代数学1 No.6 2006. 5.24
2.2 行列の積
担当：市原¶ 行列の積 ³
`行m列の行列Aとm行n列の行列B
A=
a11 a12 · · · a1m a21 a22 · · · a2m
· · ·
a`1 a`2 · · · a`m
B=
b11 b12 · · · b1n b21 b22 · · · b2n
· · ·
bm1 bm2 · · · bmn
に対し,
xij =ai1b1k+ai2b2k+· · ·+aimbmk
としたとき,
x11 x12 · · · x1n x21 x22 · · · x2n
· · ·
x`1 x`2 · · · x`n
で定まる行列を,行列Aと行列Bの積ABと定義する.
µ ´
例 (
a b c d
) ( x y
)
= (
ax+by cx+dy
) (
a b c d
) ( x y z w
)
= (
ax+bz ay+bw cx+dz cy+dw
)
(a b c)
x y z
= (ax+by+cz)
a b c
(x y z) =
ax ay az bx by bz cx cy cz
例題 6 次の空欄を埋めなさい.
• 積ABが定義できるのは, 行列Aの の数と行列B の の数が一致して いる場合のみ.
• `行m列の行列とm行n列の行列の積は, 行 列の行列になる．
例題 7 次の行列の積を計算しなさい. (1)
( 4 3 2 1
) ( 6 7
)
(2)
( −2 1 0 3
) (
3 1
−2 6
)
(3) (
5
−7 )
(0 −1) (4) (−3 2)
( 2
(
1 4
−1 0
)
− (
0 −1 1 0
)) ( 4 0
)
6
代数学1 No.6 2006. 5.24
2.2 行列の積
担当：市原定理 3 (分配法則・結合法則) A, B, C, P, Q, R, X, Y, Zはそれぞれ行列,cはスカラーと する. このとき,次が成り立つ. ただし,積や和は定義できているとする.
A(B+C) =AB+AC, (P+Q)R=P R+QR, (XY)Z =X(Y Z)
問題 15 行列A=
( 1 −1 0 5
) ,B =
( 1 −1 1 0
) ,E =
( 1 0 0 1
)
に対し,次の値を計算しなさい.
(1)B3
(2)BAB−E3
(3)A(3B−5E) +EB
問題 16
(1)和A+Bは計算できるが積ABは計算できない行列A,Bの例を挙げなさい. またその和 A+Bを計算しなさい.
(2)積ABは計算できるが和A+Bは計算できない行列A, Bの例を挙げなさい. またその積 ABを計算しなさい.
(3)積ABは計算できるが積BAは計算できない行列A, Bの例を挙げなさい. またそのとき のABを計算しなさい.
(4)積AB,BAは共に計算できるがAB6=BAとなる行列A,Bの例を挙げなさい. またその ときのAB,BAを計算しなさい.
