Hmn一
蕉
。 翠・（ulM’一
・・）dS・…・
…・
……・
…・
（3） こ こ に，
ai」itl（‘，
ノ，
h，
‘＝1，2，3
＞は弾性係 数， u、
，
u，
uκ，
Ut （i，
ゴ，
h，
t＝1，
2，3
）は変 位 成 分， λ野 ，は 要 素Vm
の 境界に おい て 定 義され る Lagrange の 未 定乗 数， μ、は要 素Vm
，Vn
の境界Smn
に お い て定 義 される変 位であ り，i，
j
，
k，1
に は総 和規 約が適 用さ れ る も の と する。
式 （2）および式 （3） を考 慮して式 （1）を変分 す ると，
式 （4 ），
式 （5），
式 （6 ）お よ び式 （7 ）が 得 ら れ る。
δ丑P跏＝
δ」ffPHml十crllPHm2十crnPH御ゴ・
・
・
・
…
一・
・
…
（4 ）f・・1・… 1
一
仏
丁費（uL・
・ ）・・｝・
’dS ……・
…・
一
（・）・
n
・H・t− 一
∫
窺
。 δ｝脚 野L ”i）ldS
…・
……・
（・）・・
1
・…
一一
礁
拠
（耐 贓 ・UldV…………・
・
……・
・
…・
…・
……
（7） 式 （7 ）よ り，
停 留 条件 式と し て式 （8
＞が得られ る。岩
・〃・t（u． 1＋ Ul，
、）．一
・一・
…………一 …・
・
一
（8）式 （8）は物体力が ない場 合の変 位に関す る基礎微分 方 程 式であるが
，
本 報告で使用 する変 位は式 （8 ）を満 足 す る ように選 定さ れ ている もの と仮定し てい る。式 （3）に おける Lagrange の 未定 乗 数 肥 は
，
そ の 物理的 意 味が要 素 Vmの 境 界にお け る i方 向の内 力で あ 図一2
直六 面 体 要 素るこ と を考 慮して
，
基 礎 微 分 方 程 式の解 より求め た応 力 の要素 境界一
ヒに お け る表式を使 用して式 （9）の ように 定義す る。 λ巷鋤＝1
「Lnt
， （usmレ ）・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（9
｝ こ こ に，
丁轡】 （‘贊
1，
2，
3＞は基 礎 微 分 方 程 式の解 UJ （j
＝
1’
，
2，
3 ）よ り求め た要 素 境 界上にお ける単位 面 積 当た りの i方 向 内 力である。 式 （3
）に お け る変位μ‘の表 式 が，
三重一
次の関 数 に よっ て近 似 される 適 合変位 場の要素 境界 に おける表 式 と 同 じ であるもの とする と，
変 位 Ui と 変 位 Ui一
μi （i＝
1，
2，
3｝は別々 の基 底 関 数に よっ て表 式さ れ ることにな る。一
方，
式 （9）よ り，
Lagrange の 未 定 乗 数 Alm） は 基 礎 微 分 方 程 式を満足 す る変 位より求め た要 素 境 界上に お け る単位 面 積 当た り の内力 の表式であ る が，
直六面 体 要素を使用す る場合にはLagrange
の未 定 乗数λ『〕と変 位 u、一
μ、
の 積の境 界Smn
上 にお け る積 分は零と な り，
式 （3）は零と な る。 し た がっ て，
汎 関 数は式 （10 ）の よ うに な り，
最小ポテン シャルエ ネルギー
の原理の た め の汎 関 数 と 同じにな る。 n・・一
∬
ひ
ωdy
醐一
春
・洲 （u・j＋u・D
｛uht＋u・．
・）・
…
（10） こ こ に，
α‘抗 ↓は弾性 係 数，
Ui，
U」，
Uh，
Ut （i，
ノ，
h．
1 ＝ 1，
2，3
＞は ， 各 座 標 軸 方向の 変位 成 分で あり，i，
」，
k，1
に は総 和 規 約が適 用さ れ る もの と す る。
一
般の要 素 を使 用する場 合に は，
直六面 体要素を使用 する場 合と異な り， 要素境界上に おける内力の表式，
基 礎 微 分 方 程 式 と も複 雑になるた め， 直六面 体 要素を使用 す る場 合の よ うにLagrange
の未 定乗数 翠［ と 変 位 u厂 L μ、め積の要 素の境 界Sm
。上に おける積 分が零に な る と い う保 証はない 。 したがっ て，
式 （5），
式 （6）お よ び式 （7） を考 慮する こ と に よっ て式 （4 ）により要 素 の剛 性 を評 価 することにな る。、
要素の剛 性が適正に評 価さ れ る な ら ば，
未 知パ ラメー
タ．
は従来の変位 型有限要素法におい て使用 さ れてい る よ うに， 等 価 節 点 力の釣 合 条件を使用 するこ とに よっ て求 め ることがで き る。
3．
基 礎 微 分 方 程 式の近似解とレて
の妥 当性の判定規 準 本 方 法では， 要 素の剛 性は基 礎 微 分 方 程 式 を 満足 す る 変 位 より求 めたひずみ と， ハ イブリッ ド型 ポテン シャル エ ネル ギー
の原 理の ための汎 関 数 を使用し て求める こと に して い るが，
要 素の形 状 が 複 雑にな ると， 基 礎 微 分 方 程 式 を 満 足 するよ うな変 位 を求める こ とが難しくなる。
し た がっ て， 本方 法 をよ り効 果 的に使用 す る た めに は，
変位で表さ れ た要 素 内 部の力の釣 合 条 件 と 要素境 界にお ける力 学 的 連 続 条 件をバ ラ ンス よ く満 足する こと ができ るよ うに基 礎 微 分 方程 式の近 似解を求め る必要が あ る。 基 礎 微分方 程 式の近 似 解とし て の妥 当 性の ある判 定 規 準を 求 め る た めには，
仮 定し た変 位を基 礎 微 分 方 程 式に 代入 して各基 底 関 数の係 数 を調べ るのが便利である。
直六面 体 要 素の変 位が 三重一
次の関 数に よっ て近 似さ れ る 場 合 を例に し て，
本 報 告で採 用す る近 似 解とし て の 妥 当性の判 定規 準を説 明す ることにする。 変位は式 （11 ）の よ うに表さ れる。 U＝
α。。。＋ at。 。X ＋α。1。Y
＋α。。’
IZ ＋α、 、。xy 十αo】］Y2十 cr］Olxz 十α川 コcyzV
＝
β。。。＋β，。DX 十β，，。y＋β。。IZ ＋fi11
。xy ＋β。uY2 ＋β、，
1コcz＋β111XYZW
；
フbOO十γ匚ooX十冫blO31十7001Z十7
，，oxy十 701，YZ十 rlOlxz十箔m xyz
・
一
・
（］1｝』
こ こ に，
aifit，
βi」h，
んκ （i，
ノ，
h ＝
0，
1）は未 定 係 数で あ る。 基 礎 微分方 程 式は式 （12）のよ うに表さ れる。．
〔・＋ ・）
籌
・ ・…一
・（・・
G
監
・Gv
・ v＝
・（・＋・）
｛
裟
・・…一
・ ∂u ∂v ∂w ε＝
盃 ＋可
＋蕊，
ワ・一
募
＋詳
＋券
＝
EG 2（1＋の 2v λ＝
G
ユー
2レ・
（12） こ こ に，
E はヤング係 数，
レ はボア ソン比であるe 式 （11） を式 （12）に代 入 すると，
式 （13）が 得ら れ る。 βH 。＋7 。1＋βII】z ＋ 7， ，，Y＝
01
（a ） α1
、。＋r。ll＋α H 匸z＋7，，Ix ± O・
（b
）一 ・
（13 ） α、。L＋β。11＋ aL、ty ＋β、nx＝0 ’
（c ） 式 （13a，
b，
c）は，
そ れ ぞ れ，
x 軸 方 向，
ti
軸 方 向 お よ び z 軸 方 向の釣 合 条 件 式で あ る。 変位 u，
v お よ び w が基 礎 微分方 程 式 （12
）の解で あ る た めに は未 定 係 数 aiJt，
β‘、κ，
撫 は式 （14 ）お よび式 （15）を満足 してい なければな ら な い。
alll＝O
fi11
】
＝ o・
………・
………・
………・
…
（14） 7111＝
0 α 川 ＋β。n＝O
fillo
十 7iOi＝ 0・
・
……・
・
…・
……・
………
〔15） 7。n ＋α II。＝0
、
式 （14
）は各 座 標 軸 方 向の 力の釣 合 条 件 式におい て，
各 基 底関 数の係数 がいずれ も一
っ の 座 標 軸 方 向の変位を一
89
一
規 定する未 知パ ラ メ
ー
タ の み に よっ て表さ れて いること を示し ており，
式 （15）は各 座 標 軸 方 向の力の釣 合 条 件 式におい て，
各 基 底 関 数の係 数がいず れ も 二つ の 座標 軸 方 向の変 位を規 定する未 知パ ラ メー
タに よっ て表さ れて い る ことを示し て い る。 式 （14）および式 （15
）の形は使用す る基底関 数と の 関 係によっ て決ま る ものであ る が，
三 次 元問題 に対す る 基 礎 微 分 方 程 式の解を求める際に， 基底 関 数の係 数が一
っ ま た は二 つ の座 標 軸 方 向の変 位 を 規 定す る未 知パ ラ メー
タの みに よっ て表され る こ とは， 式と して の一
般 性 を欠い て い る と考え るべき で あり， 変 位が高 次の基 底 関 数によっ て近 似さ れて いる場 合を想 定す る な ら ば，
式と して の一
般 性 を備える ために は，
三つ の座 標軸方 向の変 位 を規 定する未 知パ ラ メー
タに よっ て表さ れて いる 必要 がある こと が わ か る。 本 報 告で は，
基 礎 微 分 方 程 式に おい て基 底 関 数の係 数 に 三つ の座 標軸 方 向の変 位を規 定 する未 知パ ラ メー
タ が含
ま れ てい る場合に は，
これ等の未知パ ラ メー
タ は従 来 の変位 型 有 限要 素法の場 合 と 同 様に，
等 価 節 点 力の釣 合 条 件に よっ て決 定す るこ と と し， それ以 外の場 合に は当 該 未 知パ ラ メー
タ を零と み な すことにす る。したがっ て，
式 （14）に含 ま れ る未知パ ラメー
タ alll，
filli
，
7111お よ び式 （15 ）に含まれ る未 知パ ラ メー
タalel，
α ll。
，
β。
ii，
β11。，
γtOi，
rOllは いずれも零にな る。 以 上の こ とより，
直六面体 要素を使用す る変 位 型 有 限 要 素法に関し て は， 基 礎 微 分 方 程 式の近 似 解と み な せ る か否か を判 定する ための規 準を次の よ うに定める ことに する。
「基 礎 微 分 方 程 式に おける基 底 関 数の係 数が，
各座標 軸 方 向の変 位 を規 定 する未 知パ ラメー
タ を少な く ともそ れ ぞ れ一
個 以 上 含む場 合に は，
こ れ らの未 知パ ラ メー
タは，
基 礎微分方程式の近 似 解の構 成に必 要な未 知パ ラメー
タ と み な すことにす る。
」・
上 記の規 準は基 礎 微 分 方 程 式に含ま れ る基底関 数の係 数ご とに適 用されるが，
要 素の剛 性 を求め る 際にはひず み が主 要な役 割を 果 た すこ と を考 慮す る と， この規準は 変位に対して適用 す る もの で はな く， 変 位か らひずみ を 求 め る 際 （以 後，
ひずみ の レベ ル と い うことにする。
） に適用 すべ きもの である こと が わか る。 し たがっ て，
こ の規 準 を満 足 しない未 知パ ラメー
タ は，
すべ て変位か ら ひずみ を 求め る段 階で零とみな す （す な わ ち，
変位か ら ひずみを 求める際に当 該 未 知パ ラ メー
タを含む項 を省 略 す ることに よっ て得 られ る，
要 素 変 位 場と は非 適 合なひ ずみ 場 を考え る。
）ことに し，
規 準 を満 足する未 知パ ラ メー
タ は すべ て等価節点 力の釣 合 条 件に よっ て決 定 する こと がで き る もの と す る。
図一
1に示 す よ う な 曲 線 座 標 によっ て構 成され る要 素 を使用 す る 場合に は， 基 礎 微分方 程 式に曲 率 半 径 等の要一
90
一
素の幾 何 学 的 形 状に関 係 する項が含ま れ る が，
本報告で は， 変位が低 次の基 底 関 数によっ て近似さ れ る 場合を対 象に して い る ため，
基 礎 微 分 方 程 式に含ま れて い る幾何 学 的な形 状の変 化の影 響まで考慮すると，
基 礎微分方 程 式の解の構 成が困 難に な る場 合が 生 じ ること が 予 想 さ れ る。 したがっ て，
極 座 標，
球 座 標 等の曲線座標に よっ て 表さ れ る構 造 要 素を解 析す る際には、
基 礎 微 分 方程 式に 含ま れる曲 率 半 径 等は一
定 と して幾 何 学的形状の変 化に 関 係す る項の影響を無 視し， 立 方体要 素 を対 象に して求 め た上記の判定 規 準 を準 用する ことにする。4．
次 数低 減 積 分 を使 用 す る方 法 との関 係 図一
3に示 す 長 方 形の平 面 要素を例に し て本方 法と次 数 低 減 積 分を使 用する方法の関係を述べ るこ とにす る。
物 体 力が ない場 合，
微 小 要素の力の釣合条件は式（16〕 の よ うに表 され る。籌
・審
一
・ （・ ）・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
（16）蕃
・器
一
・ （・・ こ こ に，
ax，
cryは垂 直 応 力 度，
τ は せ ん断 応 力 度であ り，
式 （16a，
b
）は，
x 軸方向お よび y軸 方 向の 力の 釣 合 条 件式であ る。
ひずみ と変位の関係は式 （17）の よ うに表さ れ る。
∂u εx＝
蕊 ∂v ε・r
露
∂u ∂v γ；
可
＋葡・
（17
）こ こ に， εx
，
εy は垂 直ひずみ度，
γは せ ん断ひずみ度，
u，
v は x 軸 方 向およびy
軸 方 向の 変 位で あ る。 式 （17
）を考 慮する と応 力と変 位の関 係は式 （18）の よ うに表 され る。
∂u ∂va…
B
（
誄
＋μ誘
）
a・
− B
（
∂u ∂v ン ∂コc ＋一
i
万
）
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（18）・
一
（L
・1
’・IE
）B
（
芻
・餮）
Et B＝
1−
vz こ こ に，E
は ヤング係 数，
り は ボ アソ ン比で あ り 彦 は板 厚である。
5 4［
餮
1 a a 1一
図一
3 長 方 形 要素変 位は式 （ユ
9
）の よ うに表さ れ る もの と する。 冠＝ α。。＋α1 。x＋α 。1y ＋α”xy・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（19
） v；
β。。＋βiDX＋β。鹽y＋βi1XY こ こ に，
u，
v はx 軸お よ び y軸 方 向の変 位である。
式 （18）を 式 （16）に代 入 し，
式 （19＞を考 慮す る と， 式 （20
）が得られ る。 （1
＋レ）B
β，，＝
0 2・
…・
………・
………・
（20
＞ （1
＋v）B
all＝
0 2 式 （20 ｝は式 （19 ）に よっ て表さ れ る変位を式 （17 ） に代入 する ことによっ て得られ る ひずみが，
近 似 解 とし て妥 当である か否か を判定す る た め の条 件 式である。
式 （ユ9）を式 （17）に代入 す れ ば，
仮 定 し た変 位に対 して ひずみ は式 （21）の よ うに表さ れ る。 εx＝
a10 十 a” y εy＝
＝
βoL＋βiiX…・
・
……・
：…・
…
（21） γ＝
αゆ1十filo
十α uX 十β，，y 式 （21）に お け る一
は，一
を付 し た項が基 礎 微 分 方 程 式の近 似 解とし て の妥 当 性の判 定 規 準より不 要とな る こ と を示す た めの符 号であ る。．
物 体 力が ない場合，
図一
3に示す長方形 平 面要素に対 す るハ イブリッ ド型 ボ テ ンシャル エ ネルギー
の原 理の た めの汎関 数は， 式 （22
）の よ うに表さ れる。 わロ
恥一
∫
1
∫
1
畝 ・）d
珈一H
・…………・
（・・）爾
書 ｛
（
∂u ∂v ∂x 十 ∂y）
2−
1看
レ［
・咎
芻
一
（
葡
∂u ＋蕊∂v）
¶
……一 ・
・
………
（23
）・
の り 馬 一一
∫
；
融 12一
μ1曲 ＋∫
1
妬 （uガ ・・3x）吻 a b・
∫
二
臙 4−
・… ）・x一
π
ん1。（・．−
u、 、X）dy
a わ∫
ひ
幽 ・一
・・岬
＋∫
1
驫 （v！・一
・・ny ＞dY
a ゐ＋
∫
熱
価一
u… ）d
・・一
∫
i
ん・魚 一 角 1蜘・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（24 ） u∬，
v‘1 （i，
ノ＝1，2，3，4
）は要素の 辺 ‘ノに お け る x 軸お よ び y 軸 方 向の変 位で あ り，
μw＝，
It“y （i，
j
＝ 1，
2，3，4
）は要 素Sm，
S
。 の境 界Smn
に おいて定義され る 変位で あ る。 んjr，
λtJy （i，
ノ言1，2，3，4
）は要素の周 辺 におい て定義さ れ るLagrange
の未 定乗数であ る。変位μWx
，
itt」yを式 （19
）に よっ て表さ れ る適合変位 の要 素 境 界にお ける表 式 を使 用して式 （25 ）の ように定 義す る。
・1
疆一
（
輸 ・詞
・（
a］・t9
・・〉
・・ ・1
ゼ
（
・・±9al
・）
・（
・・士9
・”）
y ・ ：：；一
（
b
β。。干 万β・匚）
・（
碗
廟・）
・ ・紹
β・±詞
・（
B
・・±！SI
？，，）
y厂
・
・
∫・
・
（25 ） 式 （24）にお け るLagrange
の未 定乗数 んJX，
Xt」trは，
そ の物 理 的 意 味が要 素の境界にお け るx 軸 お よ びy
軸 方 向の応 力 成 分で ある こ と を考慮す る と， 基礎微分 方程 式の近 似 解 より求めた応 力の要 素 境 界 上にお け る表 式を 使 用して，
式 （26 ）の ように定 義する こ と が で きる。
・1
：：一 〔≒
のB
λ23x＝
＝
llx λns＝
34s（
∂u ∂v ∂9 ±翫）
L
娉B
（
∂u ∂v 翫 ＋、
レ再
）
L
咢B
（
∂u ン ∂v 蕊 ＋可
）
L
書 ・f
，宀
ン〕B（
薊
∂u ＋』
∂ v薇）
L
号・
・
・
・
・
・
・
…
（26 ） 式 （25｝およ び式 （26 ）を使用し式 （21 ）を考慮す る と，
式 （24＞に よっ て表され る非 適 合 関 数に起因 す る境 界積分項の値は式 （27）に示すよ うに零と な る。
b毎 一
∫
ン
・α 1 ・＋伽 1鞠 a＋
叢
Bl・α・・＋B
・1）bfi
，1 ・qx
＋
∠
畫
（≒
のB （a。1＋B
、．1
・Biiydy
7・
fl
（t
’）B ・a・・＋・…baii
・…＝
・……・
……・
………
（27
） 式 （27）を考 慮して式 （21
）を 式 （22 ）に代 入 す れ ば，
その第一
変 分を求め るこ とに よ り要素の剛 性 を評 価す る ための表 式が得ら れ るが，
本 方 法で は要 素の ひずみエ ネ ル ギー
を算 定する際に式 （21）に お け る一
を付し た項は 零とみ な され る。 したがっ て， 本 方 法において も次数 低 減 積 分を使 用す る方 法と同じよ うに要 素の ひずみエ ネル ギー
を算 定 する際に省 略 項が存 在する ことにな り，
本方 法が次 数 低 減 積 分 を 使 用 する方 法 と 同じ ような内容の も の である こと が分か る。
こ のよ うに， 本 方 法の考え方を 通して，
次 数 低 減 積 分 法で行わ れ て いる内容を考え れ ば，
次 数 低 減 積 分 を使 用す る方 法の数学 的な意味が よ り明 確 にな る。
一
91
一
5．Wilson
の方法との関 係Wilson は
，
平面応 力 問 題の 解 析に非 適 合変位を使用 し， 非 適 合 変 位を規定す る未 知 パ ラメー
タ を有 限要 素レ ベ ル で static condensation に よっ て消 去す る解 析 法を 提 案し て いる。
文 献 2）に は こ の解 析法には非適合関数 が使 用さ れ てい る た め収 束の判 定が必 要にな る と述べ ら れてい る が，
ハ イブリッ ド型ポ テン シャルエ ネルギー
の 原 理に基礎をお く解 析 法を使用 す る な らば，
収 束の判 定 の 必要が な く な る ば か りでな く，
非適 合変位を規定する’
未 知パ ラメー
タ は要 素の剛性の改良に役 立ち， その選 定 の仕 方に よっ て は本方 法 を使 用する解 析 法と同じ結 果を 得るよ うにすること がで きる。
Wilson
の方法に おい て使用され る変 位 関 数は式 （28） に示 すと おり であ る。
U＝ α00十α10コ霞十α OlY 十 crlLxgノ＋
剖
千
ガ）
＋割与
一
y・）
v＝
β。。＋β1。x＋β。iY＋β”xy＋
誓
（
at−
x2T）
＋薯
（
夸
一
の
・
・
・
・
・
…
（28） こ こ に，
α u，
β‘丿 （i，
ノ＝ 0，
1 ）は適合変位を規 定する た めの未知パ ラメー
タ であり， α rc，
βs 硫＝
1，
2）は要 素の 剛性 を改 良する た め に導入 さ れ た非 適 合 変 位を規 定 する未 知パ ラ メー
タ で ある。 式 （18） を式 （16）に代入 し式 （28）を考 慮す る と，
式 （29）が得ら れ る。−
r与
＋
牛
忍・一
・・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（29）一
与
瓶
一
B
・＋与
z
街・
一 ・式 （28》 を式 （17＞に代入 す れば
，
ひずみ は式 （30
） の よ うに表され る。
εx・
＝
al。＋α llY−
alxεy
＝
β。1＋βnx一
β！y…
（30） γ＝
α。、＋α llコc−
a2Y ＋β，
。＋fii
・Y一
β1 コc 式 （30） を式 （18）に代 入 することに よっ て求め た応 力を使用 し， 式 （25）およ び式 （26）を考 慮す る と，
式 （24）よ り求め た非 適 合 変 位に起 因す る境 界積分項は式 （31）の よ うにな る。a
Hm −
∫
二
（A
…一
・・2・）（Ul ・一
μ1・・）・x b＋
∫
茗
（A・Sx− N
・・）〔u13−
・iHX）dy
：
・
∫
：
（h
・y−
XltY）（Vl・−
P・・tS）・x著
＋
∫
i
（A・・y一
ん・y）（Vti−
・・3s）dy
−
・｛
亨
［
！デ
・（Bl1
−
at）・・＋（μα IL一
副
＋
穿 ［
（・Pii
−
al）・ ・＋（al・
−
fi1
）fi
！］
｝
…・
…一 ………・
…・
………・
・
（31
） 式 （31
）よ り，
未 知パ ラメー
タak，
βκ （h ・
＝
1，
2）を 式 （32） ま たは式 （33
）の よ う に 選定す る な らば，
境 界 項の影 響は な く な る こと が 分 か る。
α 匸＝
りβH α 2＝
β、、 β1＝
α II β，＝
レ α卩0000
＝
＝
＝
＝
しヨ
ヒ
α α β β
…一 ・
…………・
・
…………・
……・
（32）・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一一・
・
…
一・
（33
） 未 知パ ラ メー
タ を 式 （32
）のよ うに選 定すると，
基礎微 分 方 程 式 （29
）が満足 され る ため， ひずみ の表 式 （30） を考 慮 して最 小ポ テンシャルエ ネルギー
のた めの汎 関 数 の第一
変 分より求め た要素の 剛 性は妥 当な もの と考え ら れ る。一
方，
未知パ ラメー
タを 式 （33）の ように選 定す る と，
変位は式 （19
＞と 同じに な る ため，
基 礎 微 分 方 程 式の 近 似 解 と して の妥 当 性の判 定 規 準に従っ て未知パ ラ メー
タを選 定すれば，
本 方法に よ る結果 と 同 じ結果が得 ら れる ことが わ か る。 し た がっ て， Wilson の方 法 が 本 方 法と同じ内容の もの であ るこ とが分か る。
6．
数値 解析例 本 方 法の妥当性を検討する た め に， 解 析 解が存 在す る 5つ の問 題につ い て解析 を行い，
本 方 法を使 用し た解析 結果と解 析 解によ る 解 析結果の比 較 を行うことにす る。6，1
Sin
波 面 内 荷 重を受け る無限帯板 図一
4に示 す，Sin
波 面内荷重を受け る，
半波長L ＝・
4m ， 高さH ＝0．
4cm，
4cm，8cm ，
40 cm，80
cm の 無 限 帯 板を x 軸方 向に8
分割， y軸 方 向に 4分割 して 解 析を行う。
a ） 変 位 変位は双一
次の関 数によっ て式 （34）の よ うに表さ れ るもの とする。 u＝
ao。＋a、。ξ＋α 。匸η＋a，iξη・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（34
） v＝
β。。＋β1。ξ＋β。1η＋β［、ξη こ こ に， u は x 軸 方 向の変 位，
v はy
軸 方 向の変 位 で あ りαw1 β‘∫ （i
，
ノ＝
0，
1）は未 定 係 数である。b
）ひずみ と変 位の関 係 式（34 ＞を考慮すると，ひずみ と変 位の関 係 式は式（35 ） の よ う に表さ れ る。
一 92 一
［］
1
：
ll
y’
psin−
「 x α α幽
2 1r
w
P；
1 kg！c陬2 0 x v冨
0巳
25 E−
2．
0．
xlos kg／c一
ト
ー
−
L＝
4°°cm−
一 一
H
T
ー−
1
厂
⊥ 図一
4 Sin波 面 内 荷 重 を受け る無 限 帯 板と有限要素 ・・一
吉
（… ＋ 塑 ） ら一
静
1午
鏖
1
・→
a・・＋静
・＋去
al，
ξ・告
B
， 、η・
・
…
（35
）こ こ に
．
εx，
εy は垂 直ひずみ度で あ り，
γは茸 ん 断ひ ずみ度で あ る。 c＞微 小要 素の力の釣 合 条 件 式Hooke
の法 則 と式 （35） を 考 慮す る と，
力の釣 合 式 と して式 （36a，b
）が得られ る。
．
（1＋ v｝B βn＝
0 （a ） 2αb
………・
』
…
（36
）（1
ま
認
B ・ 1、一
・ （・）式 （36a
，
b
）は，
そ れ ぞれ，
x 軸 方向お よ び y 軸 方 向の 釣 合 条件式である。
d
）近似 解と しての 妥 当 性の判 定式 （
36
a，b
）よ り， 近 似 解とし て の妥 当 性の判定条 件 式とし て式 （37a，b
）が得ら れる。1
：
1
：
：
：
計
・
…・
……J・
…………・
・
…
（・・） 本 報 告におい て採 用し てい る規準に よ れ ば，
式 （37 a，
b）に含まれ る未 知パ ラメー
タ は要 素の ひずみ に は関 与 しない ことにな る。
e） 解 析 結 果 々o“
rPCos2e 式 （35＞におい て一
を付 し た項を省 略し た式 を使 用し て要 素の剛 性マ ト リッ クス を求め，
従 来と同 じ方 法に よっ て解 析し た 図一
4の点 0に お ける y軸 方 向の変 位 v に対 す る 計 算 結 果 と，一
を 付 し た 項 を省略 し ない式を使 用 し て最小 ポテンシャ ルエネル ギー
の原理 に基礎を お く 解析法によっ て求め た変 位 v．
に対する計 算 結果を
図一
5 に示す。
幽
図一5
よ り， 本方法を使 用 して求めた結 果は最 小 ポテ ンシャル エ ネル ギー
の原理に基礎を おく解析 法に よ る結 果に比べ て精 度も良く，
要 素の形 状の影 響をほとんど受 け ていな いこ と，
お よ び，
三角 形の定ひずみ要 素は基 礎 微 分 方 程 式の一
般解とし て の資 格は備え て い る にもか か わ らず，
この要素を使 用 して求φた最 少ボテ ン シ ャ ルエ ネルギー
の原理 に基礎を お く解 析 法による結 果は好 まし い もので ない こ と が 分 か る。 6．
2Cos
波 面 内 荷 重を受け る 中 空 円 板 図一
6に示す，Cos
波 面 内 荷 重を受け る，
中 央 面の極 MOv 閣 析 鰯 1．
0 o．
5 0 ゜ Q呂
囗 △ O △ ○ ＊ 髀怯 囗 最 小ボ
テン
シヤ
’
」
‘
串ル
ギー
の
原 理 に基 國 をおく 方 法 1四角 形 興 素1 △ 1三角 形 買 ＃〕 300 cの n τ P昌
1kg ！cm2 0 ● v＝
0，
25 E＝
〜．
O x los kg ／cm2 θ／
ノ
樫 0．
25o，
5O．
T5．
0 旦L1 図一
5 点0における y軸 方 向変 位 v と板 厚の関 係 ξ一
筈
・一
誓
図一
6Cos 波 面 内荷 重を受け る中 空円板 と有 限 要 素一
93
一
率 半 径
Re＝
3皿，
高さH ＝
・
lcm
，5cm
， 10 cm，20
cm，
30cm，
60 cm，
120 cm，
400 cm，
半開 角 仇＝ 45 度の 中 空 円 板を r 軸 方 向に4
分 割， θ軸 方 向に8
分割し て解 析を行う。 a） 変 位 r 軸方 向の変位をu，
θ軸方 向の変位 を v と すると，
変位は式 （34
）と同じ表 示 が可 能で ある。b
）ひずみ と変位の関 係 式 （34
｝を考 慮す る と， ひずみ と変 位の関 係は式 （38） の よ うに表さ れ る。
・．
一
去
（a・1＋璽
）1
1
・・−
71
… ＋eB
・e・ … ξ・
（
ユ・・＋ 五β11）
・＋・・ξ・｝
・一
去
區 ・鉦
）一
爿
飾一
吉
・ ・ ・屋
・（
fi
。
1−
⊥al，
）
・＋釶
｝
・
・
・
・
…
（38） α こ こ に，
εr，
εe は垂 直ひずみ度で あ り，
γ はせ ん断ひ ずみ度で ある。
c） 微 小要素の力の釣合条件式 Hooke の法則と 式 （38
）を考 慮す る と， 力の釣 合 式 と して式 （39a，b
）が得ら れ る。−
9
・ 。。＋・。1−
（3
齶
黥
＋1
差
角一
停
一 、）
ξ一
亭（
3−
y α・】＋2
αβ，1
）
・一
÷
・ ．ξ・一
・（・） （3
一
のb
l十ン （1−
v）b
βoo α lo十 all−
2ra 2α 2r・
角
、
」訓
躯
一
Bu
）
ξ一
辛
（
1一
ン 3−
v 2β・1
『
2 α
α 11
）
・」
1
夛
耋
）QB
，，ξ・一
・（・）
tS−t・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
tt・
…
（39） 式 （39a，b
）は，
そ れ ぞ れ，
r 軸 方 向お よび θ軸方 向の釣 合 条 件 式で ある。d
） 近 似 解と し て の妥当 性の判 定 式 （39 a、b
）にお ける ξ，
ξη の係 数を零と す ることに よ り， 近 似解と し て の妥 当性の判 定 条 件式 と して式 （40 a，b
）お よ び式 （40 c，
d
）が得ら れ る 。 00
＝
＝
α α一
鋤b7
0 0＝
＝
β β魚 δ 下
一
94
一
（a ）．
（b
） （c ） （d
）・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
…
（40） 1ou 騨 析 鯛 1．
0 0，
5 o O 口 OO 囗 口 臼 Q 本 解 法 口 最小 ボテノ
ソヤ
ル
‘
t’
ル
ギー
の 原 理に基 腱 をおく 方法 図一
ア 旦 O．
25 0．
5 0．
15 1．
O 点0における半 径 方 向 変 位 u と板厚の関係 本 報 告に おい て採 用 して い る規 準に よれ ば，
式 （4G a，b
）お よ び式 （40c，
d
｝に含まれ る未 知パ ラ メー
タ は，
要 素の ひずみ に は関 与し ない こ とにな る。 e） 解 析 結 果 式 （38 ）におい て一
を付し た項を省 略し た式 を 使用 し て要 素の 剛 性マ ト リックス を求め， 従 来と同 じ方 法に よっ て解析し た 図一6
の点0
にお け る r 軸 方 向の変 位 u に対す る計 算 結 果と，一
を付し た項を省 略し ない式 を使 用して最小ポテ ン シ ャ ルエ ネルギー
の原 理に基 礎をお く 解 析 法に よっ て求めた変 位 u に対 する計 算 結 果 を 図一一
7 に示す。
図一
7よ り， 本計 算例に お い て も， 本方 法 を使用した 解析結果は最小 ポテンシャ ルエ ネル ギー
の原 理に基 礎 を お く解析法に よ る結果に比べ て精 度 も 良く，
要 素の形 状 の影 響を ほ と ん ど受け てい ない こと が 分 か る。
6．
3
等分布 荷重 を受け る周辺固 定 支 持さ れ た正 方 形板 図一8
に示す，
等 分 布 荷 重 を 受ける辺 長 L ；15m ， 厚 さt＝
O．
5cm ， 5cm，
25 cm，
50 cm の周 辺 固 定 支 持さ ノ れ た正 方 形 板 を，
z 軸 方 向に 4分 割，
x 軸および y 軸 方 向に各々 8分 割して解 析を行う。 a） 変 位 変位は 三重一
次の 関数によっ て式 （41 ）の よ うに表さ れ るもの と す る。 u＝
a。。。＋α 1。。ξ＋α。
、
。η一
＋一
α。D，
ζ＋α，
，
。ξη ＋α。、1ηζ＋α、o且ζξ＋α 1L、ξηζ V；
fiDOO
十fiiOO
ξ十β01D η十βDOIζ十β，，。ξη ＋β。．ηζ＋β1。1ζξ＋β，，，ξηζ ω＝
70。。＋7
、o。ξ＋7e
、oη＋ 冫bo、ζ＋rno
ξη 十 冫b圃圃ηζ十r，， ，e
ξ十 γ，， ，ξηζ こ こ に，
…
（41
） u，
v，
w は そ れ ぞ れ x 軸， y 軸お よ び 2 軸 方 向の変 位であり， a。 t，
19、Jk，
rtJk（i，
j
，
h ＝・
O，
1）は未 定 係 数で ある。
b）ひずみ と変 位の閧係 式 （41）を考 慮す る と，
ひずみ と変位の関 係式は式 （42） の よ う に表さ れ る。
：
：
：
識
艦
到
P。ノ 2 1
…
謌
1
纏
昌
卜
一一 一 一
L 一一 一
r
図一
8 等 分 布 荷 重を受け る 正 方 形 板 と 有 限要素［
・ ン 万 三 ・＝
昌
．
＝
ξ η ζ ez→
（耐 ・耐猛
・r、iξ・） 瀚一
÷
（耐巫
煽 ζ＋α。 ξζ）・
静
。。＋弖
沸
。
，
ζ・・，1
、ηζ）・
…
（・2 ） 海一
÷
ω・・ ＋β1。ξ・勉
・B
， ，，ξ・）・
t
・画
・ξ・7・・ ζ・7t1・ξζ）7，
．
一吉
（7］
。
。
＋M ，。η喧
・ri
。ηζ）噛
耐壷
煽 ＋ a、n ξ，）こ こ に
，
εJ，“
εy，
εz は垂 直ひずみ度で あり，7xy，
7yt，
勘 娃せ ん断ひずみ度である
。
c） 微 小 要 素の力の釣 合 条 件 式 Hooke の 法則と式 （42 ）を考 慮す る と，
力の釣合 条 件式 とし て式．
（43a，
b，
c）が得
ら れ る。
．
去
B
，・・＋t
・，・＋静
LLζ・吉
・， ，，η一 ・ （・ ）÷
耐吉
婦吉
… ζ・静
ξ一 ・ （b
）吉
・1 ・1 ＋告
β・結
・… η＋去
β… ξ一
・．
（・）…・
…・
・
…・
…・
…・
…・
・
…・
……
（43） 式 （43a，
b，
c）．
は，
そ れ ぞ れ，
x 軸 方 向，
y 軸 方 向 およ び z 軸 方 向の釣 合 条件式であ る。
d
）一
般解と しての妥当 性の判定 式 （43a＞’
にお け る定 数 項と ζ、
η の係数， 式 （43b ） にお け る定 数 項と ζ，
ξの 係数お よび式 （43c ）に おけ る定 数項 と η，
ξの係 数 を そ れ ぞ れ零と す ることにより，
一
般 解と して の妥 当性
の判定条件式 と して式 （44a，
b，
c），
式 （44d ，
e，f
）お よび 式 （44g ，h，i
｝が得ら れ る。
．
l l 万βll・＋ で「乃・1＝0
1万β・・1
＝
0「
1i7
，・1；
0 1 1 万7
・n ＋ 万α叩〒0．
L
α ．、＝0
α1
−
rl11＝
O C 1 1 互a・・1＋ 万β。n；
O l一
α魯」1＝
0 α去
fl
・・，一 ・ （a ） （b
） （c ） （d
） （e ）・
・
・
…
一
一
・
L・
…
（4
’
4）．
（f
） （9） （h
） （i
） 本 報 告において採 用 して い る規準に よれ ば，
式 （44 a，b，
c）， 式 （44d
， e， f）お よ．
び式 （44g， h，i
）に含ま れ る未知パ ラメー
タは， 要 素の ひずみに は関 与し ない こ とにな る。
e）解析結果式 （42 ）に おいで
一
を付．
し た項 を省略し た式 を使用 し て要 素’
の剛 性マ ト リックス を 求 め，
従来の方 法に よっ て 解 析し た図一8
の厚板 中央面 上の点0
に お け る z 軸 方 向 o 本 解 法 口 疊・
j・
．
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5 o 厘 理 に器麗 を おく 万 薩 1六厠 体 顕 羅1 △｛四 而 体要 累b o 0 口 O 囗 △ 図一
9 1 L O，
025 0．
05 0．
075 0．
辱 点0に お ける多 軸方 向 変 位w と板 厚の関 係一
95
一
の変位 w に対 する計 算 結 果 と，
