繰返し荷重を受ける鋼構造立体骨組の非線形解析法

【研 究 論 文

1

UDC ：624

．

02 ：624

．

023 ：624

．

042

．

ア ：620

．

1 日本 建 築 学 会 構造系 論文報 告 集 第 351 号

・

昭 和 60 年 5 月

繰

返

し

荷 重

を

受

け

る

_鋼

_{構 造}

立

体 骨 組

の

_{非 線 形 解 析 法}

正 会 員

修

行

稔

＊ 　

1．

序 　骨組 構 造 物の挙動は

_，

本 来三次元 的 な 取 扱い に よっ て 明らか にされ ねば な ら ない1）

−

4 ）_， 特に_{， 弾}塑性性状につ い ては 2方 向 応 力の相 互 作 用 効 果とい う 問題が あ る た め

，

こ れ まで軸 力と 2軸 曲 げ 荷 重 を受け る鋼 柱の弾 塑 性 挙 動に関し て

，

多く の実 験 的な研 究あ る い は解 析 法につ い て の研 究が行われて きた5j

−

S｝。 解 析 法は

，

精 度 を重 視 し た もの

，

簡 略さを目指し た もの など数 多く提 案さ れ て いる が

，

近年の_{電 子 計 算 機}の飛 躍 的な性 能 向上 を反 映し て

，一

方向載 荷

・

繰 返し載 荷を問わ ず

，

部 材 軸 方 向

・

断 面ともに分 割し て微 小 要 素とし

，

各 要 素の応 力ひずみ履 歴 関 係に基づい て塑 性域の拡がりを 逐 次 追 跡 しつ つ _{解 析} を進 める

CDC

法゜｝

_，

差 分 法s｝ ， 有 限 要 素 法 ］e） 等 が 使 用 さ れ る こ と が多い

。

　 複 数 部 材で構 成される立 体 骨 組の解析 法は

，

こ の単

一

部 材に対 する解 析 法 をそ の まま拡 張し て適 用 する もの と4 ｝

・

11）

−

13 ）

_，

塑 性 域の 拡が りを材 端に縮 約す る塑 性 関 節 法13｝

−

16）_{OP二 つ に大 別 さ れ る}

_。

_{鋼 材 は}

_，

_{降伏荷重 を 越 え} る繰返 し荷重に対して複雑な応 力ひずみ履歴関 係を示す た め5｝

・

22）

，

骨組の_解析におい てもで きる だ けこれ を

考

慮 で き る ことが望ま しい が

，

前 者は こ の繰 返 し応力ひずみ 関 係 を 直 接 適 用で きると同 時に_， 塑 性 域の拡が りをも考

’

慮で き る特 長 が ある

。

し か し

，

反 面

，

素 材の応 力ひずみ 履 歴 曲線のパ ラ メ

ー

タが

一

つ

一

つの繊 維で異な るため， 必然 的に厖 大な記憶 量と計算量と が 必要と な り， 最近の 大 型 計 算 機 を もっ て しても現 実 的な解 法とは言い難い

．

部材を微小 要素に分割す ること な し に塑 性 域の 拡 が り を 考慮す る簡略な解 法も提案さ れ てい る が6）

_，2

_{軸 曲げモ}

ー

メン ト

〜

曲 率 関 係に大胆 な仮 定 を導入 している た め， 次 に述べ る塑 性 関 節 法と 同様に精 度 的な難 点がある よ うに 思われ る。 　

一

方

，

塑性 関 節 法の最 大の利 点は そ の簡 略さにあ る が

，

降伏 曲 面と塑 性 流れ則を 用いて_{塑 性変}形成分 を計算す る た め

，

部 材が 徐々に_降伏して い く 過程が無 視さ れ

，

素 材 本 論 文の概 要は

，

文 献26）

，

27）に発 表 ずみ

。、

’ 長崎 大学 　講 師 　 （昭和57年3月 24日 原稿 受理 日

，

昭 和 60年 1月11日改訂 原稿 受理 　日

，

討 論 期 限 昭 和60年8月末 日 ） の応 力ひずみ履 歴 関係の 評 価も 困難であるという精 度上 の_問題 を抱え て いる

．降

_伏曲面につ い ては

，

鋼 材の _{降 伏} 後の ひずみ硬 化やバ _{ウ シ}ンガ効果 を曲面の移動に よっ て 表 現 しようとする

Prager

】7 ） t　

Ziegleri8

） の研究

，

複数の 曲 面を用い る Mroz ら19切研 究および_{曲 面}の膨張を も考 慮 した田 中らa°｝ ， 山田 ら 21｝_の 研究が あ り

，

これ を塑 性 関 節の 降 伏 曲 面に と り入れ た研 究ls） も あ る が

，

例えば

H

形断 面 部 材の場合

，

純 2軸 曲げで も前 負 荷後の_{降 伏}曲面 は か な りの形 状 変 化 を 起こすこ と が 明ら か に なっ て お り221

，

加えてそ り拘 束の影 響な ども ある こ とを考える と， 立体 骨 組の三次 元 的な繰 返 し挙 動の 解析に_{適 用}し た場 合

，

か な りの誤 差が生 じる ことは避け ら れ ない

。

　

以 上の現 状 をふ まえ

，

本 論 文で

_嬉，

鋼 構 造 立 体 骨 組の 複 合 非 線 形 解 析 法とし て_{， 従来}の塑性関節法の_簡便さ を 保ちつ つ _{素 材}の応 カ

ー

ひずみ履 歴 関 係 をも考 慮し得る手 法 を提 示し

，

既往の研 究 結 果との比 較によっ て その妥 当 性を検 証す る。 定 式 化に際し て は部 材 を線 材 として取り 扱い

，

弾_{性 剛性}と しては そ りの_{影 響}を考 慮した幾 何 学 的 非 線 形 剛 性を 用い る

。

ま た

，

部材の_{有 限}な回転を考 慮しZ3） en］ ， 部 材の変形 成 分 と 剛体変位成分と を明確に分 離す る と と もに_{， 変}形後の座標変換行 列を更新して い る。 数値 解 法 とし て変 位 制 御 形 荷 重 増分法を 用い ること に よ り

，

最 高 荷重 点 以 降の繰返 し挙 動を安定に解 析 し 得 る

．

　

2．

部 材の幾 何学的 剛 性 　本 論 文で用い た幾 何学的非線形剛性 行列の誘導 過程は 前田 らZ3｝とほ とん ど 同 じ で あ る が

，

そ り変形 を考慮 す る た め材軸回 りのね じ り変形を 三次の べキ級 数で仮 定して い るe 　部 材 座 標 系 （x， y

，

　z

一

_系 ）を

Fig．1

（a_）の よ うに定 義し

，

各 座 標 軸 方 向の変 位 成分 を u_， v_， ω で表す と， y

 

埠

　 　 　 Z

‘

　 　 　 tbl

　 　 Fig

．

1　 Displacements　Qf　

Member

こ こで用いたひずみ成分 は次の通り である

。

・・

一

｛

鑑

＋

巷

（

∂v ∂x

）

2 ＋

弖

儲

）

2 　 　 ∂v 　 　 　 　 ∂u 7・9＝ _奄 ＋

再

　 　 ∂w 　 　 　 　 　∂u た・

＝

_蕊 ＋

｝

_磊 ey

；

　ez

＝

　

7y2＝O

…・

…・

・

…・

_{（1 ）}

Fig．

1（a）の よ うに

，

露 軸 上の コc

，

　 y

，

　z 方 向の 変 位成 分 をu。， v。，　w。，　x 軸ま わ りの回 転を φ。

，

そ り関 数 を ω で表す と， 断 面 上の任 意の点 ｛x

，

y

，

　z）の変位は

，

断 面の回転を微 小と し て次 式で 表され る

。

　 　 　

dv

。 　 　 　 　

dWo

　 　 　

d

φ。

　　　

u

＝

u・

一

％

r9

万 ＋ω

一

薦 　 　 　 　

…・

……

（2） 　 　 　v

＝

Vo

−

z_φ。 　 　 　ω

＝

Wo十2φo （1 ）， （2 ）式を用い て前 田らの方 法 を 適 用 すれ ば， 次 式 を満足 す る幾 何 学的非線形 剛性

Ke

が得ら れ る。 　 　 　

dQ

＝

Kedq …一 ………・

・

…・

・

一 ・

・

…

_（3_） （

3

）式に おい て

，

Q

お よ び qは部 材 端 力と部 材 端 変 位 で あり

，

その_成分は次の通 り である

。

_（

Fig．

2参 照 ）

Q

＝ ［_凡 、

F

鮮

F

。、晦 晦

M

。 、醒ω 、 　 　 F

。

ノFy，　Fev　

Mx

丿処∫輪

M

ω ］ 7 e

＝

［Us　Vt　Wi　

ex

‘＆‘佐 θ読 　 　u，v，ω，佐丿畠」砺 θ

1

，］ T

・

・

・

・

・

・

・

…

_（4） こ こ ・_・

臨

虚_… そ ・モ

ー

・ン ・， ’ ・

誌

なお_， 本 論 文で は

Ke

の導 出に _際して ひずみエ _ネル ギに 含まれ る変 位の 四次項を すべ て_考慮している。 　

3．

塑性 関 節 部の塑性 接 線 剛 性 　 　 　

，

　

本解法で は

，

塑性関 節の 力 学 的 挙 動を

W ．

F ，

　

Chen

ら

　

；

の示し た接 線 剛 性9〕_{を利 用 し て評 価 する}

_。

_{こ の接 線剛} 性 「 万

＝

∫

瓦

穿

∫

瓦

_考

∫

瓦

_曙

β

_鰐

∫

瓦

考

∫

瓦

・

髣

∫

瓦

_鰐

∫

瓦

_鴫

一

∫

碗

穿

∫

瓦

_禮

∫

瓦

_畷

一

∫

瓦

娉

レ

〉

Fig

．

2 　 　 　 FI_コ 　 　 　

阿

．

」　／

　　　　　　

膕

H ；j ／

　　

噸

受 冫

　　

1：1”s

　　 レ

1 　 囲ooAL　 　　 　

卩

　 囲SPLACE鬥EM匸

Noda！Displacements　and 　Nodal　Forces

癖

辱

　　　 ↓

M

、

　

．

b

：

　

＼

　 　 　 　

　　　 ま

Fig

．

3　Generalized　Stresses　and 　StTains

は単 位 長 さ部 材の

一

般 化 応 力 増 分と

一

般 化ひずみ増 分と を関 係づ けるもの で あ り

，

部 材を微 小要 素に分 割し て各 繊 維の応 カ

ー

ひずみ履歴曲線の接線係数を断 面につ い て 数 値 積 分す ること に よ り得られ る。 断 面 形 状は任 意で よ いが_， こ こ で は H 形 断 面に つ いて述べ る。 　Fig

．

3に

H

形 部 材の座標系お よ び

一

般 化 応 力F と

一

般 化ひずみ A の成 分 を 示す

。

F

と

A

をそ れ ぞ れ断 面の 単

一

荷重時の初 期 降 伏 値Fyx

，

砥 ．

，

　

Mn

，　

M

。ω ， ε

。

。

，

　

iP

．y

，

φ．。

，

φyω で無 次 元 化し た もの の増 分 を 　 　　

df ＝

［dfx　dmv 　dm 。　dMto ］ ’

　　　

、δ． 臨

鵡

、

研

。

r

　

『

”鹽

”齟

’

』

”’

_（

₅

_） と す る と

，df

と

d

δ の間に次の よ うな関係が成 り立つ

。

　 　　

df

； _百

d

_δ

・

…・

………・

……・

…・

・

…



…『

・

・

……

_{《 6 ）} ここに

，

　

E

，

；E

ε／

E ，

至

1＝

y／（B／2）

，

万

＝

2 ／（D／2）

，

d

・

−

dv



d2

，　

A

−

∫∫

d

す 齒

i

．

−

ff7

’ 　

d

τ

d2 ，

・・

−

ff

・ ’ 　・

V

・7

，

ア・

一

∬

賀 娵 　 　 　　 　 　　 　 　 　　 　 　

・

一 ……・

…・

…・

…

（

8

） で あり， E，は応 力

〜

ひずみ履歴 曲線の接線係数

，

　

E

は 弾 性 係 数，

B

は断 面の幅，　

D

は断面の高さであ る。　

A ，

∫

瓦

_鰐

β

_鴫

∫

畩

讐

∫

瓦

青

咢

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



一・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



9曁

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（7）

i

為等は

，

（7）式の数 値 積 分に用い る断面 分 割に よっ て

i

数 値 的に計 算 し たもの を用い る

。

こう する こ とに よっ 　て

，

断 面が完 全に弾 性 域に ある場 合に は 百は単 位 行 列 　と なる。 　 　さ て_， 収 斂 計算に よっ て

，9

が定ま れ ば

，一

般 化ひず 　み増分の塑性成分

d

δP 　 　　 　

d

δρ

＝

［

d

毛「

8d

_φ罫dφ翌（

t

φ畠］「

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（9）

一

₃₂

　

一

1

L・’iajL 副

」

，

、，　

L

　 　 　

d

　 　 　 　　 e

PIEe

　 I o

T

噛

、 dfx ⊥

_し

_自

_冂

_．

_・

1 と な るか ら，

Fig．

4を参 照して

，

　　　

dfx−

1

至

豈

1 ・・

8

・

・

…・

・

…・

……一 ・

・

…・

……

（1・） した が っ て_，

　

　　

d

・・_「

≒

1 ・・ぎ

…・

・

・

・

・

・

・

…………・

…・

…・

…

（15） 同様に して

，

　　　

佩

一 1d

魂

驫 二

1

一

吾t！ 　 1

d

φω

＝

1

−

S，3 　 1

d魂

Fig

_．

₄

_f

_．

−

io　relatio皿 　　 　

d

φ島 1

一

可

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



一

_（16） （15＞

，

（16 ）式 を （6

．

）式に代入 す

．

る と

，

（10 ）式を満 足 す る

9

ρ_が 得ら れ る

。

Sl1SltSl3 奪1‘ に対 し て 　 　 　

df

＝

gp．

d

_δρ

・

…・

…・

_∵

・

・

一…・

・

…・

・

一 …・

…一

（10） を満足す る塑 性 接 線 剛 性百ρ は次の ように し て得られ る。 まず

，

9 を （11）式の ように表 す

。

1

−

S、l　

l− S

，，　

1− S33

　

1一

否‘4 吾，1　　　　　　　822　　　　　　　823　　　　　　　s24 ］ρ

＝

1− S

，，　

1一

否n 　

1−

Sss1

−

s“ s31　 　 　 s：2　 　　 Ss；　 　　 s34

・

・

・

…

_（17｝ 否

＝

Sll 　Stl

’

s13　s■． s21　s2：　s2s　s14 8SI　s31　s33　s34 s41　s42　s

・

3　s

“、

……・

……・

……・

……・

_{（11 ）} い ま，

dfr

と

d

属 の関 係に注目 す る と

　　　

dfx

＝ ＝_吾 ，匸

dio・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

一・

・

・

・

…

　

t−・

・

1・

・

（12） ところ が

，

弾 性 成 分

d

器につ い ては前 述の よ う に

，

　　 　

dfx＝

1di 言

………一 ………・

・

……

（13） 1

一

否u 　1

一

否22　1

一

否33

’

₁

_一

否

．

s41　　 　 842　 　　

．

Sls　 　　 844 1

一

吾，，　1

一

否！t　1

−

Ss：　1

−

s“ 断 面が完 全に弾性 状 態にあ

『

る場 合には 〔17）式が計 算で き な い ため

，

冨

ρ

の非 対 角 要 素を零とし

，

対 角 要 素に大 きな数 値 を入れ れ ばよし、。 　

9

ρ_が 求ま れば

，

実 際の塑 性 接 線 剛 性 』P は次 元 を回復 させ る ことによっ て次の式で得られ る

。

評 の要 素 を吾危 （凧‘

＝1，

2，

3，

4

） とす ると

，

8ρ

＝

・剛 ・刪

書

・凪

暑

・

e

… る se，

・

・

嶋

’

粥

略

・皿

否

斜

・

E

塩

毒

．

Sk ・

E

略

』

Sf3・

E

_場

旦 2D 吾 4E 　 E 昏 翕

［

8 否 ・刪

挈

　 　 　 　 B 否；4

’

E

為 百 ・凪

号

Sf‘　

・

　EI． こ こ に_，

A ，

_塩

，

1

。

，

  はそれぞれ断 面 積

，

断 面2次モ

ー

メ ン ト，そ り

．

定 数である が

，

数 値 積 分による のでは な く

，

真の_値を用い る の が よい

。

な お_{， 本 論}文で は_， （7 ）式 の

9

の対 角要素の い ずれカ_）が

0．

．

99よ

．

りも小さ く なるま では

，

断 面 を弾 性 状 態とみな して い る

。

　

4

．

部 材の弾塑

_性

剛 性 行

_列．

_、

　

鋼

_素

材の繰 返し応

力

ひず_み履歴特

_性

と， 軸 力

・

2軸 曲 げ

，

そ り モ

ー

メ ン トの_相互作用 を考 慮し た塑 性 関 節 を 両 端 部に持つ立体骨 組要 素の弾 塑 性 剛 性 行 列 を以 下に導 く。　　　　　　　

．

　　　

1

； 　4・1　 塑 性関節 部の力学 的 特 性

　

塑性関節 部の挙 動にうい で次の よ うに仮定す る。 　（1） 塑 性 変 形 成 分は

，

軸 力

・

2軸ま わ りの曲げモ

ー

…………・

…・

…・

……一 ……・

…・

…・

…・

………・

_（18） メ ン トお よ び そ り モ

ー

メ ツ トに対 応 する成 分の み で あ るet 　（2） サンブナンねじ り剛 性は_， 部 材 端 降 伏 後 も不変 である

。

　 （3） 断 面の形は降 伏 後も不 変であ り

，

そ り関数も弾 性 時と同じ である

。

　（4） せ ん_{断応 力 は}

，

関 節の降 伏に寄 与し な い。

　

（5 ）

一

般に

，

部 材の

一

般 化ひずみ の分布は

Fig

．

5（a_） の よ

「

うにな る と思わ れ る が

，

こ_れを_同

．

（b）の よ うに

，

あ る仮定さ れ た 長 さ ちの_内部で各塑性ひずみ成分が材 端 部の値の ま ま亠 _様 であ る と す る

。

　

（6）

・

lp

部 分の 両 断 面 間の相

_対

変

_位

の塑性成分 は

，

部 材 端 iまた は

j

側に集 約さ れて_生じ る ものと する

。

一 33 一

．

r

，

＿

E ＿

＿

∴

繭 →

巳

11Sti

［

・

　_P1

己

　_s

亡

_煽

⊂

　 　 　 P1自Stlc 　 　 　 ［o〕 引 LZp1 Cbl 　 广

”

！_pj

Fig

．

5　Assumption　of　

Generalized

　PLastic　

Strain

　Distribution

　さて

_，

i

，

　

j

端の塑 性変位増 分

dq8，

　

dq

_ヲを （4 ）式 に_準じ て次のよ うに定 義す る

。

　　　dq8＝

［

du7d

θ_多‘dθ羣‘

d

θ  ］ T 　 　 　 　

・

……・

……・

（19） 　　 　

dq

∫

＝

［伽 ヲ

d

β_羣ノdθ_易

・

d

θ劣 ］T 仮 定 （

1

）か ら

，

上 記以外の成分 は常に零と な る

。

ま た

，

dqf，

　

dq

_？に_対応す る部 材 端 力 増 分

dQf

，

　

dQf

を 次の よ うに定義 す る

。

　　　

dQHdF

£・礑 ・

dM

羣・

d

解

・］ T

＿．

．

＿．

_{（20 ）}

　　　dQr

＝ ［

dF

_呈 ノdM 書ノ

dM

易

dM

＆丿］ 7 こ こ に

，

d理 ‘，　

dM

羣‘等は実 質 的に は dFxt

，

　dMyt 等と 同じ である が， 後述の部 材 剛 性 を導く際に便 利な よ うに 添 字p を付けて区 別してい る

。

こ こ で

，

3項に述べ _た方 法を 用 い る と

，

以下の よ うに して dQ7

− dq

？関 係

，

dQ7 − dqf

関 係が求め ら れる。 　い ま

，

（4 ）式の部 材 端 力

Q

が与え ら れたとする と

，

その 成分 である軸力

，

2軸回 りの曲げモ

ー

メ ン トお よび そ りモ

ー

メ ン トによっ て

，

Ql

＝

_［F

、 ‘Myt　M。i　Mwi ］ 7

Q

，

＝

匪 丿嶋丿M．　M ω、］ 7

……・

…………・

_（

₂₁

_） が定まる

。

次に_，

Fig．

1 （a_）と

Fig．

3を参照 して

i

_{， ノ} 両 端の

一

般 化 応 力

F

，， 易 が 次 式で得ら れ る

。

　 　　

F

，

＝一

∬

Ql

≡

R

‘

Ql

　　

P」＝

JQ

コ≡

R

，

Q

；

　

　　

　

　

　

　

　

　

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（

22

） 　 　　こ こ に_， ∬は単 位 行 列 この

F

，

，F

，を用い るこ とに よっ て

，3

項で述べ た方法 で

i，

」端の_{接 線 剛 性} sf

，

89 が得ら れ

，

　

i，

　

j

_端の

一

_般 化ひずみ

A

‘， ム の塑 性 成分

A8

　

Af

を （

23

）式の よ うに 定 義すると

_，

（24）式の関 係が得ら れる

。

　　　

Af

＝

［ε乱_φ罫‘φ羣‘φ島‘］ 「 　 　　 　 　 　　 　 　

＿

　　　

…・

………・

…

（23） 　 　 　

A

夕

＝

［ε＆φ罫，φ島

ipz

，］ T 　 　 　

dF

尸 8夕

d

ム£ 　 　　 　 　 　　 　 　

・

・

・

…

　

r・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

卜

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　〔24 ） 　 　 　

d

」ら＝ _s窒

dAf

瓦， 鶏 お よ び ム召

，

Alは応 力 とひ ずみで あ る か ら

，

こ れら を

Fig．

1（a）の部 材 座 標系に座標 変 換す る

。

（22）

一

₃₄

一

式中の

Ql

，

　

Q

_；

・

の増 分が そ れ ぞ れ

d

併

，

　

dQf

_に等_しい か ら， 　 　 　

dQf ！

・

R；id 君

＝

R∫187d △

f

　 　 　

・

・

・

・

・

・

…

　

tt・

…

　（25） 　 　 　

dQf ＝RJ

’

d

呂

＝RJ

’ s夕

dAf

さ らに

_，

仮 定 （5）に よっ て

，

ら部 分の 両 断 面 間の相 対 塑 性 変 形 増分は そ れ ぞ れ t_。t　

dAf

，　

lpj

　

dAf

で表され

，

仮 定 （6）によっ て これ らは部 材 端に集 約さ れ て生じ る か ら

、

　 　 　

ipidAf

＝Ri

　

dqf

　 　 　 　　 　 　　 　 　 　　 　 　 　　 　 　　 　

…

（26） 　 　 　

1

。j　

d

△

9

ニR

丿

dqf

と な り， （25）

，

（26）式より次 式が得ら れ る

。

　 　 　 　

_d

l　 　 　 　 l （

ee＝

κ 「1・臓 _z

沖

f

「

」

・「

dqf

弼

一

B7’ ・

9

喘

d_。ヲ

ー

か

_{デ吻 ヲ}

4．

2

　部材の弾塑性 接線剛性 行列

・

・

・

…

_{（27 ）} 　 立 体骨組の は り や柱な どを適 当な 長 さに分 割 して単 位 部 材と し

，

そ の両 端を i

，

ゴとする

。

まず

，

部 材の剛 性 行 列 を導 くの に便 利なよ うに

，

部 材 端 変 位 と部 材 端 力の 増 分 を次の よ うに再 定 義 する。 な お

，

本 項では煩 雑さを 避け る た め

，

増 分を表す

d

を省略す る

。

　

i，

j

端の全 変 位 　 　 　qt

＝

［Ui　_v ‘Wt　e』i θ” ‘θat θを‘］ T

　　　

qj

＝

［u／v丿ω」 佐，

ey

∫

e

． θ；「丿］ T

i，

ノ端の弾 性 変 位 　 　q9＝ ［uD _『ωぎθ茎‘θ罫‘θ呈‘θ釜］ T 　 　α，＝ _［uf _”∫w_∫θ呈 ∫θ罫，θるθ笠｝］ T

i

，

j

端の塑 性 変 位 　 　qf＝ ［_包

7

θ_罫‘θ旦_‘θ望］T

　　

q9

ニ

［us θ｛

IJ

θPrθ

lp

，

一

_］「

i

，

j

端の材 端 力

　 　

Q

，

＝

［

FXi

　

Fyt

　

FXt

　

Mmi

　

Mei

　

MXi

　

Mt

。i］T

　 　

Q

，

＝

［

［

FXJ

　

FyJ

　

Fat

　

M

エ」　

My

」　

M

。J　

M

ω」］ T

f

，

j

端の弾性変 位に対 応 する材 端 力

・

・

・

・

・

…

_《28） 　 　

Qf

＝

［

F

茎‘　

F

罫‘

F

呈‘

M

£‘

MS

‘

M

茎‘

M

略 ，］ T

　　

Qf

＝

［

F

島 F ；丿

F

急　

M

羣ノ

M

罫，　

M

塞，　

M

島，］ T

i

，

j

端の塑 性 変 位に対応す る材 端 力

　　

Qf

＝ ［

F

_{羣、耀 、}醪 _、1略 _‘］「 　 　

Qf

＝

［

FZ

，　

M

罫，　

M

羣，／

M

鵬 ，］ 「

一・

_（29） さ らに

_，

_qt，　qiの 成 分 とq『

，

α夛を用い て すi

，

砺 を， ま た

，Qf，

　

Qf

の 成 分 と

Q

？

_，

　

Q

_？を 用い て

Q

‘

，

　

Q

丿をそ れ ぞれ次の よ うに定 義 す る

。

i

『‘

＝

　 　 ク Ut

−

Ul ＆‘

−

e書‘ 佐一 θ書‘ θ

1

，

一

θ

1

｛ ；可」＝ u厂 u？ 砺厂 θ罫， θ．

一

θ

2

θ

1

厂 θ認

………・

・

…・

・

_（30）

Q

，

＝

P エ ρ シ ρ 2 FMM

一

　

一

　

一

る エ を

り

ど ぼ

FMMM

島、

− M

島， ；

Q

，＝ ’ ρ 脚

ρ

溜 ク エ

F

醒 M

一

一

一

e び e 加

θ

創

FMMMS

厂 M 翫

・

・

……

_（

₃₁

_） （30）

，

（31）式の _可

．Q

の_意味は

Fig，

6に より明ら かで ある。 図で は

使

宜 上， 塑 性 関 節に長 さ を 与え て お り

，

平 面 部材につ いて示した。

i

，

　

Q

は弾 性 部材と塑 性 関 節の 接合 部に お ける変 位お よび節点 力とい う物 理 的 意 味 を 持っ て い る

。

　

｝

て

，

塑 性 変 形は材 端 部に集約さ

_．

れて生じると

_い

う仮 定によっ て

，

塑 性 関 節の長 さ は零 となる こと を考 慮す る と， 直ちに次の関 係 式が得ら れ る

。

e ‘ θ 丿 ρ ‘ P

・

J qq 曹 “

＝T

qt ’ 　

−

‘

　 丿 q 可 可 ， じ 　 ノ 　 　 ピ 　

　

ノ

QQ

一

Q

　

Q

＝

_T ε ‘ 　 e ’ 　 ρ ‘ 　 ρ 丿

QQQQ

・

・

・

・

・

・

・

・

…



tt

_（

₃₂

_） た だ し，

T

の成 分 を

tite

で表す と

，

　t1

，

15

＝

　t2

，

1

＝

　t1

｝

3

＝

t4

，

4＝ t5

、

₁₆ ＝

ts、

_匚7； tT

、

_1s

＝

te

，

₁₉ 　　

＝

tg

、

y

＝

tl。

．

且。

＝

ε旧 1＝ 西L2

．

2。

＝tL3

、

21

＝

t14

，

22

＝

1 　

t15

、

】S

＝

　

t15

、

16

＝

t］7

，

17＝ tTS

，

_1e＝

t19

，

_1S

＝

t20

、

₂₀

＝

t_！匸

．

_2！ 　 　

＝

t22

．

22

＝−

1 　

tSi

＝tw，

その _他の_{成 分}は 0 　 　 　 　

……・

…・

（33） とこ

6 ．

で

，

弾 性 成 分に対して は（

3

）式が成り立つか ら

，

i

，

j

成 分に分けて書く と

，

　

α

_一

K「， 陥 ql

．

．

＿．

＿．

，

．

．

＿．

．

＿＿ ．

（34 ） 　　 　 　　 　 　 鰐、　 9ゴ 　 　 　 　 　κ隻 　

Q

∫ J

一

一

lll

：

Pt

・

一

・

_一

　 ジ 　 　jR 、

・

　

　

ア

　 ド 」

．

」

．

E　 plas 匚k　h

・

・

g

・

1

唱

「

」

．

　elo

〜

t1

匚

岡

臼

祕

臼

r

り

髄巴 ム 91P ，

u

，

．

1

　 　 　5

．

010 」

’

　 」

一

一

τ ー elaStlc

　

d

・

splaCeme

η

ti

卩

TnStic

　

d1叩 1ecOm

¢nLs

0

・

　lii 、

t．

｝

’

．

．

　 j

瓢

_一

 

HIP

_←

_T

．

_）同

・

P

　

HjP _（ 、一 ）

陸

_・P

Lot

¢

I　di5

卩

1

δ

⊆

emep

匸

5 　0F 　 　 member ／

「

　

ri 鬥 ＼ r

、

_↓ 賎 弼 馬 （

一

D

・・ 「 1

no6a1 　fbr

こ

e5　for 　EIeSL1 ¢

　 　 　 dlspln

⊆

ements nod

驫

1　fDrGeS 　fo

「

　卩1n

〜

ti

」

　 　 　 dlSpla

［

eme

畦

5

noti

己

1　fertes　Df 　m

臼

門

瞹

「

Fig

_，

₆Displacements　and 　Fo匸ces　of　a　Member

また

，

塑 性 成 分に対 して は

，

（27）式 より

，

：

；

一

［

瓢

1

；

一

一 _岡 である か ら_， （32 ）， （34 ）， （35）式よ り ニ 　

　

ノ

QO

｝

ロ

ロ

　 ノ

一

Q

一

Q

・

₇

▼ 91qJ 8 　 丿 可 す

＝T ・

00e ロ e ” K κ θ ‘ 9 丿 κ κ 00 ・ ・

去

・

f

・

0

　 　

0

・

ii

、

／

　・

f

Kfi　

i

　 KO 鰐 1　 ：　

KS

9iqJ 可‘ す∫

…・

一・

…・

…・

・

………

_（37） が 得ら れ る。 こ こ で

，

Q

‘

＝

Q

，

＝

0という条 件 を用い ると， 部 材の弾 塑 性 接 線剛性行列 が次の よ う に求め ら れ る

。

　

　

li

−

_［

_Kft−

_・鵬

_r

・ 繝

；

1

・

・

…一 …一

（・・） 　な お

，

薄 肉 円 管 断 面 部 材につ いては

，一

般化応力増 分 と

一

般 化 塑 性ひずみ増分の関係を与え る （24 ＞式の か わ りに

，

文 献 （22）で述べ_た ，降 伏 曲 面と塑性流れ則に よっ て得 られ る関 係 を 用い るこ と も可 能であ る

。

た だ し

，

こ の と き は定 式 化の方 法と

・

して は従来の手 法 （例 え ば

，

文 献 （25）の第4編）を その ま ま適 用す る方が よい。 ま た

，

解 法 として は よ り簡 略 化さ れ る もの の

，

（24 ）式 を用い る場 合に比べて精 度の劣 化は免れ ない こ と

，

お よ び繊 維 の応 力ひずみ関 係の追 跡が不 可 能で あ ること は 言 う まで もない 。 　4

．

3　塑性 関 節 部の除 荷の判 定 　除 荷は

，

関 節 部の 断 面 力の なす 塑性 仕 事 増 分

d

　

va

_£

，

d

昭 の正負で判 別する

。dWf

_，　

d

_{昭 は次 式で計算で} き る。 　 　　dW £

＝

Q

’dα

8

　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（39） 　 　　

dWf ＝

Q

∫

dg7

し たがっ て， 次の 条 件 を 満たすとき

i

また は 」端は除 荷と な る

。

　 　　

Qldq

？＜

0

　 　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　T

・

・

…

　（40） 　 　　

Q

∫

dqf

〈

0

　実 際に は_{， 数 値計算}を行っ ている た め

一

度 弾 塑 性 状 態 を経 験し た関 節の塑 性 仕 事 増 分は

，

除 荷 後 も完 全に は零 とな らな い

。

こ の ため

，

除 荷 状 態に ある関 節を再び除 荷 と判 断し て しま う 危険が ある の で

，

除 荷の判 別 を 次 式で 行っ て いる。

一 35 一

　　 　

Qldg8

く

一

e 　 　 　 　

…

　

一・

・

・

・

・

・

…

　

一一・

…

　

一・

・

・

…

　

マ

噛

『

・

（

41

） 　　 　

Q

∫（

iqf

＜

−

e こ こ に

，

e は正の微 小 量で あり

，

目安とし て は そ の 関節 が 過 去に経 験 し た塑性仕事増分の最 大 値の10％ 程 度で よい。 　 5

，

部 材 剛 性の全 体 座 標 系への座 標変換 　本 解 法では

，

大 変 形 問題へ の適 用 を考え て， 部 材の変 形成分と剛 体 変 位 成 分とを分 離し

，

変 形 後の部 材の座 標 変換 行 列 を更新して い るが

，

方法とし て は前田ら23切提 示し た もの を踏襲し た。 ま た

，

材 軸 方 向の回転の微 分 項 θを‘， θ島の取扱い につ い ては藤本ら 12｝_に準じた 。 　

6．

解 析手順

　

解析に は_{変 位 制 御 形 荷 重 増 分 法}5 〕_{を 用}い た

。

具体的な 解析 手順を示せば次の通りで あ る。 　 （

i

）　 全体座標 系におい て_計算された変 位 増分 を部 材 座 標 系における変 位 増 分に変 換し， これ か ら （

38

）式を 用いて_部材 端力増 分を計 算して前ステップまで の部 材 端 力に加えこむ

。

また

，

（41 ）式によっ て除荷の判 定を行う

。

すべ て の関節で_除荷が生 じ ていな け れ ば （

iiD

にと

．

S 

一

_{関 節で も除 荷が あれば次の （}

_ii

_{）に進 む}

_。

　

（

ii

）

　

新しい 部 材 端 力に よっ て収 斂 計 算 を行い

，

除 荷 関 節の 87 （8f）を計 算する

。

そ の後， 関節の繊維のす べ _{ての状 態 を前ス テ} ップの状 態に も どす

。

こ の除荷後の sf _（s9 _）を用い て部 材の剛 性を作 製し

，

再 度 骨 組の挙 動 を計 算して （

1

）に もどる

。

　 （

iiD

　 新しい部 材 端 力 を全 体 座 標 系に変 換す る

。

全 体 座 標 系にお け る変 位 増 分 を前ステップまで の_変位に加え こ み

，

こ れ を用い て新し い_部材座標系お よ び その_{座 標系} にお ける真の 変 位 成 分 q‘

，

q」を求め る 23，澗 。 その 後

，

（37）

，

（32） 式 を利 用し て計 算さ れ る

dq7，

　

dqf

を積算 した _gf

，

　

g9

を差 し引い て_{， 弾}性 成 分 qf，　gf を求めて お く

。

部 材 端 力を再 度 新し い部 材 座 標 系に変 換し， こ れ を 用いて収 斂 計 算を行い

，

sf

，

　 sf を求め る

。

剛 性 行 列 の計 算に は

1

_ρt

_，1

_{。 、}の値が 必要であ る が

，

これにつ い て は後で検 討す る こ と と し_， と りあえず1要 素の_長さ を 十 分 小さ く する ことを 前 提に

，

要 素の長 さ を

1

と して

tpt

＝

_tp ，

＝1

／2とお く

。

こ れ らの sf，　s9

，

　

lpi

，

　

t

ρJ

，

お よ び qf， gゴを 用い て新 しい部 材剛 性 行 列 を作 製し

，

骨 組 全 体の 増 分 計 算 を行っ て （

i

）に もど る

，

　概 略 以 上の よ うで あるが

，

sf

，

　sヲの収 斂 計 算時に関 節の繊維 に ひずみの も どりが生 じ た場 合の_{取 扱}いにつ い て触れ て お く。 繊維の除 荷は

，

前ス テップに おいて収 斂 し た状 態を基準とし て考え る

。

し た がっ て_， 収 斂 計 算 中 に単に ひずみの も どりが 生 じた だ けで は弾 性 回 復と は考 えず， 前ステップでのひずみ値よ りもさ ら にもどっ た と き

，

は じ め て弾 性回復が起こ る と す る

。

7

．

解 析例 　本 解 法の妥 当 性 を 検 証す る た め

，

曲 線

1

形は りの耐 荷 力 解 析 を行い

，

福 本らes） の実験値お よ び解 析 値と比 較す る

。

_供試体は

_，

_曲率半径

一

_定で両 端 単純 支 持の 1形は り で あ る

。

Fig

．

7に座標 系を 示 す。　

X

軸と

y

軸 を断 面の 二 つ の主 軸に

一

致さ せ

，Z

軸 をは りの_軸の接線 方 向に とる

。

供 試 体の各 部 寸 法は

Table

　1に示 す と う りであ る。 解 析に用い た諸 量は

，

断 面 積A

噂30．04

　cmZ _{， 強 軸}回 り 断 面二 次モ

ー

メ ン ト右

＝

2984

．

Ocm4

，

弱 軸回 り断 面二 次 モ

ー

メン ト1許 133

．

7c皿4

，

そ り定 数ん

＝

20830

．

Ocm6 ， サ ・ブ ナ・の ね ・碇 数

J −

・

・

2・3・m・

，

　・・

−

f

（y2… ） t

dydz ＝

437400

，

0cm6，

素材の降 伏 応 力 σ

．

＝

2

．

4t／cmZ

，

弾 性係 数

E

＝ 2100

．

Ot_／cm2

_，

_{横 弾 性 係 数}G

＝

810

．

Ot_／cm2 ， 素 材の応 力ひずみ_{閧 係}は完全弾 塑 性 型とし た

。Fig，

8

は 塑 性 関 節 部の数値積分 を行う た め の断 面 分 割 図である

。

応 力ひずみ関係は繊 維の 重 心につ い て追 跡し た

。

_支持 端 は_，

X

_，　

Y

_{方 向変位}お よ び材 軸 方 向の ね じ りを拘束し， 他は自 由と して計算し た

。

ま た

，

負 荷は

Fig．

9に示す ように

，

圧縮フ ラン ジの 中 央 上部に集 中 荷 重を

、

図心か ら 15cm の距 離を保っ て常に垂直に_与えて い る。 解 析 に際しては

，

はり の半 分 を14要 素に_等分割し た

。

　

Fig．

10に

BR −

1の_荷重とス パ ン中 央で の変 位 u

，

　v

，

φ との関係を 示 す

。

福本らの_{実 験 値}を そ れぞれ口

，

△

，

○ 印で

，

同じく福 本らによ る伝達マ _{ト リッ} ク ス法を 用い

＼

，

li7

”

Fig

．

7　Curved　1

−

Beam

　 　 　 〔Ref

，

28））

　

　

　

　

7

〔Fukumoto andNishida

_，

1981

了able　l　Dimensions　and　Curvatures　of　Curved　I

−

Beam

　 　 　 　〔Fukumoto　a口

d

　Nishida

，

1981（Ref

．

28））

　　　　　　　　］

　　　　　　　　

t

Fig

．

8　Partitioning　 of　Cross　Section 　 　 　for　 Numerica）Calculations

一

　

36

一

　 　 　 P

　　　 ↓

．

⊥ 　 　 　 1SOmm 一

（

STM

．

こ 互 ε 7

　

P ε Fig

_．

　g 「Loading

　Condit麁o皿and 　Finite它1ements   6 了 P 5 4 ・　 ・

2

ジ

’

3　　ロ

ノ

！V ＼

　

7

’ 　 ［ソ　 　　　0 2

111

’

／

／

・

ノ

　　　ダ

Y

−

II

む

野

・。 △ 丁・ ・tR ・・ults ｛F・緬 。t_卿 d

、

Ni・hida ）

．

　 　 NumerlcalRe＄ult5 　〔FukumotoandNishida _）

−

Prese_「tAnalysls た解 析 値 をそれぞれ細い破 線

，

実 線

，一

点鎖 線で

，

本 解 法に よる解 を太 線で示し て い る

。

Fig

．

11は BR シ リ

ー

ズの荷 重 対スパ ン中 央で の_{回 転 角 φ}との関 係である。 実 験 値 を○ 印

，

解 析 値 を

一

点 鎖 点で表し

，

福 本 らの解 を 細 線で

，

本 解 法 を太 線で示 し て い る

。

本 解 法で は大 変 形 の影 響を比 較 的 厳 密に考 慮 し て い る こと

，

サンブ ナン の ね じれ剛 性に及ぼす断 面 降 伏の影 響を考 慮し て いない こ と

，

などの理 由か ら福 本らの解 析 値 どは必ずしも

一

致し てい な いが_， いずれ も実 験 値の傾 向を よ く表 現し て いる と 言え よう。 　

Fig．

ユ2は

，

　 BR

−

1の塑 性 域の拡が り の様子お よ びス パ ン中 央 部 断 面の応 力 分布を 示 す

。

上フラン ジ が 全 塑 性 状 態と なっ て崩 壊に 至っ てい る

。

　8

．

解法の_簡略化 　本 項で は

，

は り や 柱 な どの

一

部 材を

一

要 素と する従 来 の塑性 関節法 程度に_本解法の総 自由 度 を低 減させること を 目的と して

_，t

_。i， 砺の算 定 法につ いて詳 細な検 討を 加え る

。

　

8，1

　

一

軸 曲 げにお け る

lp

の特 性 　いま

，

はり の曲げモ

ー

メ ン ト

ー

曲率 関 係を

Fig．13

の よ うに仮 定し

，Fig．

14の よ う な状態に あ る単純ばり が

，

端 部に曲げモ

ー

メ ン トの増 分

dM

を受け る と きの 接線 剛性 を計 算 する と次式と な る。

（

dMd

θ

）

精 解一

挈

・

号

／

｛

1

・

聯

（

 

1

）

｝

…

（

42

） これに対 し，本 解 法によ る接 線 剛 性 を 導く と，まず，（

34

）， （35）式に相 当 する式が次式と なる。

：

1

：

一

［

舞

1

：

・ 一

一

_（・・） こ こ に_，

Dl

は曲率φの塑性成分に_対す る剛性で あ り

，

次式で計算で き る

。

　　 　

D1

＝

D 曾

1

）

ε

／（

D − D ，

〉

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一…

　∵

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（44 ） ま た

，

（33）式の

T

は

，

　

　

　

・

一

［

1

_．

1

］

……・

・

・

・

・

・

・

………・

・

………

∴

・

 

　 　 2　　　4　　　6　　　8　　　10 　　　12 　　　14 　　　15 　　　18 　　  　 　 　 xO

．

O］隔d

．

Fig

．

10　

Comparison

　of　LQad　versus 　Deflection　Relatienships

　 　 　 Of　BR

−

1　With 　TeSt　and　NUmeliCal　ReSUItS　Of

　 　 　’Fukumoto 　and　Nishida _（Ref

．

28_）

Ton 　 76

！

〕 ・

1

！

ン

　　　

03

，

eT

／

糊

_／

　 α　P 　 1 　 　 　 　

−

　Present 　Analysis

一

RB

」

O 　 　 2

講

　 　 げ

遜

雑

ジ

論

♂ 山

　

　

　

　

・

ゲ

・グ 皀∬ 邑

’

ノ

’

／

o_o

τeSt　R6Sult5

_．

（Fuκumoto 　and　Nishid遭｝

一

　　Numericdl　Result〜　（Fukumo 毛o　and　Nishida ）

　 　 0

　 　 　 　 2　 　　4　　 6　 　8　 　］0　　12　　14　 　16　　18 　 　 　 　xO

．

01　Rad

．

　 　 　 （BR

−

Series 〕 Fig

．

11　Comparison　ofLoad versus TortionalAngle 　 　 　 Relationsh五_ps　with Test　and Numerical　Results　of

　 　 　 Fukumoto　and　Nishida_（Ref

，

28_） 　 　 　 昏

謌

・

C

艮

101kg ノ

 

りF

．

〜

．

SOt 　 ユ₁ 　

1

　

−

？ 　：； 321P − 〜 」

凋

　 P

‘

 ！5t32101 〜 ヨ 　 　 A 　 　 ム P　40

」

　　

・

．

P

冒

∵°t

’

Fig

．

12　Yield　ELements　and　Stress　Distribution　at 　the　Center

HO H

　 　 　 o　　　　　　φ

Fig

_．

₁₃Assumption

’

of　M

−一

_φRelationship

一

、M

匚

±

＝

剥

AFig

．

14Simply　Supported　Beam

である か ら

，

（38）式に相 当する接 線 剛 性は

，

（

dMd

θ

）

本 解 法一

挈

・

髣

／

（

昏

萼

）

・

…・

…一

（・・） と なる_。 し た がっ て， 精 解と本 解 法の接 線 剛 性が等しく な る た め に は，

　　

　

lp一

_舌

_｛

1

_《

牆

_）

_／

…・

…・

・

……一 ……一 ・

・

（・・） と なっ て

，

らの 値には

D ，D

，の値は関 与し ない こと が わ か る。 　し か し ながら

，

M

〜

φ関 係は文 献 （22＞で明 らか に し た よ うに

，

特に降 伏 点 近 傍で滑ら か に変 化する

。

そ こ で_，

Fig．

15

に示す よ う な， 柱 頭に水平力 と 曲 げモ

ー

メ ン ト を 受ける

H

形 断 面 柱の挙 動 を

，

14要 素 分 割と1要 素 分 割に よっ て解 析 し

，

降 伏 点近傍で の

lp

の特性を検 討 し てみ る。 柱の 断 面は

H − 100

×

100

×

6

×

8

で

，

断 面積

A

＝

・

_21．

_9cm2

_， 強 軸回 り断面二 次モ

ー

メン ト為

＝383．

　O cm4

_，

弱軸回 り断 面二 次モ

ー

メ ン ト1訪 134

．

Ocm4

，

降 伏 応 力σ_y

＝

2

．

4t／cmz _， 弾 性 係 数 E

＝

2100

．

　O　t／cmz， 高さ h

＝

_100cm

_，

_{素 材}の_{応 力}ひずみ _関係は

Fig，

16の もの_{， 断} 面 分 割は

Fig，

9

に示し た もの を 用い た

。

　 Fig

．

17 に弱 軸 方 向へ の負 荷の例を示 す。 図 中

，

　

Qx

は 弱 軸 方 向 水 平 荷 重

，

Q

． は同じく強 軸 方 向へ の単

一

負 荷 時の初 期 降 伏 荷 重， u は柱 頭 水 平 変 位で ある

。

な お

，1

‘ は

Fig．

18に示す よ うな もの で あり_， 1_{ρi は} i端の lpの 意である

。

i端は固 定 端

，

ノ端は柱 頭であり

，

計 算を通 して

tpi

／　

li

_は常に

一

定値_{と し}て あ る。　

Fig．19

は

，

この と きの _柱脚 部フ ラン ジの応 力ひず み 履 歴 を 示 す

。

これ ら の図 か ら， 降 伏 点 近 傍で は

lpt

／　liを

一

_{定 値と して も 1要}

翼

qx

一

₃₈

一

x

Fig

_．

₁₅Analyzed　H

−

column

￥

Fig

．

16　Stress

−

Strain　Reiationship

qxlOvyl

：

lo

．

’

） 　 　 　 6 4

L

　 　 　

＿一

」

Lユー

＿＿

．

0

、

2　　　　

．

0　1　　　　 D　　　　　　 O　1　　　　 0

．

2　　ulh 　 　 　 　

『

2_ト 　 　 　 1

．

G 　 lael

　

三

iiiiii

；

1

｛

’

l

　

l

］ ei H

＝

O

．

WEAL　A：／5

Fig

_．

₁₇Lateral　Force　versus 　D重splacement 　Relationships

R

o

濃

ヨ

r

_，

Fig

．

18　Definition　of　l‘and　l，

’ f

．

一

．

_t ’

，

i 　

厂

’ ’ JF 　厂

匚

ILq／

mml

） 20 1D

　

ユ

　

　

　

し

　

ユ 　 　 ；s　’

一

゜_，

，

　

凵

2

！

1

！

1

、

！

　

『

1°

ll

雪

1　 ノ　 　　 　　 　

ー

ε〇 二

＿

．

「 　 　 　 i r　　’　1

一一

_→

・

・

一

_昇

・

’

₄

−一

一

₁

−

_←

_鷺

　 　 　 x 】D

．

Z

厂

鬥

‘

OP 　

凵

EA

民

　昌X15 　 　 1

／

P

「

丿

ノ

Fig

．

19Hystereしic　Stless

−

Strain　Curve　of 　 an 　Outer　Fiber　of 　 　 　 Flange

素 分割に よ る解は極め て よい_精度 を持つ ことがわか る

。

水 平 荷 重

Q

に対する曲げモ

ー

メ ン トM の割 合を強 軸の 場

aM

一

号

・

一一

Q

・溺 軸・場合 M

− 一

争

一

Q

・・ 範 囲 （ノ端は常に弾 性 域にある）で い ろいろ と変え た と きの 14要 素 分 割に よる精 解と

，

1要 素 分 割で

1

。t／

li

の 値を変えた結 果との 比較で も

，

最 も よい 解を 与 え る

1

。 ‘／

1

，の値に は比 較 的 差が少 く

，

これ らの 結 果か ら

，

1

。

‘〃iの最 適 値の平 均 値をと れば

，

次 式が得ら れ る

。

　 　 　

lPi

＝

0

．

0711‘

・

tt・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

tt・

・

tt・

…

　

tt・

・

・

・

・

…

　（48 ） 　8

．

2　三 次 元 状 態に お け る ‘。‘，

tpj

の算定法 　（47）

，

（48）式を利用 して

，

本 論 文 で は次の ように し て ‘端お よび

j

端の仮 想 塑 性長 さ

1

。i

，

　

IPJ

を決 定す る も の とする。 　（の　まず， i端お よ び」端の相 当応力 （

M

。∂i

，

（

M

。g）j を

，

次 式で評 価する。 （・・q）i

−

｛

（

凡

Fnr

）

：

・

（

鑑

）

：

・

（

驀

）

：

・

（

舞

）

：

｝

’ 　 　 　 1 ≡ _（

f

_{翫十 π感＋}m _{：t＋ 勉瓣}7 （M・q）j

−

｛

（

藷

）

：

・

（

譱

）

；

・

（

譱

）

：

・

（

M

ω　 圭 ≡ _（∫島 丿＋瞬∫＋鴫 ＋鵺 、）量

MpaJ

）

丿

ー

・

・

・



・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（49） こ こ に

，

_賑

，

M_． 等は文 献 （22）で定 義し た降 伏 応 力 で あ り

，

初 期 降 伏 値

F

。x

，

　 M_。y

，

　 M_。。

，

　 M _{，w と}の関 係は

そ れ ぞ れ Fn＝　

・

＝

　Fyx

，

　 Mρy

＝

1

．

12Myy

，

　 Mp2

＝

1

．

41　My2

，

Mew

＝ 1

．

41　

My

_ω と なっ てい る。 　（

ii

）　

t

ρt，　

IPj

の算 定に は

Fig．18

の

1

、

，1

，の大き さ も 関係す る が

，

三次 元 的な負 荷 状 態のと きの こ れ らの長さ を等 価 長さ と呼び

，

それぞれ（

t

。a）i， 〈teq＞丿で表し， （の で 求 め た

fXt

，

　 Myt 等 を用 い て 次の よ うに 決め る

。

（

Fig．

20

参照〉 ピ

，

ノ端の ベ ク トル mt

＝

［

fXt

　M 。t　M

。

l mω

aT

，

　MJ

＝

ifx

」　MY 丿ma 、　MWJF

，

部 材 長 を

Z

と して

，

（

1

。q）‘

；

’

・

「肌 ‘

1

／（

lmtl

＋m ‘

・

m ／

lm

‘

1

） 　 　 　 　　 　 　　 　 　 　　 　 　　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

…

　（50 ） （

1

。，）∫

需

」

・

1

肌」

1

／（レπ ，

1

＋瓰 プm ／

lm

，

1

｝ （iii　_）　ち‘

，

　

IPJ

を 次 式で得る。

／

Fig

．

20　Definition　of （lev）‘and （leq｝，

lpi

＝ 0

．

071（

le

α）‘ 翫

」

評

［

1

−

｛

1

（Meq）iく1

．

083｝ 　1 （M。q）‘ 　

1

（ハdee｝ノ〈

1．

083

「

｝

s

］

1

（M

。

q）t≧1

．

・

831

ち，

＝

0

．

071（

teg

）丿

1

・s

−

（

学

［

1

−

_｛

_ぬ

ll

_］

_脚 ，≧1

・

es31

…

_{（51 ）} こ こに

，

式の 適用 範 囲を指 定する数 値

1，

083

は

，

（47） 式の

lp

を （48 ＞式の lptに等しいと おいて得 られた もの で あ る

。

な お

，lp、

ま たは

’

1

_{。j の}値が_負になっ た場 合 あるい は

1

／

2

を 越 え る 場 合 に は

_，

そ れ ぞ れ

1

。i

＝1

／2

，

　 tPJ ＝　

1

_／2と_する

。

　

9，

簡 略 解 法に よ る解 析 例

　

簡 略 化さ れた解法に よ る解 析 例を 以 下に示 す

。

本 項で は_，従来の_{塑性関 節 法}と同じく原 則と し て部 材の接合点

，

集 中荷 重の_{作用 点}な ど

，

塑 性 関 節の生じ る可 能性の ある 断 面 間 を単 位 部 材と する

。

　

9．

ユ　軸 力と繰返 し水平力 を受け る

H

形 断 面 柱 　

Fig．

ユ5に示 し た

H

形 断 面柱が

一

定 軸 力の下で

Qx

／

Qr

＝1

の割 合で水 平 力 を受け る と き の挙動を解析し

，14

要 素 分 割による精 解 と比 較す る

。

断 面 定 数は前 述の もの に 加 え て

，

1

．

＝ 2821

．

Ocm5

，

　

J

＝ 4

．

02

　cm4

_，

　

Ir

＝ 14110

．

　O cmG を用い_，断 面分割と応 力ひずみ関係も同じであ る が

，

立 体骨組 構 造 物の 柱の

一

般 的な状 態に近 くな る よ う

，

柱 頭の

X

_，

y

方 向へ の 回転お よ び 断 面 の そ り_虐拘 束して い る

。

　

Fig．

21は

，

定軸力 P が降伏 軸力 Pyの 0

，

3倍の と き の 水平荷重

一

柱 頭変位 関 係

，Fig．

22 は

，

　

Fig．

21に

A

お よび

B

で示 し た繊 維の_， 柱 脚に お け る応 力ひずみ履 歴である

。

図 中

，

Qx

は弱 軸 方 向 水 平 荷 重

，

　

Qv

は強 軸 方 向 水 平 荷 重

，Qv

， は軸 力と

Qx

の な いと き の強 軸 方 向 初 期 降 伏 荷 重

，

u は弱 軸 方 向柱 頭 変 位

，

　 _v は強 軸 方 向 柱 頭 変 位で あ る。 これ らの 図 か ら

，P

／

Py

ニ O

，

3程 度_{まで は} 1_{要 素に よ る} 簡 略解は極めて よい_{精 度}を有す るこ と が わ かる

。

　 9

．

2 軸 力 と水 平 方 向強 制変位を受け る

H

形 断 面柱 　 9

，

1と同 じ条 件の柱に定 軸 力

P

＝

O．

　3　

P

_。を負 荷し た 後，

．

柱 頭に強 制 変 位を与え た と きの例をFig

．

23

−

25に 示 す。 強 制 変 位の径 路は Fig

．

23の左 上に示す 通 りで あ る

。

図 中

，

Uy

_，

　Vy はそ れ ぞ れ 弱軸お よ び強 軸 方 向の 初 期 降 伏 変 位で あっ て_， 最初 原 点か ら

A

ま で進み_， その 後円 周 上 を 時計回 りに u／Uy

＝

v／v，

＝

2の最 大 変 位 振 幅 で4回繰返 し てい る

。Fig．

23が強 軸 方 向

，

　

Fig．24

が 弱 軸 方 向の復元 力特 性

，Fig．

25 が図中に示 さ れ た 繊 維の 柱 脚 部の応 力ひずみ履 歴である

。

弱軸 方 向復元力特性に やや

一

致の悪い部 分はあるが

，

全 体 的に簡 略 解は よい精 度 を保っ て い る

。

　9

．

3　K 形 筋 違い付き

一

層ラ

ー

メ ンの_{面 外 座 屈}および 　 　 座 屈 後 挙 動

一

₃₉

　

一

‘

OY川甲y

1

’

「

”

D

．

〜 45

，

h

属

_q

匪

P8E

凡

一

　

一

．

o

．

 

o O

、

0 o

．

10v ’ゆ H

・

100

翼

100

翼

6

夙

8 　　9’Py

矼

o

，

3 　　h

甼

10Dc

ロ

一

〇

．

5

｝

一

一

一

一

114e1

，

　 eL q頁’o▼y 　　o

．

5

’

　

，

　

F

．

「

．

O

．

10 o

．

o o

、

10u ’b

・

o

．

5

＿

　16eL

．

一

．

．

−

　1e1

．

Fig

．

21　LateralForce　versus Disp｝acement Relationships（P／ps

＝

O

．

3）

po1

昇

【

　

儀

　　　　　　po1

且

し5

Fig

_．

₂₂Hysteretic　St【ess

−

Strain　Curves

　 　 　 　 qvrqVy

　 了

り

y 　 　 　 A 　 　 　 1

．

o

．

2　 4‘

’

，

・

’

・

y 　

．

2DEflettlee 　Peth

『

o

・

01 　

，

fi

’

　 o 　 　 ／ 　 　

、

ダ　 〆戸 7 　 　 』

，

＿

rr

H

幽

100

罵

100

瓦

5A3P ’Pジ o

・

コ

・

〜

・

o h

酵

100

⊂

m 　 　

，・

“

、

　 ノ　

　

　

　

　

ぞ

〆



_冫り

7

_！ 　 　　 　や ／ ／ノ

暴

1 D

，

01　 Nih q

▼

’qΨy2

、

0

．

0

．

D1 o1o

．

oし

リ

ハ 2 】 4

・

2

、

O 　 　 　 　 1　 eloqe

冂

t　 　 　 　　 　 　 　　 　 　 14　e1嚀口tntS

Rg

．

23　Restoting　Force　versus 　Displacement　Relationships_（StTong　Axis_》

　 骨 組の 三次 元 的 な挙 動 解 析 へ の 適 用 例 と して

，

Fig

．

26に 示 す よ う なK 形 筋 違い付 き

一

層ラ

ー

メ ン の 挙 動を解 析 し

，

藤本らの_実験お よび ポテン シャル エ ネルギ 増分停留原理 に基づ く精解12｝ と比 較す る

。

は り

_，

柱の断 面は

H −

194×150×6×9

，

筋 違 材は

，H −

100×100×5 ×7である

。

解析に用い た諸 量は_， は りと柱にっい て は

，

．

4 ＝37．

6c

皿2

，

　_為

＝

2585

．

　O　cm4

，



1

』

＝

506

．

6cm4

，

　為

＝

43320

．

Ocm5 ，　

J ＝

8

．

56　cm4 ，　Ir

＝

301400

．

　O　cm6

，

　σy

＝

2

．

　

88

　t_／cm2 _{， 筋 違材}に つ い て は_，　

A

＝ 18

．

3cm2 ，　Is

＝

329．

8cm

・

，

ム

＝116，8cm4，

島

＝2523．

　

O

　cm5

_，

　

J

＝

2．

64

　cm4

_，

Ir＝

13340

．

　O　cm6

，

σy

＝

2

．

74　t／cm2 であり， 弾 性 係 数

E ＝

2100　t_／cm2

_，

_{横 弾 性}係数 G

＝

810　t_／cm2 は両 者に共 通 と し

，

素 材の_{応 力}ひずみ関 係は

Fig．

16の もの を用い た。 要素分 割は

_，

柱を

1

個

．

は り を

2

個

，

筋 違材を

2

個と し

_，

Fig

．

26の 1

〜

7の点に節 点 を 設 けて い る

。

図の点1， 5 は固定と し， 点2， 4の面 外変位を拘束

、

各 部 材の両 端 の断 面のそ りも拘 束し ている

。

また

，

筋 違 材には

，

点

6

と

7

に部 材 長さの 1／2000 の面 外 方 向 初 期た わみ を与え て いる。

　Fig，

27に_， 水 平 荷 重 と点 2で の水 平 変 位と の関係を

一

₄₀

一