渦分布法翼理論における特異積分の数値計算法

渦分布法翼理論における特異積分の数値計算法

著者 和田 存功, 山本 富士夫

雑誌名 福井大学工学部研究報告

巻 43

号 1

ページ 253‑265

発行年 1995‑09

URL http://hdl.handle.net/10098/3622

第43巻 第2号 1995年9月

渦 分 布 法 翼 理 論 に お け る 特 異 積 分 の 数 値 計 算 法

和 田 存 功 率 山 本 富 士 夫

A 

Co

m p u t a t i o n a l  Method f o r  S i n g u l a r  I n t e g r

a1 

i n  V o r t e x  D i s t r i b u t i o n  T e c h n i q u e  

A r i

‑isa WADA and Fujio YAMAMOTO 

(R

eceived Aug. 31， 1995) 

Vortex dis仕ibutiontechnique

(VD

T in  abbreviation)  which  is  one of白e boun也 勾 element method has two main advantages. One is世1at

∞

mputermemory size needed is  smaller. The other is白atcomputation time is  shorter.  But the integral  equation as  foundation  includes  singularity

， 

and so出atit  needs some numerica1 techniques.  We  propose a new 

∞

mputationa1 technique for numeri伺

1 ∞

mputationof singular integral in  VDT.τbe advantage of出istechnique is  ana1ytica1∞mpu旬tionfor singular integral.ηm  technique has a generality for vortex functions and boun.也ryshap回 .

1  緒 言

253 

境 界 要 素 法 の 一 つ で あ る 渦 分 布 法 は ， 流 れ の 中 に あ る 境 界 上 に 渦 や 吹 き 出 し を 連 続 的 に 分 布 さ せ る こ と に よ り ， 境 界 に 働 く 圧 力 分 布 や 流 体 力 を 求 め る 方 法 で あ る 。 主 な 特 徴 は ， 境 界 上 の 積 分 方 程 式 が 流 れ 場 の 基 礎 式 と な る た め ， 計 算 に 関 す る 次 元 は 流 れ 場 の 次 元 よ り 一 次 元 低 く な り ， 差 分 法 や 有 限 要 素 法 に 比 べ て 小 メ モ リ で 高 速 化 が 可 能 な こ と で あ る 。 し か し ， 基 礎 と な る 積 分 方 程 式 は 特 異 積 分 を 含 み ， そ の 計 算 に は コ ー シ ー 積 分 等 種 々 の 技 巧 が 必 要 と な る 。

本 大 学 院 シ ス テ ム 設 計 工 学 専 攻 ， ア イ シ ン ・ エ イ ・ ダ プ リ ュ 工 業 寧牢機械工学科

本 論 文 で は ， 二 次 元 非 圧 縮 非 粘 性 定 常 流 れ 場 に お け る 渦 分 布 法 の 特 異 積 分 の 数 値 計 算 に 関 し て ， 渦 関 数 と 境 界 形 状 に 普 遍 性 を 持 つ 新 し い 計 算 方 法 を 提 案 す る 。

最 初 に ， 渦 の 強 さ の 計 算 方 法 ， 離 散 化 の 方 法 ， 特 異 積 分 の 計 算 方 法 の 理 論 を 述 べ る 。 次 に ， 流 れ の 様 子 ， 分 割 数 に 対 す る 循 環 お よ び 計 算 時 間 の 計 算 結 果 に つ い 述 べ る 。 最 後 に ， こ の 新 し い 方 法 の 成 果 と 計 算 結 果 を 述 べ ， 結 果 と し て 本 方 法 の 有 効 性 を 示 す 。

言己寺ヨト

(渦の強さの計算 2章 で 使 用 )

v(ご 点 ご に お け る 複 素 速 度 ( ご =x+yi，i2=‑1) v(と v(ξ)の 共 役 複 素 速 度

V国 : 物 体 ま わ り の 一 様 読 の 速 度 g(ご 渦 関 数

c

流 れ と 物 体 の 境 界 の 閉 曲 線 s 境 界Cの 弧 長 パ ラ メ ー タ ξ  : 境 界Cの 複 素 座 標

ご ξのSに よ る 微 分 係 数 (=dご/ds) s'  sのとによる微分係数(ニ ds/dと)

γ(と):境界Cの 点 と に お 付 る 渦 の 強 さ ， γ(と)

= 

v(ご)ご' (腫散化 3章 で 使 用 )

Zj  : 境 界Cの分割点， (1 ~三 j~n+ l)， Zl=  Zn+l 

L^j  直 線 [Zj，ZJ+l] ， (1 ~三 j~n)  .6.Zj  Zj+l一 Zj  ，(1歪 j~n) .6.Sj  二 I.6.ZjI  ，(1 ~j~n)

s  = ム Sj/ム Zj _{，(1三 j~}n)  Zrj  =(Zj+l+Zj)/2  ，(1 ~j~n) nj  = ム Zj /( Iム Zjli)，(1歪 j壬n)

γ』 Zj上の渦の強さ， (1 ~j~ n+l)  ( 特 異 積 分 の 計 算 :4章 で 使 用 )

f(と = ( ご ‑Zrk)g(と ‑Zrk)  Zjl  =(2zj+zj日 )/3 ，(1;壬 j~ n)  Zj2  =(zj+2zJ+d/3 ，(1 ~j~n)

aj (z) ニ(S'J!.6.Zj)SLj(ご ‑zrdg(と一 z)dと，(1;亘 j~n+ l) b j (Z )  = ( S ' j /2  ) S L j g (と‑z)d と，(1 ~j~n+ l)

Hj(z) 

l

^ニv(z)=v{‑adz)+bl(Z)}回+ Lt:Hj(z)γJを 満 た す γjの 係 数

，

(j=l  ) 

={ -adz)+hj(z)}+{aj ー l(z)+bj-dz) }， (2~三 j 壬 n)

={an+dz)+hn+dz)}  ，(j=n+l) 

2  渦 の 強 さ の 計 算

2.  1 溺 の 強 さ に よ る 速 度 の 表 現

図 1の よ う な 境 界C周りの、流れにおいて，共役複素速度v(z)は 渦 関 数g(ご)と一様流速V聞を含む 式(1)で与えられる (1)。

v(z)

二九

+ 1 c ^v( の ^g(z ー の

dc

‑・・・(1)

式(1)を境界上の渦の強さγ(ξ)で 表 す と ， 式(2)となる。

v(z)

二九十

c 1 ^v( の ご い

)s

の ( g(z ー の

dc

=九十

c 1

Y(

の

s(

の g(z‑ の

dc ︐ ︐ ^内/ ︑ . ︐ ︐

E電 ︑

• •

•

•

•

•

2.  2 渦 関 数 の 条 件

渦 関 数 g(ξ)に 次 の 二 つ の 条 件 を 設 定 す る 。

(1) g(と)はと =0を1位の極に持つ。

g(ξ)==α‑1ξ‑1+φ

， 

(ξ)  • • • • • • • • • ^{a︐ ︐}

︑

^{qJ  ︐} s ' ^︑

(α‑1は係数， φは 正 則 関 数 ) (2) g(ξ)は 不 定 積 分 G(ξ)を持つ。

G(ξ) == S g(ξ)dξ  ‑・・・・・(4)

V回

レ

( z )¥ ¥

合

γ(と)

↓ ↓

↓ ↓

 

図 1 掲 の 強 さ に よ る 速 度 の 表 現

渦 関 数 g(ξ)の 例 を 示 すo

(1)自由渦(2) 

g(ξ)=1/(2πi

ご)

・‑(5)

(2)複 素 周 期Zoを も っ 直 線 翼 列 渦

g(ξ)二 cot(

ご ・

π/zo)/(2zoi) ‑・・・・・・・(6) 図2と図3に そ れ ぞ れ の 流 線 図 を 示 す 。

図 2 自 由 漏 に おttる 流 線

図 3 直 穏 翼 列 温 に お げ る 流 線

2.  3 渦 の 強 さ の 計 算

式 (2)よ り ， 流 れ 場 の 任 意 点 、 の 速 度 は 境 界C上 の 渦 の 強 さ γ(ご)により算出される。 しかし，

γ(ξ)の 解 析 解 を 求 め る こ と は 一 般 に は 不 可 能 で あ る た め Cの 離 散 化 に よ る 近 似 解 と し て の 渦 の 強 さ を 求 め る こ と に な る 。

渦 の 強 さ の 例 を 示 す 。

渦 関 数 ( 自 由 渦 ) 式(5)による

形 状 (単位円 C={e^iO 0~8<2π}

渦 の 強 さ (3)  γ(8)=ー2sin(8) ‑・(7)

3  離 散 化

3.  1  漏 の 強 さ の 条 件

渦 の 強 さ γ(ξ)に 次 の 二 つ の 条 件 を 設 定 す る 。

(1)渦の強さは一次近似可能である

γ(ξ)=γ(ご。 )+γ ，(ξ。)(ごーと。)

・ ‑

(8)

(2 ) 直 線 区 間 Lj=[Zj

，

Zj +l]において

γ( Z r j )二す[γ(Zj+l)+γ(Z j ) ]  ‑・・・・(9)

γ'(Zrj)=  [γ(Z j + 1 )γ(Zj)]/.6.Zj  ︐ ‑ E ‑ A  ︐ ^nHV  ⁾  E

︑

•

•

•

• •

•

•

•

•

3.  2  離 散 化

式 (2)を 離 散 化 し て 図 4 川 の よ う に 境 界 Cの 分 割 点 Zjの 各 区 間 で 表 す と ， 式 (11)となる。

v (

か に 十 九

t

^，

^{r ( の}

^s(

^の

^g(z

^{ー の d c}

_{‑ a ' E ︑ . ︐ ︐}

・1A 

a︐ ︐ ︑

•

•

• •

•

•

•

• •

•

式 (9)，(10)を式(11)に代入して部分積分を行うと式(12)を 得 ， さ ら に 係 数 を 整 理 す る こ と に よ り 式(13)を得る。

v(z) 

=九 +

L;~I ([Y}+I + yJh;<z) + [y }+I  ‑y

， ]

α;<z)} 

=九

+Z71HI(z)yJ

‑・・・・・・(12) 

‑・・(13) 

渦 の 強 さ γJは，次の条件(14)，(15)よりなる (n+1 ) 個 の 連 立 方 程 式 の 解 と し て 得 ら れ る 。

(1)各Zr j (参照点)における速度の法線条件

o 

=Re{v(Zrk)nd， 

( 1 ; 壬

k

壬

n)

= Re{ V∞n d +  _{~ j~，} Re{Hdzrk)ndγ』 ‑・・・・・・・・・(14) 

(2)翼 後 縁 に お け る ク ッ タ の 条 件

0=γ(Z 1) +γ(Zn+l)  • •

•

• • • • • • ︐ ︐ ︑ ・ ・ _2A υ円r ^︑F¹

しかし， Hj(Zrk)， す な わ ち わ (Zrk)お よ び bj(Zrk)は 特 異 積 分 を 含 む 。 次 章 で は ， Hj(Zrk)の 計 算 に 関 し て ， 特 異 性 を 持 た な い 場 合 に 誘 導 さ れ た 解 が 特 異 性 を 持 つ 場 合 に 対 し て も 適 用 可 能 で あ る

ことを示す。

4  特 異 積 分 の 計 算

4.  1 特 異 性 の 考 慮

条 件 (3)，(4)を 満 た す 渦 関 数 g(ξ)に 対 し て ， 直 線 経 路 Ljに お け る g(ξ‑Z rk)お よ び ( と ‑Z r k)  g(喜一Zrk)の 線 積 分 を 考 察 す る 。 式 ( 14)におけるむ (Zrk)，bj(Zrk)の 特 異 性 の 有 無 を 表1に示す。

‑J 

n H 

im a‑

‑

ーl

l

図 4 雌 散 化

表 1 jとkに よ る 特 異 性 の 有 無

へ

^j;tk  特 異 性 を 持 た な い^aJ(Zrk)  特 異 性 を 持 た な い^bj(Zrk)  j= k  特 異 性 を 持 つ ・ 特 異 性 を 持 つ

寧 除 去 可 能 な 特 異 性 を 持 つ .

4. 2  特 異 性 を 持 た な い 場 合 の 積 分

jメkの 時 ， 被 積 分 関 数 は 経 路 内 で 特 異 性 を 持 た な い た め ， 形 式 的 な 計 算 を 行 え ば 式 ( 16)，(17)と なる。

(1)  S LJg(ξ‑Zrk)dξ 

= [G(ξ‑Zrk)hJ 

= G( Z J + I ‑ Z r k) ‑G( Z j ‑Z r k)  ‑・・・・・・・・(16)

(2)  S Lj(喜一Zrk)g(ξ一Zrk)d

ご

= S ^Ld(ξ)d

ご

=6Zj[f(zJ)十3f(ZjI )+3f(zj2)+f(zj+1 )]/ 8 

(Sillpsonー3/8公 式 を 用 い た 場 合 )

) ワt

‑ E ・E・

︐ ︐ ︐ ︑

4.3 特 異 性 を 持 つ 場 合 の 積 分 4.3.1 aj(Zr け の 計 算

特 異 性 を 持 つ 場 合 の わ (Zrk)の 計 算 方 法 を 図5に 示 す 。 式 (3)よ り 被 積 分 関 数 f(ξ)は 積 分 経 路 で 連 続 と な り ， 式 ( 17)が 成 立 す る 。 し か し ， 数 値 計 算 を 実 行 す る 上 で f(Zrj)は 直 接 計 算 で き な い 。 よ って， f(zrj)を 使 用 し な い 方 法 ( 台 形 公 式 ・ Simpson3/8公 式 等 ) に よ り ， 積 分 近 似 を 行 う 必 要 が あ る。また， Simpson 1/3公 式 で は f(Zrj)を使用して計算を行う。

S L j (ξ‑Zrk)g(ξ‑Zrk)d

と

= 

S Lj f(と)dξ

= 式 ( 17)

4.  3.  2 bj(Zrk)の 計 算

特 異 性 を 持 つ 場 合 の bj(Zrk)の 計 算 方 法 を 図 6に 示 す 。 式 (3)よ り 被 積 分 関 数f(c )は積分経路で 連 続 と な る 任 意 の 微 小 半 径εに 対 し て 積 分 経 路 を 図4の よ う に Lj' に と り 積 分 計 算 を 行 う と ， ε  に 依 存 し な い コ ー シ ー の 主 値 を 得 る こ と が で き ， そ の値が式(16) と な る 乙 と は 式(4)とコ シ ー の 積 分 定 理 を 用 い て 次 の よ う に し て 証 明 さ れ る 。

f ( Z ) 

Zj+1 

f (Zj)  f (zj+ 

d 

f (Zj 

d 

_f(Zj2) 

f(ZrJ) 

Zj  ZJl  zrJ  ZJ2  Zj+ 1  Z 

図 5 aJ(Zrk)の 計 算 方 法

LJ1+CJ+Lj2=Lj'  (=Lj:ε→

0) 

人 ZrJ 

L

J 1 

× 

L_J2 

CJ 

(ε=1

と

‑ZrJ 1) 

C_J. 

(r = 1 ~ ^‑Zr J 1 . r=をIZj+1‑zJI)

図 6 bj(Zrk)の 計 算 方 法

、

Zj 

S L j g (ξZrk)dξ 

S L j' g 

(ご一

Zrk)d

ご

(ε

→

0) 

S L j .α‑1 

( ご

‑Zrk)‑Idと+S Lj・φ

，

(ξ‑Z r k)d

ご

二 α‑I(S Ljl+ S cj+ S LjZ)(

と一

Zrk)‑Idご +S L j'φ

， 

(ξ ーZrk)dξ

= α ‑I S c j 

( と

‑Zrk)‑ldξ +  S Lj・φ

，( と

‑Zrk)dξ

= α ‑1 S c j ・(ご ‑Zrk)‑ldご +S Lj・φ，(ξ‑Zrk)dξ 

=α‑ISe;'(ξ‑Zrk)‑Id ξ +  S L jφ

， 

(ξ‑Zrk)dξ 

=αリ[回(と ‑Zrk)hJ+[φ(ξ‑Zrk)hJ

=[α‑1 回(ご ‑Zrk) + φ (と‑Zrk)hj

= [G(ξ‑Zrk)hJ 

= 式 ( 16)

5  計 算 結 果

本 方 法 を 用 い た 計 算 結 果 を 述 べ る 。 モ デ ル を 単 位 円 柱 .bJV?ンートレ7ヲ単独翼・川りートレアツ直線翼列 と し て 計 算 を 行 い ， 流 れ の 様 子 ・ 循 環r.渦 の 強 さ の 計 算 時 間 に つ い て 検 討 を 行 っ た 。 本 論 文 に お い て は ， 計 算 に は 速 度 が28.5Mipsの ワ ー ク ス テ ー シ ョ ン を 用 い ， 連 立 方 程 式 を 解 く に は 前 進 消 去 ・ 後退代入法を用いた。カ!日ンートレ7"J翼 形 状 は 偏 心 量(‑0.1，0.1)・後縁角10・ で 作 成 し ， さ ら に 時 計 ま わ り に +10。 の 回 転 を 与 え た 。 直 線 翼 列 渦 の 複 素 周 期 は ， Zo=O.5+

1 .

4iで与えた。

5.  1 流 れ の 様 子

一 様 流 速V国 二1+ Oiの 時 の 流 れ の 様 子 を 図7"‑'図 12に 示 す 。 渦 関 数 と し て は ， 単 位 円 柱 お よ び 川り‑1‑1‑'7ツ 単 独 翼 は 自 由 渦 の 式(5)を ，bHi'ートレ7ヲ 翼 列 は 直 線 翼 列 渦 の 式(6)を用いた。

5.  2 分 割 教 と 循 環

r

分 割 数 と 循 環

r

の 関 係 を 表 2お よ び 図13に 示 す 。 単 位 円 柱 ま わ り の 循 環

r

の 厳 密 解 は ， 式(7) より

r=o

と な る 。 各 分 割 に お け る 誤 差 は10‑¹⁴ の オ ー ダ ー で あ る こ と よ り ， 本 計 算 方 法 の 精 度 は

図 7 円 柱 ま わ り の 速 度 ベ ク ト ル

図 8

: U

1ンートレリ単独翼まわりの速度ベクトル

図 9 U1ンートレ7ヲ 直 線 翼 列 ま わ り の 速 度 ベ ク ト ル

図 10 円 柱 ま わ り の 速 度 分 布

図 1 1 U1

ン ー ト レ7

ヲ 単 独 翼 ま わ り の 速 度 分 布

図 12 

T .

HY‑

H t 7 '

直 線 翼 列 ま わ り の 速 度 分 布

分 割 数

10  20  30  40  50  60  70  80 

表2 分 割 数 と 循 環Fお よ び 計 算 時 間

単 位 円 柱 カJV(ンートレ7ツ単独翼 カ J~? ンートレ 7 ツ直線翼列

循 環

1.665330‑15 

‑9.978120‑15 

‑6.543370‑15 

‑1.59629D‑14  3.531890‑15  2.373440‑14  7.407260‑16 

‑1.89102D‑14 

e 

~.2

  .，

‑e.4叫

~.6

時 間 (秒)

2  2  3  4 

循 環 時 間 循 環

(秒)

‑1.7642228  ‑0.8389768 

‑1.8080573  ー0.8484526

‑1.7781224  ‑0.8286484 

‑1.8759933  2  一0.8906275

‑1. 8447739  ‑0.8662303 

‑1.8407250  2  ー0.8625259

‑1.8427096  3  ‑0.8636011  一1.8431324  4  ‑0.8635933 

-e .8 下-)(-1<・V・-)(._~・-M-*-)(-I<--，.._)(._)(._)(._~-)(-)(-)(._)(._><

c‑‑ー1 ー1.2

‑t，  4 

‑1.6 

‑1.8 γ ‑ a ‑ & ¥'b‑d‑会‑ b‑b.‑‑b.叶‑ b→ 一 合 ・h合̲h.‑h. ‑ 6  ‑h. ‑ b  ‑d. 

‑2ヘ・r‑‑.‑‑‑..‑‑‑"T""‑‑'‑‑"'‑‑‑'‑‑r‑‑‑T 

関

回

4O 

tqEJ Ap   詔

. ト4E， 司43 gB 

le 

10 羽 田 市 朗 110 調 1回 11司 1朗

Oivision Number 

図 13 分 割 数 に よ る 循 環

r

の 値 の 収 束 状 況 (+円柱 ，sU1iートレ7ヲ単独翼，x TJl.1/‑レ7ト ヲ直線翼列)

ノメ

/ 

ノx / 

/ X / X  f X 4 4歯/add‑

8  18 

ぷ五一〆

^a

沼 岡 市 朗 110 t3 e 回 170 100 

Division Number 

図 14 分 割 教 と 循 環 の 計 算 時 間

(十円柱 ，sU1iートレ7ヲ単独翼，XÞ~1 ンートレ7 ヲ直線翼列)

時 間 (秒)

3  3  6  7  9 

非 常 に 良 い 。 「 与 Oは 他 の 文 献(5) に も 示 さ れ て い る が ， 計 算 結 果 の 精 度 が 良 い の は 本 計 算 方 法 の 精 度 の 良 さ を 示 す も の で あ る 。 他 の 二 つ の モ デ ル の 循 環 の 収 束 状 況 に つ い て は ， 図 13の よ う に 収 束 に 若 干 の 長 動 が 見 ら れ る が ， 分 割 数 を50以 上 に と れ ば 十 分 高 い 精 度 を 得 ら れ る 。

5.  3 分 割 数 と 計 算 時 間

分 割 数 と 計 算 時 間 の 関 係 を 表2お よ び 図 14に 示 す 。 計 算 時 間 は 放 物 的 に 変 化 し て い る こ と が わ かる。

6  結 言

渦 分 布 法 翼 理 論 に お け る 特 異 積 分 の 数 値 計 算 に 関 し て ， 渦 関 数 に 棲 素 関 数 論 に よ る 考 察 を 加 え た 新しい数値計算方法を提案し，単位円柱・力!日ンートレ7ツ単独翼・力 JV?/'ートレ 7ツ 直 線 翼 列 の 数 値 計 算 結 果 に 対 す る 検 討 を 行 う こ と に よ り ， 本 計 算 方 法 の 特 長 と し て 次 の 事 柄 を 明 ら か に し た 。

(1)特異積分を解析的に計算することができる。

(2)境 界 形 状 お よ び 渦 関 数 の 変 更 に 対 し て ， 計 算 式 は 普 遍 性 を 持 つ 。

(3)少 な い 分 割 数 で 十 分 な 解 析 精 度 を 上 げ る こ と が で き る 。

以 上 を ま と め る と 、 次 の 結 言 を 得 る 。

渦 分 布 法 翼 理 論 に お け る 渦 の 強 さ の 計 算 方 法 に つ い て 述 べ た 。 本 方 法 に よ り ， 不 定 積 分 を 持 ち 一 位 の 極 を 持 つ 渦 関 数 に 対 し て は 特 異 性 を 考 慮 す る こ と な く 渦 の 強 さ の 計 算 が 可 能 と な る こ と を 示 し た。

参 考 文 献

(1)日本機械学会編，流れの数値シミュレーション， (1989)， 230.， コ ロ ナ 社 . (2)今 井 功 ， 流 体 力 学 ， (1989)，67.， 岩 波 書 庖 .

(3)村 回 選 ， 田 中 周 治 ， 機 械 の 研 究 ， 38‑7， (1986)，797.  (4)水 野 明 哲 ， 流 れ の 数 値 解 析 入 門 ， (1990)， 94.， 朝 倉 書 庖 . (5)大 橋 秀 雄 ， 流 体 力 学 1， (1991)，  145.，コロナ社.