2013
年度∗ ◦ ∗ ◦ ∗ ◦ ∗ 数学基礎演習 I ∗ ◦ ∗ ◦ ∗ ◦ ∗
No. 8
2013年6月13日実施
1 S2 = {(x0, x1, x2) ∈ R3|x20 +x21 +x22 = 1}とする. そして, F : S2 −→ R6 を F(x0, x1, x2) = (x20, x21, x22, x0x1, x1x2, x2x0) として定義する. また, 正整数nにつ いて, PnをSn = {(x0, . . . , xn) ∈ Rn+1|x20 + · · · +x2n = 1}に同値関係x ∼ y
⇐⇒ y = ±xを入れて得られる商空間Pn = Sn/∼とする. そして, SnにはRn+1 の通常の距離を入れ, pn : Sn −→ Pnを商写像とするとき, x, y ∈ Snについて, d(pn(x), pn(y)) = min{|x−y|,|x+y|}として,Pnを距離空間と考える.
(1) F は単射f : P2 −→R6を引き起こすことを示せ.
(2) F は連続な単射f: P2 −→P5を引き起こすことを示せ.
2 V を体K上の有限次元ベクトル空間,V∗をV の双対空間とする. (1) V の部分空間Wに対して，W⊥⊂V∗を以下で定義する.
W⊥:={f ∈V∗ | 任意のw∈Wに対して, f(w) = 0}.
このとき,W⊥はV∗の部分空間であり, dimW⊥= dimV−dimWであることを示せ. (2) W1, W2をV の部分空間とする. このとき, (W1+W2)⊥=W1⊥∩W2⊥を示せ.
3 F(x, y) =t
−y
2 ,x 2
をR2上のベクトル場,a, bを正実数とし, D⊂R2を次で与えら れる部分集合とする.
D=
(x, y)∈R2 x2
a2 + y2 b2 ≤1
.
∂DによってDの正の向きの境界を表すとき, 次の線積分の値を求めよ.
∂DF.
