Aryabhatiya
II, 32, 33
不定方程式の解法についで
矢
野
道
雄
Aryabhatiya は 紀 元476年 に イ ン ドで 生 れ た 天 文 ・数 学 者 Aryabhata が23才 の 時 著 わ し た 天 文 学 と 数 学 の 綱 要 書 で あ る 。 全 体 は 四 章121の Arya 調 韻 文 で 書 か れ, そ の 第 二 章 Gapitapada は 天 文 学 の 基 礎 と し て 古 来 重 視 さ れ た 数 学 が 扱 わ れ て い る 。 こ の 小 論 で は 第 二 章 の 最 後 に 見 ら れ る 不 定 方 程 式 の 整 数 解 の 求 め 方 に つ い て, 若 干 の 問 題 点 を 指 摘 し な が ら そ の 方 法 を 説 明 し, Aryabhata の 数 学 の 一 端 を 紹 介 す る。 不 定 方 程 式 は “kuttakara”と 呼 ば れ, 暦 法 計 算 な ど に 用 い ら れ 古 代 数 学 の 難 題 の ひ と つ で あ る 。 七 世 紀 の 数 学 者 Brahmagupta は そ の 著 作 Brahmasphuta-siddhanta で Kuttakaradhyaya と い う章 を 特 別 に 設 け て か な り詳 し く論 じ て い る。 ま た11世 紀 の 数 学 者 Bhaskara は 二 次 の 不 定 方 程 式 を 解 い た と 言 わ れ る 。 こ こ で 論 ず る Aryabhata の 方 法 は 初 歩 的 で あ る に せ よ, イ ン ドで 最 初 に あ ら わ れ た 解 法 と し て 注 目 さ れ る。 不 定 方 程 式 と は ど の よ う な も の か 。 た と え ば Aryabhatiya に 対 す る15世 紀 の 註 釈 者 Nilakanthasomastuvam は 次 の よ うな 列 題 を 提 出 し て い る1)。 「二 本 の長 さ の等 しい 竹 が あ る。 まず11ハ ス タの 長 さに よつ て, 次 に それ よ り8ハ ス タ 長 い (=19ハ ス タ の) 長 さ に よつ て 測 つ た と こ ろ, そ れ ぞ れ5ハ ス タ, 3ハ ス タ の剰 余 が 出 た。(長 さ等 しい) 両 竹 は何 ハ ス タの 長 さで あ るか 言 え 。 た だ し この場 合 『大 剰 余 』 は5,『 小 剰 余 』 は3で あ る。」 求 め る 竹 の 長 さ を 諾 と し て, 上 の 列 題 を 式 に 表 わ す と1)
The Aryabhatiya
of Aryabhata
with the Bhasya of Nllakanthasomastuvan,
Trivandrum
Sanskrit
Series. No. CI. 1930. p. 161ff.
dvati varnsau tulyamanau
you tau pramaya
avasesitau/
isahastena
manena tato vasvadhikena
ca//
pancasamkhyas
trisamkhyas
ca kiyaddhastau
ca tau vada/
pancakam
hy adhikagram
syad iha unagram
trikam tatha//
-402-(41) Aryabhatiya II, 32, 33 (矢 野) x=11y+5
{x=19z+3
また は{
x-11y=5 x-19z=3 〔A〕と な る。 す な わ ち与 え られ た式 よ り も未 知 数 の方 が 多 い わ け で, 諾は整 数 とい う
条 件 をつ け られ る。
さて この よ うな 問 題 を Aryabhata
は ど の よ うに解 いた か 。 そ れ が 第 二 章 の 最
後32と33に
の べ られ て い るの で あ る。
adhikagrabhagaharam
chindyad unagrabhagaharena/
sesaparasparabhaktam
matigunam
agrantare
ksiptam//
adhauparigunitam
antyayug
unagracchedabha
jite swam/
adhikagracchedagunam
dvicchedagram
adhikagrayutam//
こ の 方 法 は 表 現 が 余 り に 省 略 的 で あ る た め 註 釈 の 助 け 無 し で は 理 解 す る こ と が 困 難 で あ る 。 ま ず Nilakantha の 註 釈 に し た が つ て 解 釈 し よ う 。 ま ず 一 行 目 の “unagrabhagahara”と は 「そ の agra す な わ ち 剰 余 が 小 さ い よ う な 除 数2)」, ま た “adhikagrabhagahara”と は 「そ の 数 に よ つ て 除 せ ら れ た 余 り が 大 な る も の3)」, で あ る 。 先 に あ げ た 例 題 〔A〕 で 言 え ば, 大 剰 余 〔5〕 を 生 ず る 除 数 〔11〕 と, 小 剰 余 〔3〕 を 生 ず る 除 数 〔19〕 が そ れ ぞ れ adhikagrabhaga-:hara (〔a〕除 数 と略 す) と unagrabhagahara (〔u〕除 数 と略 す) で あ る 。 さ て 一 行 目 は こ の 〔a〕 除 数 を 〔司 除 数 で 割 る こ と を の べ て い る 。 こ こ で 余 り (sesa) が 出 る が, こ の 余 りが 〔U〕除 数 の 相 手 方 と な り, 次 の 段 階 で こ れ に よ つ て 〔司 除 数 を 割 る の で あ る4)。 そ し て さ ら に こ こ で 出 た 余 り で 〔a〕除 数 を 割 る 。 こ の よ うに お 互 い に 余 り に よ つ て 割 り算 を 続 け て い く 。 そ れ が 第 二 行 前 半 で あ る 。 さ て こ れ 以 後 の 操 作 を 本 文 で は 随 分 省 略 し て い る 。 註 釈 に よ る と,〔a〕 除 数 の 系 列 に な る 余 りが 十 分 小 さ くな る と"mati"を 想 定 す る こ と が で き る5)。 “mati” と は 〔a〕除 数 の 系 列 に な る最 後 の 余 り に あ る 数 を か け, 大 剰 余 と 小 剰 余 と の 差 を 加 え,〔u〕 除 数 の 系 列 の 最 後 の 余 り で 割 る と 割 り切 れ る よ う な, そ う い う想 定 さ
2)
unam agram seso yasya sa unagro bhagaharah/
3)
yena hrtasistam adhikath so 'dhikagrabhagaharah/
4)
tam adhikagrarh bhagaharam unagrena bhagaharena hrtva sistam eva
pa-rasparaharane unagrabhagaharapratiyogi/tayoh
.punah parasparaharanam
karyam/
5)
adhikagrabhagaharasese 'lpe saty eva matikalpana karya/
-401-れ た 数 の こ と で あ る6)。 こ の mati と mati を 想 定 す る こ と に よ つ て 割 り切 -401-れ た 商 と を, 先 の 相 互 除 法 で 得 た 商 の 系 列 の 下 に 並 べ る7)。 こ う し て 第 一 の 「商 の 連 鎖 配 列 」(phalavalli) が 出 来 上 る 。 第 三 行 目 の 前 半 で は, こ の 連 鎖 配 列 に お け る mati を そ の 直 前 の 数 (す な わ ち最: 下 位 か ら三 番 目 の数) に か け, 最 下 位 の 数 (す なわ ち mati の直 後 の 数) に 加 え る (ant. yayug) こ と を 示 し て い る8)。 そ の 結 果 を 下 か ら 四 番 目 の 数 に か け, 下 か ら 二 番 目 の 数 (=mati) に 加 え る 。 そ し て そ の 結 果 を ま た か け た り加 え た りす る の で あ る が, か け 算 の み が 第 一 連 鎖 に わ た り た し算 は か く し て 除 々 に 作 ら れ て い く第 二 連 鎖 と の 間 に お い て 行 わ れ る 。 こ の よ うに し て 第 二 連 鎖 が 完 成 す る と, そ の 最 後 の 数 (す な わ ち 一番 上 の数) に 対 し て 次 の よ うな 最 後 の 操 作 が 行 わ れ る 。 そ れ が 第 三 行 目 の 後 半 か ら 四 行 目 の 最 後 ま で で あ る 。
ま ず 最 上 位 の 数 (uparistharaai) を 〔U〕, 除 数 で 割 る 。 そ し て そ の 余 り (sesa) に 〔a〕除 数 を か け, さ ら に 大 剰 余 を 加 え る 。 そ の 結 果 が 「二 種 の 除 数 お よ び 剰 余 を 満 足 す る 数 」 “dvicchedagra”, 例 題 〔A〕 で 言 うな ら ば, 二 つ の 整 方 程 式 を 満 足
す る 整 数 詔 で あ る9)。
た だ し Nilakantha も断 つ て い る よ う に10), 例 題 〔A〕 に お い て は adhikagra-bhagahara〔11〕 の 方 が, unagrabhagahara〔19〕 よ り も 小 さ い の で, 最 初 の 割 り算 は, 19÷11か ら 始 め る こ と に な る 。 以 上 に の べ た 方 法 で 例 題 〔A〕 を 解 い て み よ う。 0印 は 〔a〕除 数 の 系 列
11) 19 (1
1
24
11
1
14
8) 110 (1
1 X m+(5-3)
2
10
8
2
1
4
3) 8 (2
=2(e
m=2)
2
6
2
2) 30 (1
2
Ph. V
. I.
Ph. V. II.
10
6) yat punar matiguiiam adhikagrabhagaharasistam tad agrantare agrayor antare ksiptva apy unagrabhagaharasesena hr te yatha sesasya Uinyata syat
tatha haranam,
(43) Aryabhatiya II, 32, 33 (矢 野) 19) 24 (1
19
5 5×11+5=60
し た が つ て 求 め る 記 の 最 小 値 は60で あ る 。
と こ ろ で Aryabhatiya に 対 す る も う一 人 の 註 釈 者 Paramesvara (Paramadi-svara) の 提 出 す る 例 題 は 少 し 異 る 。 「あ る数 に8を か け, 29で 割 る と余 りは4に 等 しい 。 同 じ くこの数 に17を か け, 45で 割 る と余 りは7に 等 しい 。 そ の あ る数 は い く らか 。」11) こ れ を 式 で 表 わ す と, 8 4 29x=y+29 17 7 45x=2+45
または{
8x-29y=4...(1)17x-45z=7...(2)
CBS
と な り, 例 題 〔A〕 と異 る 点 は 諾 に1以 外 の 系 数 が つ い て い る と い う こ と で あ る 。 した が つ て 〔A〕 よ り も複 雑 な 過 程 が 必 要 で あ る 。Paramesvara は 次 の 三 段 階 に 分 け て 説 明 し て い る。 i) (1) を 満 足 す る ひ と つ の 整 数 解x1を 求 め る 。 相 互 除 法 を 利 用 し てx1=15を 得 る 。 ii) (2)を 満 足 す る ひ と つ の 整 数 解 娩 を 求 め る 。 相 互 除 法 を 利 用 し てx2=11を 得 る 。iii) i), ii) で 得 た15と11が “agra”で あ り, し た が つ て29が adhikagra-bhagahara, 45が unagrabhagahara で あ る。 こ こ で も相 互 除 法 を 行 な い 。 (1), (2) を と も に 満 足 す るx=1001を 得 る 。Paramesvara に よ れ ばA. II, 32,
8)
nyastesu phaladvandvesu mater urdhvastham phalam matpa hatva
tadadho-gatam antyaphalam ca tasmin ksipet/
9)
tayor uparistharasav
unagracchedabhajite
sesam. adhikagracchedagunath
krtva punar apy adhikam eva agrarh tatra eva yojayitva yal labhyate tad
dvicchedagram/
10) asminn udaharane'dhikagrabhagaharasya
eva alpatvat tena
ekadasasarh-khyena ekonavimsatisamkhyam unagrabhagaharam eva prathamam haret/
11) The Aryabhatiya with the Comentary of Paramadisvara, edited by H. Kern.
Leiden. 1874. p. 47ff.
rasau vasughne navadasrabhakte sesas caturbhis tulitas tathasmin/
atyastinighne saravedabhakte seso'dritulyo budha kas sa rasih// (p. 50)
-399-33はiii) の 過 程 だ け を の べ た も の で, i), ii) は 前 提 と さ れ て い る 。 iii) は 式 で 表 わ す と x-29t1=15
{
x-45t2=11 〔C〕 と な り12), 先 に あ げ た Nilakaptha の 例 題 〔A〕 と 同 じ形 に な る 。 た だ 〔C〕 の 場 合 は す で にi), ii) の 過 程 が 前 提 と な つ て い る の で, 15と11は そ れ ぞ れ 「大 剰 余 」 「小 剰 余 」 と い う よ りは む し ろ 〔B〕 の(1), (2) に お け る仮 の 値 鋭 と 娩 な ので あ る 。 し た が つ て “agra”と い う 言 葉 の 理 解 は, Nilakaptha と Paramesvara で は 異 つ て く る の で あ る 。 〔A〕,〔C〕 の よ うに 数 式 で 表 現 し て し ま え ぱ “agra” は い ず れ の 場 合 も 同 様 に 定 数 項 を 意 味 す る の で あ る が, Aryabhata の よ う に 数 式 を 使 わ な い 文 章 で 表 現 し た 場 合, 例 題 と し て 〔A〕 を と る か 〔B〕 を と る か に よ つ て “agra”の 意 味 も ま た 異 な り, 解 法 も 簡 単 な も の と 複 雑 な も の と に 分 れ る 。 も し Aryabhata が Paramesvara の 例 題 〔B〕 の よ うな 問 題 の 解 法 を の べ よ う と し て い た の で あ れ ば, Paramesvara の 言 う よ う に, A. II, 32, 33の 叙 述 は 〔C〕 の 段 階 か ら 始 つ て い る こ と に な る 。 し か し 〔B〕 は あ く ま で Paramesvara の 提 出 し た 例 題 で あ り, Aryabhata が こ の よ うな 複 雑 な 形 の 問 題 を 意 味 し てA.
II, 32, 33を の べ た と は 必 ず し も 言 え な い 。 む し ろ Nilakaptha の 例 題 〔A〕 の 解 法 を 意 図 し て い た と み る 方 が, 素 直 に 解 釈 で き る 。
Clark 氏13)は 一 応 Paramesvara に 徒 つ て 解 釈 し,“agra”は 一 時 的 な 仮 の 値 諾 を 意 味 す る と し て い る 。 しか し 以 上 の べ て き た こ と か ら わ か る よ うに 「剰 余 」 と 訳 し て 全 く差 し つ か え 無 い 。 以 上 の こ と か ら Paramesvara と Nilakapthasomastuvan の 方 法 は 本 質 的 に は 相 違 し て い な い こ と が わ か る 。 た だ Paramesvara が よ り複 雑 な 形 の 問 題 を 解 こ う と し た た め,“agra”の 意 義 が 拡 大 さ れ た の で あ る 。 な お 上 に の べ た 連 鎖 配 列 に よ る解 法 は, 現 代 数 学 で 用 い る 連 分 数 と よ く似 て お り, 文 字 を 用 い て 一 般 的 に 証 明 で き る14)が こ こ で は 省 略 す る 。 12) 東 京 図 書,「 数 学 新 書5」 「方 程 式 の 整 数解 」13頁 参 照 。
13) The Aryabhatiya of Aryabhata translated with notes by W. R. Clark,
Chi-cago. 1930. p. 42-50.こ の 小 論 は Clark 氏 に 負 う と こ ろ 大 で あ る が, Clark 氏 は
Nilakantha の 註 に な る テ キ ス トに は ふ れ て い な い 。
