Microsoft PowerPoint - 小数と大数.pptx

(1)

0.123 は、

なぜ小数というのか？

微小数の世界 VS. 巨大数の世界

M-project

小数と大数 1

なぜ、小数って言うのか？

小数は文字通り（1 よりも）

小さい数

を表すところから生まれた概念である。

1 より大きい数を

大数

ともいう。

0 と 1 の間の数を 0.23 のように整数の記数法で表したものを

純小数

といい、

純小数に整数部分を付けて 3.75 のように表した数を

帯（たい）小数

といい、

これらを一括して

小数

という。

[三省堂『大辞林』より]

英語では

decimal fraction

という（因みに、分数は common fraction）。

decimal

は「10進法の」の意、

fraction

は「破片、断片、ほんの少し、少量」の意。

数学用語と記号 2

M-project

小数の概念はいつから存在していたか？（１）

十進法以外を含めるなら、

バビロニア数学での数字表記が最古の小数

である

（バビロニア数学では六十進法の位取り記数法で数字を記述していた）。

ただし、現在で言う小数点に相当するものは存在しなかった。

バビロニア

メソポタミア

（チグリス川とユーフラテス川の間の平野。

現在のイラク

の一部）

シュメール人による都市国家 → アッカドの時代 → アムル人による

バビロン

第1王朝・首都バビロン（B.C.1900～B.C1600頃）

→ ヒッタイトやアッシリア時代

→ 新バビロニア・首都バビロン(B.C.625～B.C.539)。

数学や天文学の研究がもっとも活発だったのは、バビロン第1王朝の時代。

M-project

小数の概念はいつから存在していたか？（２）

バビロニアの数学

60進法にもとづいた位取り記数法。

B.C.2000年頃に「1」と「10」を表す記号

によって60進記数法が用いられる

ようになった。

これにより、天文学が発展したほか、

分数の簡潔な表現も可能となり、

小数の概念も存在した。

M-project

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90%E3%83%93%E3%83%AD%E3%83%8B%E3%82%A2%E6%95%B0%E5%AD%A6

(2)

小数の概念はいつから存在していたか？（３－１）

古代中国の数学（１）

現代の小数と同じ十進法における小数は、古代中国が最古。

劉徽が著した

数学書『九章算術』（263年）

の注釈本の中に小数の表記が見られる。

現在の

8.660254

を「

八寸六分六釐二秒五忽、五分忽之二

」と書いている

（小数第6位を表す単位が無いため、分数との併記になっている）。

分

厘

亳

糸

忽

微

繊

沙

塵

埃

数学用語と記号 5 ふんり（りん）もうしこつびせんしゃじんあい

塵劫記

1627年、吉田光由

小数の概念はいつから存在していたか？（３－２）

古代中国の数学（２）

塵劫記の種本は中国の

『算法統宗』（1592年）

塵、埃以下の単位として

塵

埃

渺

漠

模糊

逡巡

須臾

瞬息

弾指

刹那

六徳

虚空

清浄

を挙げているが、「ただこの名ありて実なし、公私また用いず」と記しているように、

思考の産物であり、実際に使われることはなかった。

M-project

じんあいびょうばくもこしゅんじゅんしゅゆしゅんそくだんしせつなりくとくこくうせいじょう

インドと仏教では

インドでは古くから「

塵

」が最小の量と考えられていた。

『マヌ法典』（B.C.200年～A.D.200年）

には「格子戸を通じて来れる日光のうちにみられる

微細なる塵埃はすべての量のなかのもっとも小さきものにして・・・」の記述がある。

仏典

仏典に出てくる時間の最小単位は「刹那」である。

刹那怛刹那(120刹那)

臘縛(60怛刹那)

須臾(30臘縛)

昼夜(30須臾)

月(30昼夜)

年(12月)

小数の概念はいつから存在していたか？（４）

せつなたんせつなろうばくしゅゆ

ヨーロッパの数学

ヨーロッパではエジプト式分数表記が普及していたため小数の導入が遅れた。

ヨーロッパで

初めて小数を提唱

したのは、オランダの

シモン・ステヴィン

である

（

1585年『十進分数論』

）。

分数の分母を10の累乗に固定した場合に、計算が非常にやりやすくなることを

発見し、それが小数の発明となった。

ステヴィンの提唱した表記法では、

0.135 は 1①3②5③

現代のような小数点による表記となったのは、20年ほど後の

ジョン・ネイピアの提唱

。

M-project

小数の概念はいつから存在していたか？（５）

(3)

これって、どのくらい小さいの？

（１）

小数と大数 9

１円玉の直径は？

1円

5円

10円

50円

100円

500円

直径

20㎜

22mm

23.5mm

21mm

22.6mm

26.5mm

厚さ

1.5mm

1.7mm

1.8mm

重さ

1g

3.75g

4.5g

4g

4.8g

7g

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AE%E7%A1%AC%E8%B2%A8

これって、どのくらい小さいの？

（２）

小数と大数 ₁₀

髪の毛の太さは？

日本人の平均

0.05～0.15 mm

では、絹繊維の太さは？

綿

12～28 μ

ミクロン

：

1μ = 10

6

_m

絹

15～50

羊毛

18～50

麻

8～50

ナイロン

1～10～

ポリエステル

1～10～

アクリル

1～10～

ガラス繊維

3～20

http://kan5.sakura.ne.jp/konwa/KuramaeHandout/kohyama.pdf

これって、どのくらい小さいの？

（３）

小数と大数 11

水の分子 H

₂

O の大きさは？

水素原子

H の大きさは約 10

10

_m = 10

7

_{mm =}

_1Å

_（

_{オングストローム}

_：

_{1Å = 10}

10

_m

_）

= 0.1 nm = 1000 pm （

ナノ

：

1 nm = 10

9

_m

_,

_ピコ

_：

_1pm = 10

12

_m

_）

水の分子

もほぼ同じ大きさである

では、水素の原子核である

陽子1個の大きさは？

約 10

15

_m = 10

12

_mm = 10

5

_Å

さらに、

電子やクオークの大きさは？

約 10

18

_m = 10

15

_mm = 10

8

_Å

https://www.icepp.s.u‐tokyo.ac.jp/elementaryparticle/standardmodel.html

コンピュータ時代の小さい数

小数と大数 12

(4)

コンピュータ時代の大きい数

小数と大数 13

大きい数の位の名称

（漢字）

10

0

₁₀

1

₁₀

2

₁₀

3

₁₀

4

₁₀

8

₁₀

12

₁₀

16

₁₀

20

₁₀

24

₁₀

28

₁₀

32

₁₀

36

₁₀

40

₁₀

44 いちじゅうひゃくせんまんおくちょうけいがいじょじょうこうかんせいさい

一

十

百

千

万

億

兆

京

垓

忬

穣

溝

澗

正

載

10

48

₁₀

52

₁₀

56

₁₀

60

₁₀

64

₁₀

68 ごくごうがしゃあそうぎなゆたふかしぎむりょうたいすう

極

恒河沙

阿僧祇

那由也

不可思議

無量大数

正しくは禾偏

元の朱世傑『山学啓蒙』（1299年）

において初めて登場した

恒河沙：ガンジス川の砂阿僧祇：「数えることができない」の意那由也：きわめて大きな数量不可思議：「思ったり言葉で言い表したりできない」の意無量大数：測ることができないくらい大きい数

大きい数の位の名称

（英語・ラテン語）

英語

ラテン語（語根）

英語

ラテン語（語根）

10

0

_one

_unus

₁₀

30

_nonillion

_novem‐

10

1

_ten

_decem

₁₀

33

_decillion

_decem‐

10

2

_hundred

_centum

₁₀

36

_undecillion

_undecim‐

10

3

_thousand

_mille

₁₀

39

_duodecillion

_duodecim‐

10

6

_million

_{decies centena milia}

₁₀

42

_tredecillion

_tredecim‐

10

9

_billion

_{miliens miliaria milia}

₁₀

45

_{quattuordecillion}

_{quattuordecim‐}

10

12

_trillion

_tri‐

₁₀

48

_{quindecillion}

_quindecim‐

10

15

_quadrillion

_quarter‐

₁₀

51

_sexdecillion

_sexdecim‐

10

18

_quintillion

_quintus‐

₁₀

54

_{septendecillion}

_{septendecim‐}

10

21

_sextillion

_sex‐

₁₀

57

_{octodecillion}

_{octodecimo‐}

10

24

_septillion

_septem‐

₁₀

60

_{novemdecillion}

_{novemdecim‐}

10

27

_octillion

_octo‐

₁₀

63

_vigintillion

_viginti‐

10

303

_centillion

小数と大数 15

因みに、数に関する接頭辞・ローマ数字

(ラテン語由来)

1 unus, ‐a, um

I

2 duo, duae, duo

II

3 tres, tria

III

4 quattuor

IIII / IV

5 quinque

V

6 sex

VI

7 septem

VII

8 octo

VIII

9 novem

VIIII / IX

10 decem

X

50 quinquaginta

L

100 centum

C

500 quingenti, ‐ae, ‐a

D

1000

mille

M

(5)

よく知られた数の増加速度

小数と大数 17

自然数

素数

平方数立方数フィボナッチ数 2の冪

階乗

組合せ指数

𝑛 𝑝

𝑛

2

𝑛

3

𝐹

𝑛

2

𝑛

𝑛! 𝑛

𝑛

1

2 1 1 1 2

1 1

2 3 4 8 2 4 2 4

3 5 9 27 3 8 6 27

4 7 16 64 5 16 24 256

5 11 25 125 8 32 120 3125

10 29 100 1000 89 *1024 3628800 10

10

100 541 10

4

₁₀

6

_*5.7×10

20

_*10

30.1

_*9.33×10

157

₁₀

200

1000

7919 10

6

₁₀

9

_*7.02×10

208

_*10

301

_*4.02×10

2567

₁₀

3000

10

10 *

_2.3×10

11

₁₀

20

₁₀

30

_*10

2.09109

_*10

3.01×109

_*2.496×10

9.57×1010

₁₀

1011

これの具体的値は・・・

小数と大数 18 2100_{= 1267650600228229401496703205376} 21000₌ 10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140 43598457757469857480393456777482423098542107460506237114187795418215304647498358194126739876755916554394607706291457119647768654216766042 9831652624386837205668069376 100!= 93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000 000000000000000000000 1000! =4023872600770937735437024339230039857193748642107146325437999104299385123986290205920442084869694048004799886101971960586316668729948085 58901323829669944590997424504087073759918823627727188732519779505950995276120874975462497043601418278094646496291056393887437886487337119 18104582578364784997701247663288983595573543251318532395846307555740911426241747434934755342864657661166779739666882029120737914385371958 82498081268678383745597317461360853795345242215865932019280908782973084313928444032812315586110369768013573042161687476096758713483120254 78589320767169132448426236131412508780208000261683151027341827977704784635868170164365024153691398281264810213092761244896359928705114964 97541990934222156683257208082133318611681155361583654698404670897560290095053761647584772842188967964624494516076535340819890138544248798 49599533191017233555566021394503997362807501378376153071277619268490343526252000158885351473316117021039681759215109077880193931781141945 45257223865541461062892187960223838971476088506276862967146674697562911234082439208160153780889893964518263243671616762179168909779911903 75403127462228998800519544441428201218736174599264295658174662830295557029902432415318161721046583203678690611726015878352075151628422554 02651704833042261439742869330616908979684825901254583271682264580665267699586526822728070757813918581788896522081643483448259932660433676 60176999612831860788386150279465955131156552036093988180612138558600301435694527224206344631797460594682573103790084024432438465657245014 40282188525247093519062092902313649327349756551395872055965422874977401141334696271542284586237738753823048386568897646192738381490014076 73104466402598994902222217659043399018860185665264850617997023561938970178600408118897299183110211712298459016419210688843871218556461249 60798722908519296819372388642614839657382291123125024186649353143970137428531926649875337218940694281434118520158014123344828015051399694 29015348307764456909907315243327828826986460278986432113908350621709500259738986355427719674282224875758676575234422020757363056949882508 79689281627538488633969099598262809561214509948717012445164612603790293091208890869420285106401821543994571568059418727489980942547421735 82401063677404595741785160829230135358081840096996372524230560855903700624271243416909004153690105933983835777939410970027753472000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 F100= 354224848179261915075 f1000= 43466557686937456435688527675040625802564660517371780402481729089536555417949051890403879840079255169295922593080322634775209689623239873 322471161642996440906533187938298969649928516003704476137795166849228875

増加速度の大きい関数

（２）

小数と大数 19

𝑝

𝑛

𝑛番目の素数

𝜋 𝑥

Θ 𝑥/log 𝑥

𝐹

𝑛

𝑓

0

0 ,

𝑓

1

1 ,

𝑓

𝑛 1

𝑓

𝑛

𝑓𝑛

1

𝑓

_{𝑛 √} 𝑛 𝑛

Θ 2

n

2

𝑛

_{, 𝑛!, 𝑛𝑛}

₂

𝑛

_{=𝑜 𝑛! , 𝑛!=Θ 𝑛log 𝑛), 𝑛!=𝑜 𝑛}

𝑛

𝐴 𝑥, 𝑦

アッケルマン関数

𝑛

_{=𝑜 𝐴 𝑛, 𝑛}

𝐴 0, 𝑦

𝑦

1 𝐴 𝑥

1,0

𝐴 𝑥, 1

𝐴 𝑥

1, 𝑦

1 𝐴 𝑥, 𝐴 𝑥

1, 𝑦

𝑓 𝑛 = Θ 𝑔 𝑛

⇔

𝑓 𝑛 の増加速度は 𝑔 𝑛 の増加速度と同じ程度

𝑓 𝑛 = 𝑜 𝑔 𝑛

⇔

𝑓 𝑛 の増加速度は 𝑔 𝑛 の増加速度より真に小さい

増加速度の大きい関数

（3）

小数と大数 20

アッケルマン関数

𝐴 𝑥, 𝑦

𝐴 0, 𝑦

𝑦

1 𝐴 𝑥

1,0

𝐴 𝑥, 1

𝐴 𝑥

1, 𝑦

1 𝐴 𝑥, 𝐴 𝑥

1, 𝑦

A(3,3) = A(2,A(3,2)) = A(2,A(2,A(3,1))) = A(2,A(2,A(2,A(2,0)))) = A(2,A(2,A(2,A(1,1))))

= A(2,A(2,A(2,A(0,A(1,0))))) = A(2,A(2,A(2,A(0,A(0,1))))) = A(2,A(2,A(2,A(0,2)))) = A(2,A(2,A(2,3)))

= A(2,A(2,A(1,A(2,2)))) = A(2,A(2,A(1,A(1,A(2,1))))) = A(2,A(2,A(1,A(1,A(1,A(1,0))))))

= A(2,A(2,A(1,A(1,A(1,A(0,1)))))) = A(2,A(2,A(1,A(1,A(1,2))))) = …

𝐴 0, 𝑦

𝑦

1 𝐴 1, 𝑦

𝑦

2 𝐴 2, 𝑦

2𝑦

3 𝐴 3, 𝑦

2𝑦

3 3

𝐴 4, 𝑦

2

2… 2

𝑦

3個

3

(6)

Knuth の↑記法

D.E.Knuth, 1976



↑

は掛算の反復（＝累乗）を表す：



↑↑

は累乗の反復（=tetration）を表す：



↑↑↑

はtetrationの反復（=pentation）を表す：

小数と大数 21

𝑛

1 のとき

𝑛 ≧ 1 かつ 𝑏

0 のとき

その他

https://en.wikipedia.org/wiki/Knuth%27s_up‐arrow_notation

Graham 数

（１）

R.Graham, 1970

𝑛 次元超立方体の 2𝑛 個の頂点のそれぞれを互いに全て線で結ぶ。

次に、2つの色を用いて連結した線をいずれかの色に塗り分ける。

このとき

𝑛 が十分大きければ、どんな塗り方をしても、同一平面上にある四点でそれらを結ぶ線が全て同一の

色であるものが存在する。

これを満たす𝑛 として与えられた数

𝐺 のこと.

𝐹 1, 𝑛

2𝑛 𝑛 ≧ 2

𝐹 𝑚, 2

4 𝑚 ≧ 1

𝐹 𝑚, 𝑛

𝐹 𝑚

1, 𝐹 𝑚, 𝑛

1 𝑚 ≧ 2, 𝑛 ≧ 3

𝐺

≧ 𝐹 𝐹 𝐹 𝐹 𝐹 𝐹 𝐹 12,3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3

Graham 数

（２）

小数と大数 23

https://ja.wikipedia.org/wiki/グラハム数

とするとき

3 が

個

Conway のチェイン表記

（１）

https://en.wikipedia.org/wiki/Conway_chained_arrow_notation

J.H.Conway, 1996

𝑝, 𝑞 を正整数とし、𝑋 をチェインとするとき、

０．

空のチェイン

（＝長さが 0 のチェイン）は

1 を表す

１．𝑝 だけからなるチェイン

𝑝

は整数

𝑝

を表す

２．

𝑝 → 𝑞

は

𝑝

𝑞

_を表す

３．

𝑋 → 1

は

𝑋

に等しい

４．

𝑋 → 𝑝 → 𝑞

1 は

𝑋 → 𝑋 → ・・・ 𝑋 → 𝑋 → 𝑞 ・・・ → 𝑞 → 𝑞

を表す

𝑝 個の 𝑋 と 𝑝

1 個の 𝑞, ( ) は 𝑝

1 組

４. は次と同じ：

(7)

Conway のチェイン表記

（２）

小数と大数 25

https://en.wikipedia.org/wiki/Conway_chained_arrow_notation

≒

ルール4による

余分な括弧を削除

ルール3による

ルール2による

余分な括弧を削除

ルール3による

ルール2による

Conway のチェイン表記

（３）

小数と大数 26

https://en.wikipedia.org/wiki/Conway_chained_arrow_notation

と定義すると、

グラハム数 G

は

アッケルマン関数

は

𝑛

個の↑

層

64 個の 3→3

(𝑚 ≧ 3)

多変数のアッケルマン関数

小数と大数 27

𝐴 0, 0, 𝑧

𝑧

1 𝐴 𝑥

1, 0, 𝑧

𝐴 𝑥, 𝑧, 𝑧

𝐴 𝑥, 𝑦

1, 0

𝐴 𝑥, 𝑦, 1

𝐴 𝑥, 𝑦

1, 𝑧

1 𝐴 𝑥, 𝑦, 𝐴 𝑥, 𝑦

1, 𝑧

２変数のアッケルマン関数より増加速度が大きい

10

_= 2

10

10…10

₁₀

10

_= 2

グーゴル googol とプレックス plex

など

小数と大数 ₂₈

1 googol

= 10

100 𝑛

plex

= 10

𝑛

1 googol‐plex

=10

(1 googol)

𝑛 = 10

10 …10

𝑛

1 googol = 100 plex = 10

(2 plex)

1 googol‐plex = 10

10100

_= 10

10102

=(100 plex) plex

(8)

2 =

𝑛 を再帰的に適用すると・・・

小数と大数 29

𝑛 = 10

10 …10

𝑛

2 = 10

10

₂

…

_= 2

これって、どのくらいたくさんあるの？

（１）

８×８の盤を白黒に塗り分ける方法は何通りある？

2

64

_{= 18446744073709551616}

≒

18.5×10

18

_通り

など

約18.5×10

18 _= 18.5

_quintillion

２ これって、どのくらいたくさんあるの？

（２）

小数と大数 ₃₁

平面上に

20 個の点がある。これらすべての点同士をループがないように線で結ぶ。

何通りの結び方がある？

１

３

１

２

３

１ 𝑛

3 の場合

𝑛

4 の場合のいくつか

１

２

１

２

１

２

３

３ _４

４

４ 𝑛C2

C

𝑛

1 通り。

𝑛

20 のとき、

190 C

19 =64123483527473864490450300≒64×10

24 = 64

septillion

これって、どのくらいたくさんあるの？

（３）

アボガドロ数

炭素 12 グラムの中に含まれている炭素原子

12 _{C の個数は？}

アボガドロ数（アボガドロ定数）とは、物質量 1 モルとそれを構成する粒子（分子、原子、イオンなど）の個

数との対応を示す比例定数。

「モル」とは原子や分子の単位のこと。原子や分子は重さをもっているが、とても小さいので1個単位では

測定ができないので、「モル」という単位を使う。

12

_{C の質量数は 12 で、}

12

_{C 原子１個の質量が約 2.0×10}

‐23

_{ｇなので、炭素 12グラムの中に含まれている}

炭素原子の数は、12/(2.0×10

‐23

_) =

_602×10

21 _= 602

_sextillion

_である。

この 602×10

21

_{という数をアボガドロ数という。}

(9)

これって、どのくらいたくさんあるの？

（４）

小数と大数 33

土星って、ガスの塊だけど、その重さは？

約 1.8×10

27

_Kg =

_1.8

_octillion

_Kg

では、

太陽の重さは？

約 1.8×10

30

_Kg =

_1.8

_nonillion

_Kg

これって、どのくらいたくさんあるの？

（５）

小数と大数 ₃₄

地球は何個の原子でできている？

約 10

50 _個

これって、48個の点をループができないようにつなぐ方法の個数

約 10

61 _通り

_= 1

_googol

_（=10

100 _{）よりは小さい}

に近い（と言えるかな？）

これって、どのくらいたくさんあるの？

（６）

小数と大数 35

１０×１０の格子状マス目を１０色で塗り分ける方法は何通りある？

10 10×10

_{通り =}

₁

_googol

_通り

では、

1 googol ×1 googol の格子状マス目を 1 googol 色で塗りつぶす方法は

何通り？

(1 googol)

(1 googol)2

_= 10

10010

100×10100

₌

₁₀

10010

200 _通り

参考文献

小数と大数 ₃₆

[1] Wikipedia の各項目（それぞれのシートに記した）．

[2] P.H.Davis, The Lore of Large Numbers, Random House, 1970 （秋月康夫訳、

『大きい数』、河出書房新社、1970.

[3] R.E.Schwartz, Really Big Numbers, Amer. Math. Soc., 2014 （著者は米国ブ

ラウン大学数学科教授．幼児向け）．