円形開口を有する薄肉鋼板の弾塑性せん断座屈挙動に関する数値解析的研究

1

論 　 文 】 　 　 日本 建 築 学会 構造 系論 文 報告 集 第 450 号

・

1993 無 8月

JQurnal　of　Struct　Constr

、

　Engng

，

　AIJ

，

　No

．

450

．

　Aug

，

，

　1993

円

形

_開

口

を

_有

す

る

薄

肉鋼 板

の

_弾

塑

_性

せ ん

断座 屈 挙 動

に

_関

す

る

　　　　　　　

数 値

解析

的 研

究

NUMERICAL

　

STUDY

　

ON

　

ELASTOPLASTIC

　

BUCKLING

　

BEHAVIOR

　 　　

OF

　

STEEL

　

PLATES

　

WITH

　

CIRCULAR

　

HOLE

　

IN

　

SHEAR

　　　　

鈴

木 敏

郎

＊，

木 村 克 次

＊＊

，

元

結

正

次

郎

＊ ＊ ＊

Toshiro

　

SUZ

　

UKI

， κα醜

戸

KIA4URA

　and 　

ShOjiro

　

MOToy

毋

　

This

　paper　

describes

　the　elastOplastic 　

buckling

　

behavior

　ofrsteel 　plates　with 　circular 　

hole，

　

In

any 　Ilumerical 　scheme 　used 　

for

　the　analysis 　of　e且astoplastic 　_problems　it　

becomes

　necessary 　to　inte

−

grate　the　constitive 　equations 　_governing　material 　

behavior

．

　

Thus，

　we 　

describe

　the　method 　to

calculate 　stresses 　exactly 　in　range 　of　plastic　

flow．

　The　analytical 　model 　is　a　perfect　elastoplastic thin　plate　with 　circular 　hole　under　shear　

force

．

　

As

　a　result 　of　numerical 　analysis

_，

　we 　clarify 　the　

buckling

　strength 　and 　necessary 　width 　thick

．

ness 　ratio　to　carry 　yield　strength 　

for

　such 　a　plate

．

　

Keyworcls

： 

6

_喫 ηゴπ9_{ヨ etastoplastic} 　

buckting

，



Cigen

　

Problem



，

　 　 　 有 孔 梁

，

弾 塑 性 座 屈

，

固有 値 解 析

1．

序 　 円 形開口 を有するH型鋼 梁の構 造特性に関す る研 究は 耐 力 評 価に主 眼が置かれ， 開口が座 屈 挙 動 お よ び 塑 性 変 形 性 状に与え る影 響につ い て の研 究はほと ん ど な されて い な い の

_が

現 状である。

一

般にH型 鋼 梁を設 計す る場 合 作 用せ ん断 力に よっ て ウェ ブ厚が定め ら れる こと は少な く

，

鋼構 造設計規準1］］_{等に記さ れ た幅厚 比 規定に よ} っ て ウェ ブ厚が決 定さ れ ること が多い

。

し た がっ て ウェ ブに 開口 を設け たために耐 力 低下 を招い た と して も その度 合 い によっ て は開口部の断 面 を補 強 する必 要 がない状 況 も 十 分に考え ら れ る

。

た だし

、

そ の ような補 強の必 要性の 有無 は単に _耐力 とい う観 点によっ てのみ判 断さ れ る もの で は_碓く

，

座 屈 挙 動あ るい は塑 性 変 形 性 状な ど

様

々 な構 造 特性を踏ま え て決定さ れ るべ きであ る と

’

考え ら れ る

。

その よ う な背 景の も と

，

著 者ら は円形 開口 を有す るH型 鋼 梁の塑 性 変 形 性 状につ い て文 献14）で述べ た。 その な かで著者ら は まず曲げ崩 壊 型を基 本と し た基 礎 的な実 験お よ びそ れ を再 現する た め の数 値 解 析を行い

，

限 定さ れ た_{条 件}め_中で のその_{塑 性 変 形 性 状}を_{概 観}し た。 しか し な が ら

，一

方で円 形 開口を有す る薄板の 座 屈 現象 自体を

・

明 らか に した 研究 自体す ら著 者ら が知る 限 り行わ れ てい ない

。

　そ こ で_， 本 論文で は 数値 解 析 的 手法に よ り円形 開口を 有す る薄 板が せ ん断 力を受け る場 合につ い てその座 屈 挙 動 を 明ら かに し

，

無開口

あ

_薄板の そ れ と を比

較

する こと に よ り板要素 と して の必 要 幅厚比 な どにつ い て明ら かに す ること を 目的とずる

．

。

　ところで

，

近 年 薄 板の弾 塑 性 座 屈 問 題に対して

，

井上

・

加 藤は塑 性 流れ理 論に よる弾 塑 性 評 価を正 し く行 うこ と に よ り薄 板の塑 性 座 屈 耐 力の解 析 値と実 験 結 果との よい 対 応が得ら れ ること を 示 して いるi）

−

s） 。 その

一

連の研 究 の 中で_特に せ ん断力 を受け る場 合 （文献 2）に は

，

von

Mises

の _{降 伏条 件式}を用い た_{結 果}が文 献

12

）に示 さ れ てい る幅 厚 比に対す る経 験 式と

一

致す ること が 述べ _られ てい る。 し たがっ て本論 文で は降伏 条 件式とし て von

Mises

の_{降伏条 件式}を採 用す るもの とする。 また

，

円 形 開口 を有す る薄 板の場 合 塑 性 化は部 分 的に生じ

，

徐々 に その塑性化領 域は進 展してい くために_{数 値}解 析上降 伏 後 の_{応 力 状}態評 価も重 要な課題 と な る。 この ような研 究 も 現在ま で に か な り進ん で お り， そ の代表 的なもの と して

Retutn

　mapping 　algorithmti ’）

・

s）

が ある

。

こ の _手法 は増 分 計算に おい て塑 性 化 後の応 力 状 態が精度よ く降伏 条 件

　　　

e ＊ _{東 京工業 大学工学 部 建 築 学 科　教 授}

’

・

_{工 博} ＊＊ _{東 急 建設 構 造 設計 部} 　部長 ＊ ＊ ＊ 東 急 建 設 構 造 設 計 部

・

工博

PrQf

，

，

　Dept

．

　 of　Architecture

，

　Faculty　of 　Eng

．

，

　Tokyo　Institute　of T巳chnology

，

　Dr

，

　Eng

，

Dept

_．

　of 　Structural　deslgn

，

　Tokyu　Con＄［ructien

Dept

．

　of　Structural　deslgn

，

　Tokyu　Construction

，

　Dr

．

　Eng

．

式 を満足 す る た めに開発さ れ た も の で あ り

，

本 論 文で は こ の手 法 を用い る こと とす る

。

　　　 り

2．

数 値 解 析 法

2．1

応 力 算 定 方 法 　通 常の増分 理論で は

，

微 分型の基礎 式 （例えば擬 静 的 な ひずみ速度な ど）に_基づ いて応 力 増 分が定 式 化さ れ て いる が， 実際に我々が数値解析を行 う場 合に取 り扱 う各 変数の_増分は_微小な極 限 値で は な く有 限の大き さを有し ており

，

本 来 微 分 形 式の構 成 方 程 式 を応 力 増 分 算 定 時に そ の ま ま有 限の増 分 変 数に対 する表 現 と して利 用 するこ とは適 当で は な い

。

す なわ ち， 応 力 速 度 （以下増分 と区 別 する ために速 度とい う表 現 を用い る

。

）を増分区 間に おい て積 分す る必 要がある。 そ の よ うな観 点か ら， 本 論 文では塑性な が れ状態を忠実に表 現す る こ と およ び誤 差 の _{蓄 積}を極 力 小 さ くすることを 目 的 と しReturn　map

−

ping　algorithm を採用 して いる

。

以下その概 要を説 明す る

。

なお本 論 文では簡 略化のた めに テン ソ ル を用い て式 展 開を行 うが_， 直 角 座 標 形 成 分の みを考え てい るた めに 反 変 成 分

，

共 変 成 分の 区別は して いない。

　

まず

，

von 　

Mises

の降 伏 条 件 式は次の よ うに_表現さ れ るQ

　　　

∫一 ・_；＋ _・

，

・・

→

_{ays ・三}

→

t ・

ss

　 　 　 　

…・

……・

・

……・

…一 ………

（1） 　ここに

，S

’

，

　

Jl

は後述す る偏_差応 力テン ソ ル お よ び その第二不変量で あ り

，

σs は降 伏応 力度であ る。 また

，

時 刻 tに お い て材 料は塑 性 状態に ある もの と す れ ば

，

その ひず みの全 成 分は次の よ うに表さ れ る

。

　 　　（

E

），

＝

（

E

）t十（

E

），

……・

………・

…・

……・

…・

・

…

（2 ） 　こ こに

，E ，

　

E ，

　

E

は ひずみ の全成分， ひずみ の弾 性 成 分お よびひずみの_{塑 性 成 分}で あ る。 上式は当然 時 刻 t ＋

dt

に おいて も 同様の表現 が可能であ る が

，

　

Return

mapping 　algorithm で は時 刻

t

に おいて降 伏 条件式 （式 （1））は満足 され て い るとい う仮 定の もと_， 次の よ う な ひずみ成 分を考え るもの とする

。

　 　　（E）t＋d尸 （E）t

＋

dt

−

（E）‘

・

…・

…………・

…・

…・

…

（

3

） 　 　　〔E）t＋dt十〔E）t＋ dt十（E ）．

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一

（4 ＞ 　こ の （E）t．dt は

，

　

Fig．

1で示す

O ’

を原 点と し た ひずみ であり

，

通 常の ひずみ速 度で はな く弾 性ひずみに つ いて 累 積表示

，

塑 性ひずみ につ い て速 度 表現 と なっ てい るこ と に注意す る。 これ を増 分 解 析で得ら れる ステップ間 隔 At を積分範囲 と して時刻拷 に対し て積 分す る と

，

　 　　（

E

）t

＋

at＝ （

E

）t

＋

at 十（

E

）4ビ

・

・

…

　

9・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

…

　（5） 注1）von 　Misesの_降伏条件式に対す る手法の呼称と して

，

　 　 特に

’

Radial　return　method

’

が使わ れ る場 合 も あるが

，

　 　こ こ で は本ア ルゴリズム の総 称で ある

‘

Return　mapping 　 　algOiithm

’

を用いている。

一

₁₁₀

一

σ aJe 0

o’

ε ， ε，

、

4， Fig　

l

　　o

−

e　curve E 　こ こ に_，

At

は ステッ プ刻み である

。

以 降 簡 略 化の た め弾 性ひずみ は全ひずみ成 分

，

塑 性ひずみ は増 分ひずみ 成分の みを考え るもの とする

。

　 本 論 文で は材 料は弾 性 時およ び塑 性 化 後に おい て等 方 性 を示 すと仮 定 する と

，

そ れ ぞ れ の偏 差ひずみ成分は時 刻 t＋At に お け る偏 差 応 力 成分を 用いて次の よ うに表 さ れ る

。

　　　

酢

飢 恥

_売

8

・

｛

糖

・−

i − ・

・

（_・） 　こ の式を偏差応 力 成 分につ いて解く と

，

　

　　

s

−

（1＋

S

−

6G

側

E

’

_………・

_{一 ………}

（・_） 　　 　

H

。

＝

σ／ε

・



……・

……・

………

_（8＞ 　こ こ に_，

G

_，　

H

_。は せん断弾性 係 数， 割 線 係 数である。 また σ

，

ε は相当 応 力， 相 当塑 性ひずみで あ り

，

Fig

．

1 に示す よ うな単 軸 引 張りあるい は圧縮を受け る場 合の応 力ひずみ_曲線によっ て表さ れ る。 またそれ ぞれの偏 差 成 分は次のよ うに定 義さ れ る

。

　　　

S

・ ・

S

一

去

_（・・

S

）_・

一 …・

・

……・

…・

・

……・

t・

・

（

9−

a_）

　　　

E

’

−

E 一

吉

_（・・E _＞・

・

……・

・

・

………一 ……・

・

_（

9−

・_） 　さ ら に塑 性変形 は非圧縮 性であ る と す る と

，

式 （9

−

a） は

，

　　　

S

−

_・

一

，〔

1

互

，の（

t

・

E

）

i−

・

一

、

tl

−

、．）（ ・・

E

｝・ 　 　 　　 　 　 　　 　

一 ・

………・

……・

…・

…・

（10 ） 　こ こ に

_{，E ，}

　uは ヤン _{グ係 数}および ボア ソ ン比である。

　

し た がっ て

，

時刻 t＋

At

で の応 力の全 成 分と式 （

5

＞ で与え たひずみの 全 成 分の _関係式は

，

式 （9 ）

，

（10）を 式 （7）に代入 するこ とに よ り得 ら れ る。

　　　

s

「

1＋

19

／恥）

｛

8

・

（

v ＋ （

1

＋_の（

L

　 　 　

Hs

）

（・・

E

）∬

1

　 　 　　 　 　 　　 　

……・

・

…………・

……・

…・

・

…

（

11

＞ 　 以上 は 3次 元 応 力 場につ い て の

一

般 的な表 現であ る か ら

，

次に薄 板の応 力 場の場 合を考える

。

_本論 文で は用い る要 素の特 性 上

，

薄 板の応 力状 態 とし て面 外せ ん断応力 は考 慮し板 厚 方 向の応 力の みを 零と してい る

。

以 下この

応 力 状 態の こと を平面応 力場と呼ぶ も の と す る。 　当 然ながら

，

平 面 応 力 状 態で の応 力ひずみ関係 式は式 （

・

11

・

）を

S33

につ い て縮 約す れ ば求め られる。 しか し本 解析 手法では直接偏差応力を用い て降 伏 条 件 式 を解く た めに _（式 （1 ））

，、

平面応 力場で の_偏差成分 間の構 成 方 程 式を求めて お く

6

式 （7＞に_{示 す よ う}に偏 差 成 分で は各 成分間で_{連 成 効 果}は ないた め に容 易に縮 約でき

，

式の表 現は変わ ら ない

。

ただし

，

偏 差ひずみ成分は式 （ll）に SiaFe を代入 し

E33

につ い て_解き

，

その_{結果 を さ ら}に 式 （9

−b

）に代入 する ことによ り次の よ う に

_表

さ れ る。

　

　　

Ecl

−

li

−

§

（1

輩

。〉

］

E

一 ，（1

圭

。 〉

左

・

∴

　　 　 　 　　 　 　　 　 　 　　 　 　 　　 　 　∵

・

（12

−

a）

　

　

　

El

・

一

｛

・

一

、（1

嗣

耳

ゴ 、（1

韋

。 ）

左

11

　　　　　　　　　 ．

’

’

’

’

’

’

”鹽

’

’

’

”・

・

t−・

・

・

…

　

一

一

・

・

tt−・

（12

−

b）

　　　Ela＝

−

E

｛，

− El

、

・

…・

…・

……・

…・

・

……・

・

：（12

−

C） 　 　 　

，

　　　　　　　

」

　お よ び

，

　　　

Eli； Ew

　

’

（i≠_ノ）

”鹽

’

”…’

…”

_∵

’

’

”

・

・

・

・

・

・

・

…



_（

12−

d_） 　 こ こ に_， 　　 　 　 　ン十（ユ十

’

v｝

G

／Hs 　 　 　

・

………・

…・

∵

……・

（13｝ 　 　 　 m

＝

：

　 　 　 　

IT2v

　また

，

偏 差 応 力 成 分は

，

　　　

S

｛1

一

号

S

，1・

吉

＆、

1

・

・

…− 7・

一 ・

・

一 …・

_：

…

（14

−

a）

　

　

．

SZ・

一

詈

・

S ・−

e

’

　

S，

，

…

・

…・

・

一 ……・

・

……・

（14

−b

） 　　 　

S

：，

＝− SIi− S

弖2

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

tt・

・

tt・

・

…

　（14

−

c）

　　　

S

｛ノ＝ ∫‘ノ

　

　

（

i

『hj

）

”

_：

’

冖

け

”

_∵

’

7’

”7冖’

’

”甲

’

”

　

（14「

d

） と な る。 式

（

12

）は右辺 に

Hs

が含まれ て いる た めに直 接 偏 差ひ ず み成 分を求め ること は で き ない

。

_，

そこで，

Return

　mapping 　algorithm を適 用す る た めに式 （12 ）

を まず 弾 性 成 分のみの場 合の表 現に変換す る

。

す な わ ち

，

式 （13）に

H

。

＝

。 。 を代入 し

，

新た な偏差ひずみ成 分

E ”

を導入 す る

。

　

　　

Ec

，

一

、

鵠

）

E

・7t

（

ti2

：

’

1

_’

：

）

E

・・

……一

（15

−

・）

．

　

　

　

El

，

一

：

、

辞

、

島 一

詰

，

　

E

・

…t……

・・5

二

・）

・

　　 　E1S

＝−

E｛rEi 、

一 ・

一 …………・

・

・

……

〔

15−

C） 　お よび

，

　　 　

E

三∫

；E

‘ノ　（

i

≠ゴ）

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（15

−d

） 　この よ うに して定 義さ れ るひずみ成 分と偏 差 応 力 との 関係を求め る。　 　 　 　

、

　 　 　

9 ＝CE ”………・

・

−t………・

・

……・

・

……・

……

（16） 　 具 体 的に成 分 表 示し たもの を

Appendix

　

B

に示す

。

　こ の式は結 局 式 （5｝で与え ら れ るひず みに対 して全 ひずみ理 論 を展 開し たもの と同

1

じであ る。 し た がっ て右 辺に

Hs

が用い ら れてお り応 力に対し て完 全に は陽 的 表 現と なっ て いない

。

実 際に 上式 を 用い て応 力を算 定する 場 合に は， 収 束 計 算に よって応 力 を算 定 しなげれ ば な ら ないS）

。

実 際に 用い た応 力 算 定 部 分の 解 析フ ロ

ー．

を

Appendix

　

A

に示す

。

な お， その場 合の収 束 計 算 手 法は 二_{分 法}と は さ み う ち法 を併 用し た手 法 を用い て い る10） 。

2．

2

　 弾塑 性構 成 方程式

．

　 前項で求め た応 力ひずみ関係 式は累 積 誤 差 を 少な く

・

す る た めに積 分 型 構 成 方 程 式 を採 用し たが

，

増 分 計 算お よ び固有 値 計 算 時の剛 性マ トリッ ク ス算 定 用 構 成 方 程 式と し て用い ることはでき ない。 その場 合には通常の微分 型 の構 成 方 程 式 を用い て解 析 を行っ て いる

。

す な わち

，

応 力ひずみ関 係は次の よ う に求め ら れ る6 

　

　

　

・・ 「 ＋

19

、Hs

［

dE

＋

．

レ＋

鴇

）

9

／

牛

啝

・｝・

　

　

　

　

　

一

響

葦

雛

解

］

一 ……一

・17 ・ 　 数 値 解 析で は こ のよ うに して得ら れる構 成 方 程 式 を数 値 的に S3sにつ い て縮 約する ことによ り平 面 応 力 場で の 構 成 方 程 式 として いる

。

なお， 上 記で得ら れ た構

域

方 程 式と文 献 1）で誘 導さ れて い る構 成 則とは式 （17）に お い て Hs を無 限 大

，

　 H

’

を

1

_零とす る こ とで塑 性 流れ域の あ る瞬 間 を再 現 するこ とで完 全に

一

致 する。 　 本論文で は以上 の ように し て得ら れ る構 成 方 程 式を

4

節 点シェ ル要素91に適用 して数 値 解 析を行っ て い る

。

2

．

₃応 力算定手法の_妥当性検証 　前 節で述ぺ _{た応 力算定手法}の_{妥 当性}を検 証す る た め に

Fig．

Za に示す よ う な正 方 形 1要 素モ デル を設 定す る。 作用荷重

P

およ び強制 変位

U

は同 図

b

に示す よ うに制 御し てい る

。

図 中

Py

は初 期 降 伏 時の荷 重 値で あ り，　

U

。 は過 程 

，

  におい て要素内に除 荷 状 態が発 生し ない_程 度の_{強制 変位}量 と し0

．

00525cm を設定して い る。 な お ト

ー

タル ステッ プ数は

30

で あ る

。

解析 結果を

向

図c に 示す

。

○でプロ ッ ト し た もの

が

各ス テヅ プでの 数 値解析 結果であ り， 実線が降伏 条 件式 （式 （1 ））よ り求め た 降伏 曲 面 （曲線 ）である。 こ の 図が示す よ うに要素 降伏 後の数 値 解 析 結 果は降 伏 曲 線上 を応 力が推 移し て お り

，

こ のこ と は本 応 力 算 定 手法の妥 当性を示 して いる と思わ れ る。 ”

l

　 　 　 　Ut

，

P

！

_凰

二

　 　 　 ω 　

層

P

_厂

就 　      

磁

暢 ” stepCb 冫

Fig

．

2　Numerical　test ‘c ）

3．

数値解析

3，

1

解析モデル 　こ こ で は

Fig．

．

3

に示す よ う な せ ん 断 力

Q

を 受 け る 周 辺を弾 性 梁 （

E ＝

2100tonf ／cm2 _）で支 持され た薄板を 解析 対 象と し ている

。

な お開ロ は常に薄 板の_中央に位置 する もの と する

。

周 辺弾 性 梁  

一

  の断 面 性能 は次の よ うに設 定し て い る

。

　 ま ず 梁  

一

  の ね じり剛 性は単 純 支 持 とい う 条 件 を 満 足する よ うに零と して いる。 ま た梁    の断 面 積

，

曲 げ 剛 性は と もに 101°_{と し} て いる。 フ ラ ン ジに相 当する梁     の断面積お よ び板曲げ 剛性に対す る断 面

2

次モ

ー

メ ン トは

，

薄 板の 開口部に生 じ る応 力の 乱 れに影 響を与え る重要 な 因 子である が_， 実際に は多 くの

H

型 鋼梁の フ ラ ンジ

・

ウェ ブ 断 面 積 比 （ん ／

Aw

）が ほ ぼ

0．

5−1．

0

の狭い範 囲に_存在して いる点 を考慮 して

，

その下 限値 （O

．

5A

．

） を 断 面積値 と し

，

ま た 断 面 2次モ

ー

メン ト は

，

薄 板の み が せ ん断 力を負 担しフランジのせ ん断 力 負 担は無 視 する ものと して零と してい る

。

た だ し

，

無開ロ モデル の場 合 に限 り 既往の研究が純せ ん断 応 力場 を 対象と して いるの で その よ う な応 力 場 を確 保す る た め に断面積， 断面

2

次 モ

ー

メ ン トともに 10i° _と し てい る

。

また その 場 合に は 梁 

一

  に よっ て 4節リン ク機 構が形 成さ れ る よ うに各 交 点 を ピン接 合と して い る。 外 力

Q

は Fig

．

3中の 点

A

に強 制変位を作 用さ せ るこ とで制 御して い る。 そ の際 全 体的な応 力 状 態が逆 対 称 曲 げお よび

一

様せ ん断力状態に な る ように

，

梁  上の_節点に_対して面内回転 を拘 束 して い る。 要素分 割の典型的な例を

Fig，

3

に示 す。 ま た本 論文で_{対 象}と す る開口の 大き さ は開口率 （p

＝

D／b）が O

．

O

−

0

．

6の範 囲と し

，

さ らに実 際の数 値 解 析モ デル の開 口率は

O．

2−O．

6と して いる。 こ こ で開口 の上 限 をO

．

6

と し た理 由は

，

こ の値 以上に な るとせん断 耐 力の低 下が大 き く開口部の補 強を余 儀な く さ れ る可 能 性が高い と思わ れ る た めで あ る

。

ま た

，

解 析モ デル で開口 の 下 限 値を

0．

2

と し たの は

，

フ ラン ジに_{相 当}す る梁の _{軸剛 性}を有 限 値と してい ること か ら開口率が非 常に_小さくなると梁と し ての_{降伏 耐}力が開口部に て決 定さ れず， 両 端 部の曲 げ 耐力に よっ て降伏 耐 力 が 規 定さ れて しまう た めである

。

同様の理由に よ りア スペ ク ト比 （a

＝

a／b） もまた限 定 さ れ る

。

本 論 文では解 析モ デル の ア ス ペ ク ト比の値 を   −

選

及澗

一

  　　　2

・

祕 e   θ1    亡 　 

　　

1 、

§

1

　　

9

　 　F う ρ 　 　 　 4

一

耐 θ a 　 　 　ε々θ11ele四 即‘ 跏

一

 

一

₁₁₂

一

Fig

．

3　Analytical　model

1

．

0

−

3

．

0と して いる_。 　 本論文で は有限要素法に よ り 固有値 方 程 式を求め座屈 耐 力 を 算定す る が

，

固 有 値方程 式 が有してい る 物 理的 意 味か ら無開口 の場合同様 無 次元化する こ とが_可能であ り

，

ま た その_際開 口の影 響は 開 口率で評 価し う る ものと して_t次の よ う な式で表され る せ ん断 座屈応 力を考え る

。

　　

　

r

・

T

一

臨 … ）₁₂

語

の

（

！

b

）

2

・

・

・

・

・

・

…一・

・

・

…

_（・

₈

_） 　こ こ に

，

rc

．

は座屈時の作 用 せ ん断 力を 無 開口断面の 断 面積で_除し た もの で有効せ ん断座 屈 応 力と呼ぶ こと と し， そ れ に対 応す る

he

を有 効 座 屈 係 数 と 呼ぶ もの と す る

。

　 次に座 屈 耐 力 算 定 方 法につ い て簡 単に述べ る。 本 論 文 では_， 文 献 1）

−

5）の よ うに座 屈 現 象 を 釣 合 経 路 上に存 在してい る 分岐現象と して取り扱って い る

。

し た がっ て 通常の剛性マ トリック スと幾 何 剛 性マ トリック ス か ら な る 固有値方程式を解くことによ り座屈耐 力 を算定し よ う と する もの で ある が

，

例え ば文 献 1）で示され る

一

軸圧 縮 を受ける場 合 塑 性 化 後の構 成 係 数か ら な るマ トリッ ク ス の行 列 式は零であり

，

不 安 定モ

ー

ド（エ _ネルギに寄 与 し な い_変形モ

ー

ド｝が数 多くモ デル内 部に存在す ること と な り 数値解析上 好 ま し く ない

。

そこで

，

こ こで は 固有 値 方程式 を満足 す る 固有モ

ー

ドの _中で薄板の_面外変位の み か ら成る固 有モ

ー

ドだ けを座 屈モ

ー

ドと見な し， それ に対 応する荷 重 点 を座屈荷 重 点と評 価する こ と とする

。

　そ こ で， 実 際に は次の よ う な 手 順 を 踏ん でい る （

Fig．

4参 照 ）。 ス テ ップ】

．

　まず

，

基 本 釣 合 経 路を求める ために薄 板 な らびに_{弾性 梁}の面 外変位を拘束し， その際の応 力 分 布 お よび塑 性 状 態 を計 算す る

。

ステップ2

．

　薄 板の面 外 変 位を解 放， 面 内 変 位 を 拘 束 と し たモ デル に対し て， 1

，

で得られ た応 力 状 態 を用い た剛 性マ トリックス

，

幾 何 剛 性マ トリッ ク ス か ら固 有 値 方 程 式を作 成す る

。

そ の時 数 値 解 析デ

ー

タとし て板 厚は 任 意の_値で よ く

，

こ こ で は幅 厚比 が 60 と な る ように設 定し てい る

。

ス テップ

3，

上 記の式 を解き

，

最 小 固 有 値と変位との T

一

L−一

†、 　 　 ＼ 　 　 丶

　　　丶

　　　　 ノ

幾

“

！

Lovest　el8en　valaes

匆ロゴ11brゴ旺毋pass

五

．

1

_鑑

_毯

_艦

_塩

_。θ Elastic　 Elasto

−

Plestic

　 　 　0　 　　 　　 　　 　　 　 　　 　　 　　 　 　　 　7

岫！勤 2

．

e 1

．

5

．

LO

纒 ］

隅

灘

　 一 　 　n ’df訂81  nuaber 　 　 n

广

_臣

_脚

4

　8　 　

16

　 　 　 　

32

　 　 n 　 Fig

．

5

　Nurner｛caL　test

　 関係を求める （図中の破 線）

。

　 ステップ4

．

設 定し た板 厚に対 して最 小 固 有 値

・

変 位 　 関 係が求 め られ たなら ば

，

式 （18） より各 幅厚 比に対 す 　 る最 小 固 有 値

・

変 位 関 係を求め る

。

各 幅 厚 比の座 屈 応 力 　 度は先に求めた基 本 釣 合 経 路と最 小 固 有 値

・

変 位 曲 線と 　の交点の応 力 度に対 応す る。 　 　こ こ で用い た単 軸 引 張状態で の応 力ひ_ずみ関 係は完 全 　弾 塑 性 体 と し

，

ひずみ硬 化は考 慮 して いない。 なお， 降 　 伏 後の応 力 算 定の収 束 判 定は各 積 分 点 （面 内に 2×2点 　の ガ ウス積 分

，

板 厚 方 向に 3 点のニ ュ

ー

トンコ

ー

ツ積分 　を採 用 ）に て行い

，

その収 束 判 定 方 法は応 力 度か ら式 （

1

） 　に て求め たノ

．

値と降 伏 応 力 度ay の比と し

，

その収 束 判 　 定 値は 10

−

12と し て い る。 ま た

，

構 造 全 体の増分計 算に

・

おける収 束 判 定 値は内 力ベ ク トル と外 力ベ ク トル の ノ ル 　ム の 比と し収 束 判 定 値を ユ

0−

12と して解 析を行っ て い 　 る。 　 3

．

Z　本 解 析 手 法の_{妥当性検証} 　 　

Fig．

5

中に示す無 開口正 方 形 薄 板モ デル （p

＝o

， α＝ 　 1 ）の場合 を解 析 対 象と して本 解 析 手 法の妥 当 性

，

収 束 　性につ いて_検討する

。

分割 数を変化させ た場合の_解析結 　果を 同 図に示す

。

図 中の

k

。

。

1

，k

。 は本 解 析 手 法に よっ て 　 得ら れ た結 果お よび文 献2）に提 示さ れている値で あり

，

　n は分 割 数であ る。 本 手法に よ る解は文 献 2 ）に よる値 　に収 束してお り

，

本解析 手法お よ びモデル化は妥当であ 　る と考え られる

。

また要素分割を16× 16_程度に し た時 　の _{結 果}と文献 2 ）に よ る結果との差異は

3

％ 未満であ 　 り， こ の程 度の分 割 を 施せば実 用 上 十 分な精 度 を確 保し 　 得ること がわ か る

。

　 3

．

3　 解 析 結 果

．

　 　ρ

＝

O

．

6

，

α

＝

2

．

0 と した場 合の 解 析 結 果 をFig

．

6に示 　す

。

図 中○で プロ ッ ト し た も の は基 本釣合 経 路を示し

，

　△ で プロ ッ ト し た もの は座 屈 解 析にて得 られ た 固 有値か 　 ら計 算し た座屈 応力度を

，

ま た

・

・

でプロ ッ

’

ト し た もの は 　上記の 座屈 応力の_結果か ら式 （ユ

8

）に基づ き各幅厚比 に 　 つ い て算 定し た 座 屈 応 力 度 を そ れ ぞ れ 示 し てい る

。

縦 軸 　は有 効せ ん断 応 力 度 （te

＝

Q

／

bt

）を降 伏せ ん断 応 力 度 　（τy）で

，

横 軸は有 効せ ん断ひずみ （γ

。

≡

W

α）を降 伏せ 　ん断ひずみ （刃 で無 次 元 化し た値と して い る。 開口部 近 　 コ　 　 　

’

r ／re 　　 　y1

．

O

1

＼

0L5

⊥

6002

； 　

＝

ρ σ ar

＝

2．

　

4

　tonf_／ctf 　 　 ト め／オ

＝

60

　 　 　

b

／重

孟

70

「

_こ

司

て

午

鋤

O

．

　

0

　

0．0

1．0

2．o

 r_{e　　　 f}／r Fig

．

6　Load　displacement　curve

Tabie

’

1　　Value　ofke 傍の塑 性 化が進 展して い く過 程で_座屈応力 度が急 激に低 下してい る様子が み ら れ る が

，

その推移曲線は単調な低 下 曲 線で は な く極 小点を有す る曲線と なっ て い る。 こ れ は塑 性 化 領 域の進 展 たよっ て剛 性 分 布のみ な らず応 力分 布も変 化 し， 塑 性 化が必 ずしも座 屈 耐 力 を低下 さ せ る方 向に_{進 展}する わけで は な い こ とを表 し て い る

。

こ の_{座 屈} 応 力 度 曲線と基 本 釣 合 経 路 との交 点 が 実 際に起こ り得る 座 屈 点で あり

，

交 点 が 存 在し ない幅 厚 比の場 合 （例えば

b

／

t

＝ ・

60

）に は_{降伏 耐 ガ}に_到達

’

して も座 屈が起こ ら ない こと に な る。 言し

．

、_{か え る な らば} ， 交点が存在し ない場 合 降 伏 後ひずみ硬 化に 達し た後 座屈 が起こ ることにな る

。

し た がっ て座屈が生じ得る場 合の最 大 応 力 度 （最 小 座 屈 応 力 度の最 大値 ）お よび その時の幅 厚 比は_， Fig

．

6の よ うな図 を各 開口率モ デル につ い て求め

，

基 本 釣 合 経 路と 座 屈 応 力 度 曲 線が接す る時の応 力 度お よ び幅 厚 比を求め ることに よ り算 定す るこ_とができ る。

’

その ように して得 られた結 果 を

Table

　1に_示す

。

4，

考 　察 　 前 節で得ら れ た結 果 を も とに有 効 座 屈 応 力度お よび 降 伏 耐 力に達 する の に必要な幅厚比 （以下 必要 幅厚比 ）に つ い て検 討す る

。

　

Fig．

7に アス ペ 7

一

ト比 を変 化さ せ た時の解析結 果を 示 す

。

縦 軸は

he

を

，

横 軸は アス ペ ク ト比の_{逆 数 1／}α で あ

一 113 一

誰

4

．

o

2．o

0，00

．

o

　 　 　

o．

50

　 　

1

．

　

oo

　 　 　 Fig

．

ア　Value　of_he Table　2Valueofk

、

，

　k2 ρ

k1k2

0

．

204

．

38L47

0．253

．

B81 ．19

0

．

303

．

380

．

93

0，402

，

600 ，51

0

．

502

．

040

．

26

0．601

．

630 ．16

る。 図 中 ○

，

●で プロ ッ ト し た もの は開ロ モ デル お よび 無 開ロ モデル に対す る本解 析 結果 で あ り， ▲ は井 上， 加 藤に よ る結 果で ある

。

ま ず 無 開ロモ デル に対 する本 解析 結果 （

O

）と_文献 2 ）による結 果 （▲ _）を比 較する と_， 若 干の差が見られ るが全 体 的な傾 向は よく対 応して い る

。

無 開ロ モデル の場 合

，

アス ペ ク ト比 の影 響は文献

2

） に よれ ば次式で与えられるとし て いる （図 中 破 線 ）

。

　　　

k、

一

・1＋ ・・

（

吉

い

1

−

・

・

96

，

鳶・一 ・

・

24

・

…

（19 ） 　 開口を有す る場 合に も同様の_関係式が成 立す るもの と 仮 定 し， 解析 結 果よ り上 式の係 数

h

、， 島 を求め る

。

結 果 を

Table

　

2

_に示す

。

_{ま た}この係 数 を用いた有効 座 屈 係 数と ア スペ ク ト比の関 係をFig

．

7 （実 線 ）に示す

。

開口 率の小 さい場 合 解 析 結 果と実 線に多 少 差 異がみ られ る が

，

全体 的に は ほ ぼ両 者は対応し てい る と思わ れ る。 　ρ＝

0．

2の結 果 を み る と

，

アス ペ ク ト比 が2

．

0以 上 に な る と無開ロモ デル _{（破線 ）}よ り も有効 座屈係 数 値 （実 線 ｝が 大き く なっている。 こ れ は

，

開ロモ デル の場 合ア スペ ク ト比が有 限の結 果の み か ら実 線を決 定し て い る た め で あり_， 解 析 結 果 自体は_， 図 中 ●と○に示す よ うに ア ス ペ ク ト比が大き く な るにつれ

，

開ロ モ デル の結 果が無 開ロ モデル に漸 近し て い く様 子が見られる

。

こ の ことか ら開口 が小さい場 合にはア ス ペ ク ト比が大き く な るにつ れ開口部の影 響 が小さくな り無 開ロモデル の座 屈 形 態に 漸近 し てい く と推 測さ れ る

。

これ は

Fig．

8

に示す座屈 モ

ー

ドか ら も 理解され る

。Fig．

8は ρ

！

o

．

　o，　o

．

2， 0

．

4，

一

₁₁₄

一

（a）The

　

TSt

　

eode

　

torρ

・

00

〔b）rhe

　

LSt

　

bode

　

fOt

ρ

　

EO

．

2

【C）丁睡 TSt

囗

ode

　

for

ρ

・

O ●

　 1の The

　

l卩雄 叩佃fo了 ρ

・

O

．

6

Fig

．

8

　Buck睡ng　modes

O

．

6の最 小 固 有 値に対する固 有モ

ー

ドで ある

。

各モ

ー

ド 図は面 内 変 位 （3

．

1節で述べ た計 算 手 順の ス テッ プ1に て計 算さ れ た結 果 ） を組み込んで図 化して いる。 これら の モ

ー

ド図 か ら 分 か る よ う に開口_率が 大 きい_{場 合}に は開 ロ部 分のみの面 外 波 形 分 布 状 態 となっ てい るが

，

開口率 が小さい _{場 合}に は無開ロモ デル に近く薄 板全体の_{面 外波} 形 分 布 状 態 とな っ て い る。 こ の ことか ら開口率が小さい 場 合に は薄 板 同 様ア ス ペ ク ト比の影 響を か な り受 けるも の と診 断さ れる

。

し たがっ て こ こ で は開口率が小さ く ア スペク ト比が大 きい場 合には無 開ロ モデル に漸 近 すると 判 断し

，

開ロ モデル の有 効 座 屈 係 数 値の上 限 値 を無 開ロ モ デル の座 屈 係 数 値 とするもの とする

。

また逆に_開口率 が大きくな るにつ れ アスペ _{ク ト比}の影 響は小さ く なっ て い る

。

特に _p≧

O．

3

に おい て α_≧

2．

0

の範 囲 を考え た場 合 有 効 座屈係 数は 6％程 度変動す る にす ぎ ない。 こ れ は塑 性 化 領 域が開口部 分に の み生 じ る た め と， 無 開ロ モ デル の ように薄 板 全 体の座 屈 波 形と は ならない た めで あ る （Fig

．

8

）

。

し た がっ て開口率が大きい場 合ア スペ ク ト比 を有限値と し た結果か ら推定し た実 線は前 述し た開 口の小さい場 合の よ う な補 正 を行わ な く と も 十分な精 度 を有し て い る もの と思わ れ る

。

ま た その よ う な アスペ ク ト比の影 響が小さ い とい うことは開口_部の_{影 響 範 囲}を_示 唆 する もの であり

，

開ロ率が大き く な るにつ れ影 響 範囲 は小さ く な る もの と考え られ る

。

し た がっ て

，

複数の開 口 （ρ≧O

．

3 ）が設 けられ る場 合で も開口中心間距 離が 薄 板 幅

b

の 2倍 以 上の 間 隔 が あれば 座 屈挙 動に及ぼす 開口部の 影 響 は そ れ ぞ れ の開口 に対 して独 立に評 価する こと が可 能で あ る と考え ら れ る。

左

4．

o

3

．

0

2．o

1

．

0

　 0

．

ρ 　0

．

2　0

．

4　0

，

6 　Fig

．

9（a_）VhlueofhI 1 馬

＝

1

・

23縊28α

一

ρ尹 ヨ ρ 　

5

ち

素 1

．

o

o．

　

5

O．

0

　

0．0

　0

．

2　

．

0．4

　0

．

6 　Fig

．

9

（b）　Va］ue 　of　h2 　次に_有効 座 屈 係 数 に対 す る 開口率の影 響 を 検 討 す るた め に係数

k

、

，

島 と開口率の関 係を求め る

。Fig．

9

は係 数

k

，

，il2

と開口率ρ の 関係 を示 し たもの で ある。 これ らは ほぼ 次 式の よ うに近 似で きる

。

　　　

h

，

＝

1

．

含

3

→

−

6

．

23（1

一

ρ）3

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（

20−

a）

　　　h

，

＝

O

．

11

一

ト4

．

54（1

−

p｝ 5

・

・

・

・

・

…

　

∵

tt・

・

一・

tttttt

（20

−b

＞

　

以 上の結 果か ら有 効 座 屈 係 数は 次

_式

の ように表 され る。

　　　

k

。

・

・

1

・

．

23＋ ・

．

・3（1

−

・）・

1

・

1

・

．

ll＋ ・

．

・4（・

一

・）・

1

（

t

）

2 　　 　　　 　　 　　　

………一 …一 ・

一 一 ……・

（21 ＞ 　ただし

，

式 （19）の値 を超え る ことはないもの とす る

。

　

一

方 降 伏耐 力 時の _有効 応 力度 （τye）は今回の解 析に よ ればほ ぼ開口率と線 形関係 にあ り， 次 式で近 似さ れ る

。

　　 　τye＝ （1

一

_ρ）_τ ．

………・

一 …一

∵

一 ・

∴

一 …

_{（22 ）} 　し たが っ て降伏 耐 力に到る ま で座屈が生 じ ない た めの 必要幅 厚 比は式 （19）

，

（20）お よ び式 （21）か ら次式で 得ら れる値の小 さい方の値と して表 すこと がで き る

。

e

−

1

冷

讒

［

跨

・6

・

Z3（1

−

・） i ・

・

｛

篝

… 54（1

−

・）‘

］

（

1 α

）

2

］

・・

一・

・

……

_（・・_）

　

　

　

參

一

1

冷鑑

［

讐

・

警

（

t

）

1

…

… 4 ・ 　　

Fig．

10に薄 板の材 料と し て ss　

400

（σy冨 2

，

4

　tonf／cm2 ） 　を考え た場 合の 必要 幅厚比 と開口率と の関係を示す。 図 中実線が式 （23 ）

，

（

24

）を

，

破 線が無開ロ モ デル の_値を 表 して い る

。

無 開ロ モ デル で必 要 と す る 幅 厚 比 と 比 較 す 　る と

，

アス ペ _{ク ト比が小さ く （}a

＝

1

．

0−

2

，

0

_）かつ

0．

3

，

前 後 以 上の開口率 を有 する場 合 必 要 幅厚比は無 開ロモデ 　ル の値 を下 図っ て い る

。

し か し なが ら ア スペ ク ト比が無 　限 大の場 合に は開ロ モ デル の幅 厚 比の下 限 値は 73

．

9程 　度であり

，

無 開ロ モ デル の下 限 値73

，

6

ま た は鋼 構 造 設 　計 規 準11 〕に よ る幅 厚比規定よ り も わずかでは あ る が大き 　く なっ てい る。 し た がっ て鋼構造設計規準に よ る幅厚比 　規 定を満足 す る場合に は座 屈に よ る耐 力 低下 を考慮す る

b

／亡

100

9

°

80

　　

　　

ZO

　

aOO

」

1



0L2



α

3

　

0

．

4

　

0

．

5

　

0

．

6

　　

ρ 　 　 　 Fig

．

10　Value　ofb／t 必 要は な く

，

塑 性 理 論に基づ く耐力算定 式の み に よ り開 口_部の _{降伏 耐力}は規定さ れ る も の と思わ れ る

。

5．

結　論 　 開口 を有す る薄 板に関し て

，

数 値 解 析による座 屈 解 析 を行うことによ りそ の弾 塑 性 有 効せん断 座 屈 性 状につ い て述べ _た

。

_その結 果 を ま とめると

，

・

_{本 解 析 手 法}およびモデル化は文 献

2

）と同等の評 価を 　 与え る

。

・

_{開口率が 小 さ}い場 合 （ρ≧0

．

25程 度 ）に は アス ペ クト 　比 が大き く なる につ れ無 開口薄 板の解に漸近する。 ・_開口

．

率_が大_きい 場合 （ρ≧0

．

30程 度 ）に は座 屈モ

ー

ド 　が 開 口部周 辺の波 形のみが 発 生するた めに ア ス ペ ク ト 　 比の影 響は小さい もの とな る。 とな る 』 た だ し

，

今回の結 果は薄 板を完 全な平 面と仮定 し た解 析 結 果 を 基に ま と めたもの で あり

，

実 挙 動に大き な影 響 を及ぼすと思わ れ る初期不整あ るい ほ_{座 屈後}の_挙 動に対す る検討は行っ て いない

。

今後はこれ らの因子 を 含め た挙 動を検 討し， 実際の 開口部の設 計 方 針につ い て 展 開 し てい く予定で あ る

。

参 考 文 献 1｝ 井上哲 郎

，

加藤 　勉 ：鋼 板の塑 性 流れ域にお け る曲 げ 剛 　 性と局部座 屈

，

日本建 築 学 会 論 文 報 告 集

，

第332号

，

　 pp

．

11L18

，

昭 和58年1Q 月 2） 井 上 哲 郎

，

加 藤 勉 1鋼 板の塑 性 流れ域に お け る曲 げ剛 　 性および せ ん断 係 数と座 屈　せ ん断力を受け る場 合， 日 　 本 建 築 学 会 構 造 系 論 文 報 告 集

，

第378号

，

pp

．

37

〜

47

_，

　 　 昭和 62年 8月 3）井

一

ヒ哲 郎

_，

加 藤 勉 ；塑 性 域における鋼 板の ね じ り と ね 　 　じり座 屈

，

日本 建 築 学 会 構 造系論文 報告集

，

第383_号

_，

　 　pp

．

29

−

34

、

昭和63年1月 4＞ 井 上 哲_郎

，

加 藤 勉 ：四緑幸持 鋼 板の塑 性座屈

，

日本建 　 築 学会 構 造 系 論 文 報告集

，

第396号

，

pp

．

101

〜

108

，

　 　1989年2月 5） 井 上 哲 郎 二_{十字形断面 鋼板}の_塑性座屈

，

日本建築学会 構 　 造系論文報告集

，

第422_号

_，

_pp

，

117

−

122_， 1991年4月

一

₁₁₅

’

一

6_{） 山}田嘉 昭 ：_{塑 性}

・

_{粘 弾性}

，

_{培 風 館}

，

1980_年

7）　Timoshenko　＆　Gere：Theory　of　Elastic　Stability

，

　 　 MCGRAW

・

HILL

，

8）M

．

Oritz　and　

J．

　C

．

　Simo ：An　analysis 　of 　a 　new 　class 　of

　 　integration　aigotithms 　for　elast。plastic　c。nstitutive 　re

・

　 　latiQns

．

　Int

，

　

J．

　Numer

．

　Mech

．

　Vol

．

23

，

　pp

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353

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366

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　 　 1986g

｝　E

，

N

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　Dvorkin 　and 　K

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J，

　Bathe _：Acontinuum 　mecha

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　 　nics　based　four

・

node 　shell 　element 　for　_general　nonlinear

　 　anaLysis

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　Eng

．

　Comput

．

　Vol

．

1

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　pp

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77

〜

85

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10） 渡 部 　力

，

名 取 　亮

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小 国 　 力 ：第3版 数 値 解 析 とFO

・

　 　RTRAN

，

丸善

，

］983 11）　日本建 築 学会 ：鋼 構 造 設 計 規 準

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昭 和 58年 12） 加 藤 　 勉 1建 築 構 造 学 大系 18　 鉄 骨 構 造

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彰 国 社

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昭和 　 　46年 13） 解析 手法の分類をま と め た も の と し て

，

横内康 人 1連 載 　 　講 座 「構 造工学に おけ る有 限 要 素 法の 理 論と応 用」Vl 　 　材料非 線 形 問 題

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JSSC　Vol

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21

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　No

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230日本 鋼 構 造 協 　 　 会

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pp

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23

〜

33

，

1985年12月 14｝鈴 木 敏 郎

．

小 河 利 行

，

木 村 克 次

，

元 結 正 次 郎

，

末岡利 之 　 　 ：円 形 開口を有 するH型 鋼梁の塑性 変形 性 能にっ い て 　 　その 1 基 本 的 性 状の把 握， 日本 建 築 学 会構造系 論文 報 　 　 告集

，

第440号

，

1992年10月

，

pp

．

105

〜

］11 Appendix 　A 応 力の算 定 方 法 　 式 （16） を用いた応 力 算 定 方 法につ い て述べ _る

。

亅

．

ひずみ の全 成 分 を算 定 する

。

　 　　（E）

，

＋n，

≡

〔C）‘＋， ‘

一

｛G）o

・

………・

…・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

（A

−

1｝ 　G は計 量テ ン ソ ル であ り

，

（ ）t は時 刻 t

’

の値 で あ ること を 示 す

。

2

．

前増 分 段 階での塑 性ひずみ成 分（E），を除去す る。 　 　　（E｝t−dt

≡

（E｝ε

＋

At

−

（

E

｝t

・

一

………・

…・

……・

……・

・

（A

−

2〕 3

．

第

一

近 似 解の算 定は

，

こ の ひずみ が弾 性成 分の み か ら成る （i）。t

＝

・

O）と仮 定して式 （15〕か ら偏 差ひず み成 分 E

”

を求め る

。

4

．

偏 差ひずみ 成 分に弾 性 係 数 を 乗 じ て第

一

近 似 偏 差 応力 （Elastic　_predictor）を算 定す る

。

5

．

得ら れ た第

一一

近似を降伏条 件式 〔式 （1））に代 入して弾 塑 性 状 態 を判 定する

。

弾 性 状 態 となれ ば次の積分点へ 移る

。

6

．

塑 性 状 態と判 定さ れ た な ら ば椙 当塑 性ひずみ （E｝

，

，

を適 当に 仮 定して再度 式 〔16〕によっ て第 i近似 偏差応力 を 算 定す る 〔Plastic　corrector _）

。

7

．

得ら れ た第 i近 似 偏 差 応 力 を降 伏 条件式

f

（S

’

，

σy）

＝

oに代 入 し降 伏条 件 式が あ る精 度で求め ら れ る まで相 当塑 性ひずみ を変 化さ せ る

。

Appendix　B 構成係数テ ンソル 　 非 零 成 分の み示す

。

　　

　

Cddll

−

M

_［

1　 　 2

一

レ π ＋2_（1

一

_のHs

］

・

Cll・・

−

M 　1

−

2レ 2（1

一

レ〕Hs

…・

……

_（B

−

_1） Cnll

−

M2

_占

_≡

_も

_玩

・



Cntt

−

M

_［

th

＋ 2（

子

≡

≡

5itig

．

］

・

_（B

−

_2）

一

一

　

116

　

一

Cltl：

＝

Clen

＝

CSIs1

＝

2G こ こ に， 　 3G1 ＋ π

・

_（B

−

3｝ 　 　 　 　1 　　 　 　　 　 　　 　 　　 　　 　 　　 　 　　 　

・

〔B

−

4｝ M

＝

　

　

（

12G

）

2＋

旗

｛

、

島

、・，

嵩

纛

｝

Appendix　C 周辺固 定 支 持条件の場合 　 本文では周辺単純支持 条件の_場合につ いて述べ た が

，

こ こ で は境 界 条 件の差 異が座 屈 挙 動に及ぼ す影 響 を検 討す る た めに周 辺 固 定 支 持の場 合に つ い て述べ る

。

た だ し

，

アスペ _{ク ト比は} 3

，

0と し解析パ ラ メ

ー

タ は 開口率ρ の み とし て い る

。

解 析 結果 を 以 下に示す

。

　Table　C

−

1_{は各 開口率の場 合の有 効 座 屈 係 数 値である}

。

_表 中 の _梶は 周 辺 固定 支 持の場 合

，

鰐は本 文で示 し た周 辺 単 純 支 持 の場 合の値である

。

また

，

Fig

，

C

−

1は最 小 固 有 値に対す る座屈 モ

ー

ドを 示 し てい る

。

　開ロ率の変 化に伴う有 効 座屈係 数の上昇率〔h。J／h。ρ）に 着 目 す る と

，

バ ラツキ は あ る もの の単純 支 持 条 件に比 較し て有 効 座 屈 係 数 値は1

．

5

−

2

．

0倍 程 度 となっている

。

Table　C

−

1Value　of 　he ρ 0

．

0 O

．

2

O．4

0

．

6 藍ef 7

．

817

．124

．

_{46 3}

．

₄₂ kef／ke，

L

_了71

．

57L68 2

．

07 （

呂

）7he

　

TSL

叩

de

　

fOT

　

O

・

0

．

O 〔b）The

　

t4t

臼

qd

留

fDrρ

富

0

．

2 〔G）T』邑3t

臨

ede「or

ρ

i

四

．

4 Cd）ne

　

TSt曲 tor

　

P

・

O

、

6

Fig

．

　C

−

1　Buckling　modes