2013
年度∗ ◦ ∗ ◦ ∗ ◦ ∗ 数学基礎演習 I ∗ ◦ ∗ ◦ ∗ ◦ ∗
復習テスト No. 3
2013
年7
月18
日実施1 C 2 \ {0}
上の同値関係を「x ∼ y ⇐⇒ x = λy
なるλ ∈ C \ {0}
が存在する」とし,P 1 (C) = (C 2 \ {0})/ ∼
とする. そして,p : C 2 \ {0} −→ P 1 (C)
を標準的な商写像と し, p
によりP 1 (C)
に商位相を入れる.
また,
任意のx = (x 0 , x 1 ) ∈ C 2 \ {0}
に対し て, p(x) = [x] = [x 0 : x 1 ] ∈ P 1 (C)
と表すとする.
いま, f : C 2 \ {0} −→ C 2 \ {0}
を 以下の写像とする.f (x) = (2x 0 x 1 , x 2 0 + x 2 1 ), x = (x 0 , x 1 ) ∈ C 2 \ {0}.
(1) f
からf ◦ p =p ◦ f
なる連続写像f : P 1 (C) −→ P 1 (C)
が誘導されることを示せ.(2)
任意の[y] = [y 0 : y 1 ] ∈ P 1 (C)
に対して,f −1 ([y]) ⊂ P 1 (C)
の濃度, 即ち, 元の個 数を求めよ.
(ヒント : (2) y 0 2 = y 1 2
が成り立つか否か(このことは [y 0 : y 1 ]
の代表元のとり方に依 らない)で場合分けせよ.)2 K
を体,V
をK
上の有限次元ベクトル空間,W ⊂ V
をV
の部分ベクトル空間とす る. そして,V ∗ , W ∗
をそれぞれV , W
の双対空間とし,W ⊥ ⊂ V ∗
を以下で与えられ るV ∗
の部分ベクトル空間とする.
W ⊥ = {f ∈ V ∗ |
すべてのw ∈ W
についてf (w) = 0}.
(1) Φ : V ∗ −→ W ∗
をf ∈ V ∗
に対して,f
のW
への制限f | W
を対応させる線形写像 とする. このとき,Φ
から線形写像Φ : V ∗ /W ⊥ [f ] = f +W ⊥ → Φ(f ) = f | W ∈ W ∗
が誘導されることを示せ.
(2) Φ
が線形同型写像であることを示せ.3 L 1 = {(x, y, z) ∈ R 3 | y = z = 0}, L 2 = {(x, y, z) ∈ R 3 | x = z = 0}, L 3 = {(x, y, z) ∈ R 3 | x = y = 0} ⊂ R 3
とし,D = R 3 \ ∪ 3 j=1 L j
とする. そして,D
上の次 のベクトル場X
を考える.
X =
−3y
x 2 + y 2 + 2z
x 2 + z 2 , 3x
x 2 + y 2 + −4z
y 2 + z 2 , −2x
x 2 + z 2 + 4y y 2 + z 2
. (1) rotX = 0
を示せ.(2) C 1 , C 2 , C 3
をそれぞれ以下のl 1 , l 2 , l 3 : [0, 6] −→ D
で与えられる曲線とする.l 1 (t) =
⎧ ⎪
⎨
⎪ ⎩
(t − 1, −1, −1), t ∈ [0, 2], (1, t − 3, −1), t ∈ [2, 4], (1, 1, t − 5), t ∈ [4, 6],
l 2 (t) =
⎧ ⎪
⎨
⎪ ⎩
(−1, t − 1, −1), t ∈ [0, 2], (−1, 1, t − 3), t ∈ [2, 4], (t − 5, 1, 1), t ∈ [4, 6], l 3 (t) =
⎧ ⎪
⎨
⎪ ⎩
(−1, −1, t − 1), t ∈ [0, 2], (t − 3, −1, 1), t ∈ [2, 4], (1, t − 5, 1), t ∈ [4, 6].
このとき, 線積分
