微分積分続論平成年度前期

(1)

微分積分続論 ^平成

^年度前期

谷口説男九州大学大学院数理学研究院

平成年月日

(2)

(3)

講義スケジュール

週日講義内容

月日変数関数の積分定義と性質

日〃

日〃，反復積分

月日極座標

日広義積分

日変数変換

月日〃

日線積分

日〃グリーンの定理

日中間試験

日変数の積分

月日〃

日面積分

日〃

日教場試験

(5)

第章

^¾

変数関数の積分

Ü 変数関数の積分定義と性質

本章を通じて用いる記号を準備する．

の定める二つの区間から長方形をつぎのように定める

Ê

の分割は，の分割

を用いてつぎのように定義される．

ただし

の面積を

とおく．

Êを有界関数とする．のに関する上方和と下方和をつぎで定める．

ただし

有界な ^Êの上積分，下積分をつぎで定義する．

はの分割はの分割

有界な ^Êが積分可能可積分であるとは，

が成り立つことをいう．このときをつぎのように表す．

，と順序を入れ替えての表示を利用する理由は次節で明らかになる．

で与えられる分割に対し

とおく．以下， ^Êは有界であるとする．

が存在し，となる．

(6)

!"# の定理の分割の列，，は

を満たすとする．

このとき，つぎが成り立つ．

$

が積分可能となるための必要十分条件は，

となるの分割の列，，でさらにつぎを満たすものが存在することである．

という収束のみを証明する．

とする．の分割で

%

となるものをとる．

と表わす．^Æを

を満たすように選ぶ．とし，をとを合わせたの分割とする．このとき，定義より直ちに

%

つぎに，

とおけば，以下の評価式が成り立つことを示す．

% %

これが証明できれば，と合わせて

%% %

となる．，という操作により，^$ を得る．

は次のようにして証明できる．

#

とおく．ならばとなる．のうち，直線と交わるものすべてからのへの寄与は高々

であり，直線と交わるものすべてからの寄与は高々である．よって，全体のへの寄与は高々

%

となる．これよりを得る．

より任意の

となる分割に対し，

これより主張が得られる．

!"# の定理を用いるとつぎのような積分可能性の特徴づけができる．

(7)

有界な ^Êが積分可能となるための必要十分条件は， ^Êが存在し，任意の

なるの分割

と任意の

に対し，

が成り立つことである．このとき

となる．

必要性

とする．分割

，

に対し，つぎが成り立つ．

!"# の定理^&' により，とすれば，

$

となり，主張を得る．

十分性，とする．

を

となるように選ぶ．このとき

!"# の定理^&' により，とすれば

として，

同様の議論をに適用しを得る．よって，となり，は積分可能となる．

積分の基本的な性質を挙げよう．

Êは積分可能， ^Êとする．

線形性^% は積分可能で，つぎが成り立つ．

%

正値性ならば，

は積分可能である．

(

は積分可能である．とくに

(8)

なる分割

をとる．

とする．^&' により，

%

これより，再び^&'により，^% は積分可能で，その積分は

%

に一致する．

ならば，

である．^!"#の定理^&' により，として，主張を得る．

%

!であるから，が積分可能であることをいえば良い．^%

と変形すれば，を仮定してよい．このとき，

，

であるから，

%

よって，^&' により，

は積分可能再び，^&' により，は積分可能となる．

(

である．また，ならばである．よって，

&' により

は積分可能再び，^&' により，は積分可能となる．

であるから，線形性よりが積分可能であることがいえる．また，

と，積分の線形性，正値性を合わせると

すなわち

積分可能性を保証する具体的な条件を挙げよう．

"は点で不連続とおく．かつ

Æ

となる分割が存在すれば，は積分可能となる．ただしに対し，^Æ

である．

(9)

一般性を失うことなくはの細分となっているとしてよい．

とする．

Æを

Æ

となるように選ぶ．

をでの境界と接するものの全体とし，

Æ

"

とおく．，^#

とおく．とする．は^#上で一様連続であるから，

したがって

はの細分であるからが^#を満たせば，

が存在し，となる．よって

%

の選び方より

%

以上より，とすれば，

となる．^&' により，は積分可能となる．

&'の逆も成立するが，その証明はこの講義の範疇を超える．

以下のようなは積分可能となる．

上連続である．

の不連続点の個数は高々有限個．

，^$，とする．^% は連続とし，^% とおく．は

上，連続である．

%

は上一様連続であるから，任意の^Æ に対し， ^Æが存在し，

が

!

を満たせば^% %

!が成り立つ．

分割を小長方形

%

&

%

&%

%

&

%

&

%

&

を含むものとすれば，

Æ

ならばが存在し，となる．

(10)

第章変数関数の積分上の，は，の特別な場合である．

今までは積分を長方形の上で考えてきたが，これをの部分集合に拡張しよう．

'が面積確定であるとは，が積分可能となることをいう．ただし，は^'の定義関数，すなわち， ^'ならば

，さもなくばとなる関数である．

面積確定な^'に対し，その面積をつぎで定める．

'

' は面積確定であるとする．有界な ^' ^Êが積分可能であるとは，そのへの拡張

'，^!^'が，上積分可能となることをいう．さらにこのとき，

とおき，の^'での積分と呼ぶ．

Êが積分可能であり，^' が面積確定であれば，^&'により，の^'への制限

'Êは積分可能となる．

互いに交わらない^' '

は面積確定であり，は各^'上積分可能であるとする．このとき，^'

'

は面積確定で，は^'上積分可能であり，さらにつぎが成り立つ．

という関係式より，明らかである．

&' は面積確定な集合による分割へと拡張できる．

'は面積確定であり， ^'^Êは積分可能とする． ^'

&$

は，面積確定な集合^'

による^'の分割とする．すなわち，^'

は互いに疎，^'

'

&，であり，

'

を満たす．

)'

を仮定する．ただし，⁾⁽ ⁽である．さらに⁾

'

とする．このとき，

)

'

であるから

)

'

)

である．また

)

'

なので，主張を得るには

'

(11)

変数関数の積分定義と性質を示せばよい．

とする．の積分可能性より，の分割で

となるものが採れる．

とおく．

Æとし，

Æ

%Æ

Æ

%Æ

Æ

と定義する．

Æ

Æ %

が成り立つ．^Æ

Æ とする．

Æとなるようなに対し，

'

Æ

'

%

Æ

'

と総和を分解する．

'

Æ

'

Æ

'

Æ

* '

であるから，

第項 ^Æ

% Æ

第項

となる．，^Æ，として，が従う．

&' と同じ仮定の下，つぎが成り立つ．

'

とする．⁾

)

'

をそれぞれ

)

%

となるようにとる．

'

微分積分続論 平成年度前期