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微分積分続論 平成年度前期

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Academic year: 2021

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(1)

微分積分続論 平成

年度前期

谷 口 説 男 九州大学大学院数理学研究院

平成

(2)
(3)

目 次

変数関数の積分

変数関数の積分定義と性質

反復積分

極座標

広義積分

章 変数変換

平行移動

線形変換

一般の変数変換

章 線積分

曲線,道,線積分

反対向きの曲線,道

ポテンシャル関数

章 グリーンの定理

グリーンの定理

ベクトル場の発散と回転

変数関数の積分

変数関数の積分定義と性質

反復積分

変数変換

円柱座標

球座標

広義積分

章 面積分

面積分定義と性質

ガウスの定理発散定理

ストークスの定理

(4)

講義スケジュール

講義内容

変数関数の積分定義と性質

〃,反復積分

極座標

広義積分

変数変換

線積分

〃 グリーンの定理

中間試験

変数の積分

面積分

教場試験

(5)

第 章

¾

変数関数の積分

Ü 変数関数の積分定義と性質

本章を通じて用いる記号を準備する.

の定める二つの区間 から長方形をつぎのように定める

Ê

の分割は, の分割

を用いてつぎのように定義される.

ただし

の面積

とおく.

Êを有界関数とする. に関する上方和と下方和をつぎで定める.

ただし

有界な Êの上積分,下積分をつぎで定義する.

の分割 の分割

有界な Êが積分可能可積分であるとは,

が成り立つことをいう.このときをつぎのように表す.

と順序を入れ替えての表示を利用する理由は次節で明らかになる.

で与えられる分割 に対し

とおく.以下, Êは有界であるとする.

が存在し, となる.

(6)

変数関数の積分

!"# の定理の分割の列 ,は

を満たすとする.

このとき,つぎが成り立つ.

$

$

が積分可能となるための必要十分条件は,

となるの分割の列 ,でさらに つぎを満たすものが存在することである.

という収束のみを証明する.

とする.の分割

%

となるものをとる.

と表わす.Æ

を満たすように選ぶ.とし,を合わせたの分割とする.このとき,定義より直ちに

%

つぎに,

とおけば,以下の評価式が成り立つことを示す.

% %

これが証明できれば,と合わせて

%% %

となる.という操作により,$ を得る.

は次のようにして証明できる.

#

とおく.ならばとなる. のうち,直線 と交わるものすべてからの の寄与は高々

であり,直線と交わるものすべてからの寄与は高々 であ る.よって,全体のへの寄与は高々

%

となる.これよりを得る.

より任意の

となる分割に対し,

これより主張が得られる.

!"# の定理を用いるとつぎのような積分可能性の特徴づけができる.

(7)

変数関数の積分定義と性質

有界な Êが積分可能となるための必要十分条件は, Êが存在し,任意の

なるの分割

と任意の

に対し,

が成り立つことである.このとき

となる.

必要性

とする.分割

に対し,つぎが成り立つ.

!"# の定理&' により,とすれば,

$

となり,主張を得る.

十分性とする.

となるように選ぶ.このとき

!"# の定理&' により,とすれば

として,

同様の議論をに適用しを得る.よって,となり,は積分可能となる.

積分の基本的な性質を挙げよう.

Êは積分可能, Êとする.

線形性% 積分可能で,つぎが成り立つ.

%

%

正値性 ならば,

は積分可能である.

(

は積分可能である.とくに

(8)

変数関数の積分

なる分割

をとる.

とする.&' により,

%

%

%

これより,再び&'により,% は積分可能で,その積分は

%

に一致する.

ならば,

である.!"# の定理&' により,として,主張 を得る.

%

!であるから,が積分可能であることをいえば良い.%

と変形すれば, を仮定してよい.このとき,

であるから,

%

よって,&' により,

は積分可能 再び,&' により,は積分可能となる.

(

である.また, ならば である.よって,

&' により

は積分可能 再び,&' により,は積分可能となる.

であるから,線形性より が積分可能であることがいえる.また,

と,積分の線形性,正値性を合わせると

すなわち

積分可能性を保証する具体的な条件を挙げよう.

"は点で不連続とおく.かつ

Æ

となる分割が存在すれば,は積分可能となる.ただしに対し,Æ

である.

(9)

変数関数の積分定義と性質

一般性を失うことなく の細分となっているとしてよい.

とする.

Æ

Æ

となるように選ぶ.

の境界と接するものの全体とし,

Æ

"

とおく. #

とおく.とする. #上で一様連続であるから,

したがって

の細分であるから#を満たせば,

が存在し,となる.よって

%

の選び方より

%

以上より,とすれば,

となる.&' により,は積分可能となる.

&'の逆も成立するが,その証明はこの講義の範疇を超える.

以下のような は積分可能となる.

上連続である.

の不連続点の個数は高々有限個.

$,とする.% は連続とし,% とおく.

上,連続である.

%

上一様連続であるから,任意のÆ に対し, Æが存在し,

!

を満たせば% %

!が成り立つ.

分割を小長方形

%

&

%

&%

%

%

&

%

%

&

%

&

を含むものとすれば,

Æ

ならば が存在し,となる.

(10)

変数関数の積分 上の は, の特別な場合である.

今までは積分を長方形の上で考えてきたが,これをの部分集合に拡張しよう.

'が面積確定であるとは, が積分可能となることをいう.ただし, 'の定義関 数,すなわち, 'ならば

,さもなくばとなる関数である.

面積確定な'に対し,その面積をつぎで定める.

'

' は面積確定であるとする.有界な ' Êが積分可能であるとは,そのへの拡張

'!'が,上積分可能となることをいう.さらにこのとき,

とおき,'での積分と呼ぶ.

Êが積分可能であり,' が面積確定であれば,&'により, 'への制限

'Êは積分可能となる.

互いに交わらない' '

は面積確定であり, は各'上積分可能であるとする.この とき,'

'

は面積確定で,'上積分可能であり,さらにつぎが成り立つ.

という関係式より,明らかである.

&' は面積確定な集合による分割へと拡張できる.

'は面積確定であり, 'Êは積分可能とする. '

&$

は,面積確定 な集合'

による'の分割とする.すなわち,'

は互いに疎,'

'

&,であり,

'

'

を満たす.

)'

を仮定する.ただし,)( (である.さらに)

'

とする.このとき,

)

'

'

であるから

)

'

)

である.また

)

'

なので,主張を得るには

'

(11)

変数関数の積分定義と性質 を示せばよい.

とする.の積分可能性より,の分割

となるものが採れる.

とおく.

Æとし,

Æ

%Æ

Æ

%Æ

Æ

と定義する.

Æ

Æ %

が成り立つ.Æ

Æ とする.

Æとなるようなに対し,

'

Æ

'

%

Æ

'

と総和を分解する.

'

Æ

'

Æ

'

Æ

* '

であるから,

Æ

% Æ

となる.Æとして,が従う.

&' と同じ仮定の下,つぎが成り立つ.

'

'

とする.)

)

'

をそれぞれ

)

)

%

となるようにとる.

'

'

参照

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