博 士 （ 工 学 ） 中 村 憲 司
学 位 論 文 題 名
A Study on Finite‑Element Analysis of Quantum Effect Structures and Devices
（量子効 果構造及 びデバイ スの有限 要素法解 析に関する 研究）
学位論文内容の要旨
半導 体超薄 膜を 積層し て得ら れる量 子効果 構造 及びデ バイス は，近 年の 超薄膜作製技術の発展 に 伴い ，理論 及び実 験の 両面か ら精力 的に研 究が 進めら れてい る。特 に量子 井戸(QW： Quantum Well） ， ポ テン シ ャ ル 障 壁(PB：Potential Barrier），な らびに 無限周 期構 造を有 する超 格子 (SL： Superlattice）は ， 様々な 線形・ 非線形 光デ バイス や超高 速電子 デバイ スな どへの 応用 が期 待され ，実用 の段階 に達 してき ている ものも 多い 。一方 ，最近 の計算 機技術の発達に伴い有 限 要 素 法(FEM：Finite―Element Method） ， 差 分 法(FDM：Finite―Difference Method) など を中心 とした 計算手 法が 研究さ れ，様 々な分 野へ の応用 が試み られて いる。このような状況 のも とで， 量子効 果構造 の計 算機シミュレーションの重要性は以前にも増して高まっており，種々 の数 値解法 が提案 されて いる 。量子 効果構 造の数 値解 析は， 有効質 量近似 のもとでシュレディン ガ一 方程式 を解き ，包絡 線関 数を求 める問 題に帰 着さ れる。 ところ が，有 効質量近似のもとでは 包絡 線関数 はヘテ 口界面 にお いて連 続とは 限らず ，そ の境界 条件は 包絡線 関数とその導関数の一 次結 合で表 される ことが 報告 されて おり， 界面行 列に よって この境 界条件 を統一的に扱う方法が 提案 されて いる。 しかし なが らこれ まで報 告され た量 子効果 構造の 数値解 析においては，このよ う な 一 般 的 な 境 界 条 件 は 考 慮 さ れ てお ら ず ， 扱 える 材 料 がGaAs―AIGaAs系に 限 定 さ れ てい た。
本論 文は， こう した状 況のも とで， 任意の 材料 よりな り，任 意のポ テン シャル形状を持つ量子 効果 構造に 対する 汎用性 なら びに信 頼性の 高い数 値解 法の開 発にっ いての 研究成果をまとめたも の で あ る 。 具 体 的 に は ，QW，PB， 及 びSLの そ れ ぞ れ に っ い てFEM解 析 手 法 を 新 た に 提 案 し ，そ れらの 妥当性 ，有 効性を 多くの 数値計 算例 により 検証し ている 。3次工ル ミート 線要 素を 用い ること により 界面行 列の 導入を 可能に し，量 子効 果構造 の数値 解析に おいて初めて任意材料 の 系 を 扱 う 手 法 を 確 立 し て い る 。 更 に ， 上 記FEM解 析 に 基 づい たQWの光 学 特 性 の 計 算法 ，
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及 び 多 重PBに お け る 共 鳴ト ンネリ ング 電子の 束縛寿 命の計 算法 にっい ての提 案も行 ってい る。
以 下に本 論文 の概要 を示す 。
第1章 では ，本論 文の背 景，目 的，及 び構 成にっ いて述 べてい る。
第2章 では， 本研究 の理論 的背景 とし て，有 効質量 近似と 界面 行列に っいて 論じて いる。 これ ら は 以 後 の 各 章 で 述 べ る 量 子 効 果 構 造 のFEM解 析 の 理 論 的 基 礎 を な す も の で あ る 。 第3章で は ， ま ず ， 微分 方 程 式 の 数値 解 法 で あ るFEMに っ いて 簡 単 に紹 介し ，その 基本的 考 え 方であ る変 分法と ガラ― キン法 にっ いて述 べてい る。次 に，線 要素 に関し て論じており，具体 的 に ，1次，2次ラ グラン ジュ 線要素 及び3次エ ルミ― ト線要 素に っいて ，形状 関数の 導出を 行つ て い る 。 以 後の 各 章 で は ，FEMに よ る定 式 化 に3次エ ル ミ ー ト 線要 素 を 主に用 いる 。この 要素 は ，要素 節点 におけ る関数 値とそ の微係数を用いて定式化するため，前述の界面行列が導入でき，
任 意材料 より なる量 子効果 構造の 解析 が可能 となる 。
第4章 では， 有効質 量近似 のもと でシ ュレデ ィンガ ー方程 式に ガラー キン法 を適用 するこ とに よ り ，各 要素に 対する 要素行 列を 導出し ている 。近似 関数と して ，3次 工ル ミート 要素を 用い，
ヘ テロ界 面に 節点を 二重に 配置す るこ とによ って， 界面行 列を要 素行 列に導 入することが可能と ナ よ る 。 本 章 で 導 出 し た 要 素行 列 は ， 以 後の 章 に お い て共 通 し て 用 いら れ る も の で ある 。 第5章 で は ， ま ず ， 任 意 ポ テ ン シ ャ ル 形 状 を 持 っ たQWに 関 す るFEM解 析 手 法 と ， この 手 法 を 基 礎 にQwの 光 学 的 特性 を数値 解析 する手 法にっ いて論 じて いる。 、本解 析では 井戸に 束縛 さ れ た 電 子 ある い は 正 孔 を扱 う 。 こ の よ うな 問 題 に 対 して 第4章 で 述べ たFEMを適 用する と，
行 列の一 般固 有値問 題が得 られ， この 解から 電子あ るいは 正孔の 固有 工ネル ギ―が求められる。
具 体 的 に ， 矩 形QW及 び 電 界 を 印 加 し たQWの 解 析 を行 い ， 本 手 法の 妥 当 性 を 確 認し て い る 。 次 に，本 手法 を基に ，量子 井戸の 光吸 収スペ クトル と，電 界印加 時の 屈折率 変化を計算する手法 を 提 案 し て いる 。 矩 形QWに 関 し て 解 析を 行 い ， 実 測値 と 比 較 す る こと によ り計算 法の妥 当性 を 確認し てい る。ま た，吸 収スペ クト ルの電 界依存 性に大 きな非 線形 性を有 する二重量子井戸構 造 を 提案 してい る。ま た，本 章で は，1次， 及び2次ラ グラン ジニL要素 を用い た定式 化も行 い，
計 算精度 と計 算時間 に簡単 な考察 を加えている。．更に，ポテンシャル関数を節点の値で展開する こ とによ り計 算時間 を短縮 する方 法に っいて も検討 を行っ ている 。
第6章 で は ， ま ず 任 意 のPBのFEM解 析 法 を 提 案 し て い る 。 障 壁 領 域 にFEMを 適 用 し ， 障 壁 外 領 域 に 対す る 解 析 解 と接続 するこ とに より， 行列方 程式を 得る。 この 解から ，PBに入 射す る 電 子 の 反 射係 数 を 計 算 する こ と が で き る。 具 体 的 に ，矩 形PBと 二重PBを例 とし て透過 係数 の 解 析 を 行 い， 本 手 法 の 妥当性 を検証 して いる。 更に， 種々の ポテン シャ ル形状 を持っ た多重
PBに関しても解析を行い，多 くの知見を得ている。次に，上記のFEM解析を基にした共鳴ト ンネリング電子の束縛寿命の計算法を開発し，数値例により本手法の妥当性を確認している。
第7章では，任意ポテンシャ ル形状が周期的に無限に続 くSL構造に関するFEM解析手法を 提案し，これによルミニバンド構造が計算できることを示している。周期ポテンシャルの一周期 に 対してFEMを適用し，その両 端の節点に周期的境界条件を課すことによりSL構造は行列の 固有値問題として定式化できる。従って，与えられた波数に対する固有エネルギーが求まり，
SL中のミニバンド構造が得られる。具体的に，―矩形SLに関して解析を行ない，解析解と比較 することにより本手法の妥当性を確認している。更に，各種ポテンシャル形状を持つSLにっい て ， ミ ニ バ ン ド 構 造 の 解 析 を 行 い ， 本 手 法 の 有 用 性 を 検 証 し て い る 。 第8章では，本研究で得られた成果の総括を行っている。
学位論文審査の要旨 主 査 教 授 小 柴 正 則 副 査 教 授 伊 藤 精 彦 副査 教授 長谷川英機 副 査 教 授 永 井 信 夫
半導体超薄膜を積層して得られる量子効果構造は，様々な新機能デバイスへの応用を目指して 精力的に研究が進められている。最近の計算機技術の発展に伴い，この分野においてもできるだ け汎用性，信頼性の高い数値解法に対する要求が高まってきており，種々の数値解法が提案され ている。ところが，従来提案されている量子効果構造の数値解析においては，ヘテ口界面におけ る一般的な境界条件が考慮さ れておらず，その適用はGaAsーAIGaAs系のみに限定されてい た。本論文は，こうした状況のもとで，任意材料・任意ポテンシャル形状の量子効果構造に対す る汎用性並びに信頼性の高い 数値解法の開発にっいての 研究成果をまとめたものである。
第1章では，本論文の背景，目的，及び構成にっいて述べている。
第2章では，本研究の理論的背景として，有効質量近似の理論と，ヘテロ界面における一般的 な境界条件を表す界面行列にっいて論じている。
第3章では，まず，微分方程式の数値解法である有限要素法(FEM）にっいて簡単に紹介し，
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その基本的考え方である変分法とガラーキン法にっいて述べている。次に，1次，2次ラグラン ジュ線要素及 び3次工ルミート線要素にっいて論じている。以後の各章では，FEMによる定式 化に3次工ルミート線要素を主に用いる。この要素を用いたことにより，前述の界面行列が導入 でき，任意材料よりなる量子効果構造の解析が可能となる。
第4章では，有効質量近似のもとでシュレディンガ一方程式にガラーキン法を適用することに より，各要素に対する要素行列を導出している。3次工ルミート線要素を用い，ヘテ口界面に節 点を二重に配置することによって，界面行列を要素行列に導入している。本章で導出した要素行 列は，以後の章において共通して用いられるものである。
第5章 で は， まず ，任 意ポ テ ンシャル形状を持った量子 井戸(QW)に関するFEM解析手 法 と，この手法 を基礎にQWの光学的特性を数値解析する手法にっいて論じている。本解析では 井戸に束縛された電子あるいは正孔を扱う。このようナょ問題に対して第4章で述べたFEMを適 用すると，行列の一般固有値問題が得られ，この解から電子あるいは正孔の固有エネルギーが求 められる。具 体的に，矩形QW及び電界を印 加したQWの解析を行い，本 手法の妥当性を確認 している。次に，本手法を基に，量子井戸の光吸収スペクトルと，電界印加時の屈折率変化を計 算する手法を 提案している。矩形QWに関して解析を行い，実測値と比較することにより計算 法の妥当性を確認している。また，本章では，1次，及び2次ラグランジュ要素を用いた定式化 も行い，計算精度と計算時間に簡単な考察を加えている。更に，ポテンシヤル関数を節点で展開 す る こ と に よ り 計 算 時 間 を 短 縮 す る 方 法 に っ い て も 検 討 を 行 っ て い る 。 第6章 では，まず任意のポテ ンシャル障壁（PB)のFEM解 析法を提案している。障壁領 域 にFEMを適用し ，障壁外領域に対する解析 解と接続することにより，行列方程式を得る。こ の解から，PBに入射する電子の反射係数を 計算することができる。具 体的に，矩形PBと二 重PBを例とし て透過係数の解析を行い，本手法の妥当性を検証している。更に，種々のポテ ンシャル形状 を持った多重PBに関しても解析を行い，多くの知見を得ている。次に，上記の FEM解析を基に した共鳴トンネリング電子 の束縛寿命の計算法を開発し，数値例により本手 法の妥当性を認識している。
第7章 では，任意ポテンシャ ル形状が周期的に無限に続 く超格子(SL）構造に関するFEM 解析手法を提案し，これによルミニバンド構造が計算できることを示している。周期ポテンシャ ルの一周期に 対してFEMを適用し，その両 端の節点に周期的境界条件を課すことによりSL構 造は行列の固有値問題として定式化できる。従って，与えられた波数に対する固有工ネルギーが 求まり，SL中 のミニバンド構造が得られる。具体的に，矩形SLに関して解析を行い，解析解
と 比 較 す る こと に よ り 本手法 の妥当 性を確 認し ている 。更に ，各種 ポテ ンシャ ル形状 を持つSL に っ い て ミ ニ バ ン ド 構 造 の 解 析 を 行 い ， 本 手 法 の 有 用 性 を 検 証 し て い る 。 第8章 では ，本研 究で得 られた 成果 の総括 を行っ ている 。
以上の ように 本論文 は， 任意材 料・任 意ポテ ンシャ ル形 状の量 子効果 構造の特性を精度よく評 価 する ことが 可能な 数値解 法を開 発し ，各種 量子効 果デバ イス の設計 の基礎を確立したもので，
量 子工 レクト 口ニク ス，光 工レク卜ロニクスの進歩に寄与するところが大きい。よって，著者は，
博 士（ 工学） の学位 を授与 される 資格 あるも のと認 める。
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