九州大学学術情報リポジトリ
Kyushu University Institutional Repository
弾塑性有限要素法による地盤の応力・変形・支持力 解析
東, 孝寛
https://doi.org/10.11501/3151024
出版情報：Kyushu University, 1998, 博士（農学）, 論文博士 バージョン：
権利関係：
C
弾塑性有限要素法による地盤の応力・変形・ 支持力解析
東 孝 寛
199 9
次
第1章 序論 ………・…・・…・……...・H・...・H・..…...・H・..………・・………・……… 1 1.1研究の目的
1.2従来の研究 ・…・・…...・H・..…...・H・..………・…・…・・…・・…・・…・…・・…・・…・…・・…・・…・…・・・・……・…・・… 1 1.3本研究の概要 … ・・…・…・・…・・…・…...・H・..…・・…・・…・…・・… ・・…・・…・…・・…・・…・…..…・・…・…・・…..…… 2
第2章 弾塑性FEMによる圧密変形解析手法を用いた地盤の支持力評価手法
の一提案と非排水支持力解析への適用 3
2.1 はじめに ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…・・・・・・・・・・・…・・・・…・・・・…・・…・・・・ 3 2.2解析に使用した構成関係式 ・…・・…・・…・…・・…・・…・…・・…・・…・・…・…・・…・・…・…・・…..…・………・…・・…・・・ 3
2.2.1土の応力一ひずみ関係 …・…・・…...・H・..…・・…………・・…・・・・・・…・・…・・…・…・・…・・…・・…・…・・……….. 3 2.2.2間隙水の流れに関する基礎式 ・・…・…...・H・…・…・・…・・…・…・・…..…・・…... . ・H ・ . ..…・…・・…・・…・…・・….. 3 2.3弾塑性FEMによる支持力解析手法
2.3.1圧密解析の手法 2.3.2有限要素方程式 2.3.3地盤支持力の評価手法
4 4 4 5 2.4解析に使用した有限要素モデルと解析プログラム ・…・・…・…・・…・・…・…・・…・・…・……...・H・...・H・..…・・…. 5 2.4.1 有限要素モデル ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…・・・・…・ 5
2.4.2解析に使用した要素 ・…・…・・…・・…・………・…-………・…・・…・…・・…・....・H・..…...・H・..…・・…・・…・… 5
2.4.3圧密解析プログラム ・…・…・・…・・…・…・・…・・…………・・…・・…・…・・…・・…・…・・…...・H・....……...・H・ 6
2.5解析で使用する諸パラメータについての検討 ………・…....・H・...…..…・………・…....・H・...…・…・・…・・…... 6
2.5.1載荷圧増分f1qの決定 ……・…..…・・…………・・…・・…・…...・H・…....・H・..…・・………・…・・…・・…・ 6 2.5.2 T]， T2， N2の決定 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…・・・・・・…・・・・・・・・・・・…・・・・・・・・・・・…・・・・…・・・・・・・・・…・・・・ 7 2.6非排水支持力解析結果および考察 …・…・・…・…・・…・・…・…・・…・・…・…・・...・H・...…....・H・..…..…...・H・.... 8
2.6.1地盤の変位状況と破壊要素の分布 …...・H・..…・・…・・…………・・…・…・・…・・…・・…・…・・…・・…・…・・….. 8
2.6.2載荷圧qと沈下量ρcの関係 ・…・…・・…・・…・…・・…・・…・…・・…・・…・…・・…・・…・・…・…・・…・・…・…...・H・.. 9 2.6.3地盤の圧縮性が極限支持圧へ及ぼす影響 ・…...・H・..…・・…・…...・H・..…・・…・・…・・…………・・…・…… 10 2.6.4載荷幅が極限支持圧へ及ぼす影響 …...・H・..…・・…・・…・…・・…・・…・…・・…・・…………・・…・・…・…・・…・・ 10
2.7まとめ 11
第3章 弾塑性FEMによる異方正規圧密地盤の支持力解析
3.1 はじめに ・・・…...…・・・・・・・…・・・・・・・・・・・…・・・・・・・…・・・・・…・・・・・・…・・…・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 12 3.2深さ方向に均質な異方正規圧密地盤の非排水支持力解析 ・・…・…・・…・・…・…・・…・・…・…・・…・・…・・…・…・・….. 12 3.2.1有限要素モデルと境界条件 ………・・…・…・・…・・…・....・H・..…・・…・…・・…・・…・………・…・…・・…・・…・・… 12 3.2.2解析方法 …・…・・…・…..…・・…・・…・…・・…...・H・..…...・H・..…・・…...・H・..…・・…………・・…・…・・… 12 3.2.3解析結果および考察 ・…・…・・…・・...・H・..…・・…・…・・…・・…………・・…・・…-…・・…・・…・…・・…・・…..……. 13
3.2.3.1地盤の変位状況と破壊要素の分布 13
3.2.3.2載荷圧qと沈下量Pcの関係 …...・H・...…・…・・…・・…・…・・…・・…・・…・…・・…・・………・・…・・・ 13 3.2.3.3支持力係数Ncと静止土圧係数Iらの関係 ・・…・…..…..…・…・・…・・…・…・・…・・…・・…・…・・・…・…・…・・ 14 3.3深さ方向に不均質な異方正規圧密地盤の部分排水支持力解析 ...・H・…・…・・…・・…・・…・…・・…・・…・…...・H・. 14 3.3.1有限要素モデルと境界条件 ・…・・…...・H・..…・・…・・…・…・・…・・…....・H・..…・・……...・H・..…・・…・・・・ 14 3.3.2解析方法 …-…・・…-…..…・・…・・…・………・…・…・・…・・…・…・・…・・…・・…・…・・…・・…・………・…・…・・… 15 3.3.3解析結果および考察 ・・・・・…・・…・・…………・・…-…・・…・・…・・…・…・・…・・…・…・・…・・…・…・・…・・…・・…・・・ 16 3.3.3.1地盤の変位状況と破壊要素の分布 ……・・…・…・・…・・…・…・・…・・…・・…・…・・…………・・…・・…・…・・・・ 16 3.3.3.2載荷圧qと側方変位量6の関係
3.3.3.3地盤の極限支持圧qfと透水性(k，o)の関係 3.4まとめ
17 19 19
第4章 動水勾配の評価法の違いが圧密解析結果へ及ぼす影響
-赤井・ 田村の圧密解析法についての一検討- ・・……...・H・..………...・H・..…...・H・H・H・.... 20 4.1 はじめに ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…・・・・・・・・・・・ 20 4.2連続条件式の差分近似 ……・…・・…・・…-…・・…・・…・・…・…・・…………・・…・・…・…・・…・・…・・…・…・・…・・・…… 20
4.2.1連続条件式の後退差分近似
4.2.2 A法における連続条件式の差分的表現 4.2.3 B法における連続条件式の差分的表現
20 20 20 4.3圧密解析における両手法の比較 …・…・…・・…・・…・…・・………・…・…・・…・・…・…・・…・・…....・H・..・…・…・・….. 22
4.3.1解析方法について …・・…・・…・…・・・・……・・・……・・…………・・…・・…・…・・…・・…・・…・…...・H・…・…・・…... 22 4.3.2一次元圧密解析の場合 ・…・・…・…・・・…・…・…・・…...・H・..…・・…・・…・…・・…・・…・…・・…・・…・…・・…・・…. 22 4.3.3二次元圧密解析の場合 ・…・・…・…・・…・・…・…・・…・・…・…・・…・・…………・・…・・…・…・・…・・…・…・・…・・…. 25 4.4 まとめ ・・・・・・・・・・…・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…・・・・・・・…・・・・・・・・・・…・・・・・・…・・・・・・…・・・・・・・…・・・・・・・・・・・…・・・・・・・…... 27
第5章 有限変形弾塑性FEMによる地盤の圧密変形解析 ………...・H・..……・・…...・H・..………… 28 5.1 はじめに ・ ・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…・・・・……・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…・・・…・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…・・・・・・…. 28 5.2有限変形弾塑性FEMによる圧密変形解析の定式化 ………・…・・…...・H・..…・・………...・H・...…・…・・…・・・ 28
5.2.1有限変形解析の定式化手法 28
5.2.2解析に使用した構成関係式 ・………・…・………・…・・…・…・・…・・…・…・・…・・…・…・・…・・…-…・・………・… 28 5.2.2.1土の応力速度一ひずみ速度関係 ・・…・…・・…・・…・…..…..…-…...・H・……・…・・………...・H・...…・…・ 28 5.2.2.2問隙水の流れに関する基礎式 ・・…・・………・…・…・・…・・…・…・・…・・…・…・・…・・…・・…………・・…・…・ 29 5.2.3有限要素方程式 …・・…・・…・…・・…・・…・…・・…・・…・…………...・H・…...・H・..………-…・…・・…・・…・…. 29 5.2.3.1つり合い方程式の離散化 ・・…...・H・H・H・....・H・..…・・…・・……...・H・-…・…・・…・・…・………・…・・…・ 29 5.2.3.2連続式の離散化 ...・H・...…・・…・・…・…・・…・・…・・…....・H・...…・…・・…・・…....・H・...・H・..…・・…・・・・ 31 5.3解析に使用した有限要素モデルと解析プログラム …・…・…・・…・・…・…・・…・・…………・・…・・…・…・・…・・…・・・ 32 5.3.1 有限要素モデル ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・……・・…・・・・・・・…・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 32 5.3.2解析に使用した要素 ・…・…..…・・・・・・・…・…・・…・…・・…・・…・・…・…・・…・・…・…・・…・・…・…...・H・...…・… 33 5.3.3圧密解析プログラムと解析方法 …・・…・…・・…・・…・…・・…・・…………・・…...・H・..…・・…・…...・H・..…・ 33 5.4解析結果および考察 ・・…・・…・・…・・…・…..…・・…・…・・…………・・…………・・…・・…………・・…・・……...・H・. 33
5.4.1要素タイプ， 要素サイズが解析結果へ及ぼす影響 33
5.4.2地盤の圧縮性が解析結果へ及ぼす影響 ・…-…・・…・・…・…・・…・・…..…・…・・…・・…・…・・…………・・…・・…・ 34 5.4.2.1載荷面中央地表面の沈下挙動 ・…・…・・…・・…・…・・…・・…・…・・…・・…・・…・…・・…・・………... 34 5.4.2.2載荷面端部の側方変位挙動 ・・…・・…・・…………・・…-…・・…・・…・…...・H・...…・…・・…・・…・…・・…・・・・ 35
5.4.3地盤の透水性が解析結果へ及ぼす影響 36
5.4.4載荷幅と地表面沈下量の関係 37
5.5まとめ 38
第6章 有限変形弾塑性FEMによる地盤の支持力解析 39
6.1 はじめに ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…・・・・・・・・……・・…・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…・・・・・…・・・・・・・・・ 39 6.2解析に使用した有限要素モデルと解析方法 …・・…・・…・…・・…・・…・…・・…・・…・………・…・・…・…...・H・…-…・ 39 6.3解析結果および考察 ・・…・・…・・…・・…・…・・…・・…・…・・…・・…・…・・…・・…………・・………...・H・...…-…・・…・・ 39
6.3.1要素タイプ， 要素サイズが解析結果へ及ぼす影響 39
6.3.2地盤の圧縮性と極限支持圧の関係 …・・…・・…・…・・…・・…-…・・…・・…・…・・…・・…・・…・…・・…...・H・..…. 41 6.3.3載荷幅と極限支持圧の関係 …・…・・…・・…・…・・…・・…・…・・…・・…・…・・…・・…・・…・…・・…・・…・…・・…... 43
6.4まとめ 44
第7章 有限変形弾塑性FEMによる盛土基礎地盤の圧密変形解析
-有明干拓新白石排水樋門右岸側取付堤防の場合 ………...・H・..…...・H・..…・・ 45
7.1 はじめに ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…・・・・・・・・・・・・・・・・・…... 4 5 7.2有限要素モデル化と材料定数 ・…・…・・…...……・・…・・…....・H・...…・・…・…・・…………・・…・・…・…・・…・・…... 45
7.2.1解析対象地区の概要と土質 45
7.2.2有限要素モデル ・・…・・…・…・・…・・…・・・……・・…・・…・…・・…・・…・…・・…..…・…・・………・…・…・・…・・…・・・ 45 7.2.3材料定数の決定方法 ・・…・・…・・…・・…・…・・…...・H・..…・・…・…・・…..…・・…・…・・………...・H・...…・…... 47 7.2.3.1未改良粘土層の材料定数 …・…・・…・…・・…・・…・…・・…・・…・…・・…・・…・・…・…・・…・・…・…・・…・・…・… 47 7.2.3.2改良粘土層の材料定数 …・…・…・・…...・H・H・H・ -…・…・・…・・…・・…・…...・H・..…・・…・・…・…・・…... 48 7.2.3.3砂層の材料定数 ……・・…・…・・…・・…・…・・…・・…・…...・H・...…・………・…-…・・…・・…....・H・..…… 48 7.2.4解析手順と解析で使用した材料定数 ・・・・……・・…・…・・…...・H・...・H・..……....・H・H・ H・-…・・…・・…・….. 48
7.3解析結果および考察 …・…...・H・..…・・…・・…・…・・…・・…・・…・…・・…………・・…・・…………・・…...・H・..… 49 7.3.1地盤の変形状態 …・・…・・…・…・・…・・…・…・・…...・H・..…・・…....・H・..……...・H・..…………・・…………. 49 7.3.1.1地表面のU方向変位九 ……・・…....・H・-・・…・・…・…・・…・・…....・H・..…...・H・...…・・…・…..…・・…・… 49 ( a)微小変形解析結果 ・………...・H・H・H・..………...・H・...・H・...・H・..………...・H・..…...・H・. 49 (b)有限変形解析結果 ...・H・..…...・H・...・H・..……...・H・H・H・..…...・H・...・H・..…... ・H・-……...・H・.... 50 (c)帯水層の地下水位変動を考慮した有限変形解析結果 …………...・H・..……...・H・..…...・H・...・H・..…. 51 7.3.1.2層別沈下計設置地点の標高によるy方向変位九の変化 ・・…・…・・…・・…・・…・…・・…・・…・…・・…・・…・…・ 51 7.3.1.3孔内傾斜計設置地点の標高によるz方向変位九の変化 ・…・………・…・・…....・H・...…・…・・…・・…・…・ 52
7.3.1.4周辺地盤の変位状態 52
7.3.2地盤内の応力状態 ・・…・・…・・…・…・・…...・H・...・H・...・H・H・H・-…・…...・H・...・H・...…・…・・…・・… 52
7.4まとめ 54
第8章 結論 56
謝辞 ...・H・...・H・..………...・H・...・H・...・H・..…...・H・...・H・H・H・..…...・H・..…...・H・..…...・H・...・H・ 59 参考文献
英文要約
第1章 序論
1.1研究の目的 一方， 土の弾塑性構成式や弾・粘塑性構成式を組み込んだ
軟弱な粘土地盤上に盛土を行う場合， 盛土の進行に伴い，
地盤は沈下や側方への流動を起こす. さらに盛土を続けると，
最終的には破壊へと至る. このような載荷開始時から破壊す るまでの地盤の変形挙動を， 適切な土の構成式を組み込んだ 有限要素法(FEM; Finite El ement Method)による圧密変形 (土/水連成)解析によって統一的に解析できることが望まれ ている. しかしながら， 通常のFEMによる圧密変形解析は，
破壊( 極限)状態に近いところまでの変形解析には適用できる が， 地盤の破壊状態の解析， つまり地盤の支持力解析には不 向きとされ， 地盤の支持力解析には， 粘塑性計算(仮想粘性 法)を取り入れたFEM(以後， 粘塑性FEMと呼ぶ)や剛塑性 FEMが用いられてきた(飯塚ら， 1987;柴田・関口， 1995) FEMによる変形解析には， 幾何学的な形状変化(幾何学的 非線形性)が内力のつり合い条件や境界条件に及ぼす影響を 考慮しない微小変形解析と， その影響を考慮する有限変形解 析がある. 従来， 地盤の変形解析には， 一般に微小変形解析 が用いられてきた. しかし 圧縮性が大きい軟弱地盤上の盛 土のような場合， 幾何学的な形状変化が変形や地盤支持力に 及ぼす影響を考慮する必要がある. そこで， 地盤の圧縮性や 透水性， あるいは載荷幅等の違いが， 有限変形解析による圧 密変形解析結果や支持力解析結果に及ぼす影響について， 微 小変形解析による圧密変形解析結果との比較を通して検討し ておくことは， 土構造物の設計等の実務においても有益であ る.
本研究においては， 弾塑性FEMによる圧密変形解析手法 を用いて載荷から破壊に至るまでの地盤の変形挙動を連続し て解析する実用的な手法を提案し その適用性を検討するこ と， および提案手法を使用して， 幾何学的な形状変化が地盤 の変形や支持力へ及ぼす影響について明らかにすることを目 的としている
1.2従来の研究
FEMによる圧密変形解析は， 前述したように地盤の支持 力解析には不向きとされ， 粘塑性FEM(例えばZienkiewicz et al. ， 1975; Gri而ths， 1982;小林， 1982;飯塚ら， 1987) や剛塑性FEM(例えばTamu日et al. ， 1984， 1987)が地盤 の支持力解析に用いられてきた. 粘塑性FEMによる支持力 解析では， 二次のアイソパラメトリック四辺形要素を使用し，
土を弾完全塑性体としてモデル化することが多い(Griffiths，
1982 ;小林， 1982;飯塚ら， 1987). しかし， この場合， 破
壊までの地盤の変形挙動を的確に捉えることはできない. ま
た， 土を剛塑性体として取り扱う剛塑性FEMは， 地盤支持 力や破壊後の挙動の解析には有用であるが， 載荷から破壊に 至るまでの変形過程についての解析を行うことはできない.
FEMによる圧密変形解析手法を用いた支持力解析結果が， 柴 田・関口(1980)， Asaoka and Ohts山a(1986， 1987)， Asaoka
t a1.(1992)により報告されている. 柴田・関口(1980)は， 漸 増盛上載荷を受ける異方正規圧密地盤の破壊に及ぼす地盤の 透水性の影響を， 弾・粘塑性FEMによる圧密変形解析結果 をもとに， 破壊予測の観点から検討している. Asaoka and Ohtsuka(1986)は， 弾塑性FEMによる圧密変形解析と剛塑 性FEMを用いて， 異方正規圧密地盤に帯状等分布荷重が作 用するときの非排水条件下の支持力解析を行ない， 圧密変形 解析結果から外挿法によって求めた地盤支持力と剛塑性FEM から求めた地盤支持力を比較している. 一方， Asaoka and Ohtsuka(1987)， Asaoka et al.(1992)は， 弾塑性FEMによ る圧密変形解析と剛塑性FEMを組み合わせて， 異方正規圧 密地盤に帯状等分布荷重や帯状台形分布荷重が作用するとき の部分排水条件下の支持力解析を行い， 部分排水効果につい て調べている. 庄子ら(1987)は， 弾塑性FEMによる圧密変 形解析と粘塑性FEMを組み合わせることによって， 非排水 および、部分排水条件下において， 地盤の破壊時まで安定した 解析ができることを示している.
これらの解析( ただし， 庄子ら(1987)の研究を除く)におい ては， 帯状分布荷重の作用する正規圧密飽和地盤の非排水，
あるいは部分排水条件下の地盤の変形挙動についての解析が 行われているが， 地盤が破壊状態に達するまでの解析は行わ れずに， 地盤の極限支持力は， 外挿法を使用したり， あるい は剛塑性FEMや粘塑性FEMを併用して決定されている. ま た， すべての解析で使用されている赤井・田村の圧密変形解 析手法(赤井・田村， 1978)においては， 通常， 二つの定ひず み三角形要素から成る四辺形要素が採用される. この定ひず み三角形要素は， 非圧縮性に近い変形の場合に過拘束となり (例えば田村， 1986;伊東・市川， 1994)， 変形をさせにくく するロッキング現象 (富田， 1990)を起こしやすい. このこと は， 定ひずみ三角形要素からなる四辺形要素を使用し， 土の 構成式として関口 ・ 太田モデルや修正Carn-Clayモデルなど の限界状態モデルを用いて圧密変形解析を行う場合， 要素の 応力状態が限界応力状態に近づくと， 弾性体積ひずみ速度と 塑性体積ひずみ速度がともに0に近づき， 過拘束の状態とな るため， ロッキング現象が発生し， 地盤の破壊現象を的確に 捉えることができなくなることを示唆している.
地盤工学分野でのFEMによる応力・変形解析の多くは， 従 来， 微小変形理論に基づいて行われてきた. FEMによる地盤 の圧密変形解析に有限変形理論を適用した研究は， 極めて少 ない. Carter et al.(1977， 1979)は， 応力速度としてCauchy 応力の共回転速度(Jaumann rate)を用い， 有限変形理論に基 づいた圧密変形解析の定式化を行い， 線形弾性地盤や弾塑性 地盤の一次元および二次元の圧密変形解析を行っている. ま た， Asaoka et al.(1997)は， 土の構成関係が等方線形弾性モ
デルで与えられる地盤の圧密変形について， 有限変形解析と 微小変形解析を行い， 幾何学的な非線形性が解析結果へ及ぼ す影響について検討している.
方， 大きな変形を伴う地盤の破壊現象やひずみが集中す る明断帯についての研究が， 近年は精力的に行われ， 有限変 形理論に基づく興味ある解析結果が報告されている(例えば Yatomi eも al.， 1989a， b;浅岡・田村， 1994). Yatomi et al.(1989b)は， 非共軸項を加えたCam-clayモデルを用いて，
有限変形解析により粘土地盤上の剛なフーチング基礎の支持 力解析を行い， 明断帯について検討している. また， 浅岡ら (1997a， b)は， 均質な等方正規圧密地盤について， Cam-clay モデルを使用して， 有限変形圧密変形解析による非排水およ び部分排水支持力解析を行い， 地盤の圧縮性や載荷速度が地 盤の変形状態や支持力へ及ぼす影響について調べている.
1.3本研究の概要
本論文は， 第1章から第8章までの8章で構成されている.
以下に， 各章の要旨を記す.
・ 第1章では， 研究の目的を明確にし， 弾塑性FEMを 用いた圧密変形解析手法による地盤の支持力解析， お よび有限変形理論に基づく圧密変形解析についての従 来の研究を紹介した. さらに， 本論文の概要を示した.
・ 第2章では， 微小変形理論に基づいた弾塑性FEMに よる圧密変形(土/水連成)解析手法を用いて地盤の支 持力を評価する一手法を提案し， 帯状等分布荷重が作 用する等方均質な正規圧密飽和地盤の非排水条件下に おける支持力解析を行い， 提案した支持力評価手法の 適用性について検討した. 同時に， 解析に使用する要 素タイプ， メッシュ(要素)サイズ， 地盤の圧縮性， 載 荷幅の違いが解析結果へ及ぼす影響について検討した.
・ 第3章では， 第2章において提案した弾塑性FEMに よる圧密変形解析手法を用いた支持力解析法を， 帯状 分布荷重の作用する異方正規圧密状態にある飽和地盤 の非排水， および部分排水条件下の支持力解析に適用 した. 特に， 帯状等分布荷重が作用する深さ方向に非 排水強度が一定である地盤の非排水支持力解析におい ては， 載荷に伴う地盤の変位状況と破壊域の拡大につ いて検討し， 地盤の非排水支持力については， 特性曲 線法や仮想粘性法を用いたFEMによる計算結果と 比 較した. また， 提案手法を応用した帯状台形分布荷重 が作用する深さ方向に非排水強度が直線的に増加する 地盤の部分排水支持力解析においては， 地盤の透水性 と地盤支持力の関係， および載荷圧増分と盛土法尻部 に当たる地表面の側方変位増分の比として定義される 側方変形係数と地盤の破壊の関係について検討した.
・ 第4章では， 有限変形解析の前段階として， FEMに よる圧密解析法として多用されている赤井・田村の圧 密解析法において， 連続条件式を差分近似する際の動
水勾配の評価法(要素重心聞の間隙水圧(過剰間隙水圧) や全水頭の差から， x(水平)， y(鉛l1t)方向の動水勾配 を差分的に求める方法(A 法)と， 重心問の動水勾配を 間隙水圧(過剰間隙水圧)や全水頭の差から直接差分的 に求める方法(B法)が使用されている)の違いが解析結 果へ及ぼす影響について検討した. 具体的には， 三角 形要素から成る一次元と二次元の圧密解析モデルにつ いて， A， B両手法を用いた赤井・田村の圧密解析法に よる圧密解析を行い， 解析から得られた結果と同じモ デルについての理論解， あるいはSandhu流の圧密解 析結果との比較を通して， A， B両手法による解析結果 の差異について検討した. また， B法を透水性が異方 的である地盤へ適用できるように拡張した.
- 第5章では， 最初にupdated Lagrange流の定式化 手法に基づいて， 有限変形弾塑性FEMによる圧密変形 解析手法の定式化を行った. 次に， 構成関係が関口・太 田の弾塑性モデルで与えられる等方均質な正規圧密飽 和地盤に帯状等分布荷重が作用する場合について， 要 素サイズが異なる二つの有限要素モデルを用いた有限 変形解析と微小変形解析による圧密変形解析を行い， 地 盤の圧縮性， 透水性， および載荷幅の違いが， 載荷面 中央地表面の沈下挙動と載荷面端部の側方変形挙動へ 及ぼす影響について検討した. また， 同時に解析に使 用する要素タイプ， メッシュ(要素)サイズの違いが解 析結果へ及ぼす影響を明らかにした.
・ 第6章では， 第2章と第5章で示した微小変形理論 と有限変形理論に基づいた弾塑性FEMによる圧密変 形解析手法と第2章で提案した支持力評価手法を用い て， 帯状等分布荷重の作用する等方均質な正規圧密飽 和地盤の非排水支持力解析を行い， 有限変形解析と微 小変形解析結果の差異について検討した. 特に， 解析 では， 地盤の圧縮性， 載荷幅を変化させた解析を行い，
地盤の圧縮性や載荷幅の違いが載荷圧と載荷面中央の 地表面沈下量の関係に及ぼす影響について検討した. ま た， 同時に解析に使用する要素タイプ やメッシュ(要素) サイズの違いが解析結果に及ぼす影響についても検討 した.
・ 第7章では， 第2章と第5章で示した微小変形理論 と有限変形理論に基づいた弾塑性FEMによる圧密変 形解析手法と第2章で提案した支持力評価手法を， 佐 賀県の有明干拓新白石排水樋門の右岸側取付堤防の建 設に伴う基礎地盤の挙動解析に適用した事例を示した.
微小変形解析結果および有限変形解析結果と層別沈下 計， 孔内傾斜計や沈下板による動態観測結果を比較し.
両解析手法および提案した支持力評価手法の適用性に ついて検討した. また， 原位置で発生した地盤沈下の 影響を検討するために， 帯水層(砂層)の全水頭の変化 を考虚した有限変形解析を行った.
・ 第8章では， 各章において得られた結論を総括した.
弾塑性FEMによる圧密変形解析手法を用いた地盤の支持力評価手法の 提案と非排水支持力解析への適用
第2章
θf δσLU
8f ， δf Z一一+20一一一
8p' δσLz -θf ， ー θf L一一+2G 一一-
8p' δσら θf ， θf L一一+20一一一
8p' δσ;z
[ L
L( :� (
笠)
'ここに，{L1σ斗L1O"�y L1σ�z L1σゐ}T:有効応力増分，{L1E:r::r:
L1Eyy L1ì:r:y}T :ひずみ増分であり， L， 0はLamé定数であ る.ただし，記号Tは転置をとることを意味する.
なお，上式で用いた記号は以下の通りである.
f:r:y C1 2.1はじめに
本章では，最初に本研究の基本となる微小変形弾塑性FEM による圧密変形解析手法を用いた地盤支持力の評価手法につ いて述べている.次に，この支持力評価法を帯状等分布荷重 の作用する等方均質な正規圧密飽和地盤の非排水支持力解析 に適用し，提案手法の適用性と解析に使用する要素が解析結 果へ及ぼす影響について検討している.
C2
+2C
{
(が
+(えと)
'+(長)' + 2
(が}]
+者
C3 C4 2.2解析に使用した構成関係式
2.2.1土の応力一ひずみ関係
本研究においては，土の構成モデル( 応力一ひずみ関係)と してSekiguchi and Ohta(1977) によって提案された弾・粘塑 性モデル( 関口・太田モデル)を粘性(クリープ特性)を考慮し ない形で使用した.粘性を考慮しない場合，関口・太田モデ ルの降伏関数fは次式で与えられる.ただし，応力は圧縮を
正とする. また，関数fの有効応力成分に関する偏微係数は，式(2.4)，
(2.5) で与えられる
p u - η1
-D +\1Illlノ IP一品/flit-、
n κ一向
二
+入一1一一 -Id
(2.4) DI入-κ 3
，
1一 〈
一行制(ηkl-ηkLO)μり3p'
L
(1 + eo)D リj+
2若品:誌号2志-;-
(付η川gり…JDI 入一 κ 3 、l
pï L
(1 + eo)D -2'f/.
η川k lーηk川f
3 (
Mーが
(ηkl - �klO)}
θf θσ'
θf θ p'
(2.5) ここに，À:等方圧密試験から得られる圧縮指数(= 0.4343Cc，
Cc :圧縮指数)，κ: 等方膨潤試験から得られる膨潤指数(=
0.4343C5， Cs:膨潤指数)，p':平均有効主応力，pb :平均有 効主応力の初期値，eo :土が pbの圧力で圧密されたときの間 隙比，fJ:土のダイレイタンシー特性を表すパラメータ，♂:
塑性体積ひずみである.
また，式(2.1)中で用いられている応力パラメータVは，式 (2.2)のように表される
、‘.，，F 1EEA つムM ，，i、
ここに，8り:l<roned王位の記号，M = (入ーκ)パ(1+eo)fJ}
である
Lamé定数L，oは，接線弾性係数E，有効応力に関するポ アソン比〆を用いると 次式のように表される.
ここに，ηり=sり/p'(S'J: 偏差応力テンソル)，'f/t)o:ηりの 初期値である.二次元平面ひずみ状態では，(ηり
一
ηり0)(ηり
'f/iJO )=(η11一η1川2+(η22一η2刈2+(η33ーη330)2+2(η12 ー η120 )2となる.
関口・太田モデルから誘導される二次元平面ひずみ条件の 応力一ひずみ関係をマトリックス表示すると式 (2.3)のように なる(松尾ら，1981).
(2.6) (2.7) 〆E
(1 +〆)(1E
-
2v')2(1 +〆) L
G (2.2)
j(ηリ-'f/tJo)(ηり- 'f/iJO) η =
Eは次式に従って変動するパラメータ とした.
， pa 、11 J 目FE Uq L 一 1tム一
V八一κnu -
e一+一司 1 A 一 ，， ・z ‘ 、 - 勺J一
E
ただし，
(2.8 )
2.2.2間隙水の流れに関する基礎式
自然地盤は成層構造を持つため透水性は異方的であること が多いが，本研究では次式で表される等方性のダルシ一則を 使用した.
2511(
L+2G L L O -G
qA
+一LLOTU 「111111111111E'L「EEEEEEEEEEEEEEEEE」
4σ�:r: ) 4σら l
_
4σ�z ( - 4σ�y
J
í
C?__!__I
C1C2C4
I
C103L
20f:r:y01k一% 町山一句 k一川 d一 n Pコd
Aε:r::r: � Aεyy ( Aγ:r:y J 0102
C203 C2
2 Gf:r:yO2
(2.3) 3
ここに. V�'. !Iy. じ:それぞれI. y. :;判j)J向の問|喋水の 流速 k' 透水係数. /11':間隙水のtl1位体積重量• Pwe 過剰 間隙水圧である .
2.3弾塑性FEMによる支持力解析手法
2.3.1圧密解析の手法
FEMによる圧密 解析手法には， Sandhu流(Sandhu and Wilson，1969)とChristian流(Christian and Boehmer，1970
，赤井・田村，1978)の二つの解法がある.両手法ともにそれぞ れ長所・短所があるが， 非排水条件下における解析の安定性 の面からはChristian流の解法がすぐれているとされている (荒井ら，1983 ;山上・田村，1989b)
本研究では，飽和粘土地盤の非排水条件下ある いは部分排 水条件下の支持力を，弾塑性FEMによる変形 解析から評価す ることを目標としている. そこで，圧密解析手法として非排水 条件下の解析において安定性の面ですぐれている，Christian
流の拡張法である赤井・田村の手法を採用した.
2.3.2有限要素方程式
二次元平面ひずみ問題を 解析 するための有 限要素方程式 を，柴田・関口(1980)と赤井・田村(1978)の文献を参考に して示すことにする. 変位増分.ðx， .ðyを成分とするベクト ルを{.ðu}と表示し ， つり合い方程式を満足する全応力増分 {Llσ}T = {.ðσxx .ðσyy .ðσxy}に対して仮想仕事の原理を用
いれば， 式(2.10)が成り立つ.
I
{.ðt}T {.ðσ}dV =I
{.ðt}T{.ðσ'}dVJV JV
+
I
{.ðt}T {.ðPwe}dV JVI
{.ðU}T{.ð凡}dV JV+
I
{.ðU}T{.ð乙}dS JS(2.10)
ここに，{.ðε}T={.ðεxx .ðεyy .ðγxy}， {.ðσ'}T = {.ðσ;Z Lla�y .ðσ�y}， {.ðPwe}T = {.ðPwe .ðPwe O}， {.ð凡} :物体 力増分ベクトル，{.ðTs}:表面力増分ベクトルである. なお，
上式においてパー記号は その物理量が 仮想変位に関するも のであることを表す.
有限要素の節点における変位増分をまとめて，{.ðぷ}とベ クトル表示すれば，要素内の任意の点における変位増分{.ðu}
は，形状関数マトリックス[N] を用 いて式(2.11)のように表 すことができる.
p叫司
川l中i;�P岬
yし l
Fig.2-1連続条件式の差分的表現 Finit巴differential expression of continuity equation
.ðév = -[Bv]{.ð♂} (2.13) 他方，要素の過剰間隙水圧増分.ðPweを要素重心における増 分値.ðp:Veで 代表させると ，過剰間隙水圧増分.ðp山のベクト
ル表示は式(2.14)のようになる
{.ðPwe}T = {1 1 O}.ðP:e (2.14)
また， 有効応力増分{.ða'}は， 式(2.3)に示 されている よ うに，ひずみ増分{.ðε}と次 式のように関係づけられる.
{.ðσ'} = [Cep]{.ðε} (2.15)
ここに，[Cep] は3行3列の弾塑性マトリックス(式(2.3)で 4σ;zに関係する成分を除く)である
土骨格の変形を支配するマトリックス方程式は， 式(2.10) に式(2.11)'"'-'(2.15)を代入し ，仮想変位を任意に選び得るこ とを考慮すれば， 式(2.16)で 与えられる
[K]{.ð♂}π+ [Kv]P:elπ= {.ðQ}π+[KV]P:eln-l (2.16) ここに，下添字ηは計算ステップ番号を表す. なお，式の 誘導の際， .ðP:e = p:Ve I n -p:Ve I n-lの関係を使用している.
式(2.16)中の[Rl，[Kv] ， {.ðQ}は，式(2.17)'"'-'(2.19)で表 される
[判 =
I
[Bf [C叩][B] dV (2.17) JV[R-v] = -
I
[Bvf dV (2.18) JV{.ðQ} =
I
[Nf {.ð凡} dv+/
[Nf{.ð乙} dSJ'V J S
(2.19) 次に，間隙水の流れを支配するマトリックス方程式は，Fig.2
{.ðu} = [N]{.ðu.} (2.11) -1に示す中央の要素に対する連続方程式の差分的表現を求め ，
上式に対応して， 要素内の任意の点におけるひずみ増分 {Llé}と体積ひずみ増分.ðévは， 節点変位増分と関係づけら れ， それぞれ式(2.12)， (2.13)のように表すことができる
{Llε} = -[B]{Llu.} (2.12)
式(2.18)の定義を用いることによって以下のように与えられ る(赤井・田村，1978).
[I\"vf {Llu.}n + ßルIn+
乞
(ß.ふ.)n= 0 (2.20).=1
ここに， ßl = (k.!J.t/γw)(sl /h)， ß2 = (k.iJ.t/γ叩)(S2 / 12)，
ß3 ニ(k. iJ.t/γω)(S3/l3)， ß4 = (k . iJ.t/γω)(s4 /14)， ß = ー(ßl+仇+仇+ム) であり， iJ. tは第η番目のステップにお ける時間差分， l，は要素zの重心と中心要素の重心問の距離，
s，は排水面の幅である. ただし， Fig.2-1中の各要素の奥行 は単位長である.
問題を解くにあたっては， 式(2.16)と式 (2.20)を全要素に ついて重ね合わせて得られる全体剛性方程式を逐次解いてい けばよい. なお， 非排水挙動を支配する方程式を導くには， :ê (2.20)でβ=ßl=ß2=ß3=仇=0として得られる式(iJ.t= 0あ
るいは k = 0の場合の方程式)と式(2.16)を連立させればよ しミ
2.3.3地盤支持力の評価手法
地盤支持力を評価する手法として， 適切な土の構成式を使用 したFEMによ る圧密変形(土/水連成)解析手法を用いると，
非排水あるいは部分排水条件下の支持力だけでなく， 載荷時 から破壊時までの地盤の変形挙動を的確に捉えることができ る. FEMによる圧密変形解析手法を用いて地盤支持力を評価 する手法として， 以下に述べるような方法を採用した.
(1 )時間増分iJ.t， 載荷圧増分iJ.qを与えて増分解析を行う.
ただし， 最初からiJ.t， .ðqをあまり小さく設定すると， 増 分解析におけるステップ数がかなり多くなる. そこで， 解 析初期から使用する11t. iJ.qとしては. 11t， iJ.qの大きさ を変えた予備解析を行い. 要素の応力レベルが低い範囲 において， 解析結果へ及ぼす影響が許容できる範囲でな るべく大きな値を設定する. なお， 本解析のように粘性 (クリープ特性)を考慮しない場合において. k=Oとして
非排水解析を行うときは， iJ.tは任意の値でよい.
(2)要素の応力状態が限界応力状態に近づくにつれて， 設 定したiJ.qに応じたrの変化量も大きくなる. そこで， 応 力レベルが高い範囲での計算精度を確保し， (3)で規定し ている要素の破壊状態を維持するために， nlステップ の増分解析終了時の任意の要素の応力状態が式(2.21)を 満たした後は， 時間増分， 載荷圧増分をそれぞれiJ.t/N1，
iJ.q/N1(N1 : 2 以上の整数)に変更する.
土 |
M-3
7ηkl (ηkl-17klO)1
三 rl (2刈A1 I 占1."，n . \ .，'... .. ，.... .."'" II
ここに， rl 定数( 0.0---0.5)である.
(3)任意の要素の応力状態が式(2.22)を満足したとき， その 要素は限界応力状態にあるとみなし， その要素を破壊要素 と呼ぶことにする
<一
竹川，
nリ3
一
町M ー
一
M (2.22)ここに， r2 定数(::; rl)である
(2)でも述べたように載荷圧qが大きくなり， 要素の応 力状態が限界状態に近づいてくると， わずかなqの増加で もfの急激な増加をまねく. そこで， 要素の応力状態が 3ηkl (ηkl -ηkLO)/ 217+ > (1+r2)Mとならないように， 適
切な載荷圧増分iJ.q/N1を与えるN1の値を採用する必要が ある. さらに， 限界応力状態にある要素では， 強制的に 3ηkl (ηkl -17kLO)/(217*) = Mとおいて， 要素の弾塑性マト リックスcepを決定する. この場合， c，epはvon Misesの 降伏条件を用いた弾完全塑性体のそれと一致する(赤井・
田村，1978).
(4)さらに増分解析を進めて行き， 応力状態が式(2.22)を満 たす要素， あるいは3ηkl(ηkl一ηkLO)/(217*)> (1 + r2)M となった要素が始めて載荷面から載荷面以外の地表面ま で連続して出現する(本研究ではこの状態を地盤の破壊と 見なす)増分ステップ(nf番目のステップとする)を捜し出 す. ただし， 地盤が破壊する付近では， 計算結果の出力を 載荷圧増分11q. つまりN1ステップごとに行っているので，
nfステップにおけるqは極限支持庄町の概略値である.
(5)時間増分， 載荷圧増分をそれぞれiJ.t/N2 ， 11q/N2(N2 はN1以上の整数)に変更して， 再度， (nf -Nl)ステップ 以降の解析を行い， 応力状態が式(2.22)を満たす要素， あ るいは3ηkl(ηkl一ηklO)/(217*)> (1 + r2)Mとなった要素 が始めて載荷面から載荷面以外の地表面まで連続して出 現する増分ステップを確認し， より正確な極限支持庄町 を決定する.
2.4解析に使用した有限要素モデルと解析プログラム
2.4.1有限要素モデル
解析に使用した帯状等分布荷重の作用する等方均質な正規 圧密飽和地盤の有限要素モデルをFig.2-2に示す. モデル地 盤の材料定数はTable2-1に示している. モデル地盤は， 非 排水支持力がPrandtl解で与えられる仮想、の地盤である. メッ シュ(要素)サイズが解析結果に及ぼす影響を検討するために，
載荷面付近の要素分割が粗いモデルlと密なモデル2の二つ のモデルを設定した.
解析領域は， 両モデルとも対称性を考慮して右半分の領域 としている. 解析に際しては， 荷重(載荷圧)を増分的に作用 させ， 載荷半幅B/ 2 は8rnを基本とした. ただし， 載荷幅が 解析結果に及ぼす影響を検討するために， B/ 2 = 2， 4rnの場 合の解析も行った. なお， Fig.2-2には， 設定した境界条件 もあわせて示している
解析に際しては， 地盤をモデルlで140個， モデル2で594 個の四辺形(長方形)要素に分割し， Fig.2-3に示す(a)---(d) の4種類の要素を使用した. ただし. (d)要素はモデル1の場 合のみ使用した. 各要素については， 次節で詳細に述べるこ とにする. また. Fig.2-2中に節点数((a)---(c)要素の場合) を示しているが， この中には過剰間隙水圧pwを規定している 要素重心の数も含んでいる.
2.4.2解析に使用した要素
hristian流(赤井・田村の手法を含めて)の圧密解析にお いては， 間隙水圧あるいは過剰間隙水圧を要素の重心におけ る値で代表させ， 要素内では一定と考える. そのため， 間隙 水圧とひずみの対応関係から， 変位の形状関数が一次である
υ p
モ !ìmー曾
ト，...-r-ー盛上
ーー一一ー「ー
一二v
x
�
(a)モデルi
載荷圧q(kpa
2[
〈左端面〉
非排水面 X方向変位拘
解析領域 〈右端而〉
位拘束
〈底面> x，y方向変位拘束 非排水面 (b)モデル2
載荷圧q(k
，/ �\t初、作向。'，8/2がílmの場合 盛土荷重 要素数594
節点数1240
〈左端面〉
非排水面 X方向変位拘束
〈解析領域〉
x方向80m y方向20m
〈地表面〉
排水面
〈右端面〉
非排水面 x方向変位拘束
x
〈底面> x，y方向変位拘束 非排水面 Fig.2-2有限要素メッシュと境界条件
Finite element meshes and boundary conditions
定ひずみ三角形要素からなるFig.2-3の (a)または(b)の要 素が通常用いられている. 赤井・田村(1978)は， 四辺形の対 角線を一辺とする4個の定ひずみ三角形要素の剛性を重ね合 わせて四辺形要素の剛性を求める(a)の要素を使用している.
Christia川1968)， Christian and Boehmer(1970)が用いた4 個の定ひずみ三角形要素からなる(b)の要素は， Wilson(1965)
によって提案された内部節点を持つ要素である
前述したように定ひずみ三角形要素は， 非圧縮性に近い変 形のときは過拘束になりやすく 変形をさせにくくするロッキ ング現象を起こしやすい. その ため ， 定ひずみ三角形要素から 構成される(a)， (b)の四辺形要素もロッキング現象を起こし やすいと考えられる. これに対して ， (c)， (d)の アイソパラメ トリック四辺形要素は 剛性マトリックスを求める際の数値積 分に次数低減積分を用いることにより， 非圧縮性問題に対し ても精度よい解が得られることが示 されている(Zienkiewicz，
1984). 特に， (d)の要素は， 粘塑性FEMによる支持力解析に おいて多用されている(Gri伍ths， 1982;小林， 1982). また，
荒井ら(1983)は， Christian流の 変位の近似精度がSandhu涜 の方法より劣ることから ， 変位の離散化に際して (c)， (d)に 示すようなアイソパラメトリック要素を用いる便宜的な手法 も精度の面からは妥当であると述べている.
なお， 本解析においては， (c)要素に対しては1点積分 ， (d) 要素に対しては4点積分の 次数低減積分を採用した.
2.4.3圧密解析プログラム
解析には， 本研究において開発した増分法に基づく圧密解 析プログラムを使用した. プログラムは FORTRAN77によ り記述している. また ， 有限要素方程式のソルパーには， ス カイライン法を採用している. 支持力解析に先だって一次元 圧密の計算を行い ， プログラムについてのチェックを行った.
Fig.2-4は， 解析から得られた圧密度Uと時関係数T"の関係
Table 2-1解析に使用したモデル地盤の材料定数 Material pararneters of rnodel grounds used in this analysis
、λ 々 ノ 一
-一数-一指JA r - E44 -フ 一 日
/一νの比時ン密ソ圧ア方
ポ等 使用した値 0.33330.02172"-'0.4343 (Cc二0.05"-'1.0) 等方膨潤時の膨潤指数κ |入/10
限界状態における応力比M
I
1.418 (φ= 350) 圧密降伏応力σ�o (kPa)I
98.0静止土庄係数Ko I 1.0 σ，，0で圧密後の問隙比eo
I
1.6透水係数k (rn/day)
I
0間隙水の単位体積重量γw (kN/rn3)
I
9.8 ペ。:有効上載圧力(σ�)表示の圧密降伏応力図
凶
図
(a)
，‘、 〆 ・hU 、‘，，，
(c) (d)Fig.2-3解析で使用した各種要素
Various巴lemsnts used in this analysis
である. 解析結果は， 実用的にみて十分な精度で理論曲線に 一致している.
2.5解析で使用する諸パラメータについての検討
2.5.1蹟荷圧増分L1qの決定
増分解析における載荷圧増分L1qを決定するために ， モデル 地盤と同じ材料特性を持つ供試体を用いて ， 平面ひずみ条件下 での 非排水圧縮試験の解析を行った. L1qの値を変えて行った解 析から得られた非排水有効応力径路を示したの がFig.2-5で ある. 解析に使用した有限要素モデルと境界条件は， 図中に示 している. 解析は， 対称性を考慮し1/4の領域について行って いる. 等方圧密状態uピoニ1.0)のときは， イ=(σ;-σ�)/〆
時間係数K
(01'-0 )')=Mp' <解街飢域> xJJlí'14m yJilí'15m 等分./!î (�j ifi 1.5 1(旧
4
0.5X 0-ー-ー←4ー・
ト1M
:
y}ili.J変似持j点 一一一構成関係から訪急姥露
計算値
6q (kPa ) o 3.92 ム1.96 口0.98
o 0.49
50
(￡る(・門Ol--b)
〈ド，]�側r(lÎ>
非t)i:，1(的I x)j[r.]変位拘米 50
(ぶ)己制崩出
1∞
50 p (kPa )
Fig.2-5平面ひずみ条件下における非排水圧縮時の有効応力 径路に及ぼす載荷圧増分の影響
Effects of a pplied loa d increment 6q on undra ined effective stress pa th under the pla in stra in condition
。 Fig.2-4一次元圧密における圧密度U一時間係数え関係の比較
Compa risons of the degree of consolida tion U-time fa ctor Tv rela tions in th巴one dimensiona l consoJida tion 1∞
6q=1.96kPa '1=0.15 N1=5 N2=20 B12=8m
λ=0.4343
(c)要素を使用 モデル1を使用 180
6q=1.96kPa '2=0.025 N1=5 N
2
=5行
=附kPaB12=8m 入=0.4343 (c)要素を使用 モデル1を使用
↓
地盤が破壊した点を表す'1
o 0.1 5 ム 0.25 口 0.35 3∞
0.05
'2
Fig.2-7 '2による極限支持圧q，の変化 Cha nge in ultima t巴bea ring pressure qf with '2 160
0
3 2
沈下量ρc(m)
Fig.2-6 q-ρc関係に及ぼす'1の影響 Effects of'l on q-ρεrela tions
。
Fig.2-6である. 使用した要素は(c)要素である. q-pc関係は，
Tlの影響を受けず，地盤が破壊したときの載荷庄の(極限支持 圧 )も同じである. このことから，解析に使用するTlは，原則と
して0.15とした. なお， 図中に示すPrandtI解(167. 7kPa(=
5.14cu)， cu:非排水強度)は， 式(2.23)で与えられる等方正 規圧密土のCuを用いて計算した(Ohta et al.，1985).
ここに， 11=1-κ/入である
Fig.2-7は，T2以外のパラメータを固定し，T2の値を0.005---- 0.10の範囲で変えて行ったモデルlについての支持力解析か ら得られたT2とqfの関係である . 使用した要素は(c)要素で ある. 極限支持圧qfは. T2が大きくなるにつれて減少し， そ の減少率はT2が大きくなるにつれて増加している. しかし.
T2 � 0.0 4におけるqfの差異は 小さい.
T2の値としては ， できるだけ小さい値を用いることが望ま (2.23) Cu -
方
Mpb ex川)(σ;:最大主応力，σj:最小主応力 )となるので， (σ� -(]'�)_p' 関係で示している.
解析から求まる応力径路は， t1qが小さいほど構成関係から 求まる応力径路に一致している. ただし， 17.が小さい範囲で は， I1q三1 . 96kPa であれば応力径路には大きな差異は認めら れない. 一方， 17.が大きくなり， 限界状態に近づく(ηeがM に近づく)につれて， t1qの違いによる応力径路の差異が顕著 になっている. なお， t1qが0. 49kPa のときの応力径路は，構 成関係から求まる応力径路と限界状態付近までほぼ一致して いる. これらの結果をもとに支持力解析における解析スター
ト時の載荷圧増分t1qを1.96kPa とし，N1ど5とした.
2.5.2 Tl， T2， N2の決定
Tl以外のパラメータを固定し Tlの値を 0.15， 0.25， 0.35 と変えて行ったモデル1についての支持力解析から得られた 載荷圧qと載荷面中央の地表面沈下量ρcの関係を示したのが
7
一一一理論解
O計算値((a)要素使用) ム計算値((b)要素使用) 口計算値((c)要素使用)
J:r(IÎ:排水1M
39.2kPa(瞬H制法{':Í)
〈解析傾城〉
x)jll'] 8m y)j(lrJ20m E=9.8∞kPa ν=0.3333 k=Oα)4m/day
←敏組長系 q=137.2kPa
，vd''d'47-vd'v，dv，v
，
，
v
，，，a，，，dvd''d'''
-' dv
-F
3m
"“ ー - - - -
(0壬z壬20m，() �ν三'20mの範囲を示している)
q= 156.8kPa
'd'''''''d'd'd'''
' '
' ''d'd'''d'dv，，d''
' '
F
一一一一一一 3m
'''''''''d'''''''
' '
司、丸、且牟 ，... -- -
q=166.6kPa
'''de，，，dv，，，，，，，
一一一一一一 3m
“、、ふ‘ ‘ ・� -- -
q=169.1kPa (地盤の破地時)
一一一一一一 3m
Fig.2-8 B!2=8mの場合のモデJレ2についての解析から得られた戦荷に伴う地盤の変位状況と破埴要素分布の変化
Changes in the movement of the ground and the distributions of elements at failure with the loading obtained by the analysis in B!2=8m for the model NO.2
地盤が破壊状態にあるこ とを明確に確認できるような値で，
かつできるだけ小さな値を採用した.
2.6.1地盤の変位状況と破犠要素の分布
一例 として(c)要素を使用したモデル2の解析から得られ た載荷に伴う地盤の変位状況と破壊域(破壊要素の分布)の変 化を示したのがFig.2-8である. 解析条件は， 載荷半幅B/2 が8m， 入= 0.4343であり， t1q =1.96kPa， Tl = 0.15， T2 = 0.025， N1 = 5， N2 = 10である. 図に は o � x � 40m，
o � y �20mの領域を示している. q = 137.2kPa の段階では，
2.6非排水支持力解析結果および考察 しい. しかし， T2の値をあまり小さくとると， 地盤の破壊時
まですべての要素の応力状態が式( 2.16)を満足するようにす るためには， 載荷圧増分をかなり小さく(Fig.2-7の例では地 盤の非排水強度Cuの約1/330)する必要がある. Fig.2-7に 示す解析例では， T2 = 0.005 のときの地盤の破壊状態の判定 がN2 = 20でないとできなかったので すべての解析条件を この時の条件に合わせている. さらに， Fig.2-5の例からも 明らかなように増分解法に起因する累積誤差によって， 解析 から求まるvは真の値より幾分大きめの値となる. これらの
点を考慮してT2の値として0.025 を採用した.
最後に， N2の値については， 応力状態が式(2.22)を満たす 要素が載荷面から載荷面以外の地表面 まで連続して出現し，
q=117.6kPa q=J47kPa
F
q=J27.4kPa q=156.8kPa
←敏感�:M
q=137.2kPa q=166.6kPa
q=168.56kPa q=J69.05kPa (地般の敏泌1I:'t)
ー「
(0壬x � 40m， 0 �ν三20mの範囲を示している)
q=168.85kPa q=169.15kPa
q= 168.95kPa q= 169.25 kPa
Fig.2-9 8(2=4mの場合のモデル2についての解析から得られた載荷に伴う破滅要素分布の変化
Changes in the distributions of elements at failure with the loading obtained by the analysis in 8(2=4m for the mod巴1NO.2
載荷面付近で最大約0.5mの沈下， 載荷面周囲で最大約O.lm の隆起， 地盤内で最大約0.3mの側方(+x方向 )変位を示して いる. この段階では 破壊要素は載荷面端部の地表面付近から 載荷面直下方向に約45度の傾きで連なっている. q = 156.8 kPaになると， 載荷面付近で最大約0.9mの沈下， 載荷面周 囲の地表面で最大約0.2mの隆起， 地盤内で最大約0.5mの側 方変位， q = 166.6kPaになると， 載荷面付近で最大約1.5m の沈下， 載荷面周囲で最大約O.4mの隆起， 地盤内で最大約 0.9mの側方変位となり， 破壊要素の分布域もしだいに拡大し ている. さらにqが増加し， q = 169.1kPaになると， 破壊要 素は載荷面から載荷面以外の地表面まで連続して分布するよ うになり， 地盤は破壊状態に達している. この段階では， 載 荷面付近で最大約2.1mの沈下， 載荷面周囲で最大約0.8mの 隆起， 地盤内で最大約1.5mの側方変位を生じている.
Fig.2-9は， 載荷半幅 B/2 が4mのときのモデル2の解析 から得られた載荷に伴う破壊要素分布の変化である. 図には，
o � x � 40m， 0 �ν< 20mの 領域を示している. 解析条件 は， 破壊要素の拡がり方を詳細に見 るためにN2 = 20 とした 以外は， Fig.2-8に示すB/2= 8mの場合と同じ である. 載 荷幅Bが半分になり 破墳要素は要素分割が密な領域に集中 して出現しているので 載荷に伴う破壊要素の拡がり方を図 から詳細に読み取ることができる. q = 117.6kPaの段階で
9
は， 載荷面端部の地表面付近に破壊要素が出現している. さ らにqが増加し， q = 127.4kPaになると， 載荷面端部の地表 面付近から載荷面直下方向に約45度の傾斜で破壊要素が連 なっている. その後， q = 156.8kPaまでは， 破壊要素は側方 および下方へ拡がっている. q =156.8----168.56kPaの範囲で は， 破壊要素は主に上方へ(主働くさ び領域内へ )拡大してい
る. q = 169.95kPaになると， 図中の矢印部分に見られるよ うに， 破壊要素は右上方へ延び始め， q = 169.05kPaになる と， 破壊要素は右上方へほぽ45度の勾配で地表面まで連なり，
地盤は破壊状態に達している. 右上方へ45度の勾配で連なる 破壊要素の帯は， Prandtl解におけるすべり線に対応してい る. さらにqが増加し， q = 169.15， 169.25kPaとなると， 右 上方へ連なる破壊要素の帯の幅は拡大している
6.2載荷圧qと沈下量ρcの関係
Fig.2-10は， (a)----(d)要素を使用したモデル1 の解析か ら得られた載荷圧qと載荷面中央の地表面沈下量ρcの関係で ある. q � 120kPaの範囲では， 使用した要素によるq-pc関係 の差異はあまり認められない. し かし， qが120kPaより大き くなり破壊要素が出現してくると， 使用した要素によるq一ρc 関係の差異が顕著になっている. 地盤の破壊時の載荷庄町で ある極限支持圧は， (c). (d). (b). (a)要素の順に大きく
3∞
↓
地盤が破壊した点を表す守 2∞
色4.><:
t:r
出
� t語
Prand
ノ
tl解qf=167.7kPa L2.q=1.96kPa rj =0.15 r2=0.025 Nj=5 N2=5 B/2=8m λ=0.4343使用した要素 o (a)要素 6. (b)要素 口(c)要素
。 (d)要素
3 4 5
ρc (m)
Fig.2-l0モデル1の解析から得られた載荷圧qと沈下量ρcの関係 Relations betwe巴n applied load slress q and s巴tllementρc oblained by the analyses for model NO.1
なり， Prandtl解(167 .7 kPa( = 5 .14cu ))よりそ れぞれ約1.2，
3.8， 12.5， 31.8%大きい. 特に， 次数低減積分を採用したアイ ソパラメトリック要素 ((c)， (d)要素)を使用した方がPrandtl 解に近い極限支持圧を与えている.
(a)"-'(c)要素を使用したモデル2の解析から得られたqーρc 関係を示したのがFig.2-11である• q ::; 120kPaの範囲で は， 使用した要素によるq-ρc関係の差異はあまり認められな い. しかし，qが120kPa より大きくなると， 使用した要素に よるq-pc関係の差異が顕著になっている. これらの定性的な 特徴はモデル1についての場合と同じであるが， 使用した要 素によるq-pc関係の差異の程度はかなり小さくなっている.
qfは， (c)， (b)， (a)要素の順に大きくなり， Prandtl解より それぞれ約 0.8， 4.2， 9.5%大きい. (c)要素の場合， 両モデル についての解析から得られるqfは， ほぽ同じあり， メッシュ (要素)サイズの影響を受けていない. 一方， (a)， (b)要素の 場合， モデル2の解析から 求まるvの方が， モデル1の解析 から求まるそ れよりかなり小さく((a)要素で16.9 %， (b)要素 で7.3%)， Prandtl解に近い値になっている. (a)， (b)要素の 場合， 解析結果はメッシュ(要素)サイズに依存している. 通 常の変形 解析において， 定ひずみ三角形要素 から成る (a)ま たは(b)の四辺形要 素を 使用し， 比較的高い応力状態まで 解 析する ような場合， 有限要素モデル化の際にこの点 について は十分配慮すべきである.
2.6.3地盤の圧縮性が極限支持圧へ及ぼす影響
モデル1を用いて ， 非排水強度Cuが同じで圧縮性が異なる 地盤についての支持力解析を行った. Fig.2-12は， 解析から 得られたq-pc関係である. 解析には， (c)要素を使用してい る. 解析条件はB/2 = 8mであり， .6.q =1.9 6kPa ， Tl = 0.25，
T2 = 0.025， N1 = 10， N2 = 20である. 解析では. 地盤の 圧縮性を表す入(Cc)を0.02172(0.05)， 0.08687(0.20)，
3∞
↓
地盤が破壊した点を表す L2.q=1.96kPa rj=0.15 r2=0.025 Nj=5 N1=10 qf=183.7kPaqf=174.8kPa
￡ぷ)。出挺緒 200
Prandtl解 qf=167.7kPa
使用した要素 o (a)要素 心(b)要素 口(c)要素
B/2=8m λ=0.4343
2 3 4 5
沈下量ρc (m)
Fig.2-llモデル2の解析から得られた載荷圧qと沈下量ρcの関係 q-ρc relations obtained by lhe analyses for mod巴1NO.2
3∞
↓
地盤が破壊した点を表すL2.q=1.96kPa rj=0.25 r2=0.025 Nj=10 N2=20
出促梧
λ(Cc) o 0.02172 (0.05) ム 0.08687(0.2) 口 0.4343 (1.0)
B/2=8m
(c)要素を使用 モデル1を使用
0 1 2 3
沈下量ρc (m) Fig.2-12 q-ρc関係に及ぼすλ(Cc)の影響
Effects of λ(Cc) on q-ρc relations
0.43 43(1. 0)と変化させている. 当然ではあるが地盤の圧縮性 によりq-pc関係は異なり， qが同じ場合， 入 が小さいほどんは 小さくなる. しかし 極限支持圧は 地盤の圧縮性に関係な く一定(169 .4 kPa)である. この結果は， 手法は異なるが飯塚 ら(19 87)の解析結果と一致している. 常に同じ有限要素メッ シュについての力のつり合い条件を考える ， つまり， その幾 何学的な変化を考慮しない微小 変形理論に基づく解析におい ては， 当然な結果である.
2.6.4蹟荷幅が極限支持圧へ及ぼす彫
Fig.2-13は， (c)要素を使用し， 載荷半幅B/2を2，4 ， 8m
と変えたモデル2 についての解析から得られたq-pc関係であ
