2010
年度∗ ◦ ∗ ◦ ∗ ◦ ∗ 数学基礎演習 I ∗ ◦ ∗ ◦ ∗ ◦ ∗
No. 10
2010
年7
月1
日実施1 X
を(T 2 )
空間,f : X −→ X
を連続写像とする. このとき,F := {x ∈ X | f(x) = x}
は
X
の閉集合であることを示せ.
2 A
を複素n
次正方行列,E
をn
次単位行列,O
をn
次零行列とする.(1)
正整数k
が存在してA k = E
が成り立つならば,A
は対角行列と共役, 即ち, 複 素n
次正則行列P
が存在して, P AP −1
が対角行列となることを示せ.
(2)
正整数k
が存在してA k = O
が成り立ち, かつA = O
であるならば,A
は対角 行列に共役でないことを示せ.3
以下の(A)(B)
のうち一方のみ解答せよ.(A)
ベクトル場F = 1
r 3 (xi + yj + zk) (r =
x 2 + y 2 + z 2 )
および次の向き付けら れた曲面S 1 , S 2
について, 面積分S
iF · n dS (i = 1, 2)
を求めよ. ただし,a
は正定 数とし, n
は外向きとする.
S 1 : x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , S 2 :
x − 1 2
2
+ y 2 + z 2 = 1.
(B) R 2 \ {O}
で定義された次のベクトル場F
の回転rotF
を計算せよ.
F =
⎛
⎜ ⎝
−y x 2 + y 2
x x 2 + y 2
⎞
⎟ ⎠ .
また, 原点を中心とする半径
