Introduction 3 4. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4. : : : : : : : : : : : : : : : : : :

修士論文

Fabry-Perot

共振器のアラインメント制御

物理学専門課程 杤久保邦治

目 次

1 Introduction 3 2

レーザー干渉計による重力波検出

4 2.1

重力波

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 2.2

レーザー干渉計による重力波検出

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 2.3 Fabry-PerotCavity

の特性

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 2.3.1

多重反射

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 2.3.2 Fabry-PerotCavity

の応答関数

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 3

アラインメント に対する要求

12 3.1 Hermite-GaussianMo des : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 13 3.2 Hermite-GaussianMo des

の平行移動、回転

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16 3.2.1 x

軸方向の平行移動

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16 3.2.2 z

軸方向の平行移動

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 17 3.2.3

回転

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 19 3.2.4

近似

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 20 3.3

光学素子のミスアラインメント

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 22 3.3.1

鏡のミスアラインメント

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 22 3.3.2 Fabry-PerotCavity

のミスアラインメント

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 23 3.3.3 Fabry-Perot-Michelson

について

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 24 3.4

干渉計のコントラスト

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 25 3.5 RecyclingFactor : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 27 3.6 TAMA

計画におけるスペックでの試算

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 30 4

実験の原理

40 4.1 Pound-Drever

法

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 40 4.2 WaveFrontSensing : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 41 4.2.1 b eamtilt : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 42 4.2.2 b eamdisplacement : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 45 4.2.3

検出限界

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 45 5

実験

49 5.1 Pound-Drever

法を用いた

Cavity

制御

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 49 5.1.1

実験の

SetUp: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 49 5.1.2

モード マッチング

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 50

5.1.3

ビームプロファイルの測定

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51 5.1.4 Pound-Drever

法による

Cavity

制御

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51 5.1.5

制御系

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51 5.2 WaveFrontSensing

によるアラインメント制御実験

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 52 5.2.1

実験の

SetUp: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 52 5.2.2

分割型

PhotoDetector : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 52 5.2.3

信号の分離

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 53 5.2.4

制御系の回路について

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 53 5.2.5

測定

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 53 6

まとめ

71 A

実験に用いた回路図

73

Introduction

重力波は

Einstein

によりその存在が予言され

[1]

、連星パルサーの公転周期の変化などからその存在の間

接的な証拠は得られている。

[2]

だが、まだその直接的な検出には成功していない。この重力波検出の実験

は一般相対性理論の検証実験として、また新たな天体観測の手段として重要な意義を持つと考えられてい

る。検出の方法としては弾性体のアンテナを用いた共振型の検出器とレーザー干渉計を用いた自由質量型

の検出器の研究が進んでいる。特に自由質量型検出器は近年精力的に研究され、欧米で

LIGO

計画

[3]

や

VIRGO

計画

[4]

など大型レーザー干渉計の建設計画が動き出し、日本でも

TAMA

計画と呼ばれる基線長

300m

のレーザー干渉計の建設が進められている。これらの計画では

Michelson

干渉計の両腕を適切な基

線長を得る為に

Fabry-PerotCavity

にした

Fabry-Perot-Michelson

型の干渉計が用いられている。

重力波は自由質点間の固有距離の変化として現れる。従ってこれらの干渉計では鏡は自由質点を実現す

る為に吊されている。この自由質点間の距離変化を干渉計を用いて測ることによって、重力波の検出を試み

るわけである。鏡を吊している効果は自由質点の実現だけではなく、地面振動などの影響を除去する効果

もある。しかしその影響を全て除去するのは困難で、何らかのアクチュエータを用いて鏡の位置を制御す

る必要がある。本論文では特に鏡の角度揺れ

(

ミスアラインメント

)

を問題とし、干渉計に必要な性能を維

持するにはこの鏡のミスアラインメントがどの程度まで許されるのかをまず考察し、またアラインメント

を自動制御する方法として提案されている

WaveFrontSensing

という手法をもちいて

Fabry-PerotCavity

レーザー干渉計による重力波検出

2.1

重力波

一般相対性理論によればメトリック

g 

によって異なる時空の

2

点

x 

と

x  +dx 

の距離

ds

が

ds 2 =g  dx  dx 

で表される。

1

ここで

x  =(0ct;x;y ;z)

である。

g 

は

Einstein

方程式により、以下のように書き表せる。

R  0 1 2 g  R= 8 G c 4 T  (2:1)

ここで

G

は重力定数、

T 

はエネルギー運動量テンソルであり、

R  ;R

は

R  = @0   @x  0 @0   @x  +0   0   00   0   R = g  R   0   = g   @g   @x  + @g  @x  0 @g  @x   :Christoel

記号



で表され、それぞれ

Ricci

テンソル、

Ricci

スカラーと呼ばれる。

真空状態

(T  =0)

を考えると式

2.1

は

R  0 1 2 g  R=0

となる。一般相対性理論は特殊相対性理論を含むから、

  = 0 B B B B @ 01 0 1 1 0 1 1 C C C C A (2:2)

も、式

2.1

の

g 

の解となる。ここで時空

g 

からの僅かなずれ

h 

を考えて、それを

g  =  +h 

と表す。この

h 

を

Minkowski

空間の摂動として扱い、この メト リックを

Ricci

テンソルにあてはめる。

h 

の

1

次の量だけ残すと、

2=0@ 2 =c 2 @t 2 +1

を用いて

@ @x   @h   @x   + @ @x   @h   @x   02h  0 @ 2 @x  @x  h   =0 (2:3) 1

この章ではギリシャ文字の添字は

0

∼

3

までを、ローマ字は

1

∼

3

までを表すものとする。

一般相対性理論は任意の座標変換に対して共変になっているから適当な座標条件を置くことが可能である。

ここで

 h  =h  0 1 2   h

で定義される

 h 

に対しローレンツゲージの条件を課すと

@ @x  h   0 1 2 @ @x  h   =0

であるから、式

2.3

から

2  h  =0 (2:4)

という式が得られる。これが真空中での線形化された

Einstein

方程式である。これは

Minkowski

時空にお

ける波動方程式となっている。つまり

h 

という摂動が光速で伝搬することを意味する。これを重力波と

呼ぶ。

この式の解として

 h  =A  exp[jk  x  ] (2:5)

を与える。

2

これがローレンツゲージの条件と波動方程式を満たす為に

A  k  =0 k  k  =0

であるのだが、まだ座標のとり方には任意性を残している。そこで

TTgauge 3  h 0 = 0  h   = 0

を課すと問題が見やすくなり、

h 

は適当な座標条件のもとで

h  = 0 B B B B @ 0 0 0 0 0 h + h 2 0 0 h 2 0h + 0 0 0 0 0 1 C C C C A (2:6)

と表すことができる。

h + ;h 2

は重力波の持つ二つの偏光を表す。

2.2

レーザー干渉計による重力波検出

ここでは

Michelson

干渉計

(

図

2.1)

による重力波検出の原理について考察する。

z

軸方向から入射する重

力波について考える。簡単の為にその偏光成分が干渉計の光軸と一致していたとする。鏡は自由質点を実

現する為に吊されているとしてまず

x

軸に沿って距離

l 1

離れた鏡に原点から出た光が反射して戻って来る

までの時間

1t

を求める。光の伝搬は

ds 2 =0c 2 dt 2 +f1+h(t)gdx 2 =0

に従う。この式から

 10 1 2 h(t)  cdt'dx 2

本論文では虚数単位を

j

で表記する

3

LASER

l

₂

l

₁

Mirror2

Mirror1

Photo Detector

Y

X

図

2.1:

マイケルソン干渉計

となり、この式の積分から

1t= 2l 1 c + 1 2 Z t t01t h(t 0 )dt 0

を得る。ここで

h(t)

の変化は充分小さいので

Z t t01t h(t 0 )dt 0 ' Z t t0 2l 1 c h(t 0 )dt 0

と近似出来る。従って

1t

は

1t= 2l 1 c + 1 2 Z t t0 2l 1 c h(t 0 )dt 0

となる。ここで光の周波数を

! 0 =2c=

とすれば往復してきた光は

! 0 1t

だけ位相が進むことになる。こ

の中で重力波の効果は

! 0 2 Z t t0 2l 1 c h(t 0 )dt 0 (2:7)

であることが分かる。同様に

y

軸方向についても計算できて、この場合光の伝搬は鏡までの距離を

l 2

とす

ると

ds 2 =0c 2 dt 2 +f10h(t)gdy 2 =0

に従うことから重力波の効果は位相の中に

0 ! 0 2 Z t t0 2l 2 c h(t 0 )dt 0

という形であらわれる。そこで両腕を往復する光の位相差を干渉を利用して測定しようというのがレーザー

干渉計による重力波検出の原理である。重力波の効果による位相差は結局

l 1 'l 2

として

! 0 Z t t0 2l c h(t 0 )dt 0 (2:8)

で与えられる。ここで重力波の信号

h(t)

を

Fourier

分解して

h(t)= Z 1 01 h(! )e j ! t d!

とすれば式

2.8

は

! 0 Z t t0 2l c dt 0 Z 1 01 h(!)e j! t 0 d!

となるから結局

Z 1 01 d! h(!)e j! t ! 0 ! sin  ! l c  e 0j !l c  Z 1 01 d!h(! )e j! t H M (! ) (2:9)

と表すことが出来る。

H M

が周波数

!

の重力波に対する干渉計の応答関数と考えることが出来る。

H M

を

l

の関数として考えた場合、干渉計の基線長

l

は

! l =c==2

の時に最大値をとることがわかる。例えば

1kHz

の重力波に対しては基線長が

75km

が最適値となる。

しかし基線長

75km

という値は現実的ではない。そこで干渉計の両腕にそれぞれ二枚の鏡を配置し光に

その間往復させることで基線長を稼ぐ方法がとられている。その方法としては往復の光路を重ねずに折り

Delay-Line

Fabry-Perot

図

2.2: Delay-Line

方式と

Fabry-Perot

方式

返す

Delay-Line

方式と多重干渉を利用した

Fabry-Perot

方式がある。

(

図

2.2)

本論文では

Fabry-Perot

タ

イプの干渉計

(Fabry-Perot-Michelson

干渉計

)

について議論していく。

2.3 Fabry-Perot Cavity

の特性

Front Mirror

_{End Mirror}

r

₁

-

r

₁

-

r

₂

r

₂

t

₂

t

₁

t

₁

E

i

E

r

E

t

l

図

2.3: Fabry-PerotCavity 2.3.1

多重反射

図

2.3

のように振幅反射率

r 1 ;r 2

、振幅透過率が

t 1 ;t 2

の二枚の鏡が距離

l

だけ離れて向かいあっている

Fabry-PerotCavity

を考える。これに角周波数

! 0

の単色波が入射したとする。つまり入射光を

E i (t)=E i e j!0t

とする。この時の反射光、透過光の振幅を

E r ;E t

とすると

E r = E i r 1 + 1 X n=0 E i (0r 2 )t 2 1 e 02j (r 1 r 2 e 02j ) n = r 1 0r 2 (10p 2 1 )e 02j 10r 1 r 2 e 02j E i (2.10) E t = 1 X n=0 E i t 1 t 2 e 0j (r 1 r 2 e 02j ) n = t 1 t 2 e 0j  10r 1 r 2 e 02j  E i (2.11)

である。ここで

p 1

はフロントミラーでの損失で

r 2 1 +t 2 1 +p 2 1 =1

である。また



はキャビティ長

l

だけ進む

間に生じる位相差で

= !l c

である。これを振幅

E i ;E r ;E t

に対する強度を

I i ;I r ;I t

と表すと上式より

I r I i =     E r E i     2 = (r 1 0r 2 (10p 2 1 )) 2 +4r 1 r 2 (10p 2 1 )sin 2  (10r 1 r 2 ) 2 +4r 1 r 2 sin 2  (2.12)

I t I i = t 1 t 2 (10r 1 r 2 ) 2 +4r 1 r 2 sin 2  (2.13)

と書ける。このとき

I t =I i

を

I t I i =  t 1 t 2 10r 1 r 2  2 1 1+Fsin 2  (2:14)

と表す。この時

F

はフィネス

F

と呼ばれる値を用いて

F = 4r 1 r 2 (10r 1 r 2 ) 2   2F   2 (2:15)

と表される量である。

I t =I i

の表式から、鏡の反射率が

1

に近い時これは共振条件

=!l =c=n

で鋭いピー

クを持つ周期関数であることが分かる。その基本周期

 FSR = ! FSR 2 = c 2l (2:16)

はフリースペクトラルレンジ

(

縦モード 間隔

)

と呼ばれる。先ほどのフィネスは、このフリースペクトラル

レンジとピークの半値全幅の比として定義される。

ここまでは軸対称な強度分布をもつ、キャビティの基本モード

(

次章参照

)

についての議論だったが、キャ

ビティは他にも多くのモード を持ち、それらは

Hermite-GaussianMo des

で記述されるのが普通である

[5]

。

その共振周波数は

 n;lm = c 2l fn+(l+m+1) g

で表され、ここで

は球面鏡の曲率半径

R

、キャビティ長

d

を用いて

= 1  cos 01 r 10 d R (2:17) 4

で表される。次数

n

によって特徴づけられる縦モード に加え、次数

l;m

によって特徴づけられる高次モー

ド が存在する。その間隔

c 2l (2:18)

を横モード 間隔と呼ぶ。

2.3.2 Fabry-Perot Cavity

の応答関数

ここではまず

FPCavity

の重力波に対する応答を考える。そこから入力に対する

FPCavity

の応答関数

H FP (!)

の表式を得、その周波数特性について考察する。

FrontMirror

の反射率 、透過率が

r 1 ;t 1

、

EndMirror

が

r 2 ;t 2

キャビティ長が

l

である

FPCavity

を考

える。入射光を

e j!0t

とすると反射光の振幅

E r

は

E r = r 1 e j ! 0 t +t 2 1 (0r 2 )e j ! 0 t 1 +t 2 1 (0r 2 ) 2 (0r 1 )e j! 0 t 1 +1111 = r 1 e j !0t + t 2 1 0r 1 1 X n=1 (r 1 r 2 ) n e j !0tn (2.19)

と表せる。ここで

t n

は式

2.7

を用いて

t n =t0 2nl c 0 1 2 Z t t0 2n c l h(t 0 )dt 0 4

これは平面鏡と球面鏡からなる

FPCavity

の式である。

と表される。ここで重力波の効果は小さいとすると

e j!0tn

は

e j!0tn 'e j!0(t0 2n c l) 10 j! 0 2 Z t t0 2n c l h(t 0 )dt 0 !

と近似できる。これを用いると

E r

は

'r 1 e j !0t 0 t 2 1 r 1 e j!0t 1 X n=1 (r 1 r 2 ) n e 0j !0 2nl c + t 2 1 r 1 e j !0t 1 X n=1 (r 1 r 2 ) n e 0j!0 2nl c j! 0 2 Z t t0 2n c l h(t 0 )dt 0 (2:20)

となる。ここで

h(t)

の

Fourier

変換

h(t)= Z 1 01 h(! )e j! t d!

と

3(! 0 ) = t 2 1 r 1 1 X n=1 (r 1 r 2 ) n e 0j! 0 2nl c = t 2 1 r 2 e 0j ! 0 2l c 10r 1 r 2 e 0j! 0 2l c

を用いれば、

E r =e j ! 0 t  r 1 03(! 0 )+ j! 0 2 Z 1 01 d! h(! ) j! e j ! t f3(! 0 )03(! 0 +! )g 

と表せる。 ここで共振条件

e 0j! 0 2l c =1

を課すと

3(! 0 )03(! 0 +! ) = t 2 1 r 2 10r 1 r 2 0 t 2 1 r 2 e 0j ! 2l c 10r 1 r 2 e 0j! 2l c = t 2 1 r 2 (10r 1 r 2 )(10r 1 r 2 e 0j! 2l c ) e 0j ! l c 2sin  ! l c 

となるから結局、

E r = e j!0t " r 1 0r 2 (r 2 1 +t 2 1 ) 10r 1 r 2 +j Z 1 01 d! ! 0 2! h(!)e 0j! t t 2 1 r 2 (10r 1 r 2 )(10r 1 r 2 e 0j! 2l c ) e 0j !l c 2sin  ! l c  # = e j!0t r 1 0r 2 (r 2 1 +t 2 1 ) 10r 1 r 2  1+j t 2 1 r 2 r 1 0r 2 (r 2 1 +t 2 1 ) Z 1 01 d!h(! )e j! t ! 0 ! 1 10r 1 r 2 e 0j 2!l c sin  !l c  = e j!0t r 1 0r 2 (r 2 1 +t 2 1 ) 10r 1 r 2 [10j18 GR ] (2.21)

となる。ここで

18 GR

は

18 GR = Z 1 01 h(! )e j ! t H FP (! )d!

であり、

H FP (!)

は

FPCavity

の応答関数と呼ばれ

H FP (!) = t 2 1 r 2 (t 2 1 +r 2 1 )r 2 0r 1 ! 0 ! e 0j !l c sin  !l c  1 10r 1 r 2 e 0j 2! l c   ! 0 ! e 0j ! l c sin  !l c  1 10r 1 r 2 e 0j 2! l c (2.22)

特に

! l =c1

の時は

jH FP (! )j'  2 p r 1 r 2 ! 0 !  s ! p 1+ 2 s ! 2 (2:23)

と近似できる。ここで

 s

はストレージタイムと呼ばれる量で

 s  2l F  c

である。式

2.23

の形から

H FP

(! )

は

LowPassFilter

の形をしていることが分かり、そのカットオフ周波

数は

f cut0o = 1 2  s (2:24)

であることが分かる。

アラインメント に対する要求

重力波は非常に微弱であり、検出器は高感度、高性能のものが要求される。本論文で検討する

FP

干渉

計型の検出器では地面振動、振り子の熱雑音、光検出に伴う散射雑音、光源の周波数雑音や強度雑音など

雑音源は多岐にわたっており、感度を制限している理由、あるいは今後大型化するさいに問題と思われる

点も様々である。これらの一つ一つを干渉計の目標感度に至るまで取り除く研究が進められている。ここ

では干渉計を構成する鏡が傾くこと

(

ミスアラインメント

:

図

3.1)

が その干渉計の性能を劣化させる影響に

Beam axis

Well aligned

Misaligned

図

3.1:

アラインメントが合っている場合とミスアラインメントが生じている場合

ついて考える。

この章では日本の

TAMA

計画において目標とされる性能を維持する為にアラインメントに対し、どの

程度の要求があるのかを考察する。まず

Hermite-GaussianMo des

により記述されるレーザー光

[5]

が微

ラインメントが反射光にどう影響するかを考える。

[6]

その結果を用いてアラインメントに対する要求を試

算する訳であるが、現在、主にミスアラインメントが以下の三点に大きく影響すると考えられている。



干渉計のコントラスト

 RecyclingFactor 

同相雑音除去比

(CMRR)

これらの値が期待される性能を保つうえで、許容されるミスアラインメントの程度を見積もる訳である。

ここでは干渉計のコントラストと

RecyclingFactor

について考察を試みた。

1 3.1 Hermite-Gaussian Modes

自由空間を伝搬するレーザー光はその特徴において平面波に類似しているが、その断面の強度分布などは

一様ではない。それを表式化することを考える。その電場は

k

を波数

(=2=)

とするスカラー場

u(t;x;y;z)

に対する波動方程式

r 2 u+k 2 u=0

を満たすと考えられる。この

z

方向に進む波を

u=exp(j! 0 t) (x;y;z)exp(0jk z)

と表記する。ここで

はレーザー光の平面波からのずれを表す係数である。今 、

z

方向についての変化は

ゆっくりであると仮定して

@ 2 =@z 2

の項を省略する

(

近軸近似

)

と上の波動方程式は

 @ 2 @x 2 + @ 2 @y 2  02jk @ @z  =0 (3:1)

と書くことが出来る。この解として

xy

平面内の強度分布が

Gauss

分布になっているものを仮定する。

2

つ

まり、

=exp  0j  P(z )+ k 2q(z) (x 2 +y 2 ) 

とする。これを先ほどの近軸近似の波動方程式に代入すると

d dz P =0 j q d dz q=1

という式を得る。

q

についての積分から

z

だけ離れた

2

点間の

q

についての変数に関して

q 1 =q 2 +z

の関

係があることが分かる。ここで複素数の変数

q

の代わりに次のような実変数

R;w

を導入する。

1 q = 1 R 0j  w 2

これを先ほどの

の式に代入すると

=exp  0j  P(z )+ k 2R (z ) (x 2 +y 2 )  0 x 2 +y 2 w 2  1 CMRR

についての議論は文献

[8]

を参照。

2

このように仮定したモード を基本

Gaussian

モード という

となる。

R

は光軸付近での等位相面の曲率半径、

w

は振幅が

z

軸上の

1=e 2

になる動径方向の距離を示すこ

とになる。さて

z=0

上での

q

を

q 0

とすると、

z

だけ離れた点での

q

は

q=q 0 +z

と書ける。この時

q 0

が純虚数とすれば

z=0

面内では



の位相は

x;y

に依らず一定になる。つまりこの時

等位相面は

R=1

の平面となっている。この点ではビーム半径が最小になるのでビームウエストと呼ば

れる。ウエストでのビーム半径を

w 0

とすると

q 0

は

q 0 =j w 2 0 

となり、これと前述の

q;R;w

の関係式を用いると

w(z );R (z )

も表式化でき

w 2 (z)=w 2 0 " 1+  z w 2 0  2 # R (z )=z " 1+  w 2 0 z  2 #

ここで

z w 2 0 =

の領域では

w (z)' z  w 0

となり、ここで

 0

を

 0   w 0

とすると、これは遠方でのビームの広がり角を表すことが分かる。つぎに

P

についての微分方程式から

d dz P=0 j q =0 j z+j  w 2 0 

これを積分すると

P(z)=0jln s 1+  z  w 2 0  2 0arctan  z w 2 0 

となる。ここで

 (z)

を

(z)arctan  z  w 2 0 

と定義し

GuoyPhase

と呼ぶ。これは

GaussianBeam

と単なる平面波との位相差を表している。また

P(z)

の虚数項は

exp 0 @ 0ln s 1+  z w 2 0  2 1 A = w 0 w (z)

となり、ビーム径の広がりに伴う軸上でのビーム強度の減少を表している。ここまでは近軸近似の波動方

程式を満たす解の一つ

(

基本モード

)

についての議論だが、もっと一般的に

の形を

=g  x w  h  y w  exp  0j  P(z)+ k 2q(z ) (x 2 +y 2 ) 

と仮定し直交座標系での他のモード

(

高次モード

)

を求めることができる。この式を波動方程式に代入する

と

g1h

は

Hermite

多項式

H m 3

によって記述されることがわかり

g1h=H m  p 2 x w  H l  p 2 y w  3 Hermite

多項式は次数の低いものは例えば

H0(x)=1

となる。ただこの時

GuoyPhase

の項は

(l+m+1) (z)

となり、異なるモード 間に位相差が生じていることを示している。

まとめると自由空間を伝搬するレーザー光は次のような

Hermite-GaussianModes

の解をもつ光線として

扱うことが出来、規格化した表式は次のように得られる。

U l m (x;y ;z)U l (x;z)U m (y;z)expjf0k z+(l+m+1)(z )g (3:2)

ここで

U l (x;z )  2 w (z) 2  1 4  1 l !2 l  1 2 H l p 2x w (z) ! exp " 0  x w (z )  2 0j k 2R(z) x 2 # (3:3)

であり、また各記号は

w (z)=w 0 s 1+  z z 0  2 :

ビーム半径

(3:4) R(z)= z 2 +z 2 0 z :

波面の曲率半径

(3:5) z 0 = k w 2 0 2 :  k= 2   (3:6)  (z)=arctan z z 0 :GuoyPhase (3:7)  0 = 2 kw 0 :

ビームの広がり角

(3:8) H l :Hermite

多項式

とする。また

Z

軸上を順行する光を

U lm!

とすると、逆行する光

U lm

は

U lm (x;y;z) = U lm! (x;y;0z ) = U l (x;0z)U m (y ;0z)expjf0k (0z)+(l+m+1)(0z)g (3.9)

となり、定義より

U l (x;0z )=U 3 l (x;z)

であることから、結局

U lm (x;y ;z)=U 3 lm! (x;y ;z) (3:10)

となることが分かる。

以上でレーザー光のモードが

Hermite-GaussianMo de

で記述されることが分かった。一方、

Fabry-Perot Cavity

の固有モード もこの

Hermite-GaussianMo de

で記述され、両者が一致するように光学系が設計さ

れる。ウエストの大きさと位置が同じになるようにすれば

2

つのモード は一致するのだが、その時問題と

なるのがウエストの位置、大きさのずれ

(

ミスマッチング

)

と光軸とキャビティの固有モード 軸のずれ

(

ミ

スアラインメント

)

である。本論文ではミスアラインメントを問題としてその影響を考察し、マッチングに

ついては合っているものと仮定する。

H1(x)=2x H2(x)=4x 2 02 H 3 (x)=8x 3 012x

であり、直交関係

Z 1 01 e 0x 2 H l (x)Hm(x)dx=2 n n! p  lm

を満たす。

3.2 Hermite-Gaussian Modes

の平行移動、回転

3.2.1 x

軸方向の平行移動

Y

Y'

X,X'

Z

Z'

図

3.2: x

軸方向の平行移動

00

モード の光線が図

3.2

のように微小量

 x

だけ平行移動した場合にその

2

次まででどのように展開さ

れるかをみる。まず

00

モード について

U 00 (x;y;z)=U 00 (x 0 0x;y 0 ;z 0 )

とする。ここで

z 0 =0

のところについて考えると

U 00 (x;y;z)j z 0 =0 = U 00 (x 0 0x;y 0 ;z 0 )j z 0 =0 = U 0 (x 0 0x;0)U 0 (y 0 ;0)

と書くことができる。この時、

U 0 (x;z)=  2  w (z) 2 1 4 exp " 0  x w (z)  2 0j k 2R (z ) x 2 # (3:11)

であるから

U 0 (x 0 0 x;0) =  2 w 2 0  1 4 exp " 0  x 0 0x w 0  2 # =  2 w 2 0  1 4 exp " 0  x 0 w 0  2 #" 1+2  x 0 w 0   x w 0  + ( 01+2  x 0 w 0  2 )  x w 0  2 +O (x 3 ) # ' ( 10 1 2  x w 0  2 ) U 0 (x 0 ;0)+  x w 0  U 1 (x 0 ;0)+ p 2 2  x w 0  2 U 2 (x 0 ;0) (3.12)

従って

U 00 (x;y;z)j z 0 =0 ' ( 10 1 2   x w 0  2 ) U 00 (x 0 ;y 0 ;0)+  x w 0  U 10 (x 0 ;y 0 ;0)+ p 2 2  x w 0  2 U 20 (x 0 ;y 0 ;0) (3:13)

となる。同様に計算すると

10

モード は

U 10 (x;y;z )j z 0 =0 = ( 10 3 2  x w 0  2 ) U 10 (x 0 ;y 0 ;0)0   x w 0  U 00 (x 0 ;y 0 ;0) + p 2   x w 0  U 20 (x 0 ;y 0 ;0)+ p 6 2  x w 0  2 U 30 (x 0 ;y 0 ;0) (3.14)

となる。

3.2.2 z

軸方向の平行移動

次に

00

モード の光線が図

3.3

のように微小量

z

だけ平行移動した場合に先程と同様にその

2

次までで

どのように展開されるかをみる。つまり、

U 00 (x;y ;z)=U 00 (x 0 ;y 0 ;z 0 0 z) (3:15)

である。ここで右辺は

z 0 =0

のところで考えると

U 00 (x 0 ;y 0 ;0z )

＝

U 0 (x 0 ;0z)U 0 (y 0 ;0z )expjfk z+ (0z)g (3:16)

これから

U 00 (x;y;z)j z 0 =0 = U 00 (x 0 ;y 0 ;0)+j   z w 0  (  2  0 0  0 2  U 00 (x 0 ;y 0 ;0)+ p 2 4  0 (U 02 (x 0 ;y 0 ;0)+U 20 (x 0 ;y 0 ;0)) ) +  z w 0  2 (  0 2  2 0 0  2 0 4 +1  U 00 (x 0 ;y 0 ;0)+ p 2 4  2 0 0 p 2 2 ! fU 02 (x 0 ;y 0 ;0)+U 20 (x 0 ;y 0 ;0)g 0  2 0 8 U 22 (x 0 ;y 0 ;0)0 p 6 16  2 0 fU 40 (x 0 ;y 0 ;0)+U 04 (x 0 ;y 0 ;0)g ) (3.17)

Y

Y'

X'

Z,Z'

X

図

3.3: z

軸方向の平行移動

10

モード についても同じように計算できて

U 10 (x;y;z)j z 0 =0 = U 10 (x 0 ;y 0 ;0)+j   z w 0  (  0 0 + 2  0  U 10 (x 0 ;y 0 ;0)+ p 6 4  0 U 30 (x 0 ;y 0 ;0)+ p 2 4 U 12 (x 0 ;y 0 ;0)) ) +  z w 0  2 (  0 2  2 0 0 3 2 0 4  U 10 (x 0 ;y 0 ;0)+ 3 p 6 8  2 0 0 p 6 2 ! U 30 (x 0 ;y 0 ;0) + p 30 16  2 0 U 50 (x 0 ;y 0 ;0)+ 3 p 2 8  2 0 0 p 2 2 ! U 12 (x 0 ;y 0 ;0)0 p 6 16  2 0 U 14 (x 0 ;y 0 ;0) 0 p 3 8 U 32 (x 0 ;y 0 ;0) ) (3.18)

となる。

3.2.3

回転

X

X'

Z

Z'

α

図

3.4:

回転

最後に

x,z

座標が



だけ回転した場合について考える。

(

図

3.4)

この時

x,z

座標と

x',z'

座標との関係は

x z ! = cos(0) 0sin(0) sin(0 ) cos(0) ! x 0 z 0 !

従って、

U 00 (x;y;z )j z 0 =0 =U 0 (x 0 cos;0x 0 sin)U 0 (y 0 ;0x 0 sin)expjfk x 0 sin+(0x 0 sin)g (3:19)

となり、これを展開して



の

2

乗の項までをとる。

U 00 (x;y;z)j z 0 =0 = U 00 (x 0 ;y 0 ;0)+j 1  0 U 10 (x 0 ;y 0 ;0)+ p 6 8  0 U 30 (x 0 ;y 0 ;0)+ p 2 8  0 U 12 (x 0 ;y 0 ;0) ! + 2 (  1 4 0 1 2 2 0 +  2 0 16  U 00 (x 0 ;y 0 ;0)+  2 0 p 2 32 0 p 2 8 ! U 02 (x 0 ;y 0 ;0)0  2 0 p 6 64 U 04 (x 0 ;y 0 ;0) 0 p 2 8 + p 2 2 2 0 0 5 p 2 2 32 ! U 20 (x 0 ;y 0 ;0)0  1 4 +  2 0 32  U 22 (x 0 ;y 0 ;0)0 p 3 32  2 0 U 24 (x 0 ;y 0 ;0) 0 p 6 4 + p 6 64  2 0 ! U 40 (x 0 ;y 0 ;0)0 p 3 16  2 0 U 42 (x 0 ;y 0 ;0)0 3 p 5 32  2 0 U 60 (x 0 ;y 0 ;0) ) (3.20)

10

モード についても同様にして計算すると

U 10 (x;y;z)j z 0 =0 = U 10 (x 0 ;y 0 ;0)+j (  1  0 0  0 2  U 00 (x 0 ;y 0 ;0)+ p 2  0 0 p 2 8  0 ! U 20 (x 0 ;y 0 ;0) +  0 4 U 22 (x 0 ;y 0 ;0)+ p 2 8  0 U 02 (x 0 ;y 0 ;0)+ p 6 4  0 U 40 (x 0 ;y 0 ;0) ) + 2 (  10 3 2 2 0  U 10 (x 0 ;y 0 ;0)+ 3 p 2 16  2 0 0 3 p 2 8 ! U 12 (x 0 ;y 0 ;0)0 3 p 6 64  2 0 U 14 (x 0 ;y 0 ;0) 0 p 6 8 + p 6 2 2 0 0 5 p 6 16  2 0 ! U 30 (x 0 ;y 0 ;0)0 p 3 4 + p 3 32  2 0 ! U 32 (x 0 ;y 0 ;0)0 3 32  2 0 U 34 (x 0 ;y 0 ;0) 0 p 30 4 0 p 30 64  2 0 ! U 50 (x 0 ;y 0 ;0)0 p 15 16  2 0 U 52 (x 0 ;y 0 ;0)0 3 p 35 32  2 0 U 70 (x 0 ;y 0 ;0) ) (3.21)

となる。

3.2.4

近似

以上のように得られた展開式をつぎのような方針に従って近似する。

1. (

微小量の

2

次

)2(l+m2

の高次モード

)

は無視する。

2. z

軸方向の平行移動

 z

は今後の議論では微小量

(

鏡の傾き

)

の

2

次の量でしか出てこない。そこで

z

軸方向の平行移動については

z

の一次までの展開でよい。

3.

実際の

TAMA

計画のスペックで考えてみると

(

スペックは後述

) w 2 0 =   p d(R0d)=7:185210 05 [m 2 ] w 0 =8:476210 03 [m]  0 = 2 k w 0 =   w 0 =3:996210 05 [rad]

である。つまり

w 0 1; 0 1

であるので 、微小量の一次の項では係数が

1= 0

の項 、二次の項で

は係数が

1= 2 0

の項の寄与のみを考えればよい。

4.

上で得た

 0

の値を用いると回転の場合について

 0 =3:996210 05  1rad    0  2 =6:263210 8   1rad  2

から、

10 014 [rad]

ならば

 0 

の項は

(= 0 ) 2

の項に比べて無視できる。結論から先に述べてし

まうことになるが、今後現実的に議論していくのは

=10 07 rad

程度の話であり、この項は無視する

ことができる。

4 5.

今後の議論で

10

モード は

00

モード の光線に対するミスアライン メントの効果としてしか出てこな

いので、せいぜい微小量の一次の項としてしか出てこない。従って、

10

モード の展開によって出て

きた

l+m2

の高次モード は無視して良い。

4

無論前節までの議論が成り立つために

=01

でなければならない

以上のことをふまえて近似すると次のようになる。

x

軸方向の平行移動

U 00 (x;y;z)j z 0 =0 = ( 10 1 2  x w 0  2 ) U 00 (x 0 ;y 0 ;0)+  x w 0  U 10 (x 0 ;y 0 ;0) (3:22) U 10 (x;y;z)j z 0 =0 = ( 10 3 2  x w 0  2 ) U 10 (x 0 ;y 0 ;0)0  x w 0  U 00 (x 0 ;y 0 ;0) (3:23) z

軸方向の平行移動

U 00 (x;y ;z)j z 0 =0 =  1+j 2  0  z w 0  U 00 (x 0 ;y 0 ;0) (3:24) U 10 (x;y ;z)j z 0 =0 =  1+j 2  0  z w 0  U 10 (x 0 ;y 0 ;0) (3:25) 

回転

U 00 (x;y;z)j z 0 =0 = ( 10 1 2    0  2 ) U 00 (x 0 ;y 0 ;0)+j    0  U 10 (x 0 ;y 0 ;0) (3:26) U 10 (x;y;z)j z 0 =0 = ( 10 3 2    0  2 ) U 10 (x 0 ;y 0 ;0)+j    0  U 00 (x 0 ;y 0 ;0) (3:27)

以上は

z'

軸上を順行する光についての展開だが、逆行する光に対しては

U lm =U 3 lm!

である

U 0 lm!

について展開してやればよい。従って

x

軸方向の平行移動についての展開に関しては全く同

じであるが

z

軸方向の平行移動及び回転についての展開に関しては上に示した式の複素共役をとる形にな

る。つまり、

z

軸方向の平行移動

U 00 (x;y;z)j z 0 =0 = U 3 00! (x;y;z )j z 0 =0 =  1+j 2  0   z w 0  U 00 (x 0 ;y 0 ;0)  3 =  10j 2  0   z w 0  U 00 (x 0 ;y 0 ;0) (3.28) 10

モード についても同様に計算できて

U 10 (x;y;z)j z 0 =0 =  10j 2  0   z w 0  U 10 (x 0 ;y 0 ;0) (3:29)

回転についても



回転

U 00 (x;y ;z)j z 0 =0 = ( 10 1 2    0  2 ) U 00 (x 0 ;y 0 ;0)0j    0  U 10 (x 0 ;y 0 ;0) (3:30) U 10 (x;y ;z)j z 0 =0 = ( 10 3 2    0  2 ) U 10 (x 0 ;y 0 ;0)0j    0  U 00 (x 0 ;y 0 ;0) (3:31)

3.3

光学素子のミスアラインメント

ここでは光学素子が入射光線の軸に対して傾いている時に、

00

モードの入射光がどのように散乱される

かをみる。鏡からの反射光軸は入射光軸に対しずれるために反射光は入射光軸のモードについて高次のモー

ド とのカップ リングを持つ。その影響について考察する。

3.3.1

鏡のミスアラインメント

図

3.5

のように

z

軸上に角度



だけ傾いた鏡がある状況を考える。入射光のモードと鏡のマッチング

(

モー

ド マッチングの節参照

)

はあっているものとする。この鏡に

U lm! (x;y;z )

の光が反射して

z'

軸上を進行す

る

U lm (x 0 ;y 0 ;z 0 )

となる。この時鏡の所での入射光は

U lm! (x;y;l 0 )=U l (x;l 0 )U m (y;l 0 )expjf0k l 0 +(l+m+1)(l 0 )g (3:32)

となり、従って

z'

軸上を進む反射光は

U l m (x 0 ;y;z 0 )expjf02k l 0 +2(l+m+1) (l 0 )g (3:33)

で表されている。ここで

(x;y;z )!(x 0 ;y;z 0 )

の座標変換は

 02

の回転

 x

方向に

l 0 sin22l 0 

の平行移動

 z

方向に

l 0 (10cos2)2l 0  2

の平行移動

によって実現される。よって前節の結果を用いて

U 00 (x 0 ;y;z 0 )

を

U lm (x;y;z)

で展開すると次のように

なる。

U 00 (x 0 ;y ;z 0 )=U 00 ( 10 1 2  2l 0  w 0  2 0 1 2  2  0  2 ) +U 10  2l 0  w 0 0j 2  0 

従ってこの鏡に

U 00!

が入射したとすると、その反射光は鏡の反射率を

r

として

r " U 00 ( 10 1 2  2l 0  w 0  2 0 1 2  2  0  2 ) +U 10  2l 0  w 0 0j 2  0  # expjf02k l 0 +2(l 0 )g (3:34)

と書くことができる。同様に

U 10!

の反射光は

r " U 10 ( 10 3 2  2l 0  w 0  2 0 3 2  2  0  2 02j  2l 0  2 w 0  2  0 ) +U 00  0 2l 0  w 0 0j 2  0  # expjf02kl 0 +4 (l 0 )g (3:35)

となる。従って

aU 00! +bU 10!

の入射光に対し反射光が

cU 00 +dU 10

となるとして

c d ! =R ! a b !

となるような、反射係数行列

R !

を求めると

R ! = r 0 B B @ 10  1 2  2l 0 w 0  2 + 1 2  2  0  2   2 0 2l 0  w 0 0j 2  0 2l 0  w 0 0j 2  0 10  3 2  2l 0 w 0  2 + 3 2  2  0  2 +2j  2l 0 w 0  2  0   2 1 C C A 2 exp(2j(l 0 )) 0 0 exp(4j(l 0 )) ! exp(02jk l 0 ) (3.36)

となる。また逆向きに入射する光に対しては

R

は

R =0R 3 !

と表される。

3.3.2 Fabry-Perot Cavity

のミスアラインメント

次に二枚の鏡からなる

Fabry-PerotCavity(

以下

FPCavity)

の固有モード 軸が光軸に対してミスアライ

ンメントした場合について考える。平面鏡と球面鏡からなる

FPCavity

について今後考察していく訳であ

るが、このキャビティは光軸に垂直な平面上でのモード パターンを持つ。これは

GaussianBeam

で表され

るのが普通である。このキャビティのモードと入射光のモードが一致するように光学系は設計される

(

モー

ド マッチンングの節参照

)

通常

FPCavity

は入射光の基本モード とキャビティの基本モード が一致するよ

うな点に制御して使用する

(Pound-Drever

法の節参照

)

が、固有モード が入射光軸に対しミスアラインメ

ントを起こすと入射光はキャビティの高次モード と結合する。そのことがキャビティからの反射光にどの

ように影響するかについて考察する。

 FP

の固有モード 軸が光軸から平行移動した場合

図

3.6

のように

FPCavity

の固有モード軸

(z')

が光軸

(z)

から平行移動したところにある時は

U l m (x;y;z)= U l m (x+a;y ;z 0 )

である。従って

a

が微小な場合これを

Cavity

の固有モード で展開することができる。ま

ず

00

モード の入射を考えると

U 00! = ( 10 1 2  a w 0  2 ) U 0 00! 0 a w 0 U 0 10!

となる。次にこの

FPCavity

の

00

モードに対する反射率を

r c0 ,10

モード に対する反射率を

r c1

とすると反

射光は

U 0 00! ;U 0 10!

にたいしてぞれぞれ

r c0 U 0 00 ;r c1 U 0 10

となることと

U 0 00 ;U 0 10

は

(x,y,z)

系から見て

U 0 00 = ( 10 1 2  a w 0  2 ) U 00 + a w 0 U 10 U 0 10 = ( 10 3 2  a w 0  2 ) U 10 0 a w 0 U 00

であることとから、結局

U 00!

を入射した時の反射光は

a

の二次までで

r c0 ( 10 1 2  a w 0  2 ) U 0 00 0r c1 a w 0 U 0 10 = r c0 ( 10 1 2  a w 0  2 )"( 10 1 2  a w 0  2 ) U 00 + a w 0 U 10 # 0 r c1 a w 0 "( 10 3 2  a w 0  2 ) U 10 0 a w 0 U 00 # (3.37) ' ( r c0 +  a w 0  2 (0r c0 +r c1 ) ) U 00 +  a w 0  (r c0 0r c1 )U 10 (3.38)

となる。同様に

10

モード の入射に対しても反射光は

( r c1 +  a w 0  2 (r c0 03r c1 ) ) U 10 +  a w 0  (r c0 0r c1 )U 00 (3:39)

と書くことが出来る。

 FP

の固有モード 軸が光軸から回転した場合

次に図

3.7

のように

FPCavity

の固有モード 軸

(z')

が光軸

(z)

から



だけ回転しているような場合を考え

る。

U 00!

の入射に対して反射光は

r c0 ( 10 1 2    0  2 ) U 0 00 +jr c1    0  U 0 10 ' ( r c0 0    0  2 (r c1 +r c0 ) ) U 00 +j    0  (r c1 +r c0 )U 10 (3.40)

また同様に

U 10!

の反射は

r c1 ( 10 3 2    0  2 ) U 0 10 +jr c0    0  U 0 00 ' ( r c1 0    0  2 (r c0 +3r c1 ) ) U 10 +j    0  (r c0 +r c1 )U 00 (3.41)

となる。



ミスアラインメントした

FPCavity

の反射係数行列

以上の計算をふまえてミスアラインメントした

FPCavity

の反射係数行列を次のように書くことができる。

R c (a;) = 0 B B B B B @ r c0 0(r c0 0r c1 )  a w0  2 0(r c0 +r c1 )   0  2 (r c0 0r c1 )  a w0  +j(r c0 +r c1 )   0  02j(r c0 +r c1 ) a w 0   0 (r c0 0r c1 )  a w 0  +j(r c0 +r c1 )    0  r c1 0(0r c0 +3r c1 )  a w 0  2 0(r c0 +3r c1 )    0  2 +2j(r c0 +r c1 ) a w0  0 1 C C C C C A (3.42) 3.3.3 Fabry-Perot-Michelson

について

次に

Fabry-Perot-Michelson

干渉計

(

以下

FPM

、図

3.8)

について考える。入射光は

BeamSplitter(

以下

BS)

によって分けられて両腕の

FPCavity

に入射する。そして

FPCavity

からの反射光が

BS

で重なり、図

3.8

の

T FPM ;R FPM

と書かれているポートにそれぞれ光が向かうことになる。重力波検出器では

FPM

の透

過側のポート

(T FPM

のポート

)

が重力波の信号の取得のポートになっていて、散射雑音

(RecyclingFactor

の節参照

)

の影響を減らす意味で光が返らない状態

(

ダークフリンジ

)

になっている。このことと前節でも

とめた

FPCavity

の反射係数行列の表式から、先ほどの

FP

のミスアラインメントに対する透過、反射係

数行列

(

図中の

T FPM ;R FPM )

を求めることができる。この時簡単の為に

 2

つの

FP

は等しい。

 BS

から

FrontMirror

までの距離は等しい。

 BS

の分岐比は

1:1

で

BS

のロスはない。

とする。この時

FPM

の透過、反射係数行列は

T FPM (a 1 ; 1 ;a 2 ; 2 ) (3.43) = 1 2 fR c (a 1 ; 1 )0R c (a 2 ; 2 )g

= B B B B @ 0(r c0 0r c1 ) a 2 1 0a 2 2 2w 2 0 0(r c0 +r c1 )  2 1 0 2 2 2 2 0 (r c0 0r c1 ) a10a2 2w 0 +j(r c0 +r c1 ) 102 2 0 0j(r c0 +r c1 ) a110a22 w00 (r c0 0r c1 ) a 1 0a 2 2w0 +j(r c0 +r c1 )  1 0 2 20 (r c0 03r c1 ) a 2 1 0a 2 2 2w 2 0 0(r c0 +3r c1 )  2 1 0 2 2 2 2 0 +j(r c0 +r c1 ) a 1  1 0a 2  2 w00 C C C C A (3.44) R FPM (a 1 ; 1 ;a 2 ; 2 )= 1 2 fR c (a 1 ; 1 )+R c (a 2 ; 2 )g = 0 B B B B @ r c0 0(r c0 0r c1 ) a 2 1 +a 2 2 2w 2 0 +(r c0 +r c1 )  2 1 + 2 2 2 2 0 (r c0 0r c1 ) a1+a2 2w0 +j(r c0 +r c1 ) 1+2 20 0j(r c0 +r c1 ) a11+a22 w00 (r c0 0r c1 ) a 1 +a 2 2w0 +j(r c0 +r c1 )  1 + 2 20 r c1 +(r c0 03r c1 ) a 2 1 +a 2 2 2w 2 0 0(r c0 +3r c1 )  2 1 + 2 2  2 0 +j(r c0 +r c1 ) a 1  1 +a 2  2 w 0  0 1 C C C C A  r c0 0G(a 2 1 ;a 2 2 ; 2 1 ; 2 2 ) g(a 1 ;a 2 ; 1 ; 2 ) g(a 1 ;a 2 ; 1 ; 2 ) r c1 0G 0 (a 2 1 ;a 2 2 ; 2 1 ; 2 2 ) ! (3.45)

となる。

3.4

干渉計のコント ラスト

干渉計への入射波を

E i =E 0 e j (t)

で与えると、

PhotoDetector

のところでの光は

E d =E 1 e j 1 +E 2 e j 2

となり、

Detector

の検出する光強度は

I d /jE d j 2 = E 2 1 +E 2 2 +2E 1 E 2 cos( 1 0 2 ) / I max +I min 2 + (I max 0I min )cos( 1 0 2 ) 2

となる。

I max ;I min

は光強度の最大値、最小値を表す。ここでコントラスト

C

は

C I max 0I min I max +I min (3:46)

で与えられ、干渉の度合いを表す。重なった二つの電場の振幅が全く等しい場合コントラストは

1

になる。

これが振幅に相違があると 、コントラストが低下することになる。コントラストの低下は

I max

に対する

I min

の比が大きくなることを意味する。信号に対する散射雑音の影響を抑えるためにも

I min

は小さくする

必要がある。つまりコントラストを出来るだけ上げることが要求される。今回は左右の腕の

FPCavity

の

鏡の傾きに起因する左右の腕の非対称性から生じるコントラストの低下がどのくらいになるかを試算する。

まず式

3.44

と

3.45

から入射電場

E i =U 00 = 1 0 !

に対して

E max ;E min

を求める。

E max

は反射側のポー

ト

(R FPM

のポート

)

がダークフリンジの時の透過側のポートの電場であり、

E min

は透過側のポートがダー

クフリンジの時の電場であると考えられるから、

E max = R FPM 1 1 0 !

= r c0 0(r c0 0r c1 ) a 2 1 +a 2 2 2w 2 0 +(r c0 +r c1 )  2 1 + 2 2 2 2 0 0j(r c0 +r c1 ) a11+a22 w 0  0 (r c0 0r c1 ) a1+a2 2w0 +j(r c0 +r c1 ) 1+2 20 (3.47) E min = T FPM 1 1 0 ! = 0(r c0 0r c1 ) a 2 1 0a 2 2 2w 2 0 0(r c0 +r c1 )  2 1 0 2 2 2 2 0 0j(r c0 +r c1 ) a110a22 w 0  0 (r c0 0r c1 ) a10a2 2w 0 +j(r c0 +r c1 ) 102 2 0 ! (3.48)

となる。これから、

I max ;I min

を計算することが出来る。

I max = jE max j 2 '     r c0 0(r c0 0r c1 ) a 2 1 +a 2 2 2w 2 0 +(r c0 +r c1 )  2 1 + 2 2 2 2 0     2 +     (r c0 0r c1 ) a 1 +a 2 2w 0 +j(r c0 +r c1 )  1 + 2 2 0     2 (3.49) I min = jE min j 2 '     0(r c0 0r c1 ) a 2 1 0a 2 2 2w 2 0 0(r c0 +r c1 )  2 1 0 2 2 2 2 0     2 +     (r c0 0r c1 ) a 1 0a 2 2w 0 +j(r c0 +r c1 )  1 0 2 2 0     2 (3.50)

ここで

a 1 ;a 2 ; 1 ; 2

の代わりに次の量

a + ;a 0 ; + ; 0

を定義する。

a + = a 1 +a 2 (3.51) a 0 = a 1 0a 2 (3.52)  + =  1 + 2 (3.53)  0 =  1 0 2 (3.54)

ここで図

3.9

の内、

a + ; +

が対称ミスアライン メントを

a 0 ; 0

が反対称ミスアラインメントを表す。式

3.51

∼式

3.54

を用いて式

3.49

、

3.50

を使って書き直し、

a;

について

2

次までとると

I max =     r c0 0(r c0 0r c1 ) a 2 + +a 2 0 4w 2 0 +(r c0 +r c1 )  2 + + 2 0 4 2 0     2 +     (r c0 0r c1 ) a + 2w 0 +j(r c0 +r c1 )  + 2 0     2 ' r 2 c0 0r c0 r c0 0r c1 2 a 2 0 w 2 0 +r c0 r c0 +r c1 2  2 0  2 0 0 r c0 0r c1 2 r c0 +r c1 2   2 +  2 0 + a 2 + w 2 0  (3.55) I min =   O (a 2 + ;a 2 0 ; 2 + ; 2 0 )   2 +     (r c0 0r c1 ) a 0 2w 0 +j(r c0 +r c1 )  0 2 0     2 '  r c0 0r c1 2  2 a 2 0 w 2 0 +  r c0 +r c1 2  2  2 0  2 0 (3.56)

この表式を用いてコントラストを計算することができる。

a;

の

2

次までで

C = I max 0I min I max +I min ' 10 1 2  10 r c1 r c0  2 a 2 0 w 2 0 0 1 2  1+ r c1 r c0  2  2 0  2 0 (3.57)

となり、反対称ミスアラインメントの項のみが残ることが分かる。

3.5 Recycling Factor

重力波検出器の感度を制限する重要な要因として光検出に伴う散射雑音

(shot noise)

がある。これは光

が量子であることに起因するもので、

Photo Detector

に光電流

i d

が流れる時に周波数に依らず雑音密度

i n = p 2ei d [A= p Hz]

となって生じるものである。この式から分かる通り、この雑音は入射光の強度の平方根に比例するもので

ある。一方信号は入射光の強度に比例するものであるから、

shotnoise

の効果を低減するには入射光強度を

上げれば良いことが分かる。高出力な光源の開発も進められているが、光学系上の工夫から実効的に

FPM

干渉計に入射する光の強度を上げる技術が提案されている。それが

Power-Recycling

と呼ばれるものであ

る。

Rycycling

を導入した場合の

FPM

干渉計を図

3.10

に示す。先ほども述べたように重力波検出器では

FPM

の透過側のポートはダークフリンジになっている。つまり

FPM

から反射する光はすべて反射側の

ポートに戻ることになる。そこで光源と

FPM

の間に鏡を置いて、その反射光をまた

FPM

に返すことを考

える。新しく置く鏡を

RecyclingMirror

と呼ぶ。この系では図

3.10

にもあるように

FPM

を一枚の鏡と見

なすことができる。この

2

枚の鏡でキャビティを構成し、内部電場を増加させることで

FPM

に入射するパ

ワーを上げることが出来る。今、

FPM

の

FrontMirror

の位置を

z=0

に取り、

FrontMirror

から

Recycling Mirror

までの距離を

l 0

とする。また 図

3.11

のようにこの光学系の内部、外部電場を定義する。ここで入

射電場

E i =U 00! = 1 0 !

に対して、

RecyclingCavity

内の電場を

E ins

とすると

E ins =tE i +R RM R FPM E ins

となるから、

E ins

は

E ins =(I0R RM R FPM ) 01 tE i

で与えられる。ここで

RM

、

NM

、

EM

の反射率を 図

3.12

のように定義し

(RecyclingMirror

の反射率は外

側で

r>0)

、

RecyclingCavity

は共振

(RecyclingMirror

と

FrontMirror

は反共振つまり

2kl 0 02 (l 0 )= (2n+1) )

とすると

RecyclingMirror

が光軸に対して



傾いた時の

R RM

は鏡のミスアライン メントの計

算結果と同じ形を取り、

R RM = r 0 B B @ 10  1 2  2l 0 w 0  2 + 1 2  2  0  2   2 0  2l 0 w 0 +j 2  0  exp2j(l 0 )  2l 0 w 0 0j 2  0    10  3 2  2l 0 w 0  2 + 3 2  2  0  2 +2j  2l 0 w 0  2  0   2  exp2j (l 0 ) 1 C C A  r 10F( 2 ) f()e 2j  0f 3 () (10F 0 ( 2 ))e 2j  ! (3.58)

となる。これと

R FPM

の計算結果と合わせて

E ins

を計算することができる。もしミスアラインメントがな

ければ

R RM ;R FPM

はそれぞれ

R RM j =0 =r 1 0 0 exp(2j(l 0 )) ! R FPM j a1=a2=1=2=0 = r c0 0 0 r c1 !

であるからミスアラインメントが無い時の

RecyclingCavity

の内部電場

E ins00

は

E ins00 = t (10r r c0 )(10r r c1 e 2j (l 0 ) ) 10r r c1 e 2j  (l 0 ) 0 0 10r r c0 ! 1 1 0 ! = t 10r r c0 0 ! (3.59)

となる。この式から

E ins

の

U 00

成分が

t=(10r r c0 )

倍されていることが分かる。

Recycling FactorG

を実

際の信号に関係する

FPM

の両腕の

FPCavity

の内部電場強度の増加を表す

Factor

として定義する。今は

ミスアラインメントが無い状況を考えているから、

E ins

の

U 00

成分の増加は 、それぞれの腕の

FP Cavity

の内部電場の増加と全く同じ意味である。従って単純に

G

は

G=  t 10r r c0  2 (3:60)

となる。これがミスアラインメントによってどのような影響を受けるかについて次に考察する。

まず

RecyclingCavity

の内部電場

E ins

を考える。式

3.45

、

3.58

を用いて

I0R RM R FPM

は

f;f 3 ;g

が微小

量の

1

次、

F;G

が

2

次の関数であることに注意して、微小量の

2

次まで計算すると、

I0R RM R FPM = 1 0 0 1 ! 0r 10F fe 2j  0f 3 (10F 0 )e 2j ! r c0 0G g g r c1 0G 0 ! ' 10rr c0 +r r c0 F+rG0r fg e 2j 0r g0r r c1 fe 2j  0r ge 2j +r r c0 f 3 10r r c1 e 2j  +r r c1 F 0 e 2j +r G 0 e 2j +r f 3 g !

となる。従って

(I0R RM R FPM ) 01 = 1 jI0R RM R FPM j 10r r c1 e 2j +r r c1 F 0 e 2j +rG 0 e 2j +r f 3 g r g+r r c1 fe 2j r g e 2j 0r r c0 f 3 10r r c0 +r r c0 F+r G0r fg e 2j !

となる。ここで

jI0R RM R FPM j 01

は

2

次までで

1 jI0R RM R FPM j ' 1 (10rr c0 )(10r r c1 e 2j )  10 r 10r r c0 (r c0 F+G)0 r e 2j 10rr c1 e 2j (r c1 F 0 +G 0 ) + 1 (10r r c0 )(10rr c1 e 2j ) (rf 3 g0r fg e 2j  0r 2 g 2 e 2j +r 2 r c0 r c1 ff 3 e 2j ) 

と書ける。ここから入射電場

E i =U 00! = 1 0 !

が入射した時の

E ins

の

U 00

成分は

t jI0R RM R FPM j (10r r c1 e 2j +r r c1 F 0 e 2j +r G 0 e 2j  +rf 3 g) ' t 10r r c0  10 r 10r r c0 (r c0 F+G) + 1 (10r r c0 )(10r r c1 e 2j ) f0r 2 r c0 f 3 g+(r fg+r 2 g 2 0r 2 r c0 r c1 ff 3 )e 2j g  (3.61)

となることがわかる。同様に

U 10

成分は

t jI0R RM R FPM j (r g e 2j 0r r c0 f 3 ) ' tr (10r r c0 )(10r r c1 e 2j  ) (g e 2j  0r c0 f 3 ) (3.62)

となる。これで

E i =U 00!

が入射した時の

RecyclingCavity

の内部電場が入射光軸のモード で表せたこと

になる。

次にキャビティの内部電場について考える。その為にここで求まった

E ins

を

E ins =C 00 U 00! +C 10 U 10!

と表記する。いま

BeamSplitter

は光を

1:1

に分けていると仮定しているから

E ins = p 2

が片腕のキャビティ

に入射することになる。このキャビティは入射光軸に対して固有モード 軸が

 1

傾き

a 1

平行移動していると

すると入射光の

U 00

成分はキャビティの固有モード

U 0 lm

を用いて

' " 10 1 2 (   1  0  2 +  a 1 w 0  2 )# U 0 00! +  0 a 1 w 0 +j  1  0  U 0 10!

と書け、

U 10

成分は、

' " 10 3 2 (   1  0  2 +  a 1 w 0  2 )# U 0 10! +  a 1 w 0 +j  1  0  U 0 00!

と書ける。キャビティの内部電場は

U 0 00

の項のみに依存するから、結局、この内部電場強度は

     C 00 p 2 " 10 1 2 (   1  0  2 +  a 1 w 0  2 )# + C 10 p 2  a 1 w 0 +j  1  0       2 (3:63)

と表せる。式

3.61

、

3.62

、

3.63

から 、この内部電場強度のミスアラインメントによる変化が計算できる。

もう片方のキャビティについても同様に計算することができ、その和がこのミスアライメントした系での

RecyclingFactor

と考えることができる。いま

 0

とみなす

(

実際の

TAMA

計画での値は後述

)

ことに

する。今後強度を計算するので、各係数の虚数部の

2

次の項は無視できる。従って

C 00 ;C 10

の値は前節で

求めた対称ミスアラインメント、反対称ミスアラインメントを表すパラメータ

a + ;a 0 ; + ; 0

を用いて

C 00 ' t 10r r c0 " 10 2r r c0 10r r c0  1+ 2r r c1 10r r c1  (  l 0 w 0  2 +  1  0  2 )  2 0 r (r c0 0r c1 ) 4(10r r c0 )  a 0 w 0  2 0 r(r c0 +r c1 ) 4(10r r c0 )   0  0  2 0 r (r c0 0r c1 ) 4(10r r c1 )  a + w 0  2 0 r (r c0 +r c1 )(1+rr c0 ) 4(10r r c0 )(10r r c1 )   +  0  2 + r (r c0 0r c1 ) 10r r c1  l 0 w 2 0  a + 0 r(r c0 +r c1 )(1+r r c0 ) (10r r c0 )(10r r c1 )  1  0  2  +  # (3.64)

となり、

C 10

は

C 10 ' tr (10rr c0 )(10r r c1 )  r c0 0r c1 2 a + w 0 +j r c0 +r c1 2  +  0 +r c0  2l 0 w 0 0j 2  0    (3.65)

となるから、これらから求める

RecyclingFactorG

の表式は

G '  t 10r r c0  2 " 10 4r r c0 10r r c0  1+ 2r r c1 10rr c1  (  l 0 w 0  2 +  1  0  2 )  2 0 1+r r c0 02r r c1 4(10r r c0 )  a 0 w 0  2 0 1+r r c0 +2r r c1 4(10r r c0 )   0  0  2 0 1 4  a + w 0  2 0  r (r c0 +r c1 ) (10r r c0 )(10r r c1 ) + 1 4   +  0  2 +  2r r c1 10r r c1  l 0 w 2 0  a +  +  4r r c0 +2r r c1 +2r 2 r c0 r c1 (10r r c0 )(10r r c1 )  1  0  2  +  # (3.66)

となる。

3.6 TAMA

計画におけるスペックでの試算

95

年度より日本で

300m

の基線長をもつ

Fabry-Perot-Michelson

干渉計型の重力波検出器の建設計画

(TAMAProject)

が始まっている。この計画における光学設計を図

3.13

に示す。このスペックを用いて前

節、前々節で求めたコントラスト、リサイクリングゲ インの表式に代入し、ミスアラインメントによる両

者の値の振舞いを見る。

TAMAProject

におけるスペックを表

3.1

に示す。

5

表

3.1: TAMAProject

におけるスペック

FrontMirror at

強度反射率

R

f 98.8% loss<50ppm EndMirror

曲率半径

450m

強度反射率

R e 99.99% loss<50ppm RecyclingMirror

曲率半径

9km

強度反射率

R r 93% RM

から

FM

までの距離

l 0 5m

光源

Nd:YAGLaser

波長

1064nm

まず

00

モード に対する

FP Cavity

の反射率

r c0

を計算する。反射率は

Front Mirror

の振幅反射率を

r f (= p R f )

、ロスを

P f

、

EndMirror

の振幅反射率を

r e

とすれば、

r c0 = 0r f +r e (10P f ) 10r f r e

で与えられる。また

r c1

は

r c1 = 0r f +r e (10P f )e 02j  10r f r e e 02j  = cos 01 r 10 d R :d

はキャビティ長

で与えられる。表のパラメータを代入すれば数値として、

r c0 =0:975329 5

現実には

pre-mo dulation

法による干渉計制御の信号取得の要請から

RM

から

FM

までの距離は僅かに変えるのである

[7]

が 、

ここでは計算を簡略にする為に距離を同じ

l0=5m

とした。

c1

を得る。

6

以上からコントラストの表式

3.57

を用いて、入射光軸に対するミスアラインメント

(FP Cavity

の固有

モード 軸の傾き、平行移動、

RecyclingMirror

の傾き

)

の影響を検討することができる。式

3.57

は

C'102:051 a 2 0 w 2 0 03:199210 04  2 0  2 0 (3:67)

となる。

Recycling Factor G

の表式

3.66

については

(l 0 ) 0

の近似を用いている。その具体的な値としては

ビームウエスト

w 0

が

w 2 0 =   p d(R0d)

で与えられ、

w 0 =8:475210 03 [m]

であるから

 (l 0 )

は式

3.7

より

 (l 0 )=arctan  l 0 w 2 0  =2:357210 02 [rad]

となる。まずこの

(l 0 )0

の近似の妥当性を確かめておく。

(l 0 )0

ということは、

RecyclingMirror

と

FrontMirror

からなるキャビティの基本モード の共振の幅が横モード 間隔よりも大きいということを表し

ている。そこでそのことを確かめる。このキャビティの縦モード 間隔は

 FSR = c 2l 0 =3210 7 [Hz]

である。一方フィネスは

F=  p r r r f 10r r r f '74

となる。これからこの共振のピークの半値全幅は

4:0210 5 [Hz]

であることが分かる。横モード 間隔は式

2.18

を用いて

c 2l 0

で表される。ここで

は式

2.17

によって

= 1  cos 01 r 10 d R

によって表されるから

(

この式で

d

はキャビティ長、

R

は球面鏡の曲率半径

)

、結局横モード間隔は

c 2l = 1  cos 01 r 10 5 9000 3210 8 225 =2:3210 5 [Hz]

となる。従って

 (l 0 )0

の近似は必ずしも妥当とは言い難い。そこで表式は式

3.66

ほど簡単ではないが、

e 2j

の項を考慮した表式に数値を代入する。すると、

先ほど得た

w 0

の値から

 0

は式

3.8

より

 0 =  w 0 =3:996210 05 [rad] 6

鏡のロスは

50ppm

とした。

である。これらから

RecyclingFactor

の表式は反射率を代入すると、

G '  t 10rr c0  2 " 101:149 (  l 0 w 0  2 +  1  0  2 )  2 016:27  a 0 w 0  2 04:982210 02   0  0  2 0 0:2502  a + w 0  2 04:619210 02   +  0  2 00:9812  l 0 w 2 0  a + +5:064210 02  1  0 w 0  a +  + 3:508210 03  l 0 w 0  0   + +0:1666  1  0  2  +  # (3.68)

となる。

ここでコントラスト

99%

、

RecyclingFactor

のミスアラインメントによる低下を

10%

以下にするという

条件を課す。全ての鏡の角度揺れは同程度に押え込めるとして、この条件が許容する角度揺れがどれほど

になるかを考える。

FPCavity

の

FrontMirror

の傾き



f

はキャビティの固有モード 軸を

(R0d) f

だけ平

行移動させ、

 f

だけ回転させる。また

EndMirror

の傾き

 e

は固有モード 軸を

R  e

だけ平行移動させる。

(

詳細は次々章「信号の分離」の節参照

)

式

3.67

、

3.68

から対称ミスアラインメントの寄与よりも反対称ミ

スアラインメントの寄与が大きいことは明らかである。そこでいま全ての鏡が



だけ反対称ミスアライン

メントを引き起こすように動いたとする。このとき

a 0 ; 0

の最悪値は

a 0max =22fR +(R0d)g=(4R02d)  0max =2

となる。そこで

a 0max ; 0max

の式にに

R=450[m];d=300[m]

を代入して、それを式

3.67

、

3.68

に代入

し条件を満たす



を求める。するとコントラスト

99%

の条件からは

'4:9210 07 [rad] (3:69)

を得る。また

RecyclingFactor

のミスアラインメントによる低下を

10%

以下にするという条件からは

'5:5210 07 [rad] (3:70)

を得る。これから

TAMA300

においては干渉計を構成する鏡の傾きを

5210 07 [rad]

に抑えなければい

けないことがわかる。

x

x'

0

l

z'

z

0

l

α

2α

図

3.5:

鏡のミスアラインメント

Cavityの固有モード軸

入射光軸

FP Cavity

a

図

3.6: FP

の固有モード 軸が光軸から平行移動した場合

入射光軸

Ｚ

Ｚ’

Cavityの固有モード軸

FP Cavity

α

図

3.7: FP

の固有モード 軸が光軸から回転した場合

BS

FP Cavity

R

T

FPM

FPM

図

3.8: Fabry-Perot-Michelson

干渉計

α

+

α

1

α

2

-α

α

₁

α

2

a

₊

a

₁

a

₂

_a

a

-2

a

₁

図

3.9:

対称ミスアラインメントと反対称ミスアラインメント

BS

FP Cavity

RM

FPM

z

x

l

0

l

0

図

3.10: Rycycling

をかけた

Fabry-Perot-Michelson

干渉計とその等価な光学系

E

i

E

s

E

a

E

1

E

ins

E

2

図

3.11: Rycycling

をかけた

Fabry-Perot-Michelson

干渉計の内部、外部電場の定義

RM

_FM

_EM

図

3.12:

各鏡の反射率の符号の定義

R=15m

R=450m

flat

R=450m

flat

R=9km

Optical

Circulator

Lens

2500

2350

2650

2750

300000

2250

3000

10000

実験の原理

前章よりアラインメントに対する要求が得られた。この要求に対して基本的には防振技術によって抑え

ることが好ましいが、低周波数領域の防振は困難であり、何らかの制御を行う必要がある。ここでは

FP Cavity

を制御する方法について述べる。まずキャビティが共振条件を保つようにキャビティ長、レーザー

の発振周波数を制御する方法

(Pound-Drever

法

)

について述べ、次に本論文の目的であるアラインメント

の制御方法

(WaveFrontSensing)

について述べる。

4.1 Pound-Drever

法

2.3.1

節の

FPCavity

の透過光、反射光の表式から、これらは共振条件付近でのみ鋭いピークを持つこと

がわかる。そのことはこれらが共振条件付近でだけ大きな位相感度を持つということである。つまりキャ

ビティを用いて位相変化を信号として検出するためにはこの共振点付近にキャビティを制御してやらなけ

ればならない。先ほどの透過光、反射光の表式の中では

! ;l

が変数として含まれていたので、この両者のず

れを検出し、制御することでキャビティを共振点に保つことが出来ると考えられる。その制御法としては

一般的に入射光に位相変調光を用いた制御法

(Pound-Drever

法

)

が用いられる

[9]

。

まず角周波数

! 0

の入射光が変調指数

m

、変調周波数

! m

の位相変調をかけられているとする。つまり入射

光の位相が

=! 0 t+msin! m t

で表されるとする。この時入射光の振幅は

E in = E 0 e j! 0 t+jmsin! m t = E 0 e j!0t 1 X n=01 J n (m)e jn!mt (4.1)

となる。ここで

J n (m)

は

Bessel

関数である。いま

m 1

として、

m

の二次以上は無視することにする

と、

n=0;61

の項だけ考えれば良い。従って

E in ' E 0 fJ 0 (m)e j ! 0 t +J 1 (m)(e j(! 0 +! m )t 0e j (! 0 0! m )t )g = E 0 fJ 0 (m)+2jJ 1 (m)sin! m tge j! 0 t (4.2)

となる。この時変調光はもともとのレーザー光の周波数

! 0

の光

(carrier)

に加え

,

変調周波数

! m

だけ上下に

周波数がずれた光

(sideband)

の項を持つことがわかる。この光をキャビティに入射することを考える。こ

の時

carrier

の反射率を

r c0

、

sideband

に対する反射率をそれぞれ

r c0+s ;r c00s

とすると反射光は次のよう

に書ける。

E r =E 0 fr c0 J 0 (m)e j! 0 t +J 1 (m)(r c0+s e j(! 0 +! m )t 0r c00s e j(! 0 0! m )t )g (4:3) r c0

については先ほど求めた

FPCavity

の反射光の式

E r = r 1 0r 2 (10p 2 1 )e 02j 10r 1 r 2 e 02j  E i

より、共振条件

 0 =n

として、

r c0 = r 1 0r 2 (10p 2 1 ) 10r 1 r 2

と得られる。この時で変調周波数を共振の幅よりも充分広くとれば

r c0+s ;r c00s '1

となる。さて、キャビ

ティが共振点から微小量



だけずれた状況を考えよう。するとキャビティの

carrier

に対する反射率は



につ

いて展開すると

r c0 = r 1 0r 2 (10p 2 1 )e 02j 10r 1 r 2 e 02j ' r 1 0r 2 (10p 2 1 ) 10r 1 r 2 +2j r 2 t 2 1 10r 1 r 2  (4.4)

となる。従ってこの時の反射光は

E r =E 0  r 1 0r 2 (10p 2 1 ) 10r 1 r 2 +2j r 2 t 2 1 10r 1 r 2   J 0 (m)e j!0t +J 1 (m)e j !0t 2jsin! m t 

となる。この反射光強度

I r

を求めると

sin! m t

の項として、

8J 0 J 1 r 2 t 2 1 10r 1 r 2 sin! m t (4:5)

を得る。これに

sin! m t

を掛けて復調してやることで、

DC

付近の信号として共振点からのずれ



に比例し

た

errorsignal

を得、他の項を変調周波数領域まで持ち上げてしまうことが出来る。この

errorsignal

を用

いてキャビティ長、レーザーの発振周波数に制御をかけ、共振点にとどめる。これが

Pound-Drever

法に

よる

Cavity

制御の原理である。ただし、



は

!

と

l

を変数に持つ、つまり

= 1!l 0 +! 0 1l c

という量であり、

errorsignal

の中では

!

のずれと

l

のずれは区別されていないことに留意すべきである。

4.2 Wave Front Sensing

まず図

4.1

のように

FPCavity

の固有モード 軸が傾いている場合を考える。もしこのようなミスアライ

ンメントがなければ、キャビティの固有モード とレーザー光の空間モード は充分に合うように光学系が設

計されている筈である。

(

一般的には

00

モードを利用する。

)

しかし、図のような場合には前章でも述べた

通り、入射光軸の

00

モード はキャビティの高次モード とのカップ リングを持つことになる。この高次モー

ドとのカップリングを検出し、それを

errorsignal

として制御をかけるというのがアラインメントの自動制

御の基本概念である。これまでに制御法としては以下の

3

つの方法があげられている。



機械変調法

 Anderson

法

 WaveFrontSensing