正多面体の展開図による立体（1） : 正四面体の場合
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(2) . 今井憲一：正多面体の展開図による立体. ） －（ １. １ ） 正多面体の展開図による 立体 －－（ －－ 正四面体の場合－－. 今. 井. 憲. １＝正多面体と展開図 いうまでもなく正多面体は、 合同の正多角形を面の形成要素とする凸多面構造体であり， 正四面 体， 正六面体， 正八面体， 正十二面体， 正二十面体の５種類が存在する． そして， これらの正多面 体は， 正三角形， 正方形， 正五角形のいづれかの正多角形を 反復してできるものであるから単位形 の連続性構造でもあるが， およそ作成し得るであろう 多種多様の立体のなかでもきわめて稀な構造 特性を備えており， 特異な立体と言うこともできよう， また， 正多面体そのものは， いっ， いかな るところでも， 定められた作法にしたがえば作成できるものであり， 無性格なものでもある， 正多 面体が， しばしば造形の基礎形態として取扱われるのは， こうした劣擦性格な特質と， それに独創的 に対処して引 き出される造形的可能性を重視するからにほかならない， 近年， 正多面体などのいわゆる基礎形態に関する未解決な可能性の探索が熱心な研究者によっ て ’が このような地道な研究の蓄積は やがて 造形基本のあらたな編成を促す要因 進められている１ ， ， ， ともなり得るであろう． さて， この正多面体を含めて， 一般に立体の表面を一本の線で切開き， これを平面上に転置して できる図を展開図と称している． この展開図は， もともと図学上で開発された一種の立体表示法で あり， す べ て の 立 体 の 展 開 が 可 能 と し て い る も の で は な い． し か し， こ れ が 立 体 の 表 面 に つ い て の. ものであるから， すく なくとも展開可能な立体は， 実際にその立体を作成する場合， 直ちに活用 で き る の であ る．. 展開図そのものは， 確定的に立体の材質や寸法を示すものではなく， それだから決して立体がそ こに手で触れることの できる状態 であるというもの ではない。したがっ て展開図による立体作成は， 図を一担作成しようとする実尺 で選択した材料上に作図して行われることとなる．つまり展開図は， 各種の材料への適応性を備えた抽象的性 質のものなの である ， ところで正多面体の作成もまた， この展開図を活用しての場合がすこ ごろ 多い． こ の 展 開 図 の 活 用による正多面体の作成は， 通常， あくま でもその正多面体を意図してのことなのであるが， しか し， はたして正多面体の展開図は， 常に所期の正多面体のみより形成し得ないの であろうか， つま り， 正多面体の展開図を活用 して立体を作成する場合， 同一の展開図が， もとの正多面体以外に更 に発展的に他の立体を生むことはないもの であろうか． そして， この正多面体の展開図によっ てで きる立体の解明は， ． 興味深い基本的課題と思われる。 勿論， こうした課題に接近 して いた 実 践例は 報告さ れている． それは， 特に造形発想の練習を ’や 複数個の連続的に並置した正多角形を 主眼として正多面体の展開図を幾通りか導き出 すこと２ ， ）ことなどであ 面村上に作図し， これを展開図のように見たて・， それから数個の立体を作成する３ ７５.
(3) . 今井憲一：正多面体の展開図による立体. ） （ １. る．. だが， もっ とも基本的な造形素材のひとつとしての正 多面体に関しては， その展開図によ っ てい かなる立体が発展的に出現するのか不明のま・ である． 本稿は， 正多面体の展開図による立体作成に関するものであり， 研究の最初の段階を最少面数の 正四面体の場合としたので， それについての報告 である． ２ ＝正四面体の展開図作成 －－ 図示. この実験は展開図によるもの であるから， 当然先づ正多面体の展開図作成から始められねばなら メ よし・．. 正四面体の展開図は， 図示番号①のよう な図学 で登場する基本図と呼び得るものがあるが， それ のみをもっ て事足れりとするの ではなく， 独創的な態度で正四面体の展開図をさま ざまに開発する ）（図示 作業も不可欠である． そして， このことに関しては， す でに４種の展開図が報告されており４ 番号④⑨⑲はそのうちの３種） ， ここ ではそれをも参考にし， 活用しつ・， なおそのほかの展開図を 導くよう努め， 合計１ １種とした． この１１種のうち， 図示番号②③⑤⑥⑦⑧のものは， 正四面体を 形成する各面の正三角形が４個の正三角形の集合と考えた場合の展開図である． また， 図示番号⑪ のものは， 各面を形成する正三角形が３個の二等辺三角 形の集合と考えて作成している． 引用した 展開図のうち⑨⑩は， 各面が２個の直角三角形の集合という考えによっ ているものであり， ④は基 本図と同様に各面の分解・集合がない場合 である， このように正四面体の展開図は， 面の形成基本形の分解のしかたによって多様化すると言うこと ができるし， このことは他の正 多面体の展開図を導く場合でも同様であろうと思われる． なお， 図示した１１種の展開図は， 図中の細白線部を折線とし， 切辺を接合するといづれも正四面 体となり， その作図は， 一般的な作図用具を用いて基本作図法によ っ て行っ た． ３ ＝正四面体の展開図による立体群 －－ 図示. 前項 で図示した正四面体の展開図を活用 して立体を作成する具体的方法は， つ ぎの通りである． すなわち， 作成した展開図の各辺に二等分点， およ び四等分点を定め， これらの点を直線で結び， またその直線同志が生む交点を更に直線 で結ん で面を仮定的に細分化し， この場合の細分線を同時 に折線基準とした． この， 面を細分するように設定した折線基準の どの部分を実際の折線とし， ま た， 切辺のどの部分を互いに接合するかによ っ て， 立体がさま ざまに成り立つの ではないかと考え たから である． 正四面体は， 前述の細白線部を実際の折線としたときの立体 であり， それは， 展開 図 を 活用 した 立 体 化 の ひ と つ の 道 筋 であ っ て， す べ て が そ れ に 帰 す る の では な い． し た が っ て， ひ. とたび具体的な材料に作図された展開図は， その材料の特質とも関連させながら積極的に活用 でき る の であ る．. １種のそれぞれを活用して立体化を試み， 合計９５個の立体を作成し こうして正四面体の展開図１ た が， 本 稿 では， そ の う ち の ７５ 個 を 図 示 す る こ と ・ した． も と よ り， こ こ で示 した 方 法 は， 本 来 立. 体として作成したものを， 通常の写真表示法によ っ て特定の視角から呈示する部分表示 であり， 全 体表示 ではない， しかし， 正四面体以外に発展的に作成される立体とはいかなるものであるかは， これによ っ ても判断に難くないと思うのである． なお， これらの立体群の実尺は， すべて正四面体の場合に辺長が２５０ｍｍ として作成し， 材料は 製図用洋紙により， 特に表面加工をせず生地のま・ で用いた．. ７６.
(4) . 今 井 憲 一： 正 多面 体の 展 開 図に よ る 立・体 －－（ １ ）. ４ ＝正四面体の場合の基本段階の要約. 正四面体の展開図によっ て作成できる立体は， 当初予想していたよりも はるかに多様なもの で ， あ り， こ の こ と は， ま さ に 単 な る 百 見 は － 試に と う て い 及 ば な い と い う そ れ であ っ た 実 際 正 ， ， ．. 四面体などの正多面体模型は， 日常的に目にすることができ；そしてまた， その展開図の活用によっ て， いくつかの立体が作成 できるの ではあるまいかという着想は， おそらく 漠とした状態 ではあっ てもこれまでに幾度も生じたこと であろう． そして， このことがあまりにも簡単にす ぎることのよ う であ っ てみ れ ば， 意 が － 試 に 至 る 以 前 に 薄 ら い で行く の も， ま た 当 然 な こ こ ろ の な が れ な の ，. ではあるまいかと思う． そして， もともと強度の耐外圧性をその構造に 秘 めて 容 易に 変 形 しない 立体として知 られる正四面体は， 最少面数正多面体ということもはたらいて たとえ展開図をもっ ， て活用したとしても， およそその変容の範囲は狭いとする先入観は， 容易に払拭 できないこと でも ある．. しかし， ここでもまた， 無心になっ てはじめて， 対象のもつ可能性がよく 見えてくることを痛感 さ せ ら れ る の であ る．. １種の正 四面体の展開図は， 結果的には， 作成した多数の立体の展開 図でも この試みで活用した１ あったが， これらの立体を通して直感 できるのは， それらが随所に正四面体的特色を反映しな がら も， そのひとつひとつが， 僅か一枚の単なる平面状 の展開図から出現するとは思えない程のさま ざ まな様相を示す基礎形態の世 界の律動性であろう． 造形の基礎形態のひとつとして取扱われる正四面体は， いづれにしても展開図による場合が多い が， その際， 展開図の活用によっ て， それは正四面体のみに限定さ れるのではなく 豊富な基礎形 ， 態を含んだものと して取扱うことができると言えよう また， 今回の作業で得た立体群は 正四面 ． ， 体の展開図によ る立体の基本体と考えられるの で， これらの基本体の同種あるいは異種同志を組み 合わせる発展段階に至ると， より多様な立体の 作成ができる であろう ． ともすれ ば完結的とも思われがちな正四面体は， 一方でその展開 図をさま ざまに生む基準 でもあ り， そしてまた， 作成された展開図のそれぞれが， 多様な立体を生み出す基準ともなる こう して ， ． か た ち あ る も の は， 規 律 と と も に い き づ き， 生 成 し つ づ け る か の よ う であ る ，. ここにもまた， 規則性と形の織り成す不思 議な動的世界の一端を垣間 見ることができるように思 われ て な ら な い の であ る， 〈注〉. １） たとえば， 戸村浩 「基本形態の構造」（１９７ ４年， 美術出版社） の研究など． ２） 高山正喜久 「立体構成の基礎」１１ ３頁～１ ２６頁， 「７． 塊を包む」 の項， （１ ９６ ５年， 美術出版社） ３） 朝倉直己「紙による構成・デザイン」７ ５頁～８３頁，「４， 図面と立体，（ １ ）展開と立体」（１ ９７ １年， 美術出版社） ４） 前掲 〈注〉 ２） に収録されている図． （本学助 教授 ・ 函 館 分校）. ７７.
(5) . 本研究のための正 四面体の展開図 ①. ②. ⑧. ⑦. 圏圏 ⑪. ⑥. ⑤. ④. ⑨. ⑧. ⑲.
(6) . ・展開図１ による立体 群－－１２例図示 ①. ②. ⑧. ④. ⑤. ⑥. ⑦. ⑧. ⑨. ⑱. ⑪. 駿 ．. ⑰. . 弱 総裁 総 務 護 養 、 、 ・展開図２による立体群－－６例図示 ⑩. ⑭. ⑲.
(7) . ・展開図３ による立体群－－６例図示 ⑩. ⑫. ⑳. ・展開図４ による立体群－－９例図示. ⑮ 薦璽圏藁瞳灘慶離 藁 ． ・. １鴎 ，. ． 醗 ・ ・. ●. ⑰. ＼〆 ＼ .
(8) . さ. ・展開図５による立体群－－６例図示 ⑩. ⑳. ⑲. ⑲. ・展開図６ による立体群－－６例図示. ⑭. ⑬.
(9) . ・展開図７ による立体群 －－ ６例 図示 ⑲. ⑰. ⑲. ・展開図８ による立体群 －－ ６例 図示. ⑩. ～⑭ 麗 ⑲撰 斐馨轡縄零護覆瞬鞭鞭霧 電離 臓 驚 灘. ⑮. ⑯ さ まご ミネミニきき ＊ ＊. テ⑰ … 誓言 …. ・展開図９ による立体群 －－ ９例 図示. .
(10) . ⑪. ⑰. ⑲. ◎. ⑲. ⑱. ・展開図ｌｏによる立体群－－ ３例 図示. . . . ・展開図 ＝による立体群－－６ 例 図示 . き ぞ き 言電 離濯麗 ⑰ ⑪ 譲ぎざぎざ誉さ. 電震愛 議 嬢騒 繊麗凝 墓 誌 露 議す 磨 ぎ.
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