Open Surfaceメッシュに対するPolyCube Mapの構築

全文

(1)Vol.2011-AL-133 No.8 2011/1/12. 情報処理学会研究報告

(2) . はじめに. メッシュに対する

(3) の構築佐. 晋Ý. 藤. 今. 井. 画像の色情報，あるいはその他のの領域を持ったいくつかの情報を用いての物体の表面にテクスチャをマッピングすることは，コンピュータ・グラフィクスを扱うの多くの. 子Ý. 桂. アプリケーションで有用な方法である．その品質はパラメータ化の質に極度に依存する．理想的なパラメータ化とは，等角であり面積を保存するものである．しかし，そのような理想的なパラメータ化は，円錐や円柱のような展開可能な曲面にのみ存在することが知られてい. テクスチャマッピングに有用な手法として

(4) がある．

(5) はテクスチャマッピングするモデルと同じトポロジーを持つ立方体の複合体をパラメータ化領域とすることで歪みの少ないマッピングを可能とする．

(6) はこれを自動的に構築するだけでなく，全単射であることを保証した手法を提案した．しかし，

(7) の手法では

(8) メッシュに対しては

(9) を構築することができない．本稿では，

(10) の手法において適用外であった

(11) メッシュに対してを構築する手法を提案する．. る．したがって，三角形メッシュのための標準的なアプローチは，ひずみが少なくなるように表面をいくつかの円盤状のパッチに切り，それぞれパラメータ化することである．このアプローチは必然的に継ぎ目，すなわち次元的に同じ位置座標を持っているが，次元的に異なるテクスチャ座標値を持つような頂点をパッチの境界で複製する必要がある．この継ぎ目は，メッシュ依存性や不適当なフィルタリングを引き起こすことが知られている．継ぎ目を回避する方法は，与えられたメッシュと同じトポロジーを持ち似たような形状を持つパラ.

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(14) . Ý. . メータ領域を選ぶことである．.

(15) は，与えられたメッシュと同じトポロジー持つように設計したと.

(16) . ¿µ 呼ばれる立方体の複合体をパラメータ領域として選ぶことでこの問題を解決した．しかし. Ý. において，は手動で構築されているため，アプリケーションへの適用が難しいという問題があった．そこで，

(17) は自動的にを構築する手法を提案.

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(31) #*. ½µ した．この手法は自動的にを構築するだけでなく，表面メッシュとパ.

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(37) . ラメータ領域間の全単射を保証している．しかしながら，の手法では，メッシュの表面が.

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(50) . 欠けていると用いることができないという問題点が存在する．本研究では，の手法を，表.

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(52)

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(54) . 面が欠けているメッシュに対しても用いることができるように改良することを目的とする．.

(55) .

(56) の自動構築ここでは，本研究のベースとなる

(57) のを自動構築するアルゴリズムについて触れる．とは，与えられたメッシュの形状に似せて作った立方体の複合体の表面をパラメータ領域として使用するマップである．アルゴリズムは以下のつのからなる．また，

(58) では特に関わる箇所について詳細に述べる．. Ý 中央大学大学院理工学研究科情報工学専攻. アルゴリズム概要.

(59)

(60)

(61) . 位相的な構造の抽出. Ý 中央大学理工学部情報工学科.

(62) のアルゴリズムでは，与えられたメッシュを種数がの形状の集合に分割.

(63) . . . +

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(67) Vol.2011-AL-133 No.8 2011/1/12. 情報処理学会研究報告

(68) . する必要がある．そのため，本では与えられたメッシュ. の位相的な構造を. 調和関数¾µ を用いて抽出する．具体的に抽出する要素は鞍点と呼ばれる極点群であり，メッシュを構成する頂点の部分集合である．また，調和関数値を算出するために極大点と極小点と呼ばれる制御点を定める必要があるが，ここではメッシュ. の. 座標値が最大の点および最小の点をそれぞれつずつ用いる。. の構築アルゴリズムに類似したアルゴリズムを用いて徐々にを構築する．図にの例を示す．本は

(69) において詳述する．. ディスクへの埋め込み与えられたメッシュ. および対応する . なるような非連結要素. および. . を. . に分割する．さらに，. Ë. Ë とおよびに対する，. を計算し，これらをディスクと呼ばれる内部に穴が開いた円盤へ埋め込む．. ! 区分的な写像の計算ディスク間の調和写像を解くことにより，計算する．このとき，つの隣接した要素は共通の境界. . ，. 図. . 間の対のマップを. ¼ を持っており，この境界. 入力メッシュとその（）．. ! ". ¼ (¼ ) (½ ½ (½ ) (¾ ¾ (¾ ) (½ となるような ) 個の水平切断平面を構築する．但し， ( は極点の座標値である．. をまたいで連続であるように写像を計算する．. の平滑化個々の面，辺，角のチャートに対して調和写像を解くことによって， ! までに構築したを平滑化する．. . ½. の構築. . . ここではパラメータ領域となるにおけるの構築手法について述べる．. の構築アルゴリズムはさらに以下のつのに分けることができる． " の検出. また，与えられたメッシュの形状が左右対称である場合，つ以上の頂点が同じか近しい . #$# % & '& '$ の作成. 座標値を持つことがある．そのようなときはその中のうちつの極点を代表点として選ぶ. の各側面および天面，底面の作成. 必要がある．.

(70) の検出において求めた極点群を座標値において昇順でソートし，極小点を. ここで. ¼ ，鞍点を. . を. つの隣接する切断平面間の最大距離とする．. . はユーザが指定するパラ. メータである．この大きさが大きいほどの形状が粗くなり，小さいほど与えられ. ½ ¾ ¾ ，極大点を ½ とする．但し，は与えられたメッシュの種数である．この極. たメッシュの形状に近づく．ある. . ようにすることで. . ·½ の間の距離がより大

(71) 個の切断平面を挿入する．この. つの連続した切断平面. きかった場合，その間に均一になるように ( ·½ . 点群から. . . つの隣接した極点間に少なくともつの切断平面があるので，与えら. . +

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(76) . れたメッシュ. はそれぞれが種数の閉じていない表面メッシュである多くの非連結要素. 切断平面が通っていた場合，" は閉曲線ではなくなってしまい，意図しない ##''，. に分割される．このとき挿入した切断平面と極点群から構築した水平切断面とメッシュ. を構築してしまう．本稿では，このような状況においても " を正しく検出. との交差から平面曲線 " を検出する．" とは，切断平面によってメッシュ. し，望ましいを構築することを目標とする．. を輪切りにした際にできる. の輪郭である．. 提案手法. の作成 " を検出できたら，これを囲う #$# % & '& '$(##'' を作成する．. メッシュに対して，を構築する手法ををベースに提案する．ア. ##'' とは，" を囲うような内角が全て * 度の多角形である．##'' は四分木を. イディアは検出される開曲線を補間し，閉曲線である " にすることである．ここで. 用いて作成する．すなわち " を丁度囲うような長方形からスタートし，与えられた. 検出される開曲線をと呼ぶこととする．また，閉曲線に補間する際に継ぎ足した曲線. を満足するか，最大分割レベルに達するまで領域分割を行なうことで ##'' を作. を覚えておくことで穴のあいたを構築することができる．これは元から穴が開い. 閾値. . は，ユーザが入力する " に対する ##'' の近似精度で ( ( (

(77) ( であるとき分割を終了する．の値が大きいほど. 成する．ここで閾値あり，. ているメッシュに対してテクスチャマッピングを行なう際に有用であると考えられる．. . . " は水平切断平面とメッシュ. . は粗くなり，また小さいほどメッシュ. に存在することは明らかである．したがって，を補間するに際し，次元上の補間ア. に近い形状となる．. の各側面および天面，底面の作成. ルゴリズムを適用することが可能である．本研究では主にベジェ曲線を用いて補間すること. ##'' を得たら，を成す面を作成する．##'' を座標値において昇順にソートし，座標値. を考える．しかし，の形状によってベジェ曲線を用いることができない場合が存在す. における ##'' の集合を番目の集合とする．但し， . る．この場合は特別な処理をする必要がある．. ベジェ曲線を用いて補間する. である．座標値が小さい順に以下のつの工程を繰り返し行なうことで最終的な . ¼½ としたとき，それぞれを端点に持つ辺 ¼½ を ¼½ の方向に伸長することでできる交点と ¼ ½ それぞれとの中点 ¼ ½ を考える．このとき，¼ ¼ ½ ½ をベジェ曲線の制御点として用いることでを補間する．の始点と終点の頂点を. が得られる．側面の作成. . における側面は，を上下に拡張することで得られる．すなわち，軸に沿って ( ) ½

(78) （ (¼ が最初のスキャン平面）から ( ) ·½

(79) （ (½ が最後 ##'' の集合. . のスキャン平面）へ拡張する．各側面の間を埋める天面，底面は隣接する ½ の和集合で計算される．. ½ を伸長した半直線がと交差してしまう場合，ベジェ曲線を用いることがで. きない．強引に用いることはできるが，望ましい補間はされないだろう．したがって，別のつの ##'' の集合に対し，必要な "+ 操. 作を行なうことで作成する．すなわち，座標値が (. ( . ベジェ曲線を用いることができない場合. 辺 ¼. 天面，底面の作成. と. との交差から検出されるため，あるつの平面上. ½

(80). の面は. . . ½ (. アルゴリズムを用意する必要がある．. ¼½ を結ぶ線分 . ½. . を考える．. . . の中点を. . . とおき，. ¼ 間, ½ 間をそれぞれ . . 個に分割する．このときは以上のユーザ入力のパラメータであり，この値が大きいほ半直線へ垂線を下ろす．この垂線を端点に近い方からとする．このを

(81) ( ) で内分する点を制御点として線分で結ぶことでベジェ曲線を用いるとができない場合のの補間を行なう．図では，のときの形状補間の例を示す．. 問題点. ど詳細な補間となる．各線分を分割した頂点から端点が ¼ なら ¼ の半直線， ½ なら ½ の. これまでに述べたの手法は，閉じた表面メッシュにのみを構築する．その. ため，スキャナを用いて取り込む際にできる表面の欠損や，元から穴が開いているよう. なメッシュ（メッシュ）に対してを構築することができない．考えられる原因としてにおける " の検出がある．ここでは " を検出するために切断平面を挿入しているが，このときメッシュにおけるふちの部分を. . . +

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(86) . ½ . ¼ ¼ 図. ¾. ½¾ ½½ ½. ½. . . ベジェ曲線を用いない場合．赤い破線がを，緑の線が補間した線を示す．. # $%&

(87) ! " ! ". おわりに本研究では，においてを構築できなかったメッシュに対して. を構築することができた．しかし，ベジェ曲線を用いることができないの形状のうち，の両端点が巻きこんでいるような形状では提案したアルゴリズムも用いることができない．このような場合に対してもを構築できるようにすることが今後の課題である．また，表面の欠損という形で穴が存在する場合，これが塞がることが望ましい形状であると考えられる．そのため，写像を構築する際に側で頂点を追加し，穴を塞ぐことで元のメッシュを望ましい形状に変形することが必要であると考える．謝辞本研究の一部は科学研究費補助金によるものである．. 参考. 文. 献. , -

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