非可換ネーター環論が量子群に期待すること ー例を中心として一
信州大学教育学部 岩永恭雄 (Yasuo Iwanaga)
Lie 環の quantized enveloping algebra や代数群の quantum coordinate ring
に現れる非可換Noether環の興味ある例について紹介したい.
必要に応じて非可換 Noether環の例を構成することは, Artin環の場合に比べ ると非常な困難を伴う. 非可換Noether 環の理論は, 可換Noether環論の非可換 版を考察することから始まり, 興味ある例の発見に支えられて発展してきた経緯 がある. 現在, 筆者が取り組んでいる研究対称は, 非可換Gorenstein環として, Auslander が定義した “Auslander-Gorenstein 環” なので, この環がquantized
enveloping algebra や quantum coordinate ring の例として現れる場合を取り
上げることにする.
I. 非可換 Noether 環に関する最初の優れた結果は次の定理であろう.
Goldie’s Theorem: prime (resp semiprime) Noether ring は simple
(resp. semisimple) Artin ring の order である.
ここで order とは, 古典的な意味の order (整環) ではなく商環を持つという ことである. この定理によって, 商環を用いる議論が展開可能になり, 非可換な Dedekind domain や hereditary Noetherian prime ring の理論が完成した. そ
の際, cychic module の準同型環の性質を調べる必要が生じ, idealizer の概念が
登場して興味ある例が生産された. ..
Idealizer
:
環 $R$ の左イデアル $L$ に対して, $I_{R}(L)=\{r\in R|Lr\subseteq L\}$を $L$ の idealizer と呼ぶ. これは $L$ を両側イデアルにする $R$ の最大の部分環
であり, cyclic left R-module $R/L$ の準同型環は $End_{R}(R/L)\cong I_{R}(L)/L$
II. Quantum Coordinate Ring の Noether性
以下に, quantum coordinate ring と quantized enveloping algebraでNoether
環であることが確認されているものを掲げておこう. 体上の (非可換) affine
algebra の Noether性を証明する方法は, Hilbert Basis Theorem の非可換版を
適用出来るための都合の良い基底を見つけることと, 考えている環が Noether
環から Ore 拡大を繰り返して得られことを示すことである. ここで, 環 $R$ 上の
Ore 拡大とは, $R$ の環自己同型 $\sigma$ と \mbox{\boldmath $\sigma$}微分 $\delta$
$\delta(ab)=\delta(a)b^{\sigma}+a\delta(b)$ $(a, b\in R)$
を用いて, 不定元 $x$ と $a\in R$ に対して, $ax=xa^{\sigma}+\delta(a)$ と定めて得られる非
可換多項式環 $R[x;\sigma, \delta]$ である. $R$ がNoether 整域ならば, $R$ の Ore 拡大も
Noether整域になる. 更に, $R$ が Ore 整域, 即ち, Rのある乗法的集合に関する
商環 (あるいは, 局所化) が存在するとき, $R$ の Ore 拡大も Ore 整域である.
(1) coordinate ring of
a
quantum affine space $\mathcal{O}_{q}(K^{n})$この環の定義は, Manin によって次のように与えられた. 体 $K$ 上の affine
K-algebra $K<x_{1},$ $\cdots,$ $x_{n}>$ に関係式
$x_{j}x_{i}=q^{-2}xiX_{j}$ $(i<j)$
を入れて出来る $K$-algebra を coordinate ring of aquatum affine space
と呼び, $\mathcal{O}_{q}(K^{n})$ で表される. $O_{q}(K^{n})$ は基底
$\{x_{1}\cdot\cdot x_{n}i_{1}.i_{\pi}|i_{1}, \cdots, i_{n}\geq 0\}$
を持つので, Noether 整域である.
(2) coordinate ring of quantum matrices $\mathcal{O}_{q}(M_{n}(K))$
この環の定義は, $Artin-s_{c}helter-Tate[2]$ によるもので, その Noether性も彼 らによって示された. $K$ を体, $0\neq q\in K,$ $n\geq 1$ とする. $\{x_{ij}|i, j=1, \cdots, n\}$
で生成された affine K-algebra に次の関係式
:.
$x_{ik}x_{jk}=qxjkX2ij$ $i<j$ のとき
;
$X_{ij}X_{ikq}=2XikX_{ij}$ $j<k$ のとき
;
$x_{ij^{X_{k\iota=}X}}k\iota x_{ij}$ $i<k$ かつ $l<j$ のとき
;
を入れた $K$-algebra を (one-parameter)
coordinate ring
of quantum$n\cross n$ matrices と呼び, $\mathcal{O}_{q}(M_{n}(K))$ で表す. $\mathcal{O}_{q}(M_{n}(K))$ は $K$ から Ore 拡
大を繰り返し構成することによって得られるので Noether整域である.
$GL_{n}(K)$ の quantum coordinate ring $\mathcal{O}_{q}(GL_{n}(K))$ は, $\mathcal{O}_{q}(M_{n}(K))$ の中心
$\text{に属する元}$, “quantum determinant”
$\Delta_{q}=.\sum_{\sigma\in Sym(n)}(-q^{-}2)^{\iota()}\sigma)^{X}X_{1}(12\sigma\sigma(2)$ .
$\cdot$
....
$x_{n\sigma(n)}$
($l(\sigma)$ は, \mbox{\boldmath$\sigma$}を $(ii+1)$ という形の互換の積に表わすときの最小個数)
が可逆元になるように,
$\mathcal{O}_{q}(GL_{n}(K))=\mathcal{O}_{q}(M_{n}(K))1\Delta q-1]$
と構成される. $\mathcal{O}_{q}(M_{n}(K))$ が Noether 整域なので, $\mathcal{O}_{q}(GL_{n}(K))$ も Noether
整域である.
$SL_{n}(K)$ の quantum coordinate ring $\mathcal{O}_{q}(SL_{n}(K))$ は, $\mathcal{O}_{q}(M_{n}(K))$ の剰余環
として, 次で与えられる (Manin)
:
$\mathcal{O}_{q}(SL_{n}(K))=\mathcal{O}_{q}(M_{n}(K))/<\Delta_{q}-1>$
この環の Noether 性は, 次の結果から導かれる. Proposition (Levasseur and Stafford [17])
$\mathcal{O}_{q}(SL_{n}(K))\otimes_{K}K1z,$ $z^{-1}]\cong \mathcal{O}_{q}(GL_{n}(K))$
(quantum analogue of $SL_{n}(K)\cross K^{x}\cong GL_{n}(K)$)
ここで, $z$ は中心に属する不定元である.
$\mathcal{O}_{q}(SL_{n}(K))$ は, その肉体 (division ring) の中で maximal order である.
また,
$gl.\dim \mathcal{O}_{q}(SL_{n}(K))=$ GK-dim $\mathcal{O}_{q}(SL_{n}(K))=n^{2}-1$
.
(3) multiparameter coordinate ring $\mathcal{O}_{\lambda}(K^{n})$, [11].
$\lambda=[\lambda_{ij}]\in M_{n}(K)$ を体 $K$ 上の非西元からなる $n$ 次正方行列とし,
$\lambda_{ii}=1$, $\lambda_{ji}=\lambda_{ij}-1$ $(1 \leq i, j\leq n)$ を満たすとする. $K$-algebra $K<x_{1},$ $\cdots,$ $x_{n}>$ に関係式
$x_{i}x_{j}=\lambda_{i}jxjx_{i}$ $(1\leq i, j\leq n)$
を入れて出来る $K$-algebra を multiparameter coordinate ring と呼び,
$\mathcal{O}_{\lambda}(K^{n})$ で表す. $\mathcal{O}_{\lambda}(K^{n})$ は体 Kから Ore 拡大を繰り返し構成することで得
られるので, $\mathcal{O}_{\lambda}(K^{n})$ は Noether整域であって, $x_{i}$ で生成された乗法的集合に
関する局所化が存在する. それは K-algebra $K<x_{1},$ $x_{1^{-1}},$
$\cdots,$$x_{n},$ $x_{n}-1>$
に上の関係式を入れたものである.
(4)
PBW-basis
(Yamane [32])$q^{8}\neq 1$ のとき, quantized enveloping algebra $U_{q}(sl(n+1))$ は
Poincar\’e-Birkoff-Witt basis に似た基底を持つ. $U_{q}(sl(n+1))$ は $\mathbb{C}$-algebra
$\mathbb{C}<E_{i},$ $K_{i},$$K^{-1}i,$ $Fi|1\leq i\leq n>$
にある関係式を入れてできるものであるが, 次のような元
$e_{i,i+1}=E_{i}$, $f_{i,i+1}=F_{i}$,
$e_{ij}=qe_{i,jj-}-1e1,j-q-1ej-1,jei,j-1$ $(j>i+1)$
,
$f_{ij}=qf_{i,j-1}f_{j}-1,j-q^{-1}fj-1,jf_{i},j-1$ $(j>i+1)$
を考え, 添字に大小関係を
$(i,j)<(k, l)$ $\Leftrightarrow$ $i<k$, または $i=k,$ $j<l$
と定める. このとき,
$f_{k_{1},l_{1}}$
.
.
.
$f_{k.,l_{*}1}K^{m_{1}}$..
.
$K_{n^{m_{r}}}e_{i_{1},j}1^{\cdot}$.
.
$e_{ij_{t}}‘,$,$(k_{1}, l_{1})\leq$
...
$\leq(k_{S}, l_{S}),$ $(i_{1},j_{1})\leq$.
.
.
$\leq(i_{t},j_{t}),$ $(m_{1}, \cdots, m_{r})\in \mathbb{Z}^{r}$が $U_{q}(sl(n+1))$ の基底になる. この基底を用いると, $U_{q}(sl(n+1))$ にはうまい
五 ltration が入り, それに関する graded algebra が, $\mathbb{C}<y_{1},$ $\cdots$ ,$y_{r}’>$に関係式
を入れてできる環の局所化と同型になるようにできる
.
この $\mathbb{C}$-algebraはNoether
整域なので, $U_{q}(sl(n+1))$ も Noether 整域である. 一般の Lie 環 $\mathfrak{g}$ について,
$U_{q}(\mathfrak{g})$ がNoether整域であるかどうかはわかっていない. 但し, 一般の $U_{q}(\mathfrak{g})$ は
Luszting [18] によるものを考える. ([12], [16], [34] を参照)
III.
Auslander-Gorenstein
FR
&
Cohen-Macaulay $\uparrow 4$Weyl algebra は非可換 Noether 環の代表的例であり, 種々の側面を持ち,
非可換Noether 環の考察に多くのアイデアを提供してくれた. Weyl algebra は
Gronthendieck が定義した代数多様体 (この場合, $\mathbb{C}^{n}$) の微分作用素環として
現れるが,
Auslander-Gorenstein
環という Weyl algebra を含む重要なクラスが微分作用素環として登場する. また, Weyl algebra は $\mathbb{C}^{2}$n
上の standard Poisson
bracket から生じる座標環$\mathcal{O}(\mathbb{C}^{2n})$ の量子化にもなっている.
$R$ を self-injective dimension が両側で有限 (それを $n$ として, $id(R)=n$ と
記す) の Noether 環, $0arrow RRarrow E0arrow E_{1}arrow\cdotsarrow E_{n}arrow 0$ を $RR$ の極小移
入分解とする. 各 $i(0\leq i<n)$ について, $E_{i}$ の flat dimension が $i$ 以下のと
き, $R$ は
Auslander-Gorenstein
環と呼ばれる. 特に, $gl.\dim R<\infty$ のときは,
’
gl.dim $R=id(R)$ であるが, $R$ は Auslander-regular環と呼ばれる.
体$K$ 上の positively graded algebra $A=K\oplus A1^{\oplus\oplus}A2\ldots$ は K-algebra
として $A_{1}$ で生成され, 各 $A_{k}(k\geq 1)$ は $K$ 上有限次元であるとする. 任意の
有限生成な graded $A$-module $M$ が次の条件
$GK-\dim(M)+\min\{j|E_{X}tjA(M, A)\neq 0\}=GK-\dim(A)$
を満たすとき, $A$ は Cohen-Macaulay 性を持つと言う.
期待
:
$G$ を $\mathbb{C}$ 上の連結かつ単連結な, 半単純代数群とするとき,quan-$tum$coordinate ring $\mathcal{O}_{q}(G)$ は Auslander-regualr であり, Cohen-Macaulay性を
満たすか
?
例. 次の quantum coordinate ring は Auslander-regular $\text{であり},$
.
Cohen-$Macaula_{Y}-$ 性を満たす.
(1) coordinate ring of a quatum affine space $O_{q}(K^{n})$,
(Goodearl and Lenagan [8])
(2) coordinate ring of quantum matrices $\mathcal{O}_{q}(M_{n}(K))$,
(Goodearl and Lenagan [8])
(3) $\mathcal{O}_{q}(SL_{n}(K))$, $\mathcal{O}_{q}(GL_{n}(K))$
.
(Levasseur and
Stafford
[17]) (3) の証明には, 次の事実を使う.Proposition (Levasseur and Stafford [17]) $R\text{を}$ Auslander-regular $\text{環}$,
かつ Cohen-Macaulay 性を満たすとする. $T=R[x;\sigma, \delta]$ を Ore 拡大とす
ると.
(1) $T$ は Auslander-regular である
;
(2) $R=K\oplus R_{1}\oplus R_{2}\oplus\cdot$
. .
が $R_{1}$ で生成された graded $K$-algebra で,$\sigma(R_{i})\subseteq R_{i}(.\forall i\geq 0)$ ならば, $T$ は Cohen-Macaulay 性を満たす
;
(3) $z\in R$ が中心に属する元なら, $R/zR$ は
Auslander-Gorenstein
環で,Cohen-Macaulay 性を満たす.
例 (Malliavin $1^{20}]$). $q$ を1の巾根でないとする. 忌数 $0$ の代数的閉体温で, $U_{q}^{+}(z((3))$ を $U_{q}(g[(3))$ の3角分解における $+$-part とすると, $U_{q}^{+}(\epsilon \mathfrak{c}(3))$ は
Auslander-regular環, かつ Cohen-Macaulay 性を満たす.
次に, Auslander-Gorenstein 環と密接な関係があると思われる,
“regular
algebra” と“Sklyanin algebra” について触れておきたい.Regular Algebra (Artin and Schelter [1])
代数的閉体 $K$ 上の positively graded algebra $A=K\oplus A_{1}\oplus A_{2}\oplus\cdot$
..
はK-algebra として $A_{1}$ で生成され, 各 $A_{k}(k\geq 1)$ は $K$ 上有限次元であると
する. $A$ は次の条件を満たすとき, $n$ 次元の regular algebra と呼ばれる
:
.(i)
$A$ は polynomial growth を持つ. 即ち, ある実数$\rho$ で, $\dim_{K}A_{k}\leq$
$k^{\rho}$ $(\forall k\geq 1)$ となるものが存在する
;
(ii) $gl.\dim A=n<\infty$
;
(iii) $Ext_{A}^{i}(K, A)=0$ $(i\neq n)$, かつ $Ext_{A}^{n}(K, A)\cong K$ が $AK$ 及び $K_{A}$
について成り立つ.
このとき, $gl.\dim A=pd(_{A}K)$ である.
例. finite global dimension の次数付き吊環, Lie 環の enveloping algebra, Weyl algebra 等は regular algebra である.
regular algebra に関して, 次の問題が [1] で提出されている.
問題 (Artin and Schelter)
:
(1) regular algebra は Noether 整域か
?
(2) gl.dim $A=GK-\dim(A)$?
(3) regular algebra $lh$ Auslander-regular $B\searrow$
?
3次元の regular algebra については肯定的であることがArtin-Tate-Van den
. Artin らは3次元の regular algebra の分類に, 楕円曲線の geometric data を
用いて成功したことから,. Manin によって 「非可換代数幾何」 という言葉も提
唱された.
regular algebra は量子群ではないが, $\mathcal{O}_{q}(M_{n}(K))$ は regular algebra
(Artin-Schelter-Tate) で, 親戚と言ってもよい.
期待
:
上記の問題解決に量子群は役立つか?
Sklyanin Algebra (Sklyanin, Odesskii-Feigin, Tate-Van den Bergh) Yang-Baxter 方程式の解を代数的に考察する目的で, Sklyanin によって導入さ
れた Sklyanin algebra も新しい非可換Noether 環のクラスを与えてくれた. そ
の代数的構造は楕円曲線の幾何学的性質と密接に関連している
.
Sklyanin algebraは, その Koszul dual が
Frobenius 多元環になるという点からも大いに注目され
る. このような非可換Noether 環と可換体上の有限次元多元環が Koszul dual を通して対応することが発見されたことは多元環の表現論に新しい研究方法を提
供してくれる. 実は, Frobenius多元環と Koszul dual によって対応する非可換 Noether環に
Auslander-Gorenstein
環が登場するのである. (若松, 岩永による解説 $[35, 36]$ を参照)
$K$ を代数的四体, $n\geq 3,$ $E$ を $K$ 上の楕円曲線, $\sigma$ : $Earrow E$ をある固定点
( $\in Pic(E)\cong E$ による translation automorphism とし, 次のデータを導入し
ておく
.
$\mathcal{L}$ を $E$ 上の次数 $n$ の line bundle
;
$V=H^{0}(E, \mathcal{L})$, $n$ 次元 $K$-ベクトル空間
;
$\Delta_{\sigma}=\{(p, \sigma^{n-2}(p))|p\in E\}$, $E\cross E$ 上の divisor
;
$M$ を involution $(p, q)-(\sigma^{2}(q), \sigma^{2}(p))$ の固定点;
$ExE$ 上の divisor $D$ が allowable とは, $D$ が involution のもとで stable
かつ $M$ の $D$ における重複度が偶数になることで,
$R=$
{
$f\in V\otimes V|$ $div(f)=\Delta_{\sigma}+D$ with $D$allowable}
とおく. このとき,$T(V)$ を tensor algebra として,
$A=A_{n}(E, \sigma)=T(V)/(R)$
Sklyanin algebra
el
globaldimension$n\sigma$) Auslander-regular $\text{環},$ $B_{a’}\supset K_{oSZu}1$algebra である. 更に, augmentation $Aarrow K$ により, $K$ を A-加群とみると, $A\text{の}$ Koszul dual
$Ext_{A}^{*}(K, K)=\bigoplus_{i\geq 0}E_{X}t^{i}KA(, K)$
は Frobenius 多元環である.
$n=3,4$
のときは, Sklyanin algebra は regular algebra で, 関係式 $R$ が具体的な形に書け, 楕円曲線 $E$ はそれぞれ射影空間内の smooth な3次, 4次
曲線になる.
4次元の Sklyanin algebra は, $\alpha_{1},$ $\alpha_{2},$ $\alpha_{3}\in K$ が
$\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha 3+\alpha 1\alpha_{2}\alpha 3=0$
を満たすとするとき, $x_{0},$ $x_{1},$ $x_{2},$ $x_{3}$ を次数1の生成元とし, 次の関係式
:
$X_{0}x_{1}-x1X_{0}=\alpha_{1}(X_{2}x_{a}+x_{3}x_{2})$
,
$x_{0}x_{1}+x_{1^{X}0}=x_{233}x-xX_{2}$,$x_{0}x_{2^{-X_{2}x0}}=\alpha_{2}(x_{3}X_{1}+x_{1}x_{3})$, $x_{0}x_{2}+x_{2^{X}0}=x_{3}x_{1}-x_{1}X_{3}$, $x_{0}x_{3}-X3x0=\alpha_{3}(x_{1}x_{2}+x_{2}x_{1})$, $x_{0}x_{3}+x_{3}x_{0}=x_{1}x_{2}-x_{21}x$.
を持つ graded K-algebra $S(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})$ として与えられる.
$K=\mathbb{C},$ $\alpha_{2}\neq 0$ のとき,
$c_{+}=X_{0}+\sqrt{\alpha_{2}}$, $c_{-}=x_{0}-\sqrt{\alpha_{2}}$
は $S(O, \alpha_{2}, -\alpha_{2})$ の中心元で, 次が成り立つ ([Smith-Stafford[28])
:
$U_{q}(_{S}\iota(2))\cong S(0, \alpha_{2}, -\alpha_{2})/(c_{+}c--1)$
Quantum Polynomial Ring
以上の興味ある2つの環, regular algebra と Sklyanin algebra が持つ共通の 性質を取り上げて, これらを含む新しい非可換Noether 環のクラスを定義しよう. positively graded K-algebra $A$ は次の条件をみたすとき, $n$ 次元の quantum $p$olynomial
ring
と呼ばれる:
(i) $A$ は global dimension $n$ の Noether環;
(ii)Hilbert series がある $n$ について, $H_{A}(t)=(1-t)-n$ となる
;
$(\ddot{\dot{\bm{o}}})$ $A$ $lh$ Auslander-Gorenstein $\text{環}$
;
(iv) $A$ は Cohen-Macaulay 性を満たす.
quantum polynomial ring は Ore 整域で, その商体 (division ring) の中で
maximal order である. また, Koszul algebra であり, Koszul dual
$Ext_{A}^{*}(K, K)=\bigoplus_{i\geq 0}E_{X}t^{i}A(K, K)$
は Frobenius 多元環である.
quantum polynomial
ring
の例:
(1) Sklyanin algebra $A_{n}(E, \sigma)$, Tate-Van den Berg [30]
;
(2) 3, 4次元の regular algebra
;
(3) coordinate ring of a quantum affine space $\mathcal{O}_{q}(K^{n})$
;
(4) coordinate ring of quantum matrices $O_{q}(M_{n}(K))$
;
(5) coordinate ring $\mathcal{O}_{q}(GL_{n}(K))$
;
(6) homogenized enveloping algebra
:
$\mathfrak{g}$ を体 $K$ 上の有限次元Lie 環, $U(\mathfrak{g})$をその enveloping algebra とする. $z$ を不定元, $R$ を次の集合で張られるベク
トル空間
:
$\{z\otimes x-x\otimes z|x\in \mathfrak{g}\}\cup\{x\otimes y-y\otimes x-[x, y]\otimes z|x, y\in \mathfrak{g}\}$
とするとき,
$A(\mathfrak{g})=T(\mathfrak{g}\oplus Kz)/(R)$
IV. Prime and Primitive Ideal Spectrum
prime ideal の考察は Krull 次元, 及び局所化の存在や構成に関して重要で ある. 環 $R$ の prime ideal $P$ に対して,
$C_{R}(P)=$
{
$c\in R|$ $c.+P$ is an regular element in $R/P$}
と定め, prime ideals の集合 $X$ に対しては,
$C_{R}(X)=\cap\{CR(P)| P\in X\}$
と定める. これが Ore 集合 (locahhzable set) であるかどうかが, 環 $R$ の局所化
の存在性に影響してくる. $C_{R}(X)$ がOre 集合である条件は Jategaonkar [13] に
述べられている.
また, 既約表現を与える加群は単純加群であり, 環 $R$ 上の単純左四群 RS の
annihilator ideal
Ann$R(S)=\{r\in R|rS=0\}$
は primitive ideal と呼ばれる. $S$ は環 $R/Ann_{R}(S)$ 上の忠実加群 (faithful
module) で, この剰余環は primitive ring と呼ばれる. . Prime Factor Rings
一般に, (非可換) 環R の prime ideal $P$ による剰余環$R/P$ は和学になるとは
限らず, prime ring である (prime factor ring). しかし, quantum coordinate ring やある種の Lie 環の enveloping algebra の prime factor ring が聖域になっ
ていることは注目に値する. ここで, 非可換環に慣れていない人のために注意し
ておきたいことは, prime ring と整域 (domain) の違いである. prime ring とは, 零でないイデアルの annihilator が零しかないことで, 整域とは, 零でない元の annihilator が零しかないということである. 可換環の場合は同じ概念であるが,
非可換環の場合は異なっている. 例えば, 体上の全行列環は prime ring である
が, 埋門ではない. それでは, 幾つかの結果を掲げておこう.
(1) Goodearl and Letzter [9]
:
$q$ が1の固根でなければ, $\mathcal{O}_{q}(M_{n}(K))$ の任意の prime factor ring は整域である
.
更に, $\mathcal{O}_{q}.\cdot(.SL_{n}(K))$ は $\mathcal{O}_{q}.(M_{n}(K))$ の剰余環であり,
$\mathcal{O}_{q}(GL_{n}(K))\cong \mathcal{O}_{q}(SL_{n}(K))\otimes_{K}K1z,$ $z^{-1}]$
(2) Oh [22]
:
$\mathcal{O}_{q}(\mathbb{C}^{r\iota})$ の prime factor ring は全て整域である.(3) Dixmier
:
有限次元複素可解Lie環の enveloping $algebra$の prime factorring は全て整域である.
(4) Ringel [25]
:
$v$ を不定元, $\mathbb{Q}(v)$ を関数体とする. $\Delta$を有限次元複素半単純 Lie 環の Cartan matrix, $U=U_{q}(\Delta)$ を $\mathbb{Q}(v)$ 上の量子群 (in the
sense
of Drinfeld and Jimbo, and modified by Lusztig) とすると, $U$ は3角分解
$U=U^{-}\otimes U^{0}\otimes U^{+}$ を持つ. このとき, U の $(+)$-part $U^{+}$ は $\mathbb{Q}(v)$ から Ore
拡大を繰り返して得られ, その prime factor ring は全て整域である.
Queston
:
prime factor ring が整域にならない場合があるか?
Catenarity.環 $R$ の任意の2つの prime ideals $P\subseteq Q$ について, $P$ と $Q$ の問の prime
ideals のどんな saturated chain も同じ長さになるとき, $R$ は catenary と
言われる. ここで, prime ideals の列 $P_{1}\subseteq P_{2}\subseteq\cdots\subseteq P_{n}$ が saturated chain
とは, 各 $i$ について, $P_{i}\subseteq P\subseteq P_{i+1}$ となる prime ideal Pは乃か $P_{i+1}$になる
場合を言う.
$R$ が catenary なら, 任意の2つの prime ideals $P\subseteq Q$ に対して, 次の
“height formula” が成り立つ [31]
:
$ht(Q/P)+GK-\dim(R/Q)=GK-\dim(R/P)$
Gabber
:
有限次元可解 Lie 環の enveloping algebra は catenary である. この量子化として, 次のような catenary になる場合がある.(1) coordmate rlng $U_{\lambda}(A^{C}l$ of quantum affine n-space,
(2) coordinate ring $\mathcal{O}_{q}(M_{n}(K))$ of quantumn matrices,
(3) $q\in \mathbb{C}^{x}$ が1の巾根でないとき, $\mathcal{O}_{q}(GL_{n}(\mathbb{C})),$ $\mathcal{O}_{q}(SL_{n}(\mathbb{C}))$,
($\mathcal{O}_{q}(sL_{n}(\mathbb{C}))$ は $\mathcal{O}_{q}(GL_{n}(\mathbb{C}))$ の height one prime ideal による剰余環
である.)
Caldero [6], Malliavin [19].
(4) quantized enveloping algebra $U_{q}(\mathfrak{n}^{+})$
.
(ここで, $\mathfrak{n}^{+}$
Quantized
Function
Algebra$q$ を不定元, $\mathfrak{g}$ を有限次元複素半単純 Lie 環とするとき, 体
$\mathbb{C}$ 上の quantized
enveloping algebra $U_{q}(\mathfrak{g})$ の生成元と関係式は Joseph によって与えられた. Hopf
algebra $U_{q}(\mathfrak{g})$ の Hopf dual
$U_{q}(\mathfrak{g})^{*}=$
{
$f\in Hom_{K}(U_{q}(\emptyset),$ $K)|f=0$ on some ideal of finitecodimension}
には $U_{q}(\mathfrak{g})$ 上の comultiplication によって algebra の構造が入り, $U_{q}(\mathfrak{g})^{*}$ は
elementary abelian 2-group 上の skew group algebra になる. その座標環は
$U_{q}(\mathfrak{g})^{*}$ の sub-Hopf algebra であり, $\mathfrak{g}$ を Lie 環として持つ半単純代数群 $G$ の
quantized function algebra と呼ばれ, $R_{q}[G]$ で表される. $R_{q}[G]$ は Noether
整域で, $R_{q}[G]$ の prime ideal 及び primitive ideal は Joseph [14] によって分類
された. 特に, prime factor ring は全て整域である.
最後に, prime ideal と primitive ideal の例を掲げておこう.
例 (Quantum Plane)
:
$q\in \mathbb{C}^{X}$ とする. $\mathbb{C}$-algebra$\mathbb{C}_{q}[x, y]=\mathbb{C}<x,$ $y>/(yx-q^{-2}xy)$
を単に quantum plane と呼ぶ (Manin). これは Gelfand-Kirillov dimension
2, global dimension 2の Noether向陣で,
$\{X^{i}Y^{j}|i, j\geq 0\}$
. を $\mathbb{C}$
-基底に持つ. $\mathbb{C}_{q}[x, y]$ と $\mathcal{O}(\mathbb{C}^{2})=\mathbb{C}[x, y]$ の環構造は $q$ が1の巾根で
ないときは類似しているが, 1の身根のときは大きく異なる.
$q$ が1の巾根でないときは, $\mathbb{C}_{q}[x, y]$ の prime ideal は
(0), $(x),$ $(y),$ $(x-\alpha, y),$ $(x, y-\beta)$, $\alpha,$ $\beta\in \mathbb{C}^{X}$
が全てなので, 有限次元の単純加群は全て1次元である. また, 無限次元の
単純加群も存在し, (0) は primitive ideal, 即ち, $\mathbb{C}_{q}[x, y]$ は primitive ring
である. 更に, $(x),$ $(y)$ 以外の全ての prime ideal は primitive ideal である.
finite codimension の primitive ideal は $\mathbb{C}^{2}$
の $x$ 軸及び
y
軸上の点と1
対1
に 対応している.References
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